江蘇大學常微分方程教案

1、 1.1 引言教學內(nèi)容 1. 介紹方程基本問題; 2.介紹代數(shù)方程組基本問題; 3. 引入物理、生態(tài)中微分方程模型及其關(guān)心的問題; 4. 介紹本課程基本問題及其內(nèi)容安排和考核目標. 教學重難點 重點是知道微分方程基本問題，難點是如何根據(jù)實際問題建微分方程模型. 教學方法 自學1、2、講授3、4，課堂練習 考核目標 1. 會求解一元二次方程; 會求出一元三次方程所有有理根; 2. 會求出線性齊次代數(shù)方程組基本解系; 3. 會用微元法和導數(shù)的物理和幾何意義建立微分方程模型. 1. 代數(shù)方程的相關(guān)準備: 例1. (1) 求解，, 解得.例2. 考察，假設參數(shù)可以變動，則時，方程有兩個實根，時，方程沒

2、有實根，時，方程恰有一個實根，因此是一個分支點，參數(shù)由正變動到零再到負數(shù)時，方程根的個數(shù)發(fā)生了變化；而就不是一個分支點。例3. 如何不通過求解，其中來獲得解的實根個數(shù)及其符號？設為方程兩個根，則，于是得到，再結(jié)合符號.即可 作業(yè)：1. 在平面上畫出不同點下，方程根分布.例4. 求解 -6+11 x-6 x2+x3 = 0 , 根據(jù)高等代數(shù)P32定理12, 進行如下試解. 系數(shù)為1，常系數(shù)為-6,于是有理根候選點為，經(jīng)代入驗證得到， (x-3) (x-2) (x-1)0. 例5. 求解 -2+x2+x30 , 如果能找到一個有理根，則可轉(zhuǎn)化為一元二次方程。根據(jù)高等代數(shù)P32定理12, 進行如下試

3、解. 系數(shù)為1，常系數(shù)為-2于是有理根候選點為，經(jīng)驗證1為方程一個根；再由輾轉(zhuǎn)相除法得到 -2+x2+x3 = (x-1)(x2+2x+2)于是得到方程的根為. 作業(yè)：2. (1) 求解 2+4 x+3 x2+x30. (2) 求解方程 -2+7 x-7 x2+2 x30.思考：如何求解方程2 p-2 x-p x2+x30，如何獲得方程實根個數(shù)，如何得到實根近似值？思路：1. 一元三次方程的卡當公式、盛金公式(一元五次方程呢？)幾何方法： 2. 數(shù)值方法：二分法、牛頓切線法2. 線性代數(shù)方程組的相關(guān)準備：例6. 求解線性非齊次代數(shù)方程組 -1+x+5 y=0， -2+2 x+y=0.解：改寫為

4、 ，系數(shù)行列式 A= ，. 由克萊姆法則（參見高等代數(shù)P83定理4）得到.練習：3. 求解代數(shù)方程組 -1+2 x+3 y=0， -2+3 x+y=0.例7. 求解線性齊次代數(shù)方程組 x+2 y+z=0, 2 x+y-z=0, 2 x+4 y+2 z=0. 解：改寫為，再由初等行變換（參見高等代數(shù)P111定理1及例題）可得，方程組基礎解系為，而方程組通解為任意常數(shù). 例8. 求出矩陣 A= 的特征值和相應的特征向量，并求出.解：A的特征多項式為，于是特征值為。（參見高等代數(shù)P298定義及例題）當時，求解，解得基礎解系為；當時，求解，解得基礎解系為.改寫為，再次用分塊矩陣改寫為. 記，于是，或.

5、 ，（伴隨矩陣和逆矩陣參見高等代數(shù)P176定義9和定理3），. 練習4. 求出矩陣 A= 的特征值和相應的特征向量，并求出.練習5. 討論參數(shù)a,b取何值時，方程組有解，并求出解來？（參見高等代數(shù)第三章習題17（3）思考：考察線性非齊次代數(shù)方程組，其中為10000個未知數(shù)構(gòu)成向量，為10000階方陣，如何求解？高斯消元法，初等行變換解法可行嗎？ 數(shù)值上采用迭代法求解方法。例9. 關(guān)于非線性代數(shù)方程組 解的個數(shù)？（參見高等代數(shù)P150定理10和例題）小結(jié)： 代數(shù)方程基本問題：方程根的求解、根個數(shù)定性分析、根的數(shù)值求解3. 微分方程模型 導數(shù)的物理意義是瞬時變化率，或速度，幾何意義是平面曲線上點的

6、切線斜率（參見數(shù)學分析上P87），二階導數(shù)就是速度的變化率，也就是加速度. 由牛頓運動定律知，物體運動的加速度等于所受的合力，即，其中分別表示物體質(zhì)量、位置和合力，運動的加速度。建模所用方法：例10. 求一曲線的方程，使得它的切線介于坐標軸間的部分被切點分成相等的兩段. 解：設曲線為, 則曲線每一點處切線的斜率為，于是切線方程為，其中為切線上點坐標. 由切線方程可得切線L與坐標軸交點坐標分別為和.由切點為A和B的中點知，. 化簡得到. 所求曲線的方程為 . 作業(yè) 6. P28 習題8(3) 例11. 牛頓冷卻定律：在一定溫度范圍內(nèi)，一個物體溫度變化率與這個物體與其所在環(huán)境介質(zhì)溫度的差值成比例。

7、（生活經(jīng)驗：夏天開水冷卻得慢，冬天開水冷卻得快）現(xiàn)從冰箱拿出一塊冷凍牛肉放置在室溫(=20 )下解凍，5分鐘后測定牛肉溫度為，請寫出該塊牛肉溫度隨時間變化的規(guī)律，并討論當t趨于無窮時，T的變化趨勢. 解：設表示時刻t牛肉的溫度，則. 由牛頓冷卻定律知，為冷卻系數(shù). 這說明當外部時，T是上升的，而當，T是下降的. 作業(yè)：7. 設某社會的總?cè)丝跒镹，當時流行一種傳染病，得病人數(shù)為x. 假設該傳染病傳染率與得病人數(shù)和未得病人數(shù)的乘積成比例。試寫出得病人數(shù)隨時間變化的規(guī)律，并討論當t趨于無窮時，x的變化趨勢.例12. 設有高為H米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為S米. 在開始時，容

8、器裝滿水，試建立容器內(nèi)水面高度h隨時間變化的規(guī)律，并求出水流完所需時間.解：設自變量為時間t，容器內(nèi)水面高度為h，容器最低點為原點，向上為h軸正向，如上圖建立坐標系. 現(xiàn)用微元法建立h(t)所滿足的微分方程. 設在t到時間內(nèi)水面高度從h變化到h+, 這里, 此時水體積改變量. 另一方面，假定在t到時間內(nèi)流出水的速率不變?yōu)?，則，這里添加符號，是由于. 再由能量守恒定律知，流出水的動能增加等于容器水勢能減少，設水的密度為,則，即. 綜上知，令得到.化簡得到改寫上述導數(shù)為微分形式有 ，兩邊積分得到，其中c為積分常數(shù). 注意到h(0)=H，定出c=. 這里求出是h=h(t)的反函數(shù)t=t(h), 于是令h=0，得到水流完時間. 作業(yè)8. 設有高為H米的圓柱形水桶，水桶底面積為A米, 水從它的底部小孔流出，小孔的橫截面積為S米. 在開始時，水桶裝滿水，試建立水桶內(nèi)水面高度h隨時間變化的規(guī)律，并求出水流完所需時間.4. 常微分方程基本問題與課程內(nèi)容基本問題：（1）如何根據(jù)具體自然科學和工程技術(shù)問題，建立反映所研究變量與變量滿足的微分方程（組）？（2）