人教版高一數(shù)學必修一知識點與習題講解

1、必修1第一章集合與函數(shù)基礎知識點整理第1講 §1.1.1 集合的含義與表示¤知識要點：1. 把一些元素組成的總體叫作集合（set），其元素具有三個特征，即確定性、互異性、無序性.2. 集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來，基本形式為，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，基本形式為，既要關注代表元素x，也要把握其屬性，適用于無限集.3. 通常用大寫拉丁字母表示集合. 要記住一些常見數(shù)集的表示，如自然數(shù)集N，正整數(shù)集或，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R.4. 元素與集合之間的關系是屬于（be

2、long to）與不屬于（not belong to），分別用符號、表示，例如，.¤例題精講：【例1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）由方程的所有實數(shù)根組成的集合；（2）大于2且小于7的整數(shù).解：（1）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.（2）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.【例2】用適當?shù)姆柼羁眨阂阎?，則有： 17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】試選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海ń滩腜6 練習題2， P13 A組題4）（1）一次函數(shù)與的圖象的交點組成的集合； （2）二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合；（3）反比例函數(shù)的自

3、變量的值組成的集合.解：（1）.（2）.（3）.點評：以上代表元素，分別是點、函數(shù)值、自變量. 在解題中不能把點的坐標混淆為，也注意對比（2）與（3）中的兩個集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范圍，有著本質(zhì)上不同，分析時一定要細心.*【例4】已知集合，試用列舉法表示集合A解：化方程為：應分以下三種情況：方程有等根且不是：由 =0，得，此時的解為，合方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解，合方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解為，合綜上可知，點評：運用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示. 注意分式方程易造成增根的現(xiàn)象.第2講 §1.1.2 集合間的基本關系

4、¤知識要點：1. 一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，則說兩個集合有包含關系，其中集合A是集合B的子集（subset），記作（或），讀作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A與集合B的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，記作. 3. 如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset），記作AB（或BA）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集.5. 性質(zhì)：；若，則； 若，則；若，則.¤例題

5、精講：【例1】用適當?shù)姆柼羁眨海?）菱形 平行四邊形； 等腰三角形 等邊三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.解：（1）， ；（2）=， ， ，.B A B C D【例2】設集合，則下列圖形能表示A與B關系的是（ ）.解：簡單列舉兩個集合的一些元素，易知BA，故答案選A另解：由，易知BA，故答案選A【例3】若集合，且，求實數(shù)的值.解：由，因此，.（i）若時，得，此時，；（ii）若時，得. 若,滿足，解得.故所求實數(shù)的值為或或.點評：在考察“”這一關系時，不要忘記“” ，因為時存在. 從而需要分情況討論. 題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=

6、a,ax,ax2. 若A=B，求實數(shù)x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.當a=0時，集合B中的元素均為0，故舍去；當x=1時，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a=0.因為a0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1，所以只有.經(jīng)檢驗，此時A=B成立. 綜上所述.點評：抓住集合相等的定義，分情況進行討論. 融入方程組思想，結(jié)合元素的互異性確定集合.第3講 §1.1.3 集合的基本運算（一）¤知識要點：集合的基本運算有三種，即交、并、補，學習時先理解概念，并掌握符號等，再結(jié)合解題的訓練，而達

7、到掌握的層次. 下面以表格的形式歸納三種基本運算如下.并集交集補集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（union set）由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集（intersection set）對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集（complementary set）記號（讀作“A并B”）（讀作“A交B”）（讀作“A的補集”）符號圖形表示UA¤例題精講：【例1】設集合.AB-1359x解：在數(shù)軸上表示出集合A、B，如右圖所示：，【例2】設，求：（1）； （2）.解：.（1

8、）又，；（2）又，得. .【例3】已知集合，且，求實數(shù)m的取值范圍.-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得.在數(shù)軸上表示集合A與集合B，如右圖所示：由圖形可知，.點評：研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關系，得到各端點之間的關系，特別要注意是否含端點的問題.【例4】已知全集，求， ，并比較它們的關系. 解：由，則. 由，則 由，則，.由計算結(jié)果可以知道，.另解：作出Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結(jié)果.點評：可用Venn圖研究與 ，在理解的基礎記住此結(jié)論，有助于今后迅速解決一些集合問題.第4講 §1.1.3 集合的基本運算（二）¤知識要點：1

9、. 含兩個集合的Venn圖有四個區(qū)域，分別對應著這兩個集合運算的結(jié)果. 我們需通過Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運算. 通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì)：,.2. 集合元素個數(shù)公式：.3. 在研究集合問題時，常常用到分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等. 也常由新的定義考查創(chuàng)新思維.¤例題精講：【例1】設集合，若，求實數(shù)的值.解：由于，且，則有：當解得，此時，不合題意，故舍去；當時，解得.不合題意，故舍去；，合題意.所以，.【例2】設集合，求, .（教材P14 B組題2）解：.當時，則，；當時，則，；當時，則，；當且且時，則，.點評：集合A含有參數(shù)

10、a，需要對參數(shù)a進行分情況討論. 羅列參數(shù)a的各種情況時，需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運算結(jié)果的可能而進行分析，不多不少是分類的原則.【例3】設集合A =|， B =|，若AB=B，求實數(shù)的值解：先化簡集合A=. 由AB=B，則BA，可知集合B可為，或為0，或4，或.(i)若B=，則，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，當=1時，B=A，符合題意；當=時，B=0A，也符合題意(iii)若4B，代入得=7或=1，當=1時，已經(jīng)討論，符合題意；當=7時，B=12，4，不符合題意綜上可得，=1或點評：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關系的應用. 通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關系，可以

11、把相關問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學中的化歸思想，是重要數(shù)學思想方法解該題時，特別容易出現(xiàn)的錯誤是遺漏了A=B和B=的情形，從而造成錯誤這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題. 【例4】對集合A與B，若定義，當集合，集合時，有= . （由教材P12 補集定義“集合A相對于全集U的補集為”而拓展）解：根據(jù)題意可知，由定義，則.點評：運用新定義解題是學習能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓練，關鍵是理解定義的實質(zhì)性內(nèi)涵，這里新定義的含義是從A中排除B的元素. 如果再給定全集U，則也相當于.第5講 §1.2.1 函數(shù)的概念¤知識要點：1. 設A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的

12、對應關系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作=，其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain），與x的值對應的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域（range）.2. 設a、b是兩個實數(shù)，且a<b，則：x|axba,b 叫閉區(qū)間； x|a<x<b(a,b) 叫開區(qū)間；x|ax<b， x|a<xb，都叫半開半閉區(qū)間.符號：“”讀“無窮大”；“”讀“負無窮大”；“+”讀“正無窮大”. 則，.3. 決定函數(shù)的三個要素是定義域、值域和對應法則. 當且僅當函數(shù)定義域、對

13、應法則分別相同時，函數(shù)才是同一函數(shù). ¤例題精講：【例1】求下列函數(shù)的定義域： （1）；（2）.解：（1）由，解得且，所以原函數(shù)定義域為.（2）由，解得且，所以原函數(shù)定義域為.【例2】求下列函數(shù)的定義域與值域：（1）； （2）.解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得. 所以原函數(shù)的定義域是.，所以值域為.（2）. 所以原函數(shù)的定義域是R，值域是.【例3】已知函數(shù). 求：（1）的值； （2）的表達式 解：（1）由，解得，所以.（2）設，解得，所以，即.點評：此題解法中突出了換元法的思想. 這類問題的函數(shù)式?jīng)]有直接給出，稱為抽象函數(shù)的研究，常常需要結(jié)合換元法、特值代入、方程思想等.【例4】已

14、知函數(shù).（1）求的值；（2）計算：.解：（1）由.（2）原式點評：對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能使我們實施巧算. 正確探索出前一問的結(jié)論，是解答后一問的關鍵.第6講 §1.2.2 函數(shù)的表示法¤知識要點：1. 函數(shù)有三種表示方法：解析法（用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系，優(yōu)點：簡明，給自變量可求函數(shù)值）；圖象法（用圖象表示兩個變量的對應關系，優(yōu)點：直觀形象，反應變化趨勢）；列表法（列出表格表示兩個變量之間的對應關系，優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值）.2. 分段函數(shù)的表示法與意義（一個函數(shù)，不同范圍的x，對應法則不同）.3. 一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則

15、f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應為從集合A到集合B的一個映射（mapping）記作“”. 判別一個對應是否映射的關鍵：A中任意，B中唯一；對應法則f.¤例題精講：【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_，這個函數(shù)的定義域為_ 解：盒子的高為x，長、寬為，所以體積為V. 又由，解得. 所以，體積V以x為自變量的函數(shù)式是，定義域為.【例2】已知f(x)= ，求ff(0)的值.解： ， f(0)=. 又 >1， f()=()3+(

16、)-3=2+=，即ff(0)=.【例3】畫出下列函數(shù)的圖象：（1）； （教材P26 練習題3）（2）. 解：（1）由絕對值的概念，有.所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.（2），所以，函數(shù)的圖象如右圖所示. 點評：含有絕對值的函數(shù)式，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，當時，寫出的解析式，并作出函數(shù)的圖象. 解：. 函數(shù)圖象如右：點評：解題關鍵是理解符號的概念，抓住分段函數(shù)的對應函數(shù)式.第7講 §1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性¤知識要點：1. 增函數(shù)：設函數(shù)y=f

17、(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasing function）. 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數(shù)的圖象從左向右是下降的（如右圖2）. 由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3. 判斷單調(diào)性的步驟：設x、x給定區(qū)間，且x

18、<x；計算f(x)f(x) 判斷符號下結(jié)論.¤例題精講：【例1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性.解：任取(0,1)，且. 則. 由于，故，即. 所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù). 【例2】求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.解：設任意，且. 則 .若，當時，有，即，從而，即，所以在上單調(diào)遞增. 同理可得在上單調(diào)遞減.【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解：（1），其圖象如右. 由圖可知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在、上是增函數(shù)，在、上是減函數(shù).點評：函數(shù)式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式

19、化為分段函數(shù). 第2小題也可以由偶函數(shù)的對稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對折到左側(cè)，得到的圖象. 由圖象研究單調(diào)性，關鍵在于正確作出函數(shù)圖象.第8講 §1.3.1 函數(shù)最大（?。┲?#164;知識要點：1. 定義最大值：設函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，稱M是函數(shù)的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定義，可以給出最小值（Minimum Value）的定義.2. 配方法：研究二次函數(shù)的最大（?。┲?，先配方成后，當時，函數(shù)取最小值為；當時，函數(shù)取最大值.3. 單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀

20、察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.4. 圖象法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.¤例題精講：【例1】求函數(shù)的最大值.解：配方為，由，得.所以函數(shù)的最大值為8.【例2】某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元售出時，每天可售出100件. 現(xiàn)在他采用提高售出價，減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每件提價1元，其銷售量就要減少10件，問他將售出價定為多少元時，才能使每天所賺得的利潤最大？并求出最大利潤. 解：設他將售出價定為x元，則提高了元，減少了件，所賺得的利潤為.即. 當時，.所以，他將售出價定為14元時，才能使每天所賺得的利潤最大, 最大利潤為360元.【例3】求函數(shù)的最小值. 解：此函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)， 所以當時，函數(shù)的最小值為2.點評：形如的函數(shù)最大值或最小