【新青島版】八年級數(shù)學(xué)上冊專題突破講練：剖析等腰三角形性質(zhì)與判定及多解的應(yīng)用

1、剖析等腰三角形性質(zhì)與判定及多解的應(yīng)用【重點(diǎn)難宜扃錯點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)精通】、等腰三角形的性質(zhì)i性質(zhì):等邊對等角等腰三角形的兩個底角相等注意：是兩底角相等而不是兩個角相等。三線合一等腰三角形的頂角平分線、 底邊上 的中線、底邊上的咼相互重合。注意：說清三條線的位置，不是任意的三 線都重合。2.拓展推論:(1)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半，如圖：/A=2/ 1;(2)等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，如圖:AD 是三角形 ABC 的對稱軸。二、等腰三角形的判定1. 兩邊相等的三角形；2. 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“

2、等角對等邊”) 意：“等角對等邊”必須在同一個三角形中使用。等腰三角形的性質(zhì)與判定有區(qū)別：性質(zhì)是：等邊T等角；。注根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得：/DABMDCB=220，判定是：等角T等邊。三、關(guān)于等腰三角形的多解問題角的多解等腰三角形中至少有兩個角是相等 的，已知一角求另兩個角時，多解。女口： 等腰三角形一個角為 30 度， 求另兩個角的度數(shù)。邊的多解已知邊求周長的問題，或求面積的問 題時，多解。女口：等腰三角形兩條邊分別為 3 和5，求周長?！拒囶}難辭栓題題題經(jīng)典】例題 1 在等腰三角形中，馬彪同學(xué)做了如下研究：已知一個角是60,則另兩個角是唯一確定的（60，60），已知一個角是 90，則另

3、兩個角也是唯一確定的（45，45），已知一個角 是 120，則另兩個角也是唯一確定的（30，30）。由此馬彪同學(xué)得出結(jié)論：在等腰三角形中， 已知一個角的度數(shù)，則另兩個角的度數(shù)也是唯一確定的。馬彪同學(xué)的結(jié)論是 _的。（填“正確”或“錯誤”）解析：分別把已知角看做等腰三角形的頂角和底角，分兩種情況考慮，利用三角形內(nèi)角和是 180度計算即可。如已知一個角是70，當(dāng) 70為頂角時，另外兩個角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為（180 70）十 2=55，當(dāng) 70為底角時，另外一個底角也是 70，頂角是 180 140 =40。答案：錯誤點(diǎn)撥：主要考查了等腰三角形的性質(zhì)。要注意分兩種情況考慮，不要漏掉任何一

4、種情況。的大小是（）例題 2 如圖，已知 O 是四邊形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn),OA=OB=QC/ ABCMADC=70，則/ DAO DCOA. 70 B. 110解析：由已知及四邊形內(nèi)角和知/D. 150DABMDCB=220，由等腰三角形的性質(zhì)知/ OABMOCB=70，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得：/DABMDCB=220，所以即可求得/ DAOMDCO 的度數(shù)。OA=OB=OC/ABCMADC=70, /-ZOABMOBA, /OCBMOBC, /-ZOAB#OCB=70/ZDAOZDCO=22 70=150。故選Db答案：D點(diǎn)撥：利用四邊形內(nèi)角和的定理及等腰三角形的性質(zhì)求解,1.多點(diǎn)共存用

5、幾何作圖的方法尋找滿足條件的多個點(diǎn)是基本找點(diǎn)方法，可以保證不重不漏。但要注意是否符合題目要求，注意理解題目中所要求的點(diǎn)，進(jìn)而有所取舍。2525（0, 6），（ 5，0），（0， 5），（0，），（，0）。68答案：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，畫圖可知，點(diǎn)P 有 8 個，可求的分別為（5，0），（8，0 ），（0,25255），（0, 6），（ 5，0），（0， 5），（0，），（，0）。68故答案為：8; （ 5, 0）（答案不唯一，寫出 8 個中的一個即可）解題時要將二者有機(jī)地結(jié)合在一起。拓展 如圖，在直角坐標(biāo)系中，O 是原點(diǎn)，已知A（ 4，3）, P 是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以 O, A，P三點(diǎn)組成

6、的三角形為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P 共有個，寫出其中一個點(diǎn)P 的坐標(biāo)5，0）， （8，0）， （0，5） ，O解析：2.運(yùn)動中形成等腰三角形在點(diǎn)的運(yùn)動中尋找滿足條件的等腰三角形，應(yīng)充分理解運(yùn)動變化對于圖形形狀的影響，同時對 動點(diǎn)運(yùn)動時相關(guān)線段、圖形大小的變化情況要清楚，這些對于今后學(xué)習(xí)函數(shù)中的運(yùn)動問題非常有幫 助。拓展 如圖，/ AOB=60 , C 是 B0 延長線上的一點(diǎn)，OC=10cm 動點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CB 以 2cm/s的速度移動，動點(diǎn) Q 從點(diǎn) 0 出發(fā)沿 0A 以 1cm/s 的速度移動，如果點(diǎn) P、Q 同時出發(fā)，用 t (s)表示CO 的延長線上時。分別列式計算即

7、可求。(1) 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 0C 上時，設(shè) t 時后 POQ 是等腰三角形，有 OP=OGCP=OQ 即 10-2x=x,解得，x=10s ; ( 2)當(dāng)點(diǎn) P 在 CO 的延長線上時，此時經(jīng)過 CO 時的時間已用了 5s，有 OQ=OP 即 23答案：10s 或 10s3(答題時間：45 分鐘)、選擇題1.如圖所示，ABC 中，/ ABC=50 , / ACB=80 ,延長 CB 至 D,使 DB=BA 延長 BC 至 E 使 CE=CA連接 AD, AE,則/ DAE=()條邊等于(*3.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為25，則該三角形的一個底角為()解析：根據(jù)等腰三角形的判定，

8、分兩種情況討論:(1)當(dāng)點(diǎn) P 在線段 0C 上時；(2)當(dāng)點(diǎn) P 在(x 5) =x，解得,x=10s,故填A(yù). 100D. 125A. 7 cmB. 2cm 或 7cm C. 5cmD. 2cm 或 5cm移動的時間，當(dāng) t=2.等腰三角形，則AB C中一定有*4.如圖，在厶 ABC 中，AB=AC 點(diǎn) D、E 在 BC 上，連接 AD AE,如果只添加一個條件使/ DABMEAC 則添加的條件不能為（）140、 20二、填空題*7.如圖，做如下操作：在等腰三角形ABC 中，AB=AC AD 平分/ BAC 交 BC 于點(diǎn) 0 將厶 ABD 做關(guān)于直線 AD 的軸對稱變換，所得的像與 AC

9、D 重合。對于下列結(jié)論：在同一個三角形中，等角對 等邊；在同一個三角形中，等邊對等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重 合。由上述操作可得出的正確結(jié)論是 _（將正確結(jié)論的序號都填上）。A. 32.5B. 57.5C. 65 或 57.5D. 32.5 或 57.5A. BD=CEB. AD=AEC. DA=DED. BE=CD*5. 如圖，在 ABC 中，D、E 兩點(diǎn)分別在 AC BC 上，貝 U AB=AC CD=DE 若/ A=40，/ ABD/ DBC=3 4，則/ BDE=()A. 25B. 30D. 40*6.如圖，在 ABC 中，/ BAC=120，/ B=40，若將

10、 ABC 分割成兩個等腰三角形,則這兩個等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是（A. 100 、140 或 100、20C. 100 、 20D.EoC. 35)B. 100 、 140*8.如圖鋼架中，焊上等長的13 根鋼條來加固鋼架，若AP=PIP2=P2P3=PI3PI4=PI4A,則/A的度數(shù)是_ 。*9. 如圖，已知/ BADMDAC=9 , ADLAE 且 AB+AC=BE 則/ B=_三、解答題*10.已知：如圖，在 ABC 中，AB=AC D 為 BC 上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) D 作 DPI BC 分別交 BA CABC 上運(yùn)動（D 不與 B、C 重合），連接 AD 作/ ADE=40 , D

11、E 交線段 AC 于 E。（1）_當(dāng)/ BDA=115 時，/ BAD= ;點(diǎn) D 從 B 向 C 運(yùn)動時，/ BDA 逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng) DC 等于多少時， ABDADCE 請說明理由；（3）在點(diǎn) D 的運(yùn)動過程中， ADE 的形狀也在改變，判斷當(dāng)/ BDA 等于多少度時， ADE 是等 腰三角形。*12. 如圖（1），在 ABC 中，AB=AC / A=36。（ 1）直接寫出/ ABC 的度數(shù)；（2）如圖（2）, BD 是厶 ABC 中/ ABC 的平分線。找出圖中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并選其中一個寫出推理過程；在直線 BC 上是否存在點(diǎn)卩，使厶 CDP

12、 是以 CD 為一腰的等腰三角形？如果存在，請在圖（3）中畫出滿足條件的所有的點(diǎn)P,并直接寫出相應(yīng)的/ CPD 的度數(shù)；如果不存在，請說明理由。（1）求證：/ ABE2DAC*13. 已知： 在銳角ABC 中，AB=AC D 為底邊BC 上一點(diǎn)，E 為線段 AD 上一點(diǎn),/ BEDMBAC=ZDEC 連接 CE=斗 LD圉（1）圖（2）圖（3）（2）若/ BAC=60，試判斷 BD 與 CD 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若/ BAC=a，那么（2）中的結(jié)論是否還成立。若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由。9. 48解析：延長 BA 到 F,使 AF=AC 連接 EF,如圖所示:

13、1. C 解析：/ DB=BAZABC=50 ,/-ZD=ZDAB=25 , / DB=BAZACB=8 0 ,/-ZE=ZEAC=4 0 , /BAC=180 50 80 =50 ,/ZDAEZDAB-ZEAC-ZBAC=25 +40 +50 =115。故選 G2. D解析：（1）在等腰 ABC 中，若 BC=8cm 為底邊，根據(jù)三角形周長計算公式可得腰長魚辺=5 術(shù)；（2）在等腰 ABC 中，若 BC=8cm 為腰，根據(jù)三角形周長計算公式可得底邊長18 22X8=2cm,/ ABCAABAB。與厶 ABC的邊長及腰長相等，即AB C中一定有一條邊等于 2cm 或 5cm。故選3. D 解析

14、：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時底角是57.5。，當(dāng)高在三角形外部時底角是32.5 ，故選 D。4. C 解析：A.添加 BD=CE 可以利用“邊角邊”證明 ABD 和厶 ACE 全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到ZDABZEAC 故本選項(xiàng)錯誤；B.添加 AD=AE 根據(jù)等邊對等角可得ZADEZAED然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出ZDABZEAC 故本選項(xiàng)錯誤；C.添 加 DA=DE無法求出ZDABZEAC 故本選項(xiàng)正確； D.添加 BE=CD 可以利用“邊角邊”證明厶 ABE 和 ACD 全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得到ZDABZEAC 故本選項(xiàng)錯誤。故選C。5.B 解析

15、：/ AB=AC , CD=D E/ZC=ZDECZABC , AB/ DE ,vZA=40 ,/ZC=18-40ZDECZABC=70, vZABDZDBC=3 4,/設(shè)ZABD 為 3x, ZDBC 為 4x，/3x+4x=70,2x=10,vAB/ DE/ZBDEZABD=30。故選B。6. A 解析：分兩種情況：如圖1,把 120的角分為 100和 20,則厶 ABD 與厶 ACD 都是等腰三角形，其頂角的度數(shù)分別是 100, 140;如圖 2,把 120的角分為 40和 80,則厶 ABD 與厶 ACD 都是等腰三角形，其頂角的度數(shù)分別是100, 20。故選 Ao7. 解析：操作過程

16、中沒有體現(xiàn)角相等，邊就相等，故不符合；因?yàn)锳B=AC 操作之后得到ZB與ZC重合，即等邊對等角，故符合；根據(jù)所得的圖像與ACD 重合，所以 ADL BC BD=CD又 AD 平分ZBAC 所以符合。故操作可以得出的正確結(jié)論是。8.12 解析： 設(shè)ZA=x ,vAR=P1P2=P2R=P13P14=P14A ,/ZA=ZAPzPpZAPP/x ,/ZP2P1P3=ZP13P14P12=2X,/ZP3卩2卩4=ZP12P13P11=3x,ZP7卩6卩8=ZP8RPT=7X, -ZAPTR=7X,ZAF8F7=7x，在 AP7F8中，ZA+ZAP7F8+ZAP6PT=180,即 x+7x+7x=18

17、0 ,解得 x=12 ,即ZA=12。/B/ AB+AC=B， AB+AF=B,即 BF=BE:丄F=ZBEF=180, v/BAD/DAC=9,ADLAE2即/DAE=90 , / FAE=180 -(/ BAD/ DAE =180-( 9 +90) =81 ,/ CAE/ DAE- / DAC=90 9 =81 ,FAEK CAE 在厶 AFE 和厶 ACE 中，/AF=AC/FAE=/CAE AE= AEAFEAACE( SAS, /F=/ ACE 又v/ACE ABC 的外角，/ ACE/ B+/ BAC/ B+18, / F=/ B+18 ,/ B / B+18 =180-,則/ B

18、=48O210.證明：如圖，過點(diǎn) A 作 AMLBC 于點(diǎn) M,作 ANLDQ 于點(diǎn) N, 四邊形 AMD 為矩形。 AM=DOvDPI BC, /B+/P=90O/ C+/DQC=90。又v/C=/B,/DQC/PQA/AQM/P。AQP為等腰三角形。 PN=QN DP+DQ=DN+NBQ=DN+NQ+DQ=2A 即 DP+DQ 是定值。11.解：（1）/ BAD=180 / ABD- / BDA=180 40 115 =25 ;從圖中可以得知，點(diǎn)D從 B 向 C 運(yùn)動時，/ BDA 逐漸變小；故答案為：25;小。(2)當(dāng)厶 ABDADCE 時。DC=ABvAB=2 DC=2 當(dāng) DC 等于

19、 2 時, ABDADCE(3)vAB=AC / B=/ C=40 ,當(dāng) AD=AE 時,/ ADE/ AED=40 ,v/AED/ C, 此時1不符合；當(dāng) DA=DE 時，即/ DAEdDEA=(180 40) =70,2/ BAC=180 40 40 =100, / BAD=100 70 =30;./ BDA=180 30 40 =110;當(dāng) EA=ED 寸，/ ADE/ DAE=40 , / BAD=100 40 =60, / BDA=180 60 40=80;A當(dāng)/ ADB=110 或 80時， ADE 是等腰三角形。180 Q N A 180 Q 36 12.- 解：(1)vAB=A

20、C/ A=36 ,A/ABC=-=72; (2)如圖(2),2 2 ADB BCD 是等腰三角形。說明 ADB 是等腰三角形，理由如下：由(1)得/ ABC=72，又TBD1是/ ABC 的平分線，/ ABD= / ABC=36，又T/A=36,A/A=/ ABD 二 AD=BD 即厶 ADB 是等21腰三角形。若說明 BCD 是等腰三角形，理由為：T/A=36 , AB=AC /C=/ ABC= (180 2136) =72，又TBD是/ABC 的平分線，/DBC/ABC=36 , / BDC=180 / C/DBC=180272 36 =72, /C=/ BDC - BD=BC 即厶 BCD 是等腰三角形。