隨機(jī)過程在金融中的應(yīng)用1.基礎(chǔ)知識(shí)

1、 -金融資產(chǎn)定價(jià)之應(yīng)用金融資產(chǎn)定價(jià)之應(yīng)用隨機(jī)隨機(jī)過程過程基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)基本概念基本概念馬爾可夫過程馬爾可夫過程隨機(jī)分析隨機(jī)分析平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程鞅和鞅表示鞅和鞅表示維納過程維納過程Ito定理定理基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格衍生產(chǎn)品定價(jià)衍生產(chǎn)品定價(jià) 第一章第一章 基基 礎(chǔ)礎(chǔ) 知知 識(shí)識(shí) 第一節(jié)第一節(jié) 概概 率率 第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第四節(jié)第四節(jié) 矩母函數(shù)和特征函數(shù)矩母函數(shù)和特征函數(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 條件期望條件期望 第六節(jié)第六節(jié) 指數(shù)分布指數(shù)分布 第七節(jié)第七節(jié) 收斂性和極限定理收斂性和極限定理 第一節(jié)第一節(jié) 概概 率率 一

2、、基本概念一、基本概念 1隨機(jī)試驗(yàn) 其結(jié)果在事先不能確定的試驗(yàn)。具有三個(gè)特性： （1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行； （2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并能事先明確 試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果； （3）每次試驗(yàn)前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。 2樣本空間樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合，記為。其中每一個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn) 。樣本空間的一個(gè)子集E。 對(duì)樣本空間的每一個(gè)事件E，都有一實(shí)數(shù)P（E）與之對(duì)應(yīng)，且滿足： （1）3隨機(jī)事件隨機(jī)事件 4概概 率率 10）（EP1）（P，21EE（3）對(duì)兩兩互不相容的事件序列 （2）)11iiiiEPEP（）（則稱P（E）為事件E的概率概率。 二、概率的性質(zhì)：二、概率的性質(zhì)：

3、 1 0）（P2 ）（）（）（）（EFPFPEPFEP3 )(1)(EPEPc4 設(shè) nEEE，21兩兩互不相容 ，則)11niiiniEPEP（）（5 設(shè)兩兩互不相容的事件 ，21EEiiE1則對(duì)于任意事件A，有)1iiEAPAP（）（三、概率的連續(xù)性三、概率的連續(xù)性 1極限事件 對(duì)于事件 若 ，21EE1nnEE1n則稱事件序列 1nEn，遞增 ，若 1nnEE1n則稱事件序列 1nEn，遞減。 這樣可定義一個(gè)新的事件，記為 nnElimiinnEE1lim1nnEEiinnEE1lim1n1nnEE1n 2連續(xù)性定理 若 是遞增的或遞減的事件序列， 1nEn，)limlimnnnnEPE

4、P（）（證明證明 1nEn，nF11EF cnncininnEEEEF111)(1nnFnEiEni 則即 由包含在 中但不在任何前面的 （ ）中的點(diǎn)組成。 設(shè) 是遞增序列，并定義事件 ：定理定理 111EF 2F3F容易驗(yàn)證 （ ）是互不相交的事件， 且滿足 iiiiEF11iniiniEF11 nF1n和于是）（）（iiiiFPEP11)1iiFP（)lim1niinFP（)(lim1ininFP)(lim1ininEP)(limnnEP設(shè)E為隨機(jī)試驗(yàn)，為其樣本空間，A、B為任意兩個(gè)事件，四、條件概率四、條件概率0）（AP）（）（）（APABPABP|為事件A出現(xiàn)的情況下，事件B的條件概率

5、，或簡(jiǎn)稱事件B關(guān)于事件A的條件概率。 若1定義則稱定理定理2（乘法公式）（乘法公式） 2基本公式 假設(shè) 為任意n個(gè)事件（ ），nAAA，212n021）（nAAAP)|()|()(21312121AAAPAAPAPAAAPn）（）（121|nnAAAAP若則定理定理3（全概率公式與貝葉斯公式）（全概率公式與貝葉斯公式） 設(shè)事件 兩兩互不相容，nBBB，21iniB10）（iBPni,21，則（1）對(duì)任意事件A，有 )|)(1iiniBAPBPAP（）（2）對(duì)任意事件A ，若 ，有0）（AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（）（五、獨(dú)立性如果事件A，B滿足）（）（）（

6、BPAPABP 設(shè) 是n個(gè)事件，如果對(duì)于任意 和 ，有 nAAA，21)2(ns sniiis211）（）（）（）（ssiiiiiiAPAPAPAAAP2121則稱事件 相互獨(dú)立。 nAAA，21則稱事件A，B相互獨(dú)立。 1定義定義兩個(gè)兩個(gè)n個(gè)個(gè)2獨(dú)立性的性質(zhì) 定理定理4 若事件A，B相互獨(dú)立，則 ； ； 分別也相互獨(dú)立.定理定理5 設(shè)事件 相互獨(dú)立，若其中任意 個(gè)事件相應(yīng)地?fù)Q成它們的對(duì)立事件，則所得的n個(gè)事件仍然相互獨(dú)立。nAAA，21BA與BA與BA與)1(nmm 推論推論 若事件 相互獨(dú)立，則 nAAA，21)(11)(11ininiiAPAP)(11)(11ininiiAPAP證證)(

7、1)(11niiniiAPAP)(11niiAPniiAP1)(1) )(1 (11niiAP 一、一維隨機(jī)變量的分布一、一維隨機(jī)變量的分布 第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 1隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 ，如果對(duì)于每一，如果對(duì)于每一個(gè)個(gè) 都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，這與之對(duì)應(yīng)，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為一個(gè)隨機(jī)變量，記作種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為一個(gè)隨機(jī)變量，記作 或或X。 )(X)(X2分布函數(shù) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取值不超過取值不超過x的概率的概率 ， 稱為稱為X的分布函數(shù)（其中的分布函數(shù)（其中x為任意實(shí)數(shù)），記為為任意實(shí)數(shù)），記為 即即)(xXP)

8、(xF)()(xXPxFx分布函數(shù)分布函數(shù)F（x）具有下列性質(zhì)：）具有下列性質(zhì)： 12 是非降函數(shù)，即當(dāng)是非降函數(shù)，即當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 )(xF1)(0 xFx21xx )()(21xFxF0)(limxFx1)(limxFx34)()0(xFxFF（x）是右連續(xù)的，即）是右連續(xù)的，即 3分布密度 最常見的隨機(jī)變量是離散型和連續(xù)型兩種。最常見的隨機(jī)變量是離散型和連續(xù)型兩種。 離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的可能取值僅有有限的可能取值僅有有限個(gè)或可列無窮多個(gè)。個(gè)或可列無窮多個(gè)。 設(shè)設(shè) 是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量X的的所有可能的取值，所有可能的取值， 是是 的概率：的概率： ),2, 1

9、(kxkkpkxkkpxXP)(), 2 , 1(k則稱上式為則稱上式為X的的概率分布概率分布或或分布率分布率 。且滿足。且滿足 0kp11kkp3分布密度 連續(xù)型隨機(jī)變量 如果對(duì)于隨機(jī)變量如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F（x），），存在非負(fù)的函數(shù)存在非負(fù)的函數(shù)f（x）,使對(duì)任意的實(shí)數(shù)使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有有 則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x）稱為）稱為X的概率密的概率密度，且滿足度，且滿足xdttfxF)()(0)(xf1)(dxxf二、隨機(jī)變量的聯(lián)合分布二、隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 1聯(lián)合分布函數(shù) 設(shè)設(shè) 是樣本空間是樣本空間 的的n個(gè)隨機(jī)個(gè)隨機(jī)變量，變量， 為任意實(shí)數(shù)

10、，則稱為任意實(shí)數(shù)，則稱 特別地 為隨機(jī)變量的為隨機(jī)變量的n維聯(lián)合分布函數(shù)維聯(lián)合分布函數(shù) nXXX，21nxxx，21),(),(221121nnnxXxXxXPxxxF，),()(yYxXPyxF，即是即是X，Y的二維聯(lián)合分布函數(shù)的二維聯(lián)合分布函數(shù) 2二維分布密度 離散型離散型 設(shè)（設(shè)（X，Y）所有可能的取值為）所有可能的取值為 ，而，而 是（是（X，Y）取值）取值 為為 的概率，即的概率，即則稱上式為二維離散型隨機(jī)向量（則稱上式為二維離散型隨機(jī)向量（X，Y）的）的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律。它滿足它滿足 ),(jiyx, 2 , 1( i), 2 , 1jijp),(jiyxijjipyYxXP)

11、,(0ijp111ijijp2二維分布密度連續(xù)型 如果存在一個(gè)非負(fù)的二元函數(shù)如果存在一個(gè)非負(fù)的二元函數(shù)f（x，y）,使對(duì)使對(duì)任意的實(shí)數(shù)任意的實(shí)數(shù)x，y有有則稱（則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x，y）稱為）稱為（X，Y）的概率密度，滿足：）的概率密度，滿足： xydudvvufyxF),()( ，0),(yxf1),( dxdyyxf3邊緣分布及獨(dú)立性 邊緣分布 設(shè)（設(shè)（X，Y）的分布函數(shù)為）的分布函數(shù)為 ，則，則X，Y的分布函數(shù)的分布函數(shù) 、 ，依次稱為關(guān)于，依次稱為關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，且有的邊緣分布函數(shù)，且有 )(yxF，)(xFX)(yFY

12、),()(xFxFX),()(yFyFY 獨(dú) 立 性)(yxF，)(xFX)(yFY則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X和和Y是相互獨(dú)立的。是相互獨(dú)立的。 離散型離散型若隨機(jī)變量（若隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律）的聯(lián)合分布律 分別稱為（分別稱為（X，Y）關(guān)于）關(guān)于X和和Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。 , 2 , 1( i), 2 , 1jijjipyYxXP),(ijjiipxXPp1)(則則ijijjpyYPp1)(X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立的充要條件是的充要條件是jiijppp連續(xù)型連續(xù)型若隨機(jī)變量（若隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為）的概率密度為 則則 X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立的充要條件是的充要條件

13、是),(yxf分別稱為（分別稱為（X，Y）關(guān)于）關(guān)于X和和Y邊緣概率密度。邊緣概率密度。dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(),( yxf)(xfX)(yfY4條件分布函數(shù) 離散型 若若 ，則稱，則稱 為在條件為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量X的條件分布律的條件分布律 。0)jyYP （jijjjijippyYPyYxXPyYxXP),)|（ixX jyY iijijiijppxXPyYxXPxXyYP),)|（同樣同樣為在條件為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。的條件分布律。 4條件分布函數(shù) 連續(xù)型 稱為在條件稱為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量X的條件分布律

14、的條件分布律 。同樣同樣稱為在條件稱為在條件 下，隨機(jī)變量下，隨機(jī)變量Y的條件分布律。的條件分布律。 )(),()|(yfyxfyxfYyY )(),()|(xfyxfxyfXxX 注意注意：分母不等于：分母不等于0第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、期望和方差一、期望和方差 1期望期望 設(shè)設(shè)離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 則則kkpxXP)(, 2 , 1k)(XEkkkpx1 設(shè)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 ，)(xf則則)(XEdxxxf)(函數(shù)期望函數(shù)期望 當(dāng)當(dāng) X為為離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量則則 當(dāng)當(dāng)X為為連續(xù)型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，

15、則則)(XgY)()(XgEYEkkkpxg)(1)()(XgEYEdxxfxg)()(2。方差。方差 稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量 的期望為的期望為X的的方差，即方差，即 計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)系式：計(jì)算方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 2)(XEX)(XD)(2XEXE)(XD22)(XEXE3性質(zhì)性質(zhì)（1）（2） （3） 若若X和和Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則CCE)(0)(CD)()(XCECXE)()(2XDCCXDniiniiXEXE11)()()()()(YEXEXYE（4）0)(XD的充要條件是的充要條件是 1)(XEXP返回返回3性質(zhì)性質(zhì)（5）（柯西）（柯西許瓦茲不等式）許瓦茲不等式） 等式成

16、立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁匠闪?dāng)且僅當(dāng) （6）若若X為非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，則為非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，則 證證 )()(| )(|222YEXEXYE1)(0XtYP)()(1iXPXEi（7）若）若X為非負(fù)值的隨機(jī)變量，則為非負(fù)值的隨機(jī)變量，則 1()()kE XkP Xk0)(1)(dxxFXE）（) 1(XP)2()2(XPXP) 3() 3() 3(XPXPXP)()()(nXPnXPnXP最后對(duì)每一叢向列求和，即得。最后對(duì)每一叢向列求和，即得。1協(xié)方差協(xié)方差 計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式：計(jì)算協(xié)方差時(shí)通常用下列關(guān)系式： 二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)二、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) ),(CovYX)()(YEYXE

17、XE),(CovYX)()()(YEXEXYE2.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) )()(),(CovYDXDYXrXY3性質(zhì)性質(zhì)（1） （2）若）若X和和Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 （4） 的充要條件是的充要條件是X與與Y以概率以概率1 線性相關(guān)，即線性相關(guān)，即),(Cov2)()(1,11jnjijiiniiniiXXXDXD0),(CovYX1|XYr（3）1|XYr1)(baXYP返回返回例例1 設(shè)設(shè)X N（0，1），求），求 解解 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得為偶數(shù)時(shí)，由分部積分得 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， )(nXE)(nXEdxexxn22210)(nXE)(nXEdxexnxn22221)

18、() 1(2nXEn依次遞推，注意到依次遞推，注意到 ，故，故 1)(0 xE偶數(shù)奇數(shù)2!)!1(135) 3)(1(0)(nnnnnXEn 在一次集會(huì)上，在一次集會(huì)上，n個(gè)人把他們的帽子放到房間的個(gè)人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而后每個(gè)人隨機(jī)地選取一項(xiàng)，求中央混合在一起，而后每個(gè)人隨機(jī)地選取一項(xiàng)，求每人拿到自己的帽子的人數(shù)每人拿到自己的帽子的人數(shù)X的均值和方差。的均值和方差。 例例2（匹配問題）（匹配問題） 解解 利用表達(dá)式利用表達(dá)式 nXXXX21其中其中其它個(gè)人拿到自己的帽子如果第，01iiX即求即求EX、DX故故 因因nXPi/1) 1(nXEi/1)(221)1(1)(nn

19、nnXDi又又 ),(CovjiXX)()()(jijiXEXEXXE而而其它個(gè)人都拿到自己的帽子個(gè)人與第如果第，01jijiXX得得11)(jijiXXPXXE， 1| 1 1ijiXXPXP111nn故故 ),(CovjiXX) 1(1nn21n所以所以1)(XE1) 1(121)(22nnCnnXDn) 1(12nn一、矩母函數(shù)一、矩母函數(shù) 第四節(jié)第四節(jié) 矩母函數(shù)和特征函數(shù)矩母函數(shù)和特征函數(shù) 1定義定義 稱稱 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 為為X的矩母函數(shù)的矩母函數(shù)2原點(diǎn)原點(diǎn)矩的求法矩的求法 tXe)(tXeEt 利用矩母函數(shù)可求得利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對(duì)的各階矩，即對(duì) 逐次求導(dǎo)并計(jì)算

20、在逐次求導(dǎo)并計(jì)算在 點(diǎn)的值：點(diǎn)的值： )(t0t)(tXXeEt )()tXnneXEt （)0()nnXE（3和的矩母函數(shù)和的矩母函數(shù) 定理定理1 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的的矩母函數(shù)分別為矩母函數(shù)分別為 ， ， ， 則其和則其和 的矩母函數(shù)為的矩母函數(shù)為 rXXX，21)(1t)(2t)(trrXXXY21)(tY)(1t)(2t)(tr 例例1 設(shè)設(shè)X與與Y是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，各自的均值為是獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，各自的均值為 與與 ，方差為，方差為 與與 ，求，求X+Y的矩的矩母函數(shù)。母函數(shù)。 解解 而正態(tài)分布的矩母函數(shù)為而正態(tài)分布的矩母函數(shù)為 122122)(）（YX

21、tYXeEttXeEtYeE)(tX)(tY2/exp)(22ttt所以所以 )(tYX 2/)()exp(2222121tt 二、特征函數(shù)二、特征函數(shù) 1 .復(fù)隨機(jī)復(fù)隨機(jī) 變量變量 設(shè)設(shè)X，Y為二維（實(shí)）隨機(jī)變量，則稱為二維（實(shí)）隨機(jī)變量，則稱 為復(fù)隨機(jī)變量為復(fù)隨機(jī)變量.2.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 3 .特征函數(shù)特征函數(shù) iYXZ)()()(YiEXEZE 設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量為隨機(jī)變量，稱復(fù)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望itXe)(tXitXeE為為X的特征函數(shù)，其中的特征函數(shù)，其中t是實(shí)數(shù)。是實(shí)數(shù)。 還可寫成還可寫成 )(tXsincostXiEtXE4特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系特征函

22、數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系特征函數(shù)與分布函數(shù)特征函數(shù)與分布函數(shù) 相互唯一確定。相互唯一確定。特別特別 當(dāng)當(dāng) 存在時(shí)，有存在時(shí)，有 )()(xfxF)(tdxxfeitx)()(xfdtteitx)(215特征函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 對(duì)任何實(shí)數(shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)t， 1| )(|tX證證 1| )(| )(|itXitXXeEeEt性質(zhì)性質(zhì)2 證證性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)設(shè)a，b為任意實(shí)數(shù)，為任意實(shí)數(shù)， ，則，則Y的特的特征函數(shù)征函數(shù) 有有證證 )()(ttXX )( tXsincosXtiXtE）（）（sincostXiEtXEsincostXiEtXE)(tXbaXY)(tY)()(atetXitbY)(

23、)(baXitYeEt)itbXatieeE（)XatiitbeEe（)(ateXitb性質(zhì)性質(zhì)4 性質(zhì)性質(zhì)5設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 的的特征函數(shù)分別為特征函數(shù)分別為 ， ， 則和則和 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的的 n階絕對(duì)矩存在，即階絕對(duì)矩存在，即 |nXE則則X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 有有n階導(dǎo)數(shù)，且有階導(dǎo)數(shù)，且有 ) (tX)0()()()(kXkkiXEnk, 2 , 1rXXX，21)(1t)(2t)(trrXXXY21的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 )(tY)(1t)(2t)(tr例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函數(shù)。

24、的特征函數(shù)。解解 由于由于 所以所以 ekkXPk?。?(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從服從a，b上的均勻分布，求上的均勻分布，求X的的特征函數(shù)。特征函數(shù)。 解解 X的概率密度為的概率密度為 所以所以 其它01)(bxaabxfdxabetbaitxX1)()(abiteeitaitb例例4 設(shè)設(shè)X B（n，p），求），求X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 及及和和 。 解解 X的分布律為的分布律為所以所以 )(tX）（ XE）（XDknkknqpckXP ）（)(tXknkknnkitkqpce0knkitknnkqpec)(0

25、nitqpe)(由性質(zhì)由性質(zhì)4知知 npqpedtdiXEtnit0|)(）（2202222|)()(pnnpqqpedtdiXEtnit）（故故 ）（ XD22)XEXE（）（npq常見分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù)常見分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù)見教材見教材一、條件期望的定義一、條件期望的定義 第五節(jié)第五節(jié) 條件期望條件期望 離散型離散型 其中其中連續(xù)型連續(xù)型 其中其中)|(jyYXE)|(1jiiiyYxXPx)(),()|(jjijiyYPyYxXPyYxXP)|(yYXEdxyxfx)|()|(yxf條件概率密度條件概率密度 二、全數(shù)學(xué)期望公式二、全數(shù)學(xué)期望公式 定理定理1 對(duì)一切

26、隨機(jī)變量對(duì)一切隨機(jī)變量X和和Y，有有 連續(xù)型連續(xù)型 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量Y的函數(shù)，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，當(dāng) 時(shí)取值時(shí)取值因而它也是隨機(jī)變量。因而它也是隨機(jī)變量。 )|(YXEyY )|(yYXE離散型離散型 )|(YXEE)(XE)()|()(1jjjyYPyYXEXEdyyfyYXEXEY)()|()(證證 只證（只證（X，Y）是離散型隨機(jī)向量時(shí)的情況）是離散型隨機(jī)向量時(shí)的情況 )()|(1jjjyYPyYXE)()|(11jjijiiyYPyYxXPx),(11jijiiyYxXPx),(11jijiiyYxXPx)()(1XExXPxiii 一礦工困在礦井中，要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)一礦工困在礦井中，

27、要到達(dá)安全地帶，有三個(gè)通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走通道可選擇，他從第一個(gè)通道出去要走3個(gè)小時(shí)可個(gè)小時(shí)可到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走到達(dá)安全地帶，從第二個(gè)通道出去要走5個(gè)小時(shí)又個(gè)小時(shí)又返回原處，從第三個(gè)通道出去要走返回原處，從第三個(gè)通道出去要走7個(gè)小時(shí)也返回個(gè)小時(shí)也返回原處。設(shè)任一時(shí)刻都等可能地選中其中一個(gè)通道，原處。設(shè)任一時(shí)刻都等可能地選中其中一個(gè)通道，試問他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多長(zhǎng)時(shí)間。試問他到達(dá)安全地點(diǎn)平均要花多長(zhǎng)時(shí)間。 例例1 解解 設(shè)設(shè)X表示礦工到達(dá)安全地點(diǎn)所需時(shí)間，表示礦工到達(dá)安全地點(diǎn)所需時(shí)間，Y表示表示他選定的通道，則由定理他選定的通道，則由定理1可知可知 )( XE)

28、|(YXEE) 1() 1|(YPYXE) 2() 2|(YPYXE) 3() 3|(YPYXE )7()5(331EXEX15)(XE所以所以 設(shè)在某一天內(nèi)走進(jìn)一個(gè)商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望設(shè)在某一天內(nèi)走進(jìn)一個(gè)商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望等于等于100的隨機(jī)變量，又設(shè)這些顧客所花的錢都為的隨機(jī)變量，又設(shè)這些顧客所花的錢都為數(shù)學(xué)期望是數(shù)學(xué)期望是10元的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，再設(shè)一個(gè)元的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，再設(shè)一個(gè)顧客化錢時(shí)和進(jìn)入該商店的總?cè)藬?shù)獨(dú)立，試問在給顧客化錢時(shí)和進(jìn)入該商店的總?cè)藬?shù)獨(dú)立，試問在給定的一天內(nèi)，顧客們?cè)谠摰晁X的期望值為多少？定的一天內(nèi)，顧客們?cè)谠摰晁X的期望值為多少？ 例例2 解解 設(shè)設(shè)

29、N 表示進(jìn)入該店的顧客人數(shù)，表示進(jìn)入該店的顧客人數(shù)， 表示第表示第i個(gè)顧個(gè)顧客所花的錢數(shù)，客所花的錢數(shù)， iX則則N 個(gè)顧客所花錢的總數(shù)為個(gè)顧客所花錢的總數(shù)為 NiiX1則一天內(nèi)顧客們?cè)谠摰晁X的期望值是則一天內(nèi)顧客們?cè)谠摰晁X的期望值是 NiiXE1NiiNXEE1|）（而而 從而從而 由假設(shè)由假設(shè)所以所以 NiinNXE1|）（niinNXE1|）（niiXE1）（)(XnENiiNXE1|）（)(XNENiiXE1)()()(XENEXNEE100)(NE10)()(iXEXE于是于是 NiiXE1100010100它說明顧客們花費(fèi)在該店錢數(shù)的期望值為它說明顧客們花費(fèi)在該店錢數(shù)的期望

30、值為1000元。元。 三、條件期望的應(yīng)用三、條件期望的應(yīng)用 定理定理2 設(shè)設(shè)X、Y是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量， 是是Borel函數(shù)，函數(shù)， 證證 下面的命題說明在均方意義下，在已知隨機(jī)變量下面的命題說明在均方意義下，在已知隨機(jī)變量X的條件下，的條件下， 是是Y的最佳預(yù)測(cè)。的最佳預(yù)測(cè)。則則 )|(XYE)(xg)(2XgYE)|(2XYEYE|)(2XXgYE|)()|()|(2XXgXYEXYEYE|)|(2XXYEYE|)()|(2XXgXYEE)|(2XYEYE|)()|(XXgXYE由于由于 當(dāng)當(dāng)X取定值時(shí)是常數(shù)，取定值時(shí)是常數(shù)， )()|(XgXYE所以所以 )()|(XgXYE0| )|

31、(XXYEYE故得故得 |)(2XXgYE|)|(2XXYEYE由定理由定理1，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。 通常當(dāng)我們觀察到通常當(dāng)我們觀察到 時(shí)，時(shí)， 是一切對(duì)是一切對(duì)Y的估值中均方誤差最小的一個(gè)，我們稱的估值中均方誤差最小的一個(gè)，我們稱之為之為Y關(guān)于關(guān)于X的回歸的回歸。 例例3 設(shè)身高為設(shè)身高為x（cm）的男子，其成年兒子的身高）的男子，其成年兒子的身高服從均值為服從均值為 ，方差為，方差為10的正態(tài)分布，問身高的正態(tài)分布，問身高為為175cm的男子，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值的男子，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是多少？是多少？令令X表示父親身高，表示父親身高，Y表

32、示兒子身高，則表示兒子身高，則 xX )|(xXYE3x解解 3XY N（0，10）與與X獨(dú)立獨(dú)立 Y的最佳預(yù)測(cè)是的最佳預(yù)測(cè)是 )175|(XYE)175|3(XXE)175|(3175XE178)(178E即其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是即其成年兒子的身高的最佳預(yù)測(cè)值是178cm。 一、指數(shù)分布的定義一、指數(shù)分布的定義 第六節(jié)第六節(jié) 指數(shù)分布指數(shù)分布 若連續(xù)型隨機(jī)變量若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 分布函數(shù)為分布函數(shù)為 則稱則稱X具有參數(shù)為具有參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。 0,00,)(xxexfx0, 00,1)()(xxedyyfxFxx)0（二、無記憶性二、無記憶性 若

33、隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X滿足滿足 則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X是是無記憶的無記憶的。 如果我們把如果我們把X看作某儀器的壽命，則看作某儀器的壽命，則X的無記的無記憶性表示憶性表示 :|sXPtXtsXP0ts， 在儀器已工作了在儀器已工作了t 小時(shí)的條件下，它至少工作小時(shí)的條件下，它至少工作 小時(shí)的概率與它原來至少工作小時(shí)的概率與它原來至少工作s 小時(shí)的概率是小時(shí)的概率是相同的。相同的。 換句換句話說話說 如果儀器在時(shí)刻如果儀器在時(shí)刻t是完好的，則它的剩余壽是完好的，則它的剩余壽命的分布就是原來壽命的分布。命的分布就是原來壽命的分布。ts 考慮一個(gè)有兩名營(yíng)業(yè)員的郵局。假設(shè)當(dāng)考慮一個(gè)有兩名營(yíng)業(yè)員的郵局

34、。假設(shè)當(dāng)A進(jìn)去進(jìn)去時(shí)，他發(fā)現(xiàn)一名營(yíng)業(yè)員正在給時(shí)，他發(fā)現(xiàn)一名營(yíng)業(yè)員正在給B辦事而另一名營(yíng)業(yè)辦事而另一名營(yíng)業(yè)員正在為員正在為C服務(wù)。還假設(shè)已告訴服務(wù)。還假設(shè)已告訴A ，一旦，一旦B或或C離開離開就為他服務(wù)。如果一個(gè)營(yíng)業(yè)員為一個(gè)顧客所花的時(shí)就為他服務(wù)。如果一個(gè)營(yíng)業(yè)員為一個(gè)顧客所花的時(shí)間服從均值是間服從均值是 的指數(shù)分布。三個(gè)顧客中的指數(shù)分布。三個(gè)顧客中A最后最后離開郵局的概率是多少？離開郵局的概率是多少？ 例例1 解解 考慮考慮A發(fā)現(xiàn)一個(gè)營(yíng)業(yè)員有空的時(shí)刻，此時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)營(yíng)業(yè)員有空的時(shí)刻，此時(shí)B與與C中有中有一個(gè)剛好離開而另一個(gè)仍在接受服務(wù)。一個(gè)剛好離開而另一個(gè)仍在接受服務(wù)。 由指數(shù)分布的無記憶性，這另

35、一個(gè)人在郵局再花由指數(shù)分布的無記憶性，這另一個(gè)人在郵局再花費(fèi)的時(shí)間也服從指數(shù)分布，其均值仍為費(fèi)的時(shí)間也服從指數(shù)分布，其均值仍為 ，即仿佛他才開始服務(wù)即仿佛他才開始服務(wù) ./1/1因此由對(duì)稱性，他在因此由對(duì)稱性，他在A之前結(jié)束服務(wù)的概率為，之前結(jié)束服務(wù)的概率為，故故A最后離開郵局的概率也是最后離開郵局的概率也是 。2/12/1 三、失效率函數(shù)三、失效率函數(shù) 指數(shù)變量的無記憶性可有指數(shù)分布的失效指數(shù)變量的無記憶性可有指數(shù)分布的失效率函數(shù)（也稱風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)）進(jìn)一步予以闡明。率函數(shù)（也稱風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)）進(jìn)一步予以闡明。 1定義定義 設(shè)設(shè) 是一個(gè)非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量是一個(gè)非負(fù)連續(xù)隨機(jī)變量X的分布的分布函數(shù)，其密度

36、函數(shù)函數(shù)，其密度函數(shù) ， )(tF)(tf則則 )()()(tFtft 稱為稱為X 的的失效（或風(fēng)險(xiǎn)）率函數(shù)失效（或風(fēng)險(xiǎn)）率函數(shù)。 )(1)(tFtF)(tXP存活函數(shù)存活函數(shù) 2 的直的直觀解釋觀解釋 為了闡明的意義，把為了闡明的意義，把X設(shè)想為某種元件設(shè)想為某種元件的壽命，且的壽命，且X假定已經(jīng)存活假定已經(jīng)存活t 小時(shí)，我們要小時(shí)，我們要求再過時(shí)間求再過時(shí)間dt它失效的概率，即考慮它失效的概率，即考慮 由于由于 可見可見 表示一個(gè)表示一個(gè)t 歲的元件將失效的可能性大小，歲的元件將失效的可能性大小，即元件將失效的概率強(qiáng)度。即元件將失效的概率強(qiáng)度。 |tXdttXtP|tXdttXtP,tXPtXdttXtPtXPdttXtP)()(tFdttfdtt)()(t)(t 3生起率生起率 假設(shè)壽命分布是指數(shù)分布，那么由無記憶性，假設(shè)壽命分布是指數(shù)分布，那么由無記憶性，一個(gè)一個(gè)t 歲的元件的剩余壽命的分布與一個(gè)新歲的元件的剩余壽命的分布與一個(gè)新元件的壽命分布相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。元件的壽命分布相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。 事實(shí)上事實(shí)上 指數(shù)分布的失效率函數(shù)是常數(shù)。參數(shù)指數(shù)分布的失效率函數(shù)是常數(shù)。參數(shù) 常常稱為分布的稱為分布的生起率生起率（或速率）。（或速率）。 )()()