雙線性函數(shù)及其應(yīng)用

1、本科生畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))題 目： 雙線性函數(shù)及其應(yīng)用專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號(hào): 學(xué)生姓名： 目 錄摘要關(guān)鍵詞1AbstractKey words1前言21 常用的歐式空間12 雙線性函數(shù)22.1 線性函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)2 2.1.1 線性函數(shù)的定義2 2.1.2 線性空間的性質(zhì)3 2.1.3 對(duì)偶基32.2 雙線性函數(shù)的內(nèi)容及性質(zhì)32.2.1 雙線性函數(shù)的性質(zhì)32.2.2 雙線性函數(shù)的內(nèi)容33 雙線性函數(shù)在不同基下的矩陣4 3.1 雙線性函數(shù)在不同基下的矩陣之間的關(guān)系43.2 相同基下，不同的雙線性函數(shù)所對(duì)應(yīng)的矩陣54 雙線性函數(shù)與辛空間及對(duì)偶空間64.1雙線性函數(shù)與辛空間74.2雙線性函數(shù)與

2、對(duì)偶空間 105雙線性函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域 136 結(jié)束語(yǔ) 14參考文獻(xiàn) 14致謝 1ii雙線性函數(shù)及其應(yīng)用雙線性函數(shù)及其應(yīng)用 摘要：在以往的密碼學(xué)研究當(dāng)中,雙線性配對(duì)函數(shù)(Weil配對(duì)和Tate配對(duì))通常被用在密碼分析學(xué)中:通過(guò)使用配對(duì)函數(shù),可以將某些橢圓曲線上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題約減到有限域上的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題。 近些年來(lái),密碼學(xué)家發(fā)現(xiàn),如果對(duì)配對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)母膭?dòng),并應(yīng)用在某些適宜的橢圓曲線上,就可以構(gòu)造出低帶寬的、可證明平安的(provable secure)、基于雙線性配對(duì)函數(shù)的加密、簽名和密鑰協(xié)商等協(xié)議。這些突破性的工作為密碼協(xié)議的構(gòu)造開辟了新的思路:由于雙線性配對(duì)函數(shù)所具有的特性,可以用來(lái)設(shè)計(jì)一

3、些具有特殊性質(zhì)的密碼協(xié)議,這些協(xié)議一般很難用其他方法實(shí)現(xiàn),或者即使可以實(shí)現(xiàn),其效率也沒(méi)有基于雙線性配對(duì)函數(shù)的高。例如短簽名、三方一輪的密鑰協(xié)商協(xié)議、基于身份的加密方案等。 本文主要研究雙線性配對(duì)函數(shù)在構(gòu)造新的密碼協(xié)議方面的應(yīng)用。主要研究?jī)?nèi)容包括:(1)總結(jié)了雙線性配對(duì)函數(shù)的概念、所具有的特性,并介紹了Diffie-Hellman難題以及雙線性配對(duì)函數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用;(2)提出了一個(gè)使用雙線性配對(duì)函數(shù)的前向平安的數(shù)字簽名方案:在一個(gè)基于雙線性配對(duì)函數(shù)的簽名方案的根底上構(gòu)造了一個(gè)前向平安的簽名方案。文中對(duì)方案的平安性進(jìn)行了分析,并與已有的一些前向平安的簽名方案進(jìn)行了比擬,結(jié)果說(shuō)明該方案在效率和簽

4、名長(zhǎng)度上有一定的優(yōu)勢(shì);(3)本文對(duì)這樣一種情況提出了解決方案:多個(gè)用戶將加密數(shù)據(jù)(使用Alice的公鑰)發(fā)送到不完全可信的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)效勞器上(例如郵件效勞器和文件效勞器等)。如果Alice想讓效勞器能夠查詢加密文檔是否含有某些單詞并反應(yīng)結(jié)果,但同時(shí)又不希望給予效勞器解密數(shù)據(jù)的能力。在這種情況下,需要特殊的技術(shù)來(lái)處理。本文構(gòu)造了一個(gè)可查詢的、基于公鑰并與流密碼結(jié)合的、使用雙線性配對(duì)函數(shù)的加密系統(tǒng),它能讓效勞器進(jìn)行查詢,而又不失數(shù)據(jù)的機(jī)密性。在該方案中,效勞器并不能了解比查詢結(jié)果更多的關(guān)于明文的信息;且當(dāng)只給定密文時(shí),不被信任的效勞器不能得到關(guān)于明文的信息。(4)提出了一個(gè)盲聚合簽名方案,它結(jié)合了盲

5、簽名和聚合簽名兩者的優(yōu)點(diǎn),使生成的盲簽名聚合為一個(gè)聚合簽名,節(jié)省了時(shí)間和存儲(chǔ)空間,也降低了對(duì)傳輸帶寬的要求。關(guān)鍵詞：雙線性函數(shù)；矩陣的合同；矩陣的相似Abstract：In the past the cryptography studies, bilinear pairing function (Weil pairing Tate and matching) are usually used in analysis in learning, password: through the use of matching function, can will some of the elliptic

6、 curve discrete logarithm problem about reduced to a limited domain of discrete logarithm problem. In recent years, cryptography, home found that, if properly to visual function changes, and application in some appropriate elliptic curve, it can be constructed out of the low bandwidth, can prove saf

7、e (provable secure), based on bilinear pairings function of encryption, signatures and key agreement protocol, etc. These breakthrough for the construction of the password agreement opened up a new train: because bilinear pairings is the features of a function, can be used to design some has certain

8、 types of password agreement, these agreements with other method very hard commonly, or even can realize, its efficiency and no based on bilinear pairings function of high. For example, three square round short signature of key agreement protocol, identity based encryption scheme. This paper makes a

9、 study of the bilinear pairings function in the construction of new password agreement applications. The main research contents include: (1) summarized the bilinear pairings function concept, has the characteristics, and introduced the diffie-hellman problem and bilinear pairings function in the app

10、lication of cryptography; (2) put forward a using bilinear pairings of function to safety before digital signature scheme: in a based on bilinear pairing the signature scheme based on the structure of a prior to the safety of the signature scheme. In this paper the safety of the scheme are analyzed,

11、 and some have to safety before the signature schemes are compared, and the results show that the scheme in efficiency and signature length have a certain advantages; (3) in this paper put forward such a solution: multiple users will be encrypted data (use Alice public key) sent to not completely re

12、liable data storage server (such as mail servers and file servers, etc.). If Alice wants to let the server can inquires documentation is contain certain words encryption and feedback result, but at the same time and don't want to give the server decrypt data ability. In this case, the need for s

13、pecial technology to deal with. This paper constructs a can inquire, based on public key and and flow of the combination of the password, using bilinear pairings function encryption system, it can make the query server, and do not break data confidentiality. In this scheme, the server and can't

14、understand the results more than inquires about expressly information; And when only a given ciphertext, not trusted server can't get about expressly information. (4) put forward a blind signature scheme polymerization, it combines blind signature and polymerization signature advantage of the tw

15、o, to generate the blind signature polymerization as a signature polymerization, saving time and storage space, also reduced of transmission bandwidth requirements. Key words：Double linear function, and the matrix of the contract, the matrix of the similar 前言雙線性函數(shù)是線性代數(shù)理論的一個(gè)重要內(nèi)容它涉及很多內(nèi)容，如對(duì)稱陣、反對(duì)稱陣、二次型、

16、正交陣、辛陣等，特別地雙線性函數(shù)與線性函數(shù)有密切關(guān)系由于研究關(guān)聯(lián)著多個(gè)因素的量所引起的問(wèn)題，那么需要考察多元函數(shù)。如果所研究的關(guān)聯(lián)性是線性的，那么稱這個(gè)問(wèn)題為線性問(wèn)題。歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性方程組的問(wèn)題，而線性方程組理論的開展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與開展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要局部。最初的線性方程組問(wèn)題大都是來(lái)源于生活實(shí)踐，正是實(shí)際問(wèn)題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與開展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進(jìn)一步開展。1常用的歐式空間常用的歐式空間 1 線性空間，對(duì)如下定義的內(nèi)積構(gòu)成歐式空間。 2 線性空間對(duì)如下定義的

17、內(nèi)積構(gòu)成歐式空間。 2雙線性函數(shù) 2.1 線性函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)2.1.1 線性函數(shù)的定義設(shè)是V上的線性函數(shù)，那么(0)=0，如果的線性組合：，那么 定理 設(shè)V是P上一個(gè)n維線性空間，是V的一組基，而是P中任意n個(gè)數(shù)，存在唯一的V上線性函數(shù)使()= 2.1.2線性函數(shù)空間的性質(zhì)設(shè)V是數(shù)域上P線性空間，V上的全體線性函數(shù)的集合記為L(zhǎng)(V, P), 定義加法 ()()=()+() L(V, P) V數(shù)乘，那么 也是一個(gè) p上的線性空間。并稱 為的對(duì)偶空間。2.1.3對(duì)偶基設(shè)為 的一組基，定義 =，那么是的一組基。稱 為的對(duì)偶基。定理 的維數(shù)等于的維數(shù)，而且是 的一組基定理 設(shè) 及 ,是線性空間的兩組基

18、，它們的對(duì)偶基分別與及。如果由到,的過(guò)渡矩陣為A ，那么由到的過(guò)渡矩陣為2.2 雙線性函數(shù)的定義及性質(zhì)2.2.1 雙線性函數(shù)的性質(zhì) 雙線性函數(shù)設(shè)是數(shù)域 P上一個(gè)線性空間。是上一個(gè)二元函數(shù)，即對(duì)中任意兩個(gè)向量都唯一地對(duì)應(yīng)P 中的一個(gè)數(shù)。記為。如果有以下性質(zhì)： =k+k 那么稱 為 上的雙線性函數(shù)。2.2.2 雙線性函數(shù)的定義一般地，雙線性函數(shù)的定義如下：設(shè)X,Y和Z為相同域K上的三個(gè)線性空間，當(dāng)二元映射對(duì)兩個(gè)自變量都是線性映射時(shí)，那么這樣的二元映射f稱之為從線性空間X×Y到Z的一個(gè)雙線性映射或雙線性函數(shù)。此時(shí) 。即函數(shù)的值域 。換句話說(shuō)，雙線性函數(shù)的本質(zhì)特征是，如果保持雙線性映射的任一

19、個(gè)自變量固定不變，并留下另一個(gè)自變量作變?cè)敲唇Y(jié)果都是一個(gè)線性函數(shù)。這就是雙線性函數(shù)的偏線性。即對(duì)于 ， ，及 ，都成立和如以下圖所示： 3雙線性函數(shù)在不同基下的矩陣3.1 雙線性函數(shù)在不同基下的矩陣之間的關(guān)系 在不同的基下，同一個(gè)雙線性函數(shù)的度量矩陣一般是不同的，它們之間的什么關(guān)系呢？設(shè)及是線性空間的兩組基：是中兩個(gè)向量,那么如果雙線性函數(shù)在及下的度量矩陣分別為，那么有.又.因此這說(shuō)明同一個(gè)雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的3.2 相同基下，不同的雙線性函數(shù)所對(duì)應(yīng)的矩陣設(shè)是數(shù)域上維列向量構(gòu)成的線性空間.再設(shè)是上級(jí)方陣.令, (1)那么是上的一個(gè)雙線性函數(shù).如果設(shè)，并設(shè)那么. (2)1或

20、2實(shí)際上是數(shù)域上任意維線性空間上的雙線性函數(shù)的一般形式.可以如下地說(shuō)明這一事實(shí).取的一組基.設(shè),那么. (3)令,那么3就成為1或2.設(shè)是數(shù)域上維線性空間上的一個(gè)雙線性函數(shù). 是的一組基，那么矩陣 (4)叫做在下的度量矩陣.上面的討論說(shuō)明，取定的一組基后，每個(gè)雙線性函數(shù)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)級(jí)矩陣，就是這個(gè)雙線性函數(shù)在基下的度量矩陣.度量矩陣被雙線性函數(shù)及基唯一確定.而且不同的雙線性函數(shù)在同一基下的度量矩陣是不同的.反之，任給數(shù)域上一個(gè)級(jí)矩陣對(duì)中任意向量及，其中，用定義的函數(shù)是上一個(gè)雙線性函數(shù).容易計(jì)算出在下的度量矩陣就是.因此，在給定的基下，上全體雙線性函數(shù)與上全體級(jí)矩陣之間的一個(gè)雙射.4 雙線性函數(shù)

21、與辛空間及對(duì)偶空間4.1 辛空間1、 主要定義 1. 辛空間中一定能找到一組基滿足.這樣的基稱為的辛正交基.還可看出辛空間一定是偶數(shù)維的.2任一級(jí)非退化反對(duì)稱矩陣可把一個(gè)數(shù)域上維空間化成一個(gè)辛空間，且使為的某基下度量矩陣.又此辛空間在某辛正交基下的度量矩陣為, (1)故合同于.即任一級(jí)非退化反對(duì)稱矩陣皆合同于.兩個(gè)辛空間及，假設(shè)有到的作為線性空間的同構(gòu)，它滿足,那么稱是到的辛同構(gòu).到的作為線性空間的同構(gòu)是辛同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它把的一組辛正交基變成的辛正交基.兩個(gè)辛空間是辛同構(gòu)的當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的維數(shù).辛空間到自身的，辛同構(gòu)稱為上的辛變換.取定的一組辛正交基，上的一個(gè)線性變換，在該基下的矩陣為，,其

22、中皆為方陣.那么是辛變換當(dāng)且僅當(dāng)，亦即當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：且易證，及辛變換的乘積、辛變換的逆變換皆為辛變換.設(shè)是辛空間，,滿足，那么稱為辛正交的.是的子空間，令. (2)顯然是的子空間，稱為的辛正交補(bǔ)空間.定理7 是辛空間，是的子空間，那么.定義9 為辛空間，為的子空間.假設(shè)，那么稱為的迷向子空間；假設(shè)，即是極大的按包含關(guān)系迷向子空單間，也稱它為拉格朗日子空間；假設(shè)，那么稱為的辛了空間.例如，設(shè)是的辛正交基，那么是迷向子空間. 是極大迷向子空間，即拉格朗日子空間是辛子空間.對(duì)辛空間的子空間.通過(guò)驗(yàn)證，并利用定理7，可得以下性質(zhì)：(1) ,(2) ,(3) 假設(shè)是辛子空間，那么(4) 假設(shè)是迷

23、向子空間,那么(5) 假設(shè)是拉格朗日子空間，那么定理8 設(shè)是辛空間的拉格朗日子空間，是的基，那么它可擴(kuò)充為的辛正交基.推論 設(shè)是的迷向子空間，是的基，那么它可擴(kuò)充成的辛正交基.對(duì)于辛子空間，也是非退化的.同樣也非退化.由定理7還有.定理9 辛空間的辛子空間的一組辛正交基可擴(kuò)充成的辛正交基.定理10 令為辛空間，和是兩個(gè)拉格朗日子空間或兩個(gè)同維數(shù)的辛子空間，那么有的辛變換把變成.辛空間的兩個(gè)子空間及之間的線性同構(gòu)假設(shè)滿足那么稱為與間的等距.Witt定理 辛空間的兩個(gè)子空間,之間假設(shè)有等距，那么此等距可擴(kuò)充成的一個(gè)辛變換.下面是辛變換的特征值的一些性質(zhì).是辛空間上的辛變換，那么的行列式為1.取定的

24、辛正交基.設(shè)在基下矩陣為，這時(shí)有.定理11 設(shè)是維辛空間中的辛變換，是在某辛正交基下的矩陣.那么它的特征多項(xiàng)式滿足.假設(shè)設(shè),那么.由定理11可知，辛變換的特征多項(xiàng)式的復(fù)根與是同時(shí)出現(xiàn)的，且具有相同的重?cái)?shù).它在中的特征值也如此.又等于的所有復(fù)根的積，而.故特征值的重?cái)?shù)為偶數(shù).又不等于的復(fù)根的重?cái)?shù)的和及空間的維數(shù)皆為偶數(shù)，因此特征值為的重?cái)?shù)也為偶數(shù).定理12 設(shè)是數(shù)域上辛空間上辛變換在中的特征值，且.設(shè),分別是中對(duì)應(yīng)于特征值及的特征子空間.那么，有，即與是辛正交的.特別地，當(dāng)時(shí)是迷向子空間.二、主要結(jié)論1. 設(shè)是上一個(gè)維線性空間，是的一組基，是中任意個(gè)數(shù)，存在唯一的上線性函數(shù)使 .2. 設(shè)及是線性

25、空間的兩組基，它們的對(duì)偶基分別為及.如果由到的過(guò)渡矩陣為，那么由到的過(guò)渡矩陣為.3. 的維數(shù)等于的維數(shù)，而且是的一組基.4. 是一個(gè)線性空間，是的對(duì)偶空間的對(duì)偶空間. 到的映射是一個(gè)同構(gòu)映射.5. 在給定的基下，上全體雙線性函數(shù)與上全體級(jí)矩陣之間的一個(gè)雙射.6. 同一個(gè)雙線性函數(shù)在不同基下的度量矩陣是合同的.7. 設(shè)是數(shù)域上維線性空間，是上對(duì)稱雙線性函數(shù)，那么存在的一組基，使在這組基下的度量矩陣為對(duì)角矩陣.8. 兩個(gè)辛空間是辛同構(gòu)的當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的維數(shù).9. 是辛空間，是的子空間，那么4.2 對(duì)偶空間 設(shè)是數(shù)域上一個(gè)維線性空間. 上全體線性函數(shù)組成的集合記作.可以用自然的方法在上定義加法和

26、數(shù)量乘法.設(shè)是的兩個(gè)線性函數(shù).定義函數(shù)如下：.也是線性函數(shù)：.稱為與的和.還可以定義數(shù)量乘法.設(shè)是上線性函數(shù)，對(duì)于中任意數(shù)，定義函數(shù)如下：,稱為與的數(shù)量乘積，易證也是線性函數(shù).容易檢驗(yàn)，在這樣定義的加法和數(shù)量乘法下，成為數(shù)域上的線性空間.取定的一組基，作上個(gè)線性函數(shù)，使得 (1)因?yàn)樵诨系闹狄汛_定，這樣的線性函數(shù)是存在且唯一的.對(duì)中向量，有, (2)即是的第個(gè)坐標(biāo)的值.引理 對(duì)中任意向量，有, (3)而對(duì)中任意向量，有. (4)定理2 的維數(shù)等于的維數(shù)，而且是的一組基.定義2 稱為的對(duì)偶空間.由1決定的的基，稱為的對(duì)偶基.以后簡(jiǎn)單地把的對(duì)偶空間記作.例 考慮實(shí)數(shù)域上的維線性空間，對(duì)任意取定的

27、個(gè)不同實(shí)數(shù)，根據(jù)拉格朗日插值公式，得到個(gè)多項(xiàng)式它們滿足是線性無(wú)關(guān)的，因?yàn)橛捎么?，即?又因是維的，所以是的一組基.設(shè)是在點(diǎn)的取值函數(shù)：那么線性函數(shù)滿足因此，是的對(duì)偶基.下面討論的兩組基的對(duì)偶基之間的關(guān)系.設(shè)是數(shù)域上一個(gè)維線性空間.及是的兩組基.它們的對(duì)偶基分別是及.再設(shè)其中, 由假設(shè),.因此由矩陣乘法定義，即得即定理3 設(shè)及是線性空間的兩組基，它們的對(duì)偶基分別為及.如果由到的過(guò)渡矩陣為，那么由到的過(guò)渡矩陣為.設(shè)是上一個(gè)線性空間，是其對(duì)偶空間，取定中一個(gè)向量，定義的一個(gè)函數(shù)如下：.根據(jù)線性函數(shù)的定義，容易檢驗(yàn)是上的一個(gè)線性函數(shù)，因此是的對(duì)偶空間中的一個(gè)元素.定理4 是一個(gè)線性空間，是的對(duì)偶空間

28、的對(duì)偶空間. 到的映射是一個(gè)同構(gòu)映射.這個(gè)定理說(shuō)明，線性空間也可看成的線性函數(shù)空間，與實(shí)際上是互為線性函數(shù)空間的.這就是對(duì)偶空間名詞的來(lái)由.由此可知，任一線性空間都可看成某個(gè)線性空間的線性函數(shù)所成的空間，這個(gè)看法在多線性代數(shù)中是很重要的.5 雙線性函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域5.1基于精確線性化的MIMO雙線性系統(tǒng)預(yù)測(cè)函數(shù)控制 針對(duì)典型多輸入多輸出雙線性系統(tǒng),提出了基于非線性過(guò)程精確反應(yīng)解耦線性化的預(yù)測(cè)函數(shù)控制方法.這是一種分層的控制策略,首先設(shè)計(jì)一個(gè)靜態(tài)的非線性狀態(tài)反應(yīng),使得閉環(huán)系統(tǒng)是輸入輸出解耦和線性的;然后設(shè)計(jì)一組單輸入單輸出預(yù)測(cè)函數(shù)控制器.下層為上層預(yù)測(cè)函數(shù)控制提供一組單輸入單輸出模型,而上層預(yù)測(cè)函

29、數(shù)控制以其固有的魯棒性來(lái)補(bǔ)償參數(shù)變化和解耦線性化的近似性,并以紙機(jī)加壓網(wǎng)前箱為例進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果是令人滿意的.5.2雙線性荷載傳遞函數(shù)的單樁荷載沉降關(guān)系統(tǒng)采用荷載傳遞函數(shù)法研究單樁的荷載沉降關(guān)系,因其形式簡(jiǎn)單,便于應(yīng)用,而受到普遍關(guān)注。常用的有雙線性函數(shù)、雙曲線函數(shù)、對(duì)數(shù)及指數(shù)函數(shù)等 。其中,雙線性函數(shù)在模擬樁周土的軟化特性上較其它函數(shù)有相對(duì)優(yōu)勢(shì) 。然而,現(xiàn)有的基于雙線性函數(shù)的單樁荷載沉降關(guān)系解析解答只是針對(duì)某種特定工況(比方摩擦樁 )或特定模型而提出來(lái)的,比方,樁側(cè)土強(qiáng)度隨深度不變,樁周土為硬化模型 或理想彈塑性模型 ,或樁側(cè)土強(qiáng)度隨深度線性變化且為理想彈塑性模型而樁端土為硬化模型?，F(xiàn)有解答形式多樣且散亂,不便于對(duì)實(shí)際工程進(jìn)行設(shè)計(jì)分析和應(yīng)用。本文采用雙線性荷載傳遞函數(shù)模擬樁側(cè)土和樁端土的硬化和軟化模型特性,同時(shí)考慮樁側(cè)土的抗剪強(qiáng)度隨深度線性增加,推導(dǎo)了樁周土在不同狀態(tài)(彈性或塑性)組合下的單樁荷載沉降關(guān)系解答及其算法,使之能夠反映單樁在不同工況下的荷載傳遞機(jī)理,即承載特性,使解答完善和統(tǒng)一。6