線性代數(shù)課件：庭芳正定二次型

1、7 正定正定二次型二次型一、一、慣性定理慣性定理二、正定二次型的概念二、正定二次型的概念三、正三、正( (負(fù)負(fù)) )定二次型的判別定二次型的判別一、慣性定理一、慣性定理一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)一個(gè)實(shí)二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來(lái)說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩中所含有的項(xiàng)數(shù)是確定的，項(xiàng)數(shù)等于二次型的秩下面我們限定所用的變換為下面我們限定所用的變換為實(shí)變換實(shí)變換，來(lái)研究，來(lái)研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)二

2、次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì) )(9 慣性定理慣性定理定理定理 .,0 ,0 , 1122222112222211個(gè)數(shù)相等個(gè)數(shù)相等中正數(shù)的中正數(shù)的中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)與則則及及使使及及有兩個(gè)實(shí)的可逆變換有兩個(gè)實(shí)的可逆變換為為它的秩它的秩設(shè)有實(shí)二次型設(shè)有實(shí)二次型rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 正負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差正負(fù)慣性指數(shù)、符號(hào)差222164,zyxzyxf）（為為正定二次型正定二次型2221213,xxxxf）（為為負(fù)定二次型負(fù)定二次型二、正定二次型的概念二、正定二次型的概念 10定定義義例如例如 ., , 0)(;,0 0,)( 是是負(fù)負(fù)定定的的并并

3、稱稱對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣為為負(fù)負(fù)定定二二次次型型則則稱稱都都有有如如果果對(duì)對(duì)任任何何是是正正定定的的并并稱稱對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣次次型型為為正正定定二二則則稱稱顯顯然然都都有有如如果果對(duì)對(duì)任任何何設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型AfxfxAffxfxAxxxfT 證明證明使使設(shè)設(shè)可可逆逆變變換換Cyx .21iniiykCyfxf 充分性充分性 ., 10niki 設(shè)設(shè), x任任給給,1 xCy則則故故 . 021 iniiykxf三、正三、正(負(fù)負(fù))定二次型的判別定二次型的判別 01定理定理.,: nnAxxfT性指數(shù)等于性指數(shù)等于即它的正慣即它的正慣個(gè)系數(shù)全為正個(gè)系數(shù)全為正它的標(biāo)準(zhǔn)形的它的標(biāo)準(zhǔn)形的是是為正

4、定的充要條件為正定的充要條件實(shí)二次型實(shí)二次型 .為正定的為正定的即即 f必要性必要性, 0 sk假假設(shè)設(shè)有有, )(時(shí)時(shí)單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量則則當(dāng)當(dāng)sey . 0 sskCef, sCe顯顯然然.為正定相矛盾為正定相矛盾這與這與 f故故 ., 10niki 推論推論對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 A 為正定的充要條件是：為正定的充要條件是： A 的的 特征值全為正特征值全為正, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa定理定理11(11(霍爾維茨定理霍爾維茨定理) )對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 A 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是： A 的各階主子式為正，即的各階

5、主子式為正，即 ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 A 為負(fù)定的充要條件是：奇數(shù)階主為負(fù)定的充要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即例例1 1 判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 它的順序主子式它的順序主子式, 05 , 011225, 01524212425det故故 f 是正定二次型是正定二次型 .正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì)正定矩陣具有以下一些簡(jiǎn)單性質(zhì);,A, . 1 1定定

6、矩矩陣陣均均為為正正則則為為正正定定實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)稱稱陣陣設(shè)設(shè) AAAT., . 2 矩矩陣陣也也是是正正定定則則階階正正定定矩矩陣陣均均為為若若BAnBA 例例2 2 判別二次型判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩陣為二次型的矩陣為,502040202 A用用特征值判別法特征值判別法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型為正定二次型故此二次型為正定二次型.即知即知 是正定矩陣，是正定矩陣，A例例3 3 判別二次型判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩陣為的矩陣為f, 0511 a, 02662

7、2522211211 aaaa, 080 A.為負(fù)定二次型為負(fù)定二次型f,402062225 A例例4 4?4225,222正定正定二次型二次型取何值時(shí)取何值時(shí)yzxztxyzyxft 解解的矩陣為的矩陣為f, 0111 a由由, 01112 ttt,5212111 ttA, 04552121112 ttttA.054 t解得解得.054 t解得解得224),(yxzyxf 為半為半正定二次型正定二次型2221213),(xxxxf 為為不定二次型不定二次型例如例如 ., 0,)( 為為半半正正定定二二次次型型則則稱稱有有都都如如果果對(duì)對(duì)任任何何設(shè)設(shè)有有實(shí)實(shí)二二次次型型fxfxAxxxfT .

8、 ,)(,為為不不定定二二次次型型則則稱稱有有正正有有負(fù)負(fù)若若對(duì)對(duì)任任何何fxfx 2.正定二次型正定二次型（正定矩陣正定矩陣）的判別方法：）的判別方法：(1)(1)定義法定義法；(2)(2)順次主子式判別法順次主子式判別法；(3)(3)特征值判別法特征值判別法.1.正定二次型的概念，正定二次型與正定正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區(qū)別與聯(lián)系矩陣的區(qū)別與聯(lián)系3.根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到根據(jù)正定二次型的判別方法，可以得到負(fù)定二次型負(fù)定二次型（負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣）相應(yīng)的判別方法，請(qǐng)大）相應(yīng)的判別方法，請(qǐng)大家自己推導(dǎo)家自己推導(dǎo).00, 是否為正定矩陣是否為正定矩陣矩陣矩陣試判定分塊試判定分塊階正定矩陣階正定矩陣階階分別為分別為設(shè)設(shè) BACnmBA. 是正定的是正定的C解解于是于是量量不同時(shí)為零