計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)ppt課件

1、第七章 數(shù)字控制器的 狀態(tài)空間設(shè)計(jì)方法q 7.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述及線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間q 7.2 線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性 q 7.3 狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)法 q 7.4 輸出反饋設(shè)計(jì)法q 7.5 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì) 7.1 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述及線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)和狀態(tài)變量 狀態(tài)向量 狀態(tài)空間 狀態(tài)方程和輸出方程 狀態(tài)空間描述 線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立 狀態(tài)和狀態(tài)變量狀態(tài)和狀態(tài)變量 描述動力學(xué)系統(tǒng)在時間域內(nèi)的動態(tài)行為或運(yùn)動信息的集合稱為系統(tǒng)的狀態(tài)。能夠完全描述系統(tǒng)的所用的相對獨(dú)立且數(shù)目最少的一組狀態(tài)，稱為狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量的選取具有不唯一性

2、，只要被選取的狀態(tài)之間相互獨(dú)立即可，但狀態(tài)變量中包含的狀態(tài)的個數(shù)卻是唯一的。 一般意義上講，所選取的狀態(tài)變量可以具有物理意義，也可以只具有數(shù)學(xué)上的意義，但在工程實(shí)踐中，往往選取容易測量的量作為狀態(tài)變量以便實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。狀態(tài)向量 如果完全描述一個給定系統(tǒng)的動態(tài)行為需要n個狀態(tài)變量，那么可將這些狀態(tài)變量看作是向量的各個分量，即 則x(t)稱為n維狀態(tài)向量。通常意義上的狀態(tài)是指狀態(tài)變量或狀態(tài)向量。 Tntxtxtxt)()()()(21x狀態(tài)空間狀態(tài)空間 以n維狀態(tài)變量的各個分量作為基底所形成的n維空間叫做狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)都可用狀態(tài)空間中的一個點(diǎn)來表示。 狀態(tài)方程和輸出方程狀態(tài)方程和輸

3、出方程 在狀態(tài)空間分析方法中，用三種變量來描述一個系統(tǒng)：即輸入變量、狀態(tài)變量、輸出變量。連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階微分方程組表示輸出方程的一般形式為 離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常用一階差分方程組表示 輸出方程的一般形式為 0( ) ( ),( ), ;()tftttx txxu),(),()(tttgtuxy)0(;),(),() 1(xkkkfkuxx),(),()(kkkgkuxy狀態(tài)空間描述 用狀態(tài)方程和輸出方程來描述系統(tǒng)的方法稱為狀態(tài)空間描述。狀態(tài)方程和輸出方程也被統(tǒng)稱為動態(tài)方程。對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，其動態(tài)方程可以表示為對于線性定常離散系統(tǒng)，其動態(tài)方程可以表示為 )();()()(0tx

4、tBtAtCCuxx)()()(tDtCtCCuxy)0();()() 1(xkBkAkuxx)()()(kDkCkuxy線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立 給定如下的單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)的差分方程 式中，k表示kT時刻；T為采樣周期;y(k)，u(k)分別為kT時刻的輸出量和輸入量 ,可以如下選取狀態(tài)變量 )()() 1() 1()(0011kubkyakyankyankyn)()(1kykx) 1()(2kykx) 1()(nkykxn可得如下所示的動態(tài)方程 )() 1(21kxkx)() 1(32kxkx)() 1(1kxkxnn)()()()() 1(012110kubkxa

5、kxakxakxnnn)()(1kxky線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立寫成向量矩陣形式為 式中，A為友矩陣；A, B為能控標(biāo)準(zhǔn)型；D為零矩陣。 )(000)()()()(100001000010) 1() 1() 1() 1(01211210121kubkxkxkxkxaaaakxkxkxkxnnnnn)(001)(kkxy線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立離散動態(tài)方程與離散動態(tài)方程與脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系 給出了脈沖傳遞函數(shù)，可以用不同形式的狀態(tài)方程和輸出方程表示；同樣，給出了狀態(tài)方程和輸出方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)或脈沖傳遞矩陣 。線性定常離散系統(tǒng)的動態(tài)方程 對上

6、面方程兩端求z變換零初始狀態(tài)下），可得即因此，系統(tǒng)的脈沖傳遞矩陣為)()()()()() 1(kDkCkkBkAkuxyuxx1( )( )X zzIABU z)()()(zDUzCXzY)()()()(1zDUzBUAzICzYDBAzICzG1)()(7.2 線性定常離散系統(tǒng)的 能控性和能觀性q 線性定常離散系統(tǒng)的能控性 q 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性 q 對偶原理 q 系統(tǒng)狀態(tài)能控性、能觀性的其它特性q 輸出能控性1. 線性定常離散系統(tǒng)的能控性對于n階線性定常離散系統(tǒng) 若存在有限個輸入向量序列能將某個初始狀態(tài)在第 l 步控制到零狀態(tài)，則稱此狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系

7、統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的。 由上式描述的線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性矩陣行滿秩。 例7.1 例7.2 0()( )( ); (0)klAkBkxxxxu1BAABBWnc2. 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性對于線性定常離散系統(tǒng) 若已知輸入序列和有限個采樣瞬間測量到的輸出序列，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的，或簡稱能觀測。 由上式描述的線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀測性矩陣滿秩。 例7.3 )()()()()() 1(kkCkkBkAkDuxyuxx1noCACACW 3. 對偶原理給定線性定常離散系統(tǒng)S1、S2的狀

8、態(tài)空間表達(dá)式分別為 S1 S2設(shè)S1=(A,B,C)、S2=(AT, CT, BT)是互為對偶的兩個系統(tǒng)，則S1的能控性等價于S2的能觀測性；S1的能觀測性等價于S2的能控性?；蛘哒f，若S1是狀態(tài)完全能控的(完全能測觀的)，則S2是狀態(tài)完全能觀測的(完全能控的)。)()()()()() 1(kDkCkkBkAkuxyuxx)()()()()() 1(*kDkBkkCkAkTTTuxyuxx4. 系統(tǒng)狀態(tài)能控性、能觀性的其它特性 非奇異相似變換不改變系統(tǒng)的能控性 非奇異變換不改變系統(tǒng)的能觀性 離散系統(tǒng)狀態(tài)能控性、能觀性與脈沖傳遞函數(shù)的關(guān)系 單輸入單輸出線性定常離散系統(tǒng)完全能控和完全能觀的充分必要

9、條件是脈沖傳遞函數(shù)不存在著零、極點(diǎn)相消。如果存在著零、極點(diǎn)相消，系統(tǒng)或者是不完全能控，或者是不完全能觀，或者既不完全能控又不完全能觀。 例7.4 5. 輸出能控性對于n階線性定常離散系統(tǒng)，輸入向量為r維，輸出向量為m維若存在有限個輸入向量序列能將系統(tǒng)輸出從某個初始狀態(tài)在第q步控制到任意最終輸出，則稱此系統(tǒng)是輸出完全能控的，簡稱輸出能控。由上式描述的線性定常離散系統(tǒng)輸出能控的充要條件是輸出能控性矩陣行滿秩 。 )()() 1(kBkAkuxx)()()(kDkCkuxyBCACABCBDWns1 7.3 狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)法 控制系統(tǒng)的品質(zhì)好壞主要取決于系統(tǒng)的極點(diǎn)在z平面上的位置。因此，在對系統(tǒng)進(jìn)行綜

10、合設(shè)計(jì)時，往往是給出一組期望的極點(diǎn)，或者根據(jù)時域指標(biāo)提出一組期望的極點(diǎn)。所謂極點(diǎn)配置問題就是通過對反饋增益矩陣的設(shè)計(jì)，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)恰好處于z平面上所期望的位置，以獲得期望的動態(tài)特性。這種方法可以看作是對經(jīng)典控制理論中的根軌跡法的擴(kuò)展。 基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng)極點(diǎn)配置方法 多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)法 1.基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點(diǎn)配置方法被控系統(tǒng)如圖7.3所示 ，其狀態(tài)方程為 式中x(k)為k時刻的n維狀態(tài)向量；u(k)為k采樣時刻的控制信號；A為nn維矩陣；B為n1維列向量。0(1)( )( ); (0)kAkBu kxxxx圖7.3 被控對象結(jié)構(gòu)圖采用如下形式的狀態(tài)反饋式中，K為狀態(tài)

11、反饋增益矩陣，v(k)為參考輸入。將其代入狀態(tài)方程中構(gòu)成如圖7.4的閉環(huán)系統(tǒng)。 )()()(kvkKkux圖7.4 狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng) 基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點(diǎn)配置方法經(jīng)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)可以表述為若系統(tǒng)(A, B)是完全能控 ，則采用上述狀態(tài)反饋得到的閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)可以任意配置。不妨假設(shè)它已是能控標(biāo)準(zhǔn)型 ( 若不是，可通過非奇異非線性變換轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準(zhǔn)型 ) 。 (1)() ( )( )kABKkBv kxx01210100000100;000101nABaaaa 基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點(diǎn)配置方法經(jīng)過狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣和輸入矩陣分別為 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為011223101

12、0000100001nnA BKaka kakak 0001B111201( )()()()() 0nnnnf zzIA BKzak zak zak 基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點(diǎn)配置方法設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點(diǎn)為則系統(tǒng)的期望特征方程為令上兩式中的各項(xiàng)次冪系數(shù)對應(yīng)相等，即即可得到狀態(tài)反饋增益矩陣 K。例7.5 *2*1,nzzz*12*1*1212( )()()()( 1)()( 1)0nnnnnnfzzzzzzzzzzzzz zz *2*110*2*11) 1( )(1(nnnnnzzzkazzzka 基于狀態(tài)反饋的單輸入系統(tǒng) 極點(diǎn)配置方法2. 多輸入系統(tǒng)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)法 至少有一路輸入可使系統(tǒng)是

13、完全能控 在這種情況下，只需單獨(dú)使用該輸入實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。方法同前面所述單輸入系統(tǒng)的狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)法基本一樣。 例7.6 針對任意單獨(dú)輸入系統(tǒng)不完全能控 若一多輸入系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，但針對任意單獨(dú)輸入系統(tǒng)不完全能控，此時，可將各輸入看成是某單一輸入信號的線性分解，則原多輸入系統(tǒng)等價成某一單輸入系統(tǒng)。例7.7 7.4 輸出反饋設(shè)計(jì)法假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 采用如圖7.5所示輸出反饋，引入?yún)⒖驾斎?其中H為輸出反饋增益矩陣。 )()() 1(kBkAkuxx)()(kCkxy( )( )( )kHkkvyu圖7.5 多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出反饋輸出反饋設(shè)計(jì)法閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的

14、期望極點(diǎn)為 則系統(tǒng)的期望特征方程為 令上兩式中z各次冪項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)相等，即可求得輸出反饋系數(shù)矩陣H。 (1)( ) ( )( ) () ( )( )kAkBkHCkABHCkBkxxvxxv( )()0f zzIABHC*2*1,nzzz*12*1* *1212( )()()()( 1)()( 1)0nnnnnnfzzzzzzzzzzz zz zz 7.5 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì) 利用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，需要利用系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量。然而系統(tǒng)的狀態(tài)變量并不都是能夠易于用物理方法量測出來的，有些根本就無法量測；甚至一些中間變量根本就沒有常規(guī)的物理意義。此種情況下要在工程上實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，就需要對系

15、統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，即構(gòu)造狀態(tài)觀測器。 全維狀態(tài)觀測器 降維狀態(tài)觀測器 1. 全維狀態(tài)觀測器1） 當(dāng)對象的所有狀態(tài)均不可直接量測時，若要進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，就需對全部狀態(tài)變量進(jìn)行觀測。這時構(gòu)造的狀態(tài)觀測器，其階次與對象的階次相同，被稱為全維狀態(tài)觀測器。考慮如下 n 階單輸出線性定常離散系統(tǒng)A為nn維系統(tǒng)矩陣， B為nr輸入矩陣，C為1n維輸出矩陣。)()()()() 1(kCkykBkAkxuxx圖7.6 全維狀態(tài)觀測器全維狀態(tài)觀測器2）構(gòu)造一個與受控系統(tǒng)具有相同參數(shù)的動態(tài)系統(tǒng) 當(dāng)兩系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致時，則兩個系統(tǒng)未來任意時刻的狀態(tài)也應(yīng)完全相同。但在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時，不可能保證二者初始狀態(tài)完全相同。

16、為此，應(yīng)引入兩個系統(tǒng)狀態(tài)誤差反饋信號構(gòu)成狀態(tài)誤差閉環(huán)系統(tǒng)，通過極點(diǎn)配置使誤差系統(tǒng)的狀態(tài)漸趨于零。由于原受控系統(tǒng)狀態(tài)不可直接量測，故用二個系統(tǒng)的輸出誤差信號代替。 )( )( )()( ) 1( kCkykBkAkxuxx全維狀態(tài)觀測器3）引入了輸出誤差的狀態(tài)觀測器狀態(tài)方程為 其中，H為狀態(tài)觀測器的輸出誤差反饋系數(shù)矩陣,有如下形式定義狀態(tài)估計(jì)誤差為 )()()()()()()()()( )()()()1(kHykBkHCAkHCkHykBkAkykyHkBkAkuxxuxuxxTnhhhH21)( )()(kkkxxx全維狀態(tài)觀測器4）由前述可得即 若選擇合適的輸出誤差反饋矩陣H使得狀態(tài)估計(jì)誤差

17、系統(tǒng)的所有極點(diǎn)均位于z平面單位圓內(nèi)，則誤差可在有限拍內(nèi)趨于零，即狀態(tài)估計(jì)值在有限拍內(nèi)可以跟蹤上真實(shí)狀態(tài)，且極點(diǎn)越靠近單位圓狀態(tài)估計(jì)誤差趨于零的速度越快，反之越慢。 )( )()( )()()( )()()() 1( ) 1(kkHCAkHykBkHCAkBkAkkxxuxuxxx)()() 1(kHCAkxx全維狀態(tài)觀測器5）若指定狀態(tài)觀測器的特征值為 即期望的特征方程為 狀態(tài)觀測器的特征多項(xiàng)式為 比較兩式兩邊z各次冪項(xiàng)的系數(shù)可得到一個n元方程組，可求得輸出誤差反饋系數(shù)矩陣H。例7.8*2*1,nzzz*12*1*1212( )()()()( 1)()( 1)0onnnnnnfzzzzzzzz

18、zzzzz zz 0)()(HCAzIzfo 2. 降維狀態(tài)觀測器1） 已知n維系統(tǒng)是能觀測的，其輸出矩陣的秩是m，則說明系統(tǒng)狀態(tài)有m個是可以直接觀測的，不需要對系統(tǒng)的n個狀態(tài)全部進(jìn)行觀測，而只需對另外n-m個狀態(tài)進(jìn)行觀測即可。即可用n-m維狀態(tài)觀測器代替全維狀態(tài)觀測器。這種維數(shù)低于被控系統(tǒng)狀態(tài)向量的觀測器稱為降維觀測器。 單輸入多輸出系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計(jì) 已知n維線性定常離散系統(tǒng)(A，b，C)能觀測其中，x(k)為n維狀態(tài)向量，y(k)為m維輸出列向量。 )()()()() 1(kCkkbukAkxyxx降維狀態(tài)觀測器2） 先將狀態(tài)x(k)分解成兩部分：可直接測量部分x2(k)(m1維)；不

19、能直接測量需重構(gòu)部分x1(k)（(n-m)1維）。即其中A11為(n-m)(n-m)維；A12為(n-m)m維；A21為m(n-m)維；A22為m(n-m)維；b1為(n-m)1維; b2為m1維。為了用可直接觀測的x2(k)估計(jì)不可直接觀測的x1(k) ，引入一個虛擬輸出)()()() 1() 1() 1(21212221121121kubbkkAAAAkkkxxxxx)()(0)(21kkIkxxy)()() 1()()(22222121kubkAkkAkxxxz降維狀態(tài)觀測器3） 觀測器模型結(jié)構(gòu)觀測器模型結(jié)構(gòu) 整個系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器實(shí)際上相當(dāng)于全維觀測器的整個系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器實(shí)際上相當(dāng)于全維觀測器的子系統(tǒng)。因此采用與全維觀測器相同的輸出誤差反饋思子系統(tǒng)。因此采用與全維觀測器相同的輸出誤差反饋思想，構(gòu)造降維觀測器，其結(jié)構(gòu)如圖想，構(gòu)造降維觀測器，其結(jié)構(gòu)如圖7.7所示。所示。 圖7.7 降維狀態(tài)觀測器結(jié)構(gòu)降維狀態(tài)觀測器4）觀測器方程為 令觀測器狀態(tài)誤差為 同全維觀