全等三角形競賽試題(含答案)

1、全等三角形提高練習(xí)1.如圖所示，ABCZkADE,BC的延長線過點E,ZACB=ZAED=105°,ZCAD=10°,ZB=50°,求ZDEF的度數(shù)。關(guān)32.如圖，AOB中，ZB=30°,將ZkAOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°,得到ZkAOB',邊AB與邊OB交于點C（A不在0B上），則ZAZCO的度數(shù)為多少O3.如圖所示，在ABC中，ZA=90°,D、E分別是AC、BC上的點，若左ADBAEDBAEDC,則NC的度數(shù)是多少七4.如圖所示，把ZABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)35°，得到ZABC,A'B'交AC于點

2、D,若NA'DC=90°,則ZA=5.已知，如圖所示,AB二AC,AD«LBC于D,且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm,則AD是多巧,6.如圖，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,分別過點B、C作過點A的垂線BC、CE,垂足分別為D、E,若BD=3,CE=2,則DE=DAE7.如圖，AD是ZABC的角平分線，DE±AB,DF_LAC,垂足分別是E、F,連接EF,交AD氣G,AD與EF垂直嗎證明你的結(jié)論。/A8.如圖所示，在ZkABC中，AD為匕BAC的角平分線，DE±AB于E,DF1AC于F,AABC的

3、面積是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的長.9.已知，如圖：AB二AE,ZB=ZE,ZBAC=ZEAD,ZCAF=ZDAF,求證：AFXCD10.如圖，AD=BD,AD1.BC于D,BE±AC于E,AD與BE相交于點H,則BH與AC相等嗎為什么11.如圖所示，已知，AD為ZkABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求證：BE±ACA12.ADAC.AEBC均是等邊三角形，AF、BD分別與CD、CE交于點M、N,（3）CMN為等邊三角形（4）MN/7BC13.14.如圖所示，己知ABC和ABDE都是等邊三角形，下列結(jié)論：

4、4;AE=CD：BF=BG；BH平分ZAHD；ZAHC=60°:ZkBFG是等邊三角形：FGAD,其中正確的有（A.3個B.4個C.5個D.6個15.已知：BD、CE是ABC的高，點F在BD上，BF=AC,點G在CE的延長線上，CG=AB,求證：AG1AFAe如圖：在ZABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延長線上截取CG=AB,連結(jié)AD、AG4A求證：(1)AD=AGG(2)AD與AG的位置關(guān)系如何E如圖,求證:己知E是正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且ZDAE=ZFAEAF=AD-CF18.如圖所示，已知ABC中，AB=AC,

5、D是CB延長線上一點，ZADB=60°,E是AD上一點，且DE=DB,求證：AC=BE+BCA19.如圖所示，已知在AEC中，ZE=90°,AD平分ZEAC,DF_LAC,垂足為F,DB=DC,求證：BE=CF20.已知如圖：AB=DE,直線AE、BD相交于C,ZB+ZD=180°,AFDE,交BD于F,求證：CF=CD21.如圖，OC是ZAOB的平分線，P是OC上一點，PD±OA于D,PE10B于E,F是OC上一點，連接DF和EF,求證：DF=EF<22.己知：如圖，BF±AC于點F,CE1AB于點E,且BD=CD,求證：(1)ZBDE

6、竺zCDF(2)點D在NA的平分線上23.如圖，己知ABCD,0是NACD與匕BAC的平分線的交點，OEJ_AC于E,且0E=2,則AB與CD之間的距離是多少24.如圖，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN,使AMBN,按下列要求畫圖并回答：畫NMAB、ZNBA的平分線交于E（1）ZAEB是什么角（2）過點E作一直線交AM于D,交BN于C,觀察線段DE、CE,你有何發(fā)現(xiàn)（3）無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E,AD+BC=AB：AD+BOCD誰成立并說明理由。，。m25.如圖，MBC的三邊AB、BC、CA長分別是2。、3。、4。，其三條角平分線將ZABC分為券個三角形,則S

7、aabo：Sabco：Sacao等于26. 正方形ABCD中，AC、BD交于0,ZEOF=90°,已知AE=3,CF=4,則S"EF為多少27. 如圖，在RtAABC中，ZACB=45°,ZBAC=90°,AB=AC,點D是AB的中點，AF_LCD于H,交BC于F,BEAC交AF的延長線于E,求證：BC垂直且平分DE28. 在ZABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD±MN于D,BE±MN于E（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：DE=AD+BE（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，求證：D

8、E=AD-BE（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系請直接寫出這個等量關(guān)系。1解：VAABCAAED.ZD=ZB=50°/ZACB=105°）ZACE=75°V ZCAD=10°ZACE=75°ZEFA=ZCAD+ZACE=85°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）同理可得ZDEF=ZEFA-ZD=85°-50°=35°2根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得ZB=ZB,因為ZkAOB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)52。，所以ZBOB，=52。，而ZA*CO是B9C的外角，所以ZAX

9、O=ZBZBOB然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.解答:解：是由ZkAOB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到，ZB=30AZB/=ZB=30°,V AAOB繞點0順時針旋轉(zhuǎn)52。，.ZBOBZ=52%/ZAZCO是B，OC的外角，ZAfCO=ZBz+ZBO.故選D.3全等三角形的性質(zhì)：對頂角、鄰補角；三角形內(nèi)角和定理.分藥,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ZA=ZDEB=ZDEC,ZADB=ZBDE=ZEDC,根據(jù)鄰補角定義求出ZDEC.ZEDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.解答:解：.'ADB絲ZkEDB絲ZkEDC,.-ZA=ZDEB=ZDEC,ZADB=ZBDE=ZEDC,/ZDEB+

10、ZDEC=180%ZADB+ZBDE+EDC=180.ZDEC=90ZEDC=60°,ZC=180°-ZDEC-ZEDC,=180o-90°-60o=30°.4分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得知ZACAT5。，從而求得NA，的度數(shù)，又因為NA的對應(yīng)角是ZA即可求出NA的度數(shù).）解答：解：三角形ABC繞著點C時針旋轉(zhuǎn)35。，得到ABC.NACA'=35°,ZAlDC=90°ZAJ=55%NA的對應(yīng)角是ZA即ZA=ZAZA=55°；故答案為：55。點評:此題考查了旋轉(zhuǎn)地性質(zhì)；圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉(zhuǎn)固

11、定角度的位置移動.其中對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變.解題的關(guān)鍵是正確確定對應(yīng)角5因為AB二AC三角形ABC是等腰三角形所以AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因為AD垂直于BC于D,所以BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6解:VBD±DE,CE1DEcAZD=ZEZBAD+ZBAC+ZCAE=180°又VZBAC=90°,AZBAD+ZCAE=90°.在RtAABD中，ZABD+ZBAD=90°AZA

12、BD=ZCAE.在ABD與ZCAE中ZABD=ZCAEZD=ZEAB=AC/.AABDACAE(AAS)BD=AE,AD=CEVDE=AD+AE/.DE=BD+CEVBD=3,CE=2/.DE=57證明：.胡。是NBAC的平分線AZEAD=ZFAD又.DE_LAB,DF±ACZAED=ZAFD=90°邊AD公共ARtAAEDRtAAFD(AAS)AAE=AF即AAEF為等腰三角形而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線AAD1底邊EF(等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合(簡寫成“三線合一)8AD平分ZBAC,貝IJZEAD=ZFAD>ZEDA=ZDF

13、A=90AD=AD所以AEDAAFDDE=DFSAABC=SAAED+SAAFD28=l/2(AB*DE+AC*DF)=l/2(20*DE+8*DE)DE=29AB=AE,ZB=ZE,ZBAC=ZEAD則左ABC絲ZXAEDAC=ADAACD是等腰三角形ZCAF=ZDAFAF平分ZCAD則AF±CD10 解：VAD±BCZADB=ZADC=90AZCAD+ZC=90VBEXAC.ZBEC=ZADB=90AZCBE+ZC=90.ZCAD=ZCBEVAD=BDAABDHAADC（ASA）.BH=AC11 解：（1）證明：VAD1BC（已知），AZBDA=ZADC=90o（垂直定

14、義），.Zl+Z2=90°（直角三角形兩銳角互余）.在RtABDF和RtAADC中，.-RtABDFRtAADC（）.AZ2=ZC（全等三角形的對應(yīng)角相等）.VZl+Z2=90°（己證），所以Zl+ZC=90°.VZ1+ZC+ZBEC=18O°（三角形內(nèi)角和等于180°）,AZBEC=90°.ABE±AC（垂直定義）;12證明：（1）.DAC、ZkEBC均是等邊三角形，.AC=DGEC=BC,ZACD=ZBCE=60%ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE,即ZACE=ZDCB.在ZkACE和zDCB中，AC=DCZACE=

15、ZDCBEC=BCACE絲ZkDCB（SAS）AAE=BD（2）由（1）可知：ZACE絲DCB,AZCAE=ZCDB.即匕CAMNCDN.DAC、AEBC均是等邊三角形，.AC=DGZACM=ZBCE=60°.又點A、C、B在同一條直線上，ZDCE=180°-ZACD-ZBCE=180°60°-60°=60°,即ZDCN=60°.ZACM=ZDCN.在ZkACM和ZkDCN中，ZCAM=ZCDNAC=DCZACM=ZDCNAAACMADCN（ASA）ACM=CN.（3）由（2）可知CM二CN,NDCN二60°.CM

16、N為等邊三角形由（3）知ZCMN=ZCNM=ZDCN=60°（.ZCMN+ZMCB=180°MN/BC13分析:（1）由等邊三角形可得其對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，進而可由SAS得到CANAMCB,結(jié)論得證：（2）由（1）中的全等可得ZCAN=ZCMB,進而得出ZMCF=ZACE.由ASA得出CAE竺ZkCMF,即CE=CF,又ECF=60。，所以CEF為等邊三角形.解答：證明：(1).ACM,ACBN是等邊三角形，.AC=MC,BC二NC,ZACM=60°,ZNCB=60°,在ZkCAN和AMCB中，AC=MC,ZACN=ZMCB,NC=BC,AACAN

17、AMCB(SAS),AAN=BM.(2)VACANTACMB,AZCAN=ZCMB,又VZMCF=180o-ZACM-ZNCB=180°-60o-60°=60.ZMCF=ZACE,在ZCAE和ZkCMF中，ZCAE=ZCMF,CA=CM,ZACE=ZMCF,CAE竺ZkCMF(ASA),CE=CF,.CEF為等腰三角形，又VZECF=60°,CEF為等邊三角形.點評:本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用.14考點：等邊三角形的性質(zhì)：全等三角形的判定與性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析:由題中條件可得左ABE絲ZkCBD,得出對應(yīng)邊、

18、對應(yīng)角相等，進而得出左BGDABFE,AABFACGB,再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進而可得出結(jié)論.解答:解：VAABC與ZBDE為等邊三角形，AAB=BC,BD二BE,ZABC=ZDBE=60°,ZABE=ZCBD>即AB=BC,BD=BE,ZABE=ZCBD.ABE絲ZCBD,AE=CD,ZBDC=ZAEB,又VZDBG=ZFBE=60%BGD絲ZkBFE,ABG=BF,ZBFG=ZBGF=60%.BFG是等邊三角形，.FGAD,VBF=BG,AB=BC,ZABF=ZCBG=60°,ABF絲ACGB,.ZBAF=ZBCG,ZCAF+ZACB+ZBCD=Z

19、CAF+ZACB+ZBAF=60°+60°=120°,ZAHC=60%/ZFHG+ZFBG=120°+60°=180%AB.G、H、F四點共圓,VFB=GB,AZFHB=ZGHB,ABH平分ZGHF,題中都正確.故選D.點評:本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握.15考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：仔細分析題意，若能證明八ABF絲ZkGCA,則可得AG=AF.在ABF和AGCA中，有BF二AC、CG=AB這兩組邊相等，這兩組邊的夾角是NABD和ZACG,從己知條件中可推出/ABDNACG.在RtAAGE中

20、，ZG+ZGAE=90而ZG=ZBAF,則可得出ZGAF=90%即AG_LAF.解答：解：AG=AF,AG1AF.VBD.CE分別是ZABC的邊AC,AB上的高.ZADB=ZAEC=90°AZABD=90°-ZBAD,ZACG=90°-ZDAB,AZABD=ZACG在ZABF和ZkGCA中BF=ACZABD=ZACGAB=CGAAABFAGCA(SAS).AG=AFZG=ZBAFj又NG+/GAE=90度.AZBAF+ZGAE=90度.ZGAF=90°.AG_LAF.點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)：要求學(xué)生利用全等三角形的判定條件及等量關(guān)系靈活解

21、題,考查學(xué)生對幾何知識的理解和掌握，運用所學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，范圍較廣.161、證明：VBEXACZAEB=90AZABE+ZBAC=90VCF±AB)ZAFC=ZAFG=90AZACF+ZBAC=90,ZG+ZBAG=90AZABE=ZACFVBD=AC>CG=ABAAABDAGCA(SAS)AAG=AD2、AG1AD證明vAabdAgca.ZBAD=ZG.AZGAD=ZBAD+ZBAG=ZG+ZBAG=90AAG±AD17過E做EG1AF于G,連接EFVABCD是正方形.ZD=ZC=90°AD=DCVZDAE=ZFAE,ED1AD,EG1AFA

22、DE=EGAD=AG.E是DC的中點ADE=EC=EGVEF=EFRtAEFGRtAECFAGF=CF.AF=AG+GF=AD+CF18因為：角EDB=60°DE=DB所以：AEDB是等邊三角形，DE=DB=EB過A作BC的垂線交BC于F因為：AABC是等腰三角形所以：BF=CF,2BF=BC又：角DAF=30°所以:AD=2DF又：DF=DB+BF所以：AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=2DB+BC（AE+ED）=2DB+BC,其中ED=DB所以：AE=DB+BC,AE=BE+BC19補充：B是FD延長線上一點：ED=DF（角平分線到兩邊上的距離相等）：BD=CD；

23、角EDB=FDC（對頂角）：則三角形EDB全等CDF：則BE=CF：或者補充：B在AE邊上；ED=DF(角平分線到兩邊上的距離相等)：DB=DC則兩直角三角形EDB全等CDF(HL)即BE=CF20解：VAF/DEAZD=ZAFCVZB+ZD=180°/,ZAFC+ZAFB=180°AZB=ZAFB(AAB=AF=DEAAFC和EDC中：ZB=ZAFBzZACF=ZECD(對頂角)，AF=DEAAFCAEDC/.CF=CD21證明：.點P在ZAOB的角平分線OC上，PE10B,PD±AO,PD二PE,ZDOP=ZEOP,ZPDO=ZPEO=90%AZDPF=ZEP

24、F,在ZkDPF和AEPF中PD=PE)ZDPF=ZEPFPF=PF(SAS),AADPFAEPF.DF=EF.22考點:全等三角形的判定與性質(zhì).專題:證明題.分析:（1）根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得ZBED竺ZkCFD：（2）連接AD.利用（1）中的ABED竺ZCFD,推知全等三角形的對應(yīng)邊ED=FD.因為角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以點D在匕A的平分線上.解答:AFC證明：（1）VBFXAC,CE±AB,ZBDE=ZCDF（對頂角相等），azb=zc（等角的余角相等）；在RtABED和RtACFD中,ZB=ZCBD=CD(己知)ZBDE=ZCDFAABEDACFD

25、(ASA)；（2）連接AD由（1）知，BEDWZkCFD,AED=FD（全等三角形的對應(yīng)邊相等），AD是NEAF的角平分線，即點D在NA的平分線上.點評:本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).常用的判定方法有：ASA,AAS,SAS,SSS,HL等，做題時需靈活運用.公考點:角平分線的性質(zhì).分析:要求二者的距離，首先要作出二者的距離，過點。作FGJ_AB,可以得到FGXCD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，OE=OF=OG,即可求得AB與CD之間的距離.A,尸B*解答:CG。解：過點。作FG±AB,.'ABCD,.ZBFG+ZFGD=180°,VZBFG=90%.ZFGD=90

26、.FG_LCD,.FG就是AB與CD之間的距離.O為ZBAC,ZACD平分線的交點,OEXAC交AC于E,AOE=OF=OG（角平分線上的點,到角兩邊距離相等），AAB與CD之間的距離等于2OE=4故答案為：4.點評:本題主要考查角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，作出AB與CD之間的距離是正確解決本題的關(guān)鍵.4考點:梯形中位線定理：平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理：等腰三角形的性質(zhì).專題:作圖題：探究型.分析:（1）畚兩直線平行同旁內(nèi)角互補，及角平分線的性質(zhì)不難得出Zl+Z3=90°,再由三角形內(nèi)角和等于180%即可得出ZAEB是直角的結(jié)論：（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM

27、,由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系，進一步求出邊之間的關(guān)系：（3）由（2）中得出的結(jié)論可知EF為梯形ABCD的中位線，可知無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E,AD+BC的值總為一定值.解答:解：（1）AMBN,AZMAB+ZABN=180°,又AE,BE分別為NMAB、ZNBA的平分線，AZ1+Z3=7（ZMAB+ZABN）=90°,ZAEB=180°-Zl-Z3=90%即NAEB為直角：(2)過E點作輔助線EF使其平行于AM,如圖則EFADBC,.-ZAEF=Z4,ZBEF=Z2,VZ3=Z4,Zl=Z2tAZAEF=Z3,ZBEF=Z1,

28、.F為AB的中點,又EFADBC,根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點,AED=EC；（3）由（2）中結(jié)論可知，無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E,總滿足EF為梯形ABCD中位線的條件，所以總有AD+BC=2EF=AB.點評:本題是計算與作圖相結(jié)合的探索.對學(xué)生運用作圖工具的能力，以及運用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，及梯形中位線等基礎(chǔ)知識解決問題的能力都有較高的要求.B25C衛(wèi)如圖，AABC的三邊AB,BC,CA長分別是20,30,40,其三條角平分線將ABC分為三個三角形，則Saabo：Sabco：S.t.cao等于（）A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5考點:角平分線的性質(zhì).專題:數(shù)形結(jié)合.分杭利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質(zhì)，可知三個三角形高相等，底分別是20,30,40,所以面積之比就是2：3：4.解答:解：利用同高不同底的三角形的面積之比就是底之比可知選C.故選C.點評:本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)及三角形的面積公式.做題時應(yīng)用了三個