現(xiàn)代信號處理技術(shù)

1、第十一章第十一章 現(xiàn)代信號處理技術(shù)現(xiàn)代信號處理技術(shù)這里只介紹時頻分析、高階譜分析、小波分析和獨立成分分析及其在生物醫(yī)學(xué)信號處理中的應(yīng)用 第一節(jié)第一節(jié) 時頻分析時頻分析(Time-Frequency Analysis) 一、時頻分析的基本方法 一般來說, 時頻分析方法具有很強的能量聚集作用, 不需知道信號頻率隨時間的確定關(guān)系, 只要信噪比足夠高, 通過時頻分析方法就可在時間頻率平面上得到信號的時間頻率關(guān)系。時頻分析主要用來尋找信號的特征。時頻分析方法主要采用一些特殊的變換來突出信號的特征點,在非平穩(wěn)信號的處理中具有突出的優(yōu)越性。 二、短時傅立葉變換二、短時傅立葉變換(Short Time Fou

2、rier Transform , STFT ) 我們將一個信號的STFT定義如下: (11-1) 其中h(t) 是窗函數(shù). 沿時間軸移動分析窗, 我們可以得到兩維的時頻平面。STFT 方法最大的優(yōu)點是容易實現(xiàn)。 STFT 分析實質(zhì)上是限制了時間窗長的Fourier分析. STFT只能選定一個固定的窗函數(shù), 且STFT 分析受限于不確定性原理, 較長的窗可以改善頻域解但會使時域解變糟; 而較短的窗盡管能得到好的時域解, 頻域解卻會變得模糊。 1( , )( ) ()2i tStesht d三、三、Wigner-Ville 分布分布(WVD) 實際信號s(t) 的Wigner-Ville 分布定義

3、為: (11-2) 式中: x(t)為s(t)的解析信號。 在Wigner-Ville 分布中使用解析信號x(t)而不是原實際信號s(t)的優(yōu)點在于: 第一,解析信號的處理中只采用頻譜正半部分,因此不存在由正頻率項和負(fù)頻率項產(chǎn)生的交叉項；第二,使用解析信號不需要過采樣,同時可避免不必要的畸變影響。 *( , )() ()22jWVDtx tx ted四、四、Choi-Williams 分布分布(CWD) WD分布來源于廣義時頻分布，定義為： (11-3) 22()*42( , )() ()422t ujCWD tex ux uedud 通常,在處理幅度和頻率變化較大的信號時取較大的R(R1)值

4、;反之,則取較小R(R1) 值。CWD滿足多數(shù)所希望的時頻特性,其抑制交叉項的能力還取決于被分析信號的時頻結(jié)構(gòu)。因此,實際應(yīng)用中需要綜合考慮。五、五、Cone 核分布核分布(CKD) 等等 當(dāng)核函數(shù) 時，廣義時頻分布進一步變成Cone核分布： (11-4)式中， 。 21(, )0ett 其 它2*1( , )() ()22jCKD tex ux uedud tCKD 具有較好的抑制橫向交叉項的能力, 適合處理這樣的信號, 即在一個小的范圍內(nèi)頻率分布是正值, 而在此之外頻率分布是負(fù)值, 參數(shù)R確定范圍的大小。 六、六、Hilbert變換與瞬時頻率變換與瞬時頻率 對任意時間序列x(t), 可得到

5、它的Hilbert 變換: (11-5)定義瞬時頻率為: (11-6)定義了瞬時頻率, 就可以得到信號各個時間點的頻率變化情況。比起傳統(tǒng)的小波分析等方法, 這種計算頻率的方法不再受限于不確定性原理（還比如傅氏變換）。然而需要指出的是, 瞬時頻率是時間的單值函數(shù), 因而在任意給定時刻只有一個頻率值, 也就是說它只能描述一種成份。對于單成份的信號, 它才能夠給出比小波分析更為精確的時頻描述。( )( )dttdt1( )( )x ty tPdttt第二節(jié)第二節(jié) 高階譜分析高階譜分析 采用高階累計量方法處理生理信號，它的主要優(yōu)點有：抑制加性有色噪聲；辨識非最小相位系統(tǒng)；抽取由于高斯性偏離引起的各種信

6、息；既包含幅度信息又包含相位信息。 利用高階統(tǒng)計量進行頻譜分析，存在著經(jīng)典法和參數(shù)模型法。經(jīng)典法利用快速傅里葉變換及加窗技術(shù)進行譜估計，要求有較長的觀測數(shù)據(jù)，否則，估計的方差很大且分辨率低，根源還是傅立葉變換的缺點。針對這一情況，多采用基于三階累積量的非高斯AR模型法進行參數(shù)化雙譜估計。 與功率譜分析比較，運用基于高階累計量的譜估計算法估計信號，消除了高斯噪聲的影響，使估計結(jié)果更準(zhǔn)確，并且保留了信號的相位特性，提供更多的內(nèi)在信息。 第三節(jié)第三節(jié) 小波分析基礎(chǔ)小波分析基礎(chǔ) 小波分析包括小波變換到小波基的構(gòu)造以及小波的應(yīng)用一系列的知識，本節(jié)簡單地介紹一下小波分析的產(chǎn)生、發(fā)展、基本要素以及一維小波變

7、換，連續(xù)小波變換等小波基礎(chǔ)。一、小波的引入小波分析是傅立葉分析最輝煌的繼承、總結(jié)和發(fā)展。 1. Fourier1. Fourier變換變換 1822年，F(xiàn)ourier正式出版推動世界科學(xué)研究進展的巨著熱的解析理論（The Analytic Theory of Heat）。由于這一理論成功地求解了困擾科學(xué)家150年之久的牛頓二體問題微分方程，因此Fourier分析成為幾乎每個研究領(lǐng)域科學(xué)工作者樂于使用的數(shù)學(xué)工具，尤其是理論科學(xué)家。目前，F(xiàn)ourier的思想和方法得到廣泛應(yīng)用。 2. Fourier分析的主要內(nèi)容分析的主要內(nèi)容 從本質(zhì)上講，F(xiàn)ourier變換就是一個棱鏡（Prism），它把一個信號

8、函數(shù)分解為眾多的頻率成分，這些頻率又可以重構(gòu)原來的信號函數(shù)，這種變換是可逆的且保持能量不變。圖11-1 傅立葉變換與棱鏡二、小波分析的發(fā)展歷程二、小波分析的發(fā)展歷程 1.1.小波分析起源與追蹤小波分析起源與追蹤 1981年，Morlet仔細研究了Gabor變換方法，對Fourier變換與加窗Fourier變換的異同、特點及函數(shù)構(gòu)造做了創(chuàng)造性研究，首次提出了“小波分析”概念，建立了以他的名字命名的Morlet小波。 2. 多分辨分析及多分辨分析及Mallat算法的建立算法的建立 Mallat與Meyer創(chuàng)立多分辨分析和Mallat算法。3. Daubechies小波的提出小波的提出 Daubec

9、hies建立了著名的Daubechies小波，這種小波是目前應(yīng)用最廣泛的一種小波,不能用解析公式給出，只能通過迭代方法產(chǎn)生，是迭代過程的極限。 三、小波分析的基本思想、基本原理與基本方法三、小波分析的基本思想、基本原理與基本方法 1 小波分析的主要內(nèi)容小波分析的主要內(nèi)容 小波基的構(gòu)造與選擇，快速小波算法 ,對小波變換本身的研究 ,對應(yīng)用場合的合理把握.定義 函數(shù)(t)是小波函數(shù)，如果它滿足 （11-16）或者 定義（11-16）對小波函數(shù)的要求非常寬松，只要具有一定振蕩性即某種頻率特性即可。這就為小波函數(shù)的選擇提供了十分廣闊的空間。小波函數(shù)（t）的平移和伸縮2-j/2（2-jt-k）|j,kZ

10、 構(gòu)成L2（R）的一組正交小波基。 2 小波函數(shù)小波函數(shù) 2( )oCd ( )0t dt3 尺度函數(shù)尺度函數(shù) 定義函數(shù)是尺度函數(shù)，如果它滿足條件（） A，B為正常數(shù)。（） kZ，k0，m0，1，.，L1。（III）尺度函數(shù)有兩個重要作用：（1）它給出分析的起始點；（2）它使得快速計算小波系數(shù)成為可能。 20(2)k ZAkB ()(0 )1,(2)0mk( )( ) (2)k Zth ktk4 小波包小波包 不嚴(yán)格地講，小波包就是一個小波函數(shù)與一個擺動振蕩函數(shù)的乘積。小波包的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義如下 :定義: 設(shè)（t）, （t）分別為小波函數(shù)與尺度函數(shù)，g(n),h(n)分別為高通濾波器與低通濾波器

11、系數(shù)，g(n)=（-1）nh（1-n），令 (11-21)于是有 (11-22)則由 (11-23) 定義的函數(shù)n,n=2+1,=0,1,稱為關(guān)于正交尺度函數(shù)0= 的小波包。 01 ()()()()tttt0010( )( )(2)( )( )(2)nnth ntntg ntn221()(2)()(2)nnh ntng ntn四、一維小波分析四、一維小波分析 1 小波變換小波變換 小波變換指信號與局部化特性良好的小波函數(shù)的內(nèi)積，即 。 設(shè)信號 ， 為母小波函數(shù)， 。a是非零實數(shù)，b是實數(shù)。那么的小波變換為 (11-24)如果為實函數(shù)，那么上式變成 (11-25),( ),( )( )( )a

12、ba bf ttf tt dt2 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 2( )( )f tL R( ) t12,( )()a btbtaa12,( , )( , )( ),( )( )()abt bWf a bCWT a bf ttf t adta12,( , )( , )(),()() ()abt bWf abCWT abf ttaf tdta假定 、 的窗函數(shù)的中心與半徑分別為 ， ，則 及其Fourier變換的窗函數(shù)中心與半徑分別為 ， ，于是連續(xù)小波變換就形成了對時間t和頻率w能同時局部化的時間頻率窗這就是著名的連續(xù)小波變換時間頻率窗。正因為如此，小波可以在時頻（t，w）兩相精確定位，而被譽為數(shù)

13、學(xué)的顯微鏡。*(,)t*(,)()tba*(,)bat a*1(,)aa( ) t( ) 88*11, ,b atab ataaaaa 3 離散小波變換離散小波變換 設(shè)信號 取離散值 ， 為有限能量信號， 為母小波函數(shù)， ，則離散式 ，那么離散小波變換為： (11-27)()f t( )f k( )f k( ) t2,( )2(2)mmm nttn2,( )2(2)mmm nkkn/2( , )2( ) (2)mmkDWTfDWT m nf kkn4 一維一維Mallat算法算法 設(shè)尺度函數(shù)為 ，對應(yīng)的小波函數(shù)為 ，滿足尺度方程 其中 ，同時可以構(gòu)造相應(yīng)的MRA系統(tǒng)。那么 信號 在尺度j下所平

14、滑的信號 為 (11-29)( ) x( )( ) (2)( )( ) (2)nnxh nxnxg nxn1( )( 1)(1)ng nhn ()f xdjA f/2,( ),( )2( ) (2)djjjj kA ff xxf xx k dx( ) x在尺度j下的細節(jié)信號 為 (11-30) 信號分解的過程是j1尺度到j(luò)尺度的逐步分解過程，即對信號從分辨率高到低的過程，具體是把 分解為 和 ，總結(jié)如下： (11-31)jD f/2,( ),( )2( ) (2)jjjjkDff xxf xx kdx1djA fdjA fjD f11(2 )(2 )ddjjkdjjkA fh kn AfD f

15、g kn Af第五節(jié)第五節(jié) 獨立成分分析技術(shù)獨立成分分析技術(shù)一、ICA的定義 假設(shè)我們獲得了n個線性混合信號： j=1n （11-34）即： （11-35） 混合向量x1，xn構(gòu)成矩陣X，s1，sn構(gòu)成矩陣S，混合矩陣A的元素是aji。那么（11-35）式可以寫成： （11-36）方程（11-36）的統(tǒng)計模式被稱為獨立成份分析或ICA模式， 1 122.jjjjnnxa sasa s1njjiiixasXAS圖11-5 ICA混合模式 圖11-6 分離獨立成份模式二、獨立性二、獨立性 數(shù)學(xué)上，獨立性可以由概率密度來解釋。令p(y1,y2)為聯(lián)合概率密度函數(shù)，p(y1)為邊緣概率密度函數(shù)，那么：

16、 （11-38）同理可得p(y2)。變量y1和y2相互獨立，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下式： （11-39）11122()(,)pypyydy121122(,)()()p y yp y py四、四、ICA估計的原理估計的原理 非高斯就是獨立的非高斯就是獨立的直觀地講估計直觀地講估計ICA模型的關(guān)鍵就是非高斯性模型的關(guān)鍵就是非高斯性。 2. 峰度值（峰度值（Kurtosis）經(jīng)典的測量非高斯性就是峰度值（kurtosis）或四階累積量。y的峰度值定義為： （11-43） 3. 負(fù)熵（負(fù)熵（Negentropy）和負(fù)熵近似（）和負(fù)熵近似（Approximations of Negentropy）負(fù)熵負(fù)熵 在某些

17、簡單假設(shè)下熵就是隨機變量的編碼長度熵就是隨機變量的編碼長度。 離散隨機變量Y的熵H 定義為： （ 1 1 -46） ai是Y的可能值。 422( )3( )kurt yE yE y( )()log()iiiH YP YaP Ya 隨機向量y及其密度f(y)的微熵定義為： （11-47）信息理論的一個基本結(jié)論是：在所有相同方差下的隨機變在所有相同方差下的隨機變量中，高斯變量有最大的熵量中，高斯變量有最大的熵。為了讓獲得的非高斯性測量一直為非負(fù)值（高斯變量為0），我們經(jīng)常采取對微熵的形式做一修改的辦法，稱為負(fù)熵。負(fù)熵J定義為： （11-48）ygauss是與y具有同樣協(xié)方差矩陣的高斯隨機變量?？梢?/p>

18、負(fù)熵一直非負(fù)，當(dāng)且僅當(dāng)y是高斯分布是為0。負(fù)熵的另一個有意義的特性是它對可逆線性變換無變化。 ( )( )log( )H yfyfy dy ( )()( )gaussJ yH yH y(2) 負(fù)熵近似負(fù)熵近似 4 互信息量最小化互信息量最小化 互信息量互信息量 (3) 互信息量定義的互信息量定義的ICA (1) 既然互信息量是隨機變量獨立性的信息理論測量法，我們就可以用之作為尋找ICA變換的判句。 近似負(fù)熵的經(jīng)典方法是采用高階矩。 采用微熵的概念定義m（尺度）隨機變量的互信息量為： （11-53）互信息量是隨機變量間獨立的自然測量。事實上它等效于聯(lián)合密度f(y)和邊緣密度乘積之間的著名Kull

19、back-Leibler分散。它它為零，當(dāng)且僅當(dāng)變量統(tǒng)計獨立為零，當(dāng)且僅當(dāng)變量統(tǒng)計獨立。 121( ,.,)( )( )mmiiI y yyH yH y5 極大似然估計極大似然估計 一個更常用的估計ICA模型的方法是極大似然估計，它與信息極大原理密切相關(guān)。 (1) 信息極大原理信息極大原理 假設(shè)x是輸入，輸出的格式是，是一些非線性尺度函數(shù)，wi是神經(jīng)元的權(quán)向量。使輸出的熵最大化： （11-58） 如果選擇得當(dāng)，這個框架也能夠估計ICA模式?？梢宰C明網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)熵最大化或信息極大原理相當(dāng)于極大似然估計熵最大化或信息極大原理相當(dāng)于極大似然估計。顯然極大似然估計ICA的原理就是求解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的最大熵，也是一個最優(yōu)化問題。 (2) 極大似然估計與互信息量的聯(lián)系極大似然估計與互信息量的聯(lián)系 211(),.,()TTnnLHw xw x為了考察極大似然估計和互信息量間的聯(lián)系，考慮對數(shù)似然（方程11-57）的期望： （11-59）如果fi等于的實際分布（因為我們起先假設(shè)它為si的分布），上式左邊第一項等于，因此似然等于負(fù)的互信息量加一個額外的常數(shù)。 實際應(yīng)用時，這種聯(lián)系更強烈。因為實際應(yīng)用中我們不知道獨立成份的分布。作為極大似然估計的一部分，用一個合理的方法估計 的密度，并用它作為si的密度的近似，此時似然法和互信息對于所有的實際目的是等效的。 1