2017年度高等考試全國(guó)3卷理科數(shù)學(xué)試題和答案解析

1、2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)）理科數(shù)學(xué)（試題及答案解析）3 .某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.、選擇題：（本題共 12 小題,每小題 5 分，共 60 分）1 .已知集合 A (x, y) x21 ,B（x, y）y x，則 A|B 中元素的個(gè)數(shù)為（）B.2C. 1【答案】1上所有點(diǎn)的集合，B表示直線y x上所有點(diǎn)的集合, 故A IB表示兩直線與圓的交點(diǎn)，由圖可知交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_2 2A表示圓 x y-n- 為 2，故選B.即B元素的個(gè)數(shù)2 .設(shè)復(fù)

2、數(shù)z滿足（112C【答【解由i)z2i1 i2i，則 z ()B.二22i 1 i 2i 21 i 1 i 2C.21，則|z ,12122，故選 C.3根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A 月接待游客量逐月增加B .年接待游客量逐年增加C 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D .各年 1 月至 6 月的月接待游客量相對(duì) 7 月至 12 月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】【解析】由題圖可知，2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在減少，則A 選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選 A.4. (xA.5y)(2x y)的展開式中 x y 的系數(shù)為B.()C. 40D . 80【答案】【解析】由二項(xiàng)式定理可得

3、，原式展開中含yC522x y32x33x y 的項(xiàng)為333340 x y，則 x y 的系數(shù)為 40 ,故選 C.的一條漸近線方程為x，且與橢圓2x12y_31有公共焦點(diǎn).則C 的方程為2222A.x仏1B.x仏181045【答案】B5 .已知雙曲線b22【解析】雙曲線的一條漸近線方程為ya 0()2xC.52xD .42x又橢圓一122二1與雙曲線有公共焦點(diǎn)， 易知3，則由解得 a2,b5，則雙曲線 C 的方程為2x_4故選 B.6 .設(shè)函數(shù) f(x) cos(x-)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()Of(x)的一個(gè)周期為 2nB.y f(x)的圖像關(guān)于直線x 寧對(duì)稱C.f(x )的一個(gè)零點(diǎn)為f (

4、x)在，n單調(diào)遞減【答案】【解析】函數(shù) f xncos x 的圖象可由C0Sx向左平移f個(gè)單位得到，39 .等差數(shù)列 務(wù)的首項(xiàng)為 1，公差不為 0 .若a2,a3,a6成等比數(shù)列，則an前 6 項(xiàng)的A.5B.4C.3D.2【答案】D【解析】程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示:SM初始狀態(tài)0100第 1 次循環(huán)結(jié)束10010第 2 次循環(huán)結(jié)束901此時(shí) S 90 91 首次滿足條件，程序需在N 2 為滿足條件的最小值，故選 D.t123/如/i1*,時(shí)100, $7-4/若岀 m/T丄MJ10（5DrETt 3 時(shí)跳出循環(huán)，即8 .已知圓柱的高為 1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為積為（）3nnA.nB.C.-

5、42【答案】B【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑r則圓柱體體積 Vn2h手，故選 B.4D.的最小值為（）2 的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體和為()A.24B.C. 3【答案】A【解析】 an則 a3為等差數(shù)列，且a2a6，即ai又 ai1，代入上式可得又Td0 ,a2,a3, a6成等比數(shù)列，設(shè)公差為 d .22dai2d 2dd a 5dS66ai則 dd2224，故選 A.2x10 .已知橢圓C：2a徑的圓與直線 bxA .邁3【答案】A【解析】以2y孑ay2abd0 相切,B.3A A 為直徑為圓與直線bx2ab| 2aa b的左、右頂點(diǎn)分別為 A,A，且以線段

6、HA 為直則 C 的離心率為()3C.ay 2ab 0 相切,圓心到直線距離 d 等于半徑,又a 0,b 0,則上式可化簡(jiǎn)為 a2b2 -e【答案】C【解析】由條件，f(2 x)2可得a 3故選 A23b2即a2x 1x 2x a(eex1)有唯一零點(diǎn)，貝 Ua11B.-C.二3211 .已知函數(shù) f(x)()f(x)2x2xa(ex 1x 1e )，得：(22x)2(2x)2 x 1(2 x) 1a(ee)2x 4x4 42xxx 1a(ee )2x 2xz x 1a(eex1) f (2 x) f (x)，即 x 1 為 f(x)的對(duì)稱軸,由題意，f(x)有唯一零點(diǎn), f (x)的零點(diǎn)只能

7、為 x 1 ,即 f(1) 122 1 a(e11e1 1)0 ,1解得 a -.212 .在矩形 ABCD 中，AB 1,AD 2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn) C 為圓心且與BD相切的圓上.若5AP AB AD，貝 y的最大值為()B. 2 2C.【答案】【解析】由題意，畫出右圖.設(shè)BD與 l$C 切于點(diǎn)E，連接 CE . 以A為原點(diǎn)，AD為x軸正半軸，AB為y軸正半軸建立直角坐標(biāo)系， 則 C 點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).1 , |BC| 2 .BD12225 ./BD切C 于點(diǎn)E.CE 丄 BD . CE 是 Rt BCD 中斜邊 BD 上的高.12S2 - |BC| |CD| EC| 4BCD2|BD|BD|

8、即 l：C 的半徑為2,5 .嚴(yán)50C上./P在P點(diǎn)的軌跡方程為設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)以00) 的參數(shù)方程如下：2/5 cos52#5 sin 52(X 2)(yX02y。而 AP/ AP(爲(wèi) y), ABAB(0,1),AD21)(2,0).1X 12兩式相加得：AD5 cos5(0,1)(2,0)y。(2 ,)2V5sin5(其中245sincos當(dāng)且僅當(dāng)2kn ,k Z 時(shí),可以設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足取得最大值 3.、填空題：(本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分)x13 若x,y滿足約束條件x3x 4y 的最小值為【答案】1【解析】 由題， 畫出可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)為扌x4 縱截距越大，刊直越

9、小.14 設(shè)等比數(shù)列 an【答案】 8【解析】I an 為等比數(shù)列，設(shè)公比為aiq2z 3x 4y，則直線 y由圖可知:44 11aia2aia3ai顯然得13，即代入式可得 aa4aqx 1,xw0,則滿足 f (x)f(x *)1的X的取值范圍是1【答案】54【解析】111f xx 1,xw0 x2 ,x 0f x15 設(shè)函數(shù) f(x)2x,x 0,1 1X1 即 fx1 f x2 ，即 21由圖象變換可畫出 yf x刁與 y1 f x 的圖象如下:由圖可知，滿足 f X 11 f X 的解為 1,16 .a, b 為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC 的直角邊a, b 都垂直

10、，斜邊AB以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：1當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與 b 成30角；2當(dāng)直線AB與a成60角時(shí)，AB與 b 成60角；3直線AB與a所成角的最小值為45;4直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是_（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】【解析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖.不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1,故 |AC| 1 , |AB| 期 2 ,B點(diǎn)起始坐標(biāo)為（0,1,0）4!直線 b 的方向單位向量 b （1,0,0） , |b| 1.其中為 BC 與 CD 的夾角，0,2n.那么AB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量 AB （ cos 設(shè) AB

11、與a 所成夾角為0,；,|( cos , sin ,1) (0,1,0)| 則cosn n故_,，所以正確，錯(cuò)誤.(Xf (x)1 f(x _)設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)B (cos ,sin ,0)AC 所在直線與向,斜邊AB以直線 AC 為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點(diǎn)保持不變,B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C 為圓心，1 為半徑的圓.CD 為x軸正方向，CA 為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則 D(1,0,0) , A(0,0,1),直線a的萬(wàn)向單位向量(0,1,0) , |a| 1 .sin ,1),CB 為y軸正方-i|sin27禺| cos |2當(dāng)AB與 a 夾角為60時(shí)，即 3,3s

12、inL1運(yùn) cosV2cos寸 2 1 13222.2 ./cossin1,I cos| 二.22|, 1 cos| cos |2 2Onn，此時(shí)AB 與 b 夾角為 603正確，錯(cuò)誤.三、解答題：(共 70 分.第 17-20 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22 , 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答)（一）必考題：共 60 分.17 .（ 12 分）ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b , c，已知 sin A . 3 cos A 0, a 2.7 ,b 2.（1 ）求c;_冗【解析】（1 ）由 sin A 3 cos A 0 得2sin A30,2c 125，故c 4.

13、（2）TAC 2,BC 2 7, ABn即AknkZ，又 A0,n , nA2n An，得33.由余弦定理2a b22c 2bc cos A .又/a 2 7, b 2,cosA1-代入并整理得(2)設(shè)D為 BC 邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積.72b2由余弦定理 cosC -2、72ab AC AD，即ACD為直角三角形,則AC CD cosC，得 CD 7由勾股定理AD J|CD|AC韶.nAB sin 618 . （12 分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4 元，售價(jià)每瓶 6 元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2 元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天

14、需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為 500 瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25，需求量為 300 瓶；如果最高氣溫低于 20 ,需求量為 200 瓶，為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,1515,2020,2525,3030 ,3535,40天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求 六 月 份 這 種 酸 奶 一 天 的 需 求 量X（ 單 位 ： 瓶 ） 的 分 布 列 ；（2） 設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位： 元） .當(dāng)六月份這種酸奶一

15、天的 進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解析】易知需求量x可取200,300,5002 161PX2003035PX3003623035PX500257423035則分布列為:X200300500122P555當(dāng) n 200 時(shí)：丫 n 6 4 2n ,此時(shí) Ymax400，當(dāng) n 200 時(shí)取到.41當(dāng) 200 n 300 時(shí)：Y2n200552n 20028 8002n6n 800n555此時(shí) Ymax520，當(dāng) n 300 時(shí)取到.當(dāng) 300 n 500 時(shí)，易知Y定小于的情況綜上所述：當(dāng) n 300 時(shí)，Y取到最大值為 520.19 .( 12 分)如圖，四面體

16、ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形.ABD 二CBD ,ABBD.(1)證明：平面 ACD 平面 ABC ;(2 )過(guò) AC 的平面交BD于點(diǎn)E，若平面 AEC 把四面體 ABCD 分成體積相等的兩部分求二 面角 D .AE .C的余弦值.【解析】取 AC 中點(diǎn)為 O ,連接 BO , DO ;；ABC 為等邊三角形BO ACAB BCAB BCBD BDABD CBD .ABD DBC AD CD ,即卩 ACD 為等腰直角三角形，ADC為直角又 O 為底邊 AC 中點(diǎn) DO AC由勾股定理的逆定理可得DOB -2即 OD OBOD ACOD OBACOB OOD 平

17、面 ABCAC 平面 ABCOB 平面 ABC令 ABa,則 AB |ACOBBC BD3 a2|OD|2OB2BD2由題意可知VD ACEVBACEBB易得：OD又/OD 平面 ADC由面面垂直的判定定理可得平面 ADC 平面 ABC即B,D到平面 ACE 的距離相等即E為BD中點(diǎn)以 O 為原點(diǎn)，OA 為X軸正方向，OB為y軸正方向，OD 為 Z 軸正方向，設(shè) AC 建立空間直角坐標(biāo)系，C 為，易知為銳角,；20 .（ 12 分）已知拋物線 C :y .2x，過(guò)點(diǎn)（2 , 0）的直線 I 交 C 于A,B兩點(diǎn)，圓M是 以線段AB為直徑的圓.（1 ）證明：坐標(biāo)原點(diǎn) O 在圓M上；（2）設(shè)圓M過(guò)

18、點(diǎn)P（4 ,【解析】 顯然,設(shè) I :Xmy 2 , A(x1,y1),B(x；,y；),聯(lián)立：；y 2x十；得 y2my 4 0 ,x my2.4 m；16 恒大:于 0,y1y；2m , yyOA OBxx；%y；(my2)( my；2)(m；1)y1y；2m(y1y；) 4404當(dāng)直線斜率為0 時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意.；4( m 1) 2 m(2 m)，即 0 在圓M上.OA若圓M過(guò)點(diǎn)P，則 AP BP(X14)( x；4) (y(m%2)( my；2)；(m1)%y；(2 m化簡(jiǎn)得 2m；m 1；)(y；)(y；)( y；)(yiy；)0 解得 m；）81；或1則 o 0

19、,0,0 ,A討0,D 0,0,a2,B0,易得：AETDa c a,0,0A -,0,02設(shè)平面AED的法向量為n1AE n 0 則4AD n，平面AEC 的法向量0，解得n13,1, 3n；0,1, .3.2 ），求直線 I 與圓M的方程.0，解得若二面角7D AE112當(dāng)yom 時(shí) l : 2x時(shí)，y1y22y 4 0 圓心為 Q(x,y),半徑則圓當(dāng)1,x02T92:(x -) (y4l : x y|OQ|2)22yo半徑則圓1 時(shí)，竺2r |OQ |2 2M :(x 3) (y 1)1y022212850 圓心為Q(xo,yo),yi1 , xoyo已知函數(shù) f (x) x 1(1

20、)若 f(x) 0，求a的值；21 .( 12 分)ioaln x(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n,(1+1)(1 +j)(1_*)m，求m的最小值.【解析】 f(x) x 1則 f (x)1alnx ,x 0-a，且 f(1) 0 x0 , f不滿足題意;當(dāng)a當(dāng)0 x 在 0,上單調(diào)增，所以1時(shí)，f x 0 ,a 時(shí)，f (x)0 ,貝 U f (x)在(a,)上單調(diào)遞增.1 ,f (x)在(a,1)上單調(diào)遞增.當(dāng)x (a,1)時(shí) f(x)f(1)0 矛盾1 , f (x)在(1,a)上單調(diào)遞減.當(dāng)x (1,a)時(shí) f (x)f(1)0 矛盾1 , f (x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增 f (x) f(1)0 滿則 f (x)在(o,a)上單調(diào)遞減;(x) o ,aaa當(dāng) x1若2若3若0時(shí)，x a時(shí),足題意綜上所述 a當(dāng) a 1 時(shí) f (x)1 .x 1 lnx 0 即 lnx x 10 時(shí)等號(hào)成立則有 ln(x 1)3時(shí)，(12)(1刃顯