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文檔簡介
1、試驗設計與數(shù)據(jù)處理試驗設計與數(shù)據(jù)處理福州大學福州大學生物科學與工程學院生物科學與工程學院林志民林志民緒論緒論一、試驗設計方法的性質(zhì)、任務和作用一、試驗設計方法的性質(zhì)、任務和作用 如何安排試驗,如何對試驗結果進行科如何安排試驗,如何對試驗結果進行科學的分析,是食品生產(chǎn)者和科研工作者經(jīng)常學的分析,是食品生產(chǎn)者和科研工作者經(jīng)常遇到的現(xiàn)實問題。遇到的現(xiàn)實問題。 試驗設計方法就是以試驗設計方法就是以概率論概率論與與數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理統(tǒng)計為理論基礎,結合專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗,科為理論基礎,結合專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗,科學地、經(jīng)濟地、合理地安排試驗,有效地控學地、經(jīng)濟地、合理地安排試驗,有效地控制試驗干擾,充分地利用和
2、科學地分析所得制試驗干擾,充分地利用和科學地分析所得到的實驗信息到的實驗信息( (數(shù)據(jù)等數(shù)據(jù)等) ),以盡快地獲得最優(yōu),以盡快地獲得最優(yōu)方案。方案。 試驗設計在試驗研究中具有非常重要的作試驗設計在試驗研究中具有非常重要的作用,它可以有效地解決以下問題:用,它可以有效地解決以下問題:1 1、通過試驗設計可以分清各試驗因素對試驗、通過試驗設計可以分清各試驗因素對試驗指標影響的大小,指標影響的大小,找出主要因素找出主要因素。2 2、通過試驗設計可以了解每個因素的水平改、通過試驗設計可以了解每個因素的水平改變時,變時,試驗指標是怎么變化的試驗指標是怎么變化的。3 3、通過試驗設計可以了解各個因素之間的
3、相、通過試驗設計可以了解各個因素之間的相互影響情況,即互影響情況,即因素之間的交互作用因素之間的交互作用。5 5、通過試驗設計的、通過試驗設計的方差分析方差分析,可以了解試驗,可以了解試驗誤差的大小,從而提高了試驗的精度。誤差的大小,從而提高了試驗的精度。4 4、通過試驗設計可以迅速地找出最優(yōu)生產(chǎn)條、通過試驗設計可以迅速地找出最優(yōu)生產(chǎn)條件或工藝條件,件或工藝條件,確定最優(yōu)方案確定最優(yōu)方案,并能預估在,并能預估在最優(yōu)生產(chǎn)條件或工藝條件下的試驗指標值。最優(yōu)生產(chǎn)條件或工藝條件下的試驗指標值。6 6、通過對試驗結果的分析,可以明確為尋找、通過對試驗結果的分析,可以明確為尋找最優(yōu)生產(chǎn)條件或工藝條件而最優(yōu)
4、生產(chǎn)條件或工藝條件而進一步試驗的研進一步試驗的研究方向究方向。二、試驗設計方法的內(nèi)容二、試驗設計方法的內(nèi)容 試驗設計方法作為統(tǒng)計數(shù)學的一個重要分試驗設計方法作為統(tǒng)計數(shù)學的一個重要分支,所包含的內(nèi)容是十分豐富的,包括支,所包含的內(nèi)容是十分豐富的,包括全面試全面試驗設計驗設計、正交試驗設計正交試驗設計、均勻試驗設計均勻試驗設計、分割、分割法設計、法設計、SNSN比試驗設計、產(chǎn)品的三次設計、調(diào)比試驗設計、產(chǎn)品的三次設計、調(diào)優(yōu)運算試驗設計、優(yōu)運算試驗設計、回歸的正交設計回歸的正交設計、回歸的旋、回歸的旋轉設計、回歸的轉設計、回歸的D D最優(yōu)設計,混料試驗設計最優(yōu)設計,混料試驗設計等。其中最基本的也最常
5、用的是前三種試驗設等。其中最基本的也最常用的是前三種試驗設計和回歸正交設計。計和回歸正交設計。三、試驗設計方法的發(fā)展簡史三、試驗設計方法的發(fā)展簡史 試驗設計這門學科是由英國生物統(tǒng)計學家試驗設計這門學科是由英國生物統(tǒng)計學家費費歇歇(R.Fisher(R.Fisher,189018901962)1962)于于二十世紀二十世紀2020年代年代創(chuàng)立的。他從理論上和實踐上豐富和發(fā)展了數(shù)創(chuàng)立的。他從理論上和實踐上豐富和發(fā)展了數(shù)理統(tǒng)計學,總結出了完全隨機化法、隨機區(qū)組理統(tǒng)計學,總結出了完全隨機化法、隨機區(qū)組法、拉丁方法等試驗方法,并發(fā)明了法、拉丁方法等試驗方法,并發(fā)明了方差分析方差分析方法。他把這些新技術、
6、新方法應用于農(nóng)業(yè)和方法。他把這些新技術、新方法應用于農(nóng)業(yè)和生物學試驗中,取得了豐碩的成果。生物學試驗中,取得了豐碩的成果。 二十世紀二十世紀4040年代年代,英、美、日等工業(yè)化國,英、美、日等工業(yè)化國家繼續(xù)對試驗設計方法進行研究,并將試驗家繼續(xù)對試驗設計方法進行研究,并將試驗設計方法逐步推廣到工業(yè)生產(chǎn)領域。設計方法逐步推廣到工業(yè)生產(chǎn)領域。19471947年年以日本的以日本的田口玄一田口玄一為首的研究人員創(chuàng)立了適為首的研究人員創(chuàng)立了適合于安排多因素試驗的合于安排多因素試驗的正交試驗設計正交試驗設計方法。方法。正交試驗設計法創(chuàng)立后,在日、美、英等工正交試驗設計法創(chuàng)立后,在日、美、英等工業(yè)化國家,特
7、別是在日本得到了迅速的推廣業(yè)化國家,特別是在日本得到了迅速的推廣應用,取得了巨大的經(jīng)濟效益。應用,取得了巨大的經(jīng)濟效益。 19571957年年,田口玄一田口玄一等人又創(chuàng)立了等人又創(chuàng)立了SNSN比設計比設計和和產(chǎn)品的三次設計產(chǎn)品的三次設計法,解決了產(chǎn)品或工序的法,解決了產(chǎn)品或工序的最佳穩(wěn)定性和最佳動態(tài)特性問題。最佳穩(wěn)定性和最佳動態(tài)特性問題。 美國威斯康新美國威斯康新(Wisconsin)(Wisconsin)大學的大學的博克斯博克斯(Box)(Box)教授也于教授也于19571957年年創(chuàng)立了創(chuàng)立了調(diào)優(yōu)運算試驗設調(diào)優(yōu)運算試驗設計計法。運用這種方法不僅可以探索最優(yōu)的生產(chǎn)法。運用這種方法不僅可以探索
8、最優(yōu)的生產(chǎn)工藝條件,而且可以大大提高勞動生產(chǎn)率,從工藝條件,而且可以大大提高勞動生產(chǎn)率,從而獲得很好的經(jīng)濟效益。而獲得很好的經(jīng)濟效益。四、我國試驗設計方法的研究與應用概況四、我國試驗設計方法的研究與應用概況 19781978年年,我國數(shù)學家方開泰和王元將數(shù)論和,我國數(shù)學家方開泰和王元將數(shù)論和多元統(tǒng)計相結合,在正交試驗設計基礎上,創(chuàng)多元統(tǒng)計相結合,在正交試驗設計基礎上,創(chuàng)立了一種新的適用于多因素多水平試驗的設計立了一種新的適用于多因素多水平試驗的設計方法方法均勻試驗設計均勻試驗設計法,并很快在很多領域法,并很快在很多領域中得到廣泛應用。中得到廣泛應用。 我國對試驗設計方法的研究與推廣應用起我國對
9、試驗設計方法的研究與推廣應用起步較晚,建國后才逐漸開展這方面的工作。步較晚,建國后才逐漸開展這方面的工作。進入進入7070年代年代后,后,正交試驗設計正交試驗設計方法在我國工方法在我國工農(nóng)業(yè)科研、生產(chǎn)中的應用越來越廣,解決了農(nóng)業(yè)科研、生產(chǎn)中的應用越來越廣,解決了不少科研生產(chǎn)中的關鍵問題。不少科研生產(chǎn)中的關鍵問題。五、學習五、學習試驗設計和數(shù)據(jù)處理試驗設計和數(shù)據(jù)處理課程的意課程的意義義 通過本課程的學習,可使學生掌握試驗設通過本課程的學習,可使學生掌握試驗設計和數(shù)據(jù)處理的基本原則和常用方法,可培計和數(shù)據(jù)處理的基本原則和常用方法,可培養(yǎng)學生從事養(yǎng)學生從事試驗研究工作試驗研究工作的能力,提高學生的能
10、力,提高學生的綜合素質(zhì),成為高質(zhì)量的應用型人才。的綜合素質(zhì),成為高質(zhì)量的應用型人才。 試驗設計和數(shù)據(jù)處理方法已成為一種試驗設計和數(shù)據(jù)處理方法已成為一種現(xiàn)代現(xiàn)代通用技術通用技術,是工程技術人員必備的基礎知識。,是工程技術人員必備的基礎知識。第一章第一章 概率論基礎概率論基礎一、隨機事件與概率一、隨機事件與概率(一)隨機事件(一)隨機事件 在自然界中存在著各種各樣的事件。人們把那種在自然界中存在著各種各樣的事件。人們把那種在一定條件下必然發(fā)生的事件,稱為在一定條件下必然發(fā)生的事件,稱為必然事件必然事件,用,用U U表示。把在一定條件下必然不發(fā)生的事件,稱為表示。把在一定條件下必然不發(fā)生的事件,稱為
11、不可能事件不可能事件,用,用V V表示。表示。 除了必然事件和不可能事件外,還有一類事件,除了必然事件和不可能事件外,還有一類事件,它們在一定條件下可能發(fā)生,也可能不發(fā)生。這種它們在一定條件下可能發(fā)生,也可能不發(fā)生。這種在一定條件下可能發(fā)生,也可能不發(fā)生的事件,稱在一定條件下可能發(fā)生,也可能不發(fā)生的事件,稱為為隨機事件隨機事件,簡稱事件,通常以大寫字母,簡稱事件,通常以大寫字母A A、B B、表示。表示。(二)概率(二)概率 我們將我們將隨機事件隨機事件A A的發(fā)生的可能性的大小的發(fā)生的可能性的大小用用一個數(shù)值一個數(shù)值p p來表示,并把這個數(shù)值來表示,并把這個數(shù)值p p叫做事件叫做事件A A的
12、的概率概率。記作:。記作:P(A)P(A)p p 對每一次試驗而言,隨機事件是否發(fā)生是帶對每一次試驗而言,隨機事件是否發(fā)生是帶有偶然性的,但在大量重復試驗下,并把這些有偶然性的,但在大量重復試驗下,并把這些試驗結果綜合在一起,就可以看出支配這些偶試驗結果綜合在一起,就可以看出支配這些偶然性的某種必然規(guī)律性來。實踐證明,隨機事然性的某種必然規(guī)律性來。實踐證明,隨機事件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的屬性,件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的屬性,不隨人們的主觀愿望而變化,并且這種屬性可不隨人們的主觀愿望而變化,并且這種屬性可以通過大量的試驗來認識。以通過大量的試驗來認識。 明確了概率的粗略含意后,
13、就要涉及到頻明確了概率的粗略含意后,就要涉及到頻率的概念。設率的概念。設A A為某試驗可能出現(xiàn)的隨機事件,為某試驗可能出現(xiàn)的隨機事件,在同樣條件下,這種試驗重復做在同樣條件下,這種試驗重復做n n次,在這次,在這n n次試驗中,事件次試驗中,事件A A出現(xiàn)了出現(xiàn)了m m次次(0mn)(0mn),則稱,則稱m/nm/n為事件為事件A A在這在這n n次試驗中出現(xiàn)的次試驗中出現(xiàn)的頻率頻率。例如:某食品抽樣檢驗結果如表例如:某食品抽樣檢驗結果如表1-11-1所示。所示。表表1-1 1-1 某食品抽樣檢驗結果某食品抽樣檢驗結果抽樣件數(shù)n106015060090012001800正品件數(shù)m7531315
14、4882010911631正品出現(xiàn)的頻率m/n0.70.8830.8730.9130.9110.9090.906 從表從表1-11-1可以看出檢驗次數(shù)較少時,正品出可以看出檢驗次數(shù)較少時,正品出現(xiàn)的頻率差異很大,但隨著檢驗件數(shù)的增多,現(xiàn)的頻率差異很大,但隨著檢驗件數(shù)的增多,正品出現(xiàn)的正品出現(xiàn)的頻率頻率雖然不是一個確定的數(shù),但波雖然不是一個確定的數(shù),但波動減少,且穩(wěn)定在動減少,且穩(wěn)定在0.90.9左右。左右。 上例說明,頻率本身不是確定的,但隨著抽上例說明,頻率本身不是確定的,但隨著抽樣檢驗的次數(shù)的增加,正品出現(xiàn)的頻率總是在樣檢驗的次數(shù)的增加,正品出現(xiàn)的頻率總是在某一常數(shù)附近擺動,這個常數(shù)是客觀
15、存在的。某一常數(shù)附近擺動,這個常數(shù)是客觀存在的。它反映了事件出現(xiàn)的可能性的大小。這個常數(shù)它反映了事件出現(xiàn)的可能性的大小。這個常數(shù)就是事件就是事件A A的的概率概率。 事件事件A A出現(xiàn)的概率,就是事件出現(xiàn)的概率,就是事件A A發(fā)生的頻發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值。率的穩(wěn)定值。從概率的定義出發(fā),可以得出概率具有如下從概率的定義出發(fā),可以得出概率具有如下性質(zhì):性質(zhì): 對任意事件對任意事件A A, 0P(A)10P(A)1 對必然事件,對必然事件, P(U)P(U)1 1 對不可能事件,對不可能事件, P(V)P(V)0 0二、隨機變量及其分布二、隨機變量及其分布 為了避免混淆,隨機變量常用希臘字母為了避免混
16、淆,隨機變量常用希臘字母、表示。表示。 設隨機試驗設隨機試驗E E的樣本空間為的樣本空間為ee,如果,如果對于每一個樣本點對于每一個樣本點e e都有一個實數(shù)都有一個實數(shù)X(e)X(e)與之與之對應,則稱對應,則稱X(e)X(e)為為隨機變量隨機變量。(還有一個更。(還有一個更為簡單的定義:隨機事件的變量稱為隨機變?yōu)楹唵蔚亩x:隨機事件的變量稱為隨機變量)量)(一)隨機變量(一)隨機變量 有了隨機變量,隨機事件就可以用實數(shù)來有了隨機變量,隨機事件就可以用實數(shù)來表示。例如:從一批產(chǎn)品中任意抽取表示。例如:從一批產(chǎn)品中任意抽取1010件檢件檢驗,抽得次品的件數(shù)用驗,抽得次品的件數(shù)用表示,則表示,則是
17、隨機是隨機變量,變量,的可能取值為的可能取值為0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 106, 7, 8, 9, 10,某種作物的平均畝產(chǎn),某種作物的平均畝產(chǎn)是個隨機變量,是個隨機變量,的可能取值為某一區(qū)間的可能取值為某一區(qū)間(a,b)(a,b)中的一切實數(shù)值。中的一切實數(shù)值。 隨機變量隨機變量可分為可分為離散型離散型和和非離散型非離散型兩類。兩類。1 1、離散型隨機變量、離散型隨機變量 要掌握隨機變量的變化規(guī)律,不僅要了解要掌握隨機變量的變化規(guī)律,不僅要了解它可能取什么值,更重要的是要了解它它可能取什么值,更重要的是要了解它取各取各可能
18、值的概率是多少可能值的概率是多少。 設設離散型離散型隨機變量隨機變量的所有可能取值為的所有可能取值為x x1 1,x x2 2,且且取取x xk k的概率為的概率為p pk k(k(k1,2,)1,2,)列列表如下:表如下:x1x2xkPp1p2pk(二)隨機變量的概率分布隨機變量的概率分布這里顯然有這里顯然有 0p 0pk k1 (k1 (k1, 2,)1, 2,) 1kkp 1 此表為隨機變量此表為隨機變量的概率分布表。的概率分布表。(三)隨機變量的分布函數(shù)(三)隨機變量的分布函數(shù) 設設是隨機變量,是隨機變量,x x是任意實數(shù),則稱函是任意實數(shù),則稱函數(shù)數(shù)P(x)P(x)為為的的分布函數(shù)分
19、布函數(shù),記為,記為 F(x)F(x)P(x)P(x), ( (x x ) 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)F(x)是是x x的函數(shù),它在任一點的函數(shù),它在任一點x xa a處的處的值值F(a)F(a)表示隨機變量表示隨機變量落在區(qū)間落在區(qū)間( (, a, a上的概上的概率。率。 一般,設一般,設的取值為的取值為x xk k(k(k1,2,)1,2,),取各,取各個可能值的概率為個可能值的概率為P(P(x xk k) )p pk k (k (k1,2,)1,2,)則其分布函數(shù)為則其分布函數(shù)為F(x)F(x)P(x)P(x)xxkk)x P((四)離散型隨機變量的概率分布(四)離散型隨機變量的概率分布 離
20、散型離散型隨機變量的隨機變量的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)F(x)是在是在可可能取值點上有跳躍的階梯函數(shù),如圖能取值點上有跳躍的階梯函數(shù),如圖1-11-1所示。所示。1F(x) x圖圖1-1 1-1 離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù)首先引入概率密度函數(shù)的概念。首先引入概率密度函數(shù)的概念。 設設F(x)F(x)是是的分布函數(shù),如果有非負可積的分布函數(shù),如果有非負可積函數(shù)函數(shù)f(x)f(x),使得,使得xf(t)dtF(x) 則稱則稱f(x)f(x)為為的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù),簡稱密,簡稱密度函數(shù)。度函數(shù)。(五)連續(xù)型隨機變量的概率分布(五)連續(xù)型隨機變量的概率分布概率密度函數(shù)概
21、率密度函數(shù)f(x)f(x)具有如下性質(zhì):具有如下性質(zhì): (1) f (x)0(1) f (x)0(2)(2) 1f(x)dx(3) P (a(3) P (abb) F(b)F(b)F(a)F(a) baf(x)dx(4) (4) 在在f(x)f(x)的連續(xù)點處有的連續(xù)點處有F(x)F(x)f(x)f(x) 設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 f (x)f (x) ( (x x) ) 其中其中、都是常數(shù),且都是常數(shù),且0 0,則稱,則稱服服從參數(shù)為從參數(shù)為、的正態(tài)分布,記為的正態(tài)分布,記為N(N(、2 2) )。222)(xe21三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布 常用的常用
22、的連續(xù)型連續(xù)型隨機變量的概率分布是隨機變量的概率分布是正正態(tài)分布。態(tài)分布。f (x)f (x) 的性質(zhì)如下:的性質(zhì)如下:222)(xe21 連續(xù)性:連續(xù)性:f(x)f(x)是定義在是定義在( (,)上,位于上,位于x x軸上方的一條連續(xù)曲線。軸上方的一條連續(xù)曲線。 對稱性:曲線對稱性:曲線f (x)f (x)關于直線關于直線x x對稱。對稱。 增減區(qū)間、極值:當增減區(qū)間、極值:當x x時,時,f(x)f(x)單調(diào)增加,單調(diào)增加,當當x x時,時,f (x)f (x)單調(diào)減少,在單調(diào)減少,在x x處有極大值處有極大值f()f() 凹向,拐點:在區(qū)間凹向,拐點:在區(qū)間(,),f (x)f (x)向
23、下凹,在向下凹,在( (,)和和(,),f f (x)(x)向上凹,拐點為向上凹,拐點為和和。 當當x x 時,時,x x軸為漸近線。軸為漸近線。21其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 F(x)F(x)dte21x2)(t22 特別,當特別,當0 0,1 1時,稱時,稱服從服從標準正標準正態(tài)分布態(tài)分布,記為,記為N( 0, 1 )N( 0, 1 )。其。其概率密度函概率密度函數(shù)數(shù)用用(x)(x)表示,其表示,其分布函數(shù)分布函數(shù)用用(x)(x)表示。表示。(x)(x) ( (x x)(x)(x)2x2e21x2tdte212為了便于應用,人們專門編制了標準正態(tài)分為了便于應用,人們專門編制了標準正態(tài)分布的分
24、布函數(shù)表,即布的分布函數(shù)表,即(x)(x)函數(shù)表函數(shù)表可供查找??晒┎檎摇U龖B(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線如圖正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線如圖1-21-2和和圖圖1-31-3所示。所示。f(x)圖1-2f(x)圖1-30.512 從圖從圖1-21-2和圖和圖1-31-3可以看出,可以看出,和和是正態(tài)是正態(tài)分布的兩個重要參數(shù),決定正態(tài)分布的概率分布的兩個重要參數(shù),決定正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的曲線的位置和形狀。曲線的位置密度函數(shù)的曲線的位置和形狀。曲線的位置由由確定,而曲線的形狀由確定,而曲線的形狀由決定。決定。正態(tài)分布的分布函數(shù)的曲線如圖正態(tài)分布的分布函數(shù)的曲線如圖1-41-4所示。所示。F(x)圖
25、1-41x正態(tài)分布的概率的計算正態(tài)分布的概率的計算、標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 若若N(0,1)N(0,1),對任意,對任意a ab b,有,有 P(aP(ab)b) (b)(b)(a)(a)B B、正態(tài)分布正態(tài)分布 若若N(,N(,2 2) ),對任意,對任意a ab b,有,有 P (aP (ab)b) ( )( )( )( )ba2tdte212ba2)(tdte2122ba 由前面的討論已知,分布函數(shù)完整地描述了隨由前面的討論已知,分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的概率分布規(guī)律,只要知道了機變量的概率分布規(guī)律,只要知道了分布函數(shù)分布函數(shù),就可以求出該隨機變量在任意區(qū)間上的概率。就可以求出該隨
26、機變量在任意區(qū)間上的概率。但在許多實際問題中,很多隨機變量要想求出但在許多實際問題中,很多隨機變量要想求出它的分布函數(shù)并不是一件容易的事,而且在許它的分布函數(shù)并不是一件容易的事,而且在許多問題中往往并不一定需要知道隨機變量的分多問題中往往并不一定需要知道隨機變量的分布函數(shù),只需要知道它的某些特征就夠了。布函數(shù),只需要知道它的某些特征就夠了。 描述隨機變量的某些特征的量叫做隨機變描述隨機變量的某些特征的量叫做隨機變量的量的數(shù)字特征數(shù)字特征。常用的數(shù)字特征是。常用的數(shù)字特征是數(shù)學期數(shù)學期望望和和方差方差。四、隨機變量的數(shù)字特征四、隨機變量的數(shù)字特征1 1、數(shù)學期望的概念、數(shù)學期望的概念 首先舉一個
27、例子,假設對某種食品的水分進行首先舉一個例子,假設對某種食品的水分進行了了n n次測量,其中有次測量,其中有m m1 1次測得的結果為次測得的結果為x x1 1,m m2 2次次測得的結果為測得的結果為x x2 2,m mk k次測得的結果為次測得的結果為x xk k,則,則測定結果的平均值為測定結果的平均值為k1iiikk2211nmx)mx.mxm(xn1 其中,其中,m m1 1m m2 2m mk kn n,m mi i為為x xi i出現(xiàn)的頻出現(xiàn)的頻數(shù),數(shù),m mi i/n/n為為x xi i出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率頻率。因此,所求的平。因此,所求的平均值就是隨機變量所取值與對應的頻率的乘均
28、值就是隨機變量所取值與對應的頻率的乘積之和。積之和。(一)數(shù)學期望(一)數(shù)學期望( (均值均值) ) 由于頻率具有偶然性,所以我們用頻率穩(wěn)由于頻率具有偶然性,所以我們用頻率穩(wěn)定值定值概率概率代替頻率,就消除了偶然性,代替頻率,就消除了偶然性,從本質(zhì)上反映了隨機變量的平均值。習慣上,從本質(zhì)上反映了隨機變量的平均值。習慣上,我們把這個平均結果叫做數(shù)學期望我們把這個平均結果叫做數(shù)學期望( (或均值或均值) )。2 2、離散型隨機變量的數(shù)學期望、離散型隨機變量的數(shù)學期望 設離散型隨機變量的分布列為設離散型隨機變量的分布列為(x1x2xn )p1p2pn 我們把我們把x x1 1p p1 1x x2 2
29、p p2 2x xn np pn n叫做隨機變量的叫做隨機變量的數(shù)學期望數(shù)學期望( (或均值或均值) ),記作,記作E()E() 即即E()=E()=1kkkpx3 3、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望 設設為一個連續(xù)型隨機變量,它的概率為一個連續(xù)型隨機變量,它的概率密度函數(shù)為密度函數(shù)為f(x)f(x),( (x x) 如果廣義積分如果廣義積分 收斂,則稱收斂,則稱E()E() 為為連續(xù)型隨機變量的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望。數(shù)學期望。f(x)dxxf(x)dxx例例1-1 1-1 設設N(,N(,2 2) ),求,求E()E() 解:解:的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 f(
30、x)f(x) ( (x x) 則則E()E() 222)(xe21f(x)dxxdxex21222)(x 令令t t ,則,則 E()E() xdtt)e(212t2dtte2dte22t2t22022 即即E()E()可見正態(tài)分布可見正態(tài)分布N(,N(,2 2) ) 的的參數(shù)參數(shù)就是就是的的數(shù)學期望數(shù)學期望。4 4、數(shù)學期望的性質(zhì)、數(shù)學期望的性質(zhì) (1) (1) 若若C C為常數(shù),則為常數(shù),則E(C)E(C)C C (2) (2) 設設為一隨機變量,為一隨機變量,C C為常數(shù),為常數(shù), 則則E(C)E(C)CE()CE() (3) (3) 設設1 1,2 2為兩個隨機變量,為兩個隨機變量,
31、則則E(E(1 12 2) )E(E(1 1) )E(E(2 2) ) (4) (4) 設設與與相互獨立,相互獨立, 則則E()E()E()E()E()E()1 1、方差的概念、方差的概念 數(shù)學期望是描述隨機變量取值的平均值的數(shù)學期望是描述隨機變量取值的平均值的一個數(shù)字特征。在實際問題中,有時只知道一個數(shù)字特征。在實際問題中,有時只知道數(shù)學期望是不夠的,還需要了解隨機變量所數(shù)學期望是不夠的,還需要了解隨機變量所取取各值與它的數(shù)學期望的偏離程度各值與它的數(shù)學期望的偏離程度,一般采,一般采用用EEE()E()2 2來描述來描述對對E()E()的平均偏的平均偏離程度。離程度。 設隨機變量設隨機變量,
32、若,若EEE()E()2 2存在,存在,就稱就稱D()D()EEE()E()2 2為為的的方差方差,而,而 為為的的標準差標準差或均方差?;蚓讲?。)D( ( (二二) ) 方差方差 2 2、離散型隨機變量的方差、離散型隨機變量的方差 設離散型隨機變量設離散型隨機變量的分布列為的分布列為(x1x2xnp1p2pn ) 則則D()D()EEE()E()2 2 1kk2kp)E(x3 3、連續(xù)型隨機變量的方差、連續(xù)型隨機變量的方差 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為f(x)f(x) 則則D()D()EEE()E()2 2 f(x)dx)E(x2 方差方差D()D()表示表
33、示取值對取值對E()E()的偏離程的偏離程度,度,D()D()越大,表明越大,表明取值越分散;反之取值越分散;反之表明表明取值越集中。取值越集中。例例1-3 1-3 設設N(N(,2 2) ),求,求D()D() 解:解:D()D() f(x) f(x) ,且,且E()E() D() D()f(x)dx)E(x2dxe21222)(xdxe21)(x222)(x2 令令t t ,則,則x xtt,故,故dxdxdtdt 代入上式得代入上式得,D()D() 0 0 2 2xdte21t)(222t)(2dtet22t222)td(e22t22dte2te22t22t222222 即即D()D()
34、2 2 (1) (1) 設設C C為常數(shù),則為常數(shù),則D(C)D(C)0 0 (2) (2) 設設C C為常數(shù),則為常數(shù),則D(C)D(C)C C2 2D()D() (3) (3) 設設C C為常數(shù),則為常數(shù),則D(D(C)C)D()D() (4) (4) 若隨機變量若隨機變量與與相互獨立,相互獨立, 則則D(D()D()D()D()D() 通過正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差的計算,明確了通過正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差的計算,明確了正態(tài)分布的兩個參數(shù)正態(tài)分布的兩個參數(shù)和和22的意義,它們分別為的意義,它們分別為正正態(tài)分布態(tài)分布的的數(shù)學期望數(shù)學期望和和方差方差。 4 4、方差的性質(zhì)、方差的性質(zhì)第二章第二
35、章 數(shù)理統(tǒng)計基礎數(shù)理統(tǒng)計基礎第一節(jié)第一節(jié) 統(tǒng)計量及其分布統(tǒng)計量及其分布 對于各種隨機變量,往往只能得到部分觀對于各種隨機變量,往往只能得到部分觀察值,但是局部與整體是有內(nèi)在聯(lián)系的,只察值,但是局部與整體是有內(nèi)在聯(lián)系的,只要觀察到的局部數(shù)據(jù)有充分的代表性,就可要觀察到的局部數(shù)據(jù)有充分的代表性,就可以利用這些以利用這些局部局部數(shù)據(jù)進行分析和推斷,了解數(shù)據(jù)進行分析和推斷,了解觀察對象的觀察對象的整體整體規(guī)律性。規(guī)律性。一、基本概念一、基本概念(一)一) 總體與樣本總體與樣本 在數(shù)理統(tǒng)計中,把所要研究的對象的全體在數(shù)理統(tǒng)計中,把所要研究的對象的全體叫做叫做總體總體,而把構成總體的每個單元叫做,而把構成
36、總體的每個單元叫做個個體體。從總體中抽取的一部分個體叫做。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的總體的一個樣本一個樣本,樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。,樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。 從一個總體從一個總體中,隨機地抽取中,隨機地抽取n n個個體個個體1 1,2 2,n n,則,則(1 1,2 2,n n) )為總體為總體的一個樣本,樣本中個體的數(shù)目的一個樣本,樣本中個體的數(shù)目n n為樣本容為樣本容量。量。 我們要根據(jù)樣本值對總體我們要根據(jù)樣本值對總體的某些特征進的某些特征進行估計和推斷。為了研究問題的方便,需要行估計和推斷。為了研究問題的方便,需要對如何選取樣本值提出一些要求。對如何選取樣本值提出
37、一些要求。 因為獨立觀察是一種最簡單的觀察方法,所因為獨立觀察是一種最簡單的觀察方法,所以要求以要求1 1,2 2,n n是是相互獨立相互獨立的隨機變量。的隨機變量。又因為選取的樣品對總體來說要有代表性,又因為選取的樣品對總體來說要有代表性,所以又要求每個所以又要求每個i i (i (i1, 2, , n) 1, 2, , n) 必須必須與總體與總體具有相同的概率分布具有相同的概率分布。滿足相互獨。滿足相互獨立和與總體同概率分布這兩個條件的樣本稱立和與總體同概率分布這兩個條件的樣本稱為為簡單隨機樣本簡單隨機樣本。 當我們得到了總體當我們得到了總體的一個樣本的一個樣本(1 1,2 2,n n)
38、)時,為了推得總體的一些性時,為了推得總體的一些性質(zhì),往往需要對所取得的樣本作一些運算,即質(zhì),往往需要對所取得的樣本作一些運算,即構成樣本的某種函數(shù),這種函數(shù)稱為構成樣本的某種函數(shù),這種函數(shù)稱為統(tǒng)計量統(tǒng)計量。在數(shù)理統(tǒng)計中,常用的統(tǒng)計量是在數(shù)理統(tǒng)計中,常用的統(tǒng)計量是樣本均值樣本均值、樣樣本方差本方差和和極差極差,它們都是樣本的數(shù)字特征。,它們都是樣本的數(shù)字特征。 設從總體中隨機抽取一個容量為設從總體中隨機抽取一個容量為n n的樣本,的樣本,樣本值為樣本值為x x1 1,x,x2 2,x,xn n,則稱,則稱 ( (二二) ) 統(tǒng)計量統(tǒng)計量n1iixn1x為樣本均值;為樣本均值; 為樣本方差;為樣
39、本方差;R=maxR=max(x x1 1,x,x2 2,x,xn n )minmin(x x1 1,x,x2 2,x,xn n ) 為樣本極差。為樣本極差。n1i2i2)x(x1n1S 樣本均值樣本均值是描述數(shù)據(jù)的平均狀態(tài)的,是描述數(shù)據(jù)的平均狀態(tài)的,樣樣本方差本方差是描述數(shù)據(jù)與樣本均值的離散程度是描述數(shù)據(jù)與樣本均值的離散程度的。的。極差極差則是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡單則是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡單方法。方法。 在利用某些統(tǒng)計量時,需要知道它們的在利用某些統(tǒng)計量時,需要知道它們的概率概率分布分布。下面給出幾種常用的正態(tài)總體樣本的均。下面給出幾種常用的正態(tài)總體樣本的均值和方差分布。值和方差分布。
40、(一)(一) 樣本均值的分布樣本均值的分布 設設(1 1,2 2,n n) )為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體N(,N(,2 2) )的一個樣本,樣本均值為的一個樣本,樣本均值為 , 則則 N(, ) (1-3)N(, ) (1-3) u u N(0, 1) (1-4)N(0, 1) (1-4)n1iin1n2n二、統(tǒng)計量的分布二、統(tǒng)計量的分布 ( (二二) ) 2 2分布分布 (卡方分布)(卡方分布) 設設(1 1,2 2,n n) )為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體N(,N(,2 2) )的一個樣本,記為的一個樣本,記為n1iin1n1i2i2)(1n1S則統(tǒng)計量則統(tǒng)計量 (1-5)(1-5)服從
41、自由度為服從自由度為n n1 1的的2 2分布,記為分布,記為 (1-6)(1-6)2221)S(n21)(n221)S(n圖圖1-71-7為為2 2概率密度函數(shù)曲線概率密度函數(shù)曲線0f(x)f=1f=10f=20 x圖1-7 2概率密度函數(shù) f f 為自由度。所謂為自由度。所謂“自由度自由度”,就是平方和公,就是平方和公式中式中獨立變量的個數(shù)獨立變量的個數(shù)。在式。在式(1-6)(1-6)中獨立變量的中獨立變量的個數(shù)為個數(shù)為n n1 1個,故自由度為個,故自由度為n n1 1。( (三三) t) t分布分布 設設(1 1,2 2,n n) )為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體N(,N(,2 2) )
42、的一個樣本,記為的一個樣本,記為n1iin1n1i2i2)(1n1S則統(tǒng)計量則統(tǒng)計量t t (1-7)(1-7)服從自由度為服從自由度為n n1 1的的t t分布,記為分布,記為 t t t t(n(n1)1) (1-8) (1-8)nSnS圖圖1-81-8為為t t概率密度函數(shù)曲線概率密度函數(shù)曲線t圖1-8 t概率密度函數(shù)f(t)f=1f=4定理:設定理:設(1 1,2 2,n1n1) )為來自正態(tài)總為來自正態(tài)總體體N(N(1 1,2 2) )的一個樣本,的一個樣本,(1 1,2 2,n2n2) )為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體N(N(2 2,2 2) )的一個樣本,且這兩個樣本相互的一個樣本
43、,且這兩個樣本相互獨立,則統(tǒng)計量獨立,則統(tǒng)計量 t t(n1(n1n2n22)2) (1-9) (1-9)21w21n1n1S)()(式中:式中: 1n1ii1n12n1ii2n12nn1)S(n1)S(nS212222112w其中:其中: 1n1i2i121)(1n1S2n1i2i222)(1n1S 設設(1 1,2 2,n1n1) )為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體N(N(1 1,1 12 2) )的一個樣本,的一個樣本,(1 1,2 2,n2n2) )為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體N(N(2 2,2 22 2) )的一個樣本,的一個樣本,且這兩個樣本相互獨立,則統(tǒng)計量且這兩個樣本相互獨立,則統(tǒng)
44、計量(四)(四) F F分布分布22222121/S/S 服從第一自由度服從第一自由度f f1 1n n1 11 1,第二自由度,第二自由度f f2 2n n2 21 1的的F F分布,記為分布,記為 F F(n1(n11,n21,n21)1) (1-10) (1-10)22222121/S/S其中其中 1n1iin12n1iin11n1i2i121)(1n1S2n1i2i222)(1n1S特別地,若特別地,若1 12 22 22 2,則有,則有 F F(n1(n11,n21,n21)1) (1-11) (1-11)2221SS圖圖1-9 1-9 為為F F概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)x圖1-9
45、F概率密度函數(shù)f(x)f2=20f2=25f2= 第二節(jié)第二節(jié) 參數(shù)估計參數(shù)估計 在實際工作中,經(jīng)常遇到這樣一類問題:在實際工作中,經(jīng)常遇到這樣一類問題:隨機變量的分布類型已經(jīng)確定,但其中的隨機變量的分布類型已經(jīng)確定,但其中的分布參數(shù)未知,需要根據(jù)樣本對參數(shù)進行分布參數(shù)未知,需要根據(jù)樣本對參數(shù)進行估計?;蛘咴趯嶋H問題中根本不需要知道估計?;蛘咴趯嶋H問題中根本不需要知道總體的分布,只需要知道總體的數(shù)學期望、總體的分布,只需要知道總體的數(shù)學期望、方差等數(shù)字特征,因此就需要根據(jù)樣本對方差等數(shù)字特征,因此就需要根據(jù)樣本對總體進行估計。這種從總體進行估計。這種從樣本樣本(1 1,2 2,n n) )出發(fā)
46、,對出發(fā),對總體總體的某些未的某些未知參數(shù)或數(shù)字特征進行估計的問題,稱為知參數(shù)或數(shù)字特征進行估計的問題,稱為參數(shù)估計。參數(shù)估計。 隨著問題的不同,參數(shù)估計問題分為兩類,隨著問題的不同,參數(shù)估計問題分為兩類,即即點估計點估計和和區(qū)間估計區(qū)間估計。(一)問題的提出(一)問題的提出 上面曾提到樣本均值和樣本方差的概念,那么上面曾提到樣本均值和樣本方差的概念,那么可否用樣本均值和樣本方差去估計總體均值和總可否用樣本均值和樣本方差去估計總體均值和總體方差呢?理論上可以證明,當樣本容量體方差呢?理論上可以證明,當樣本容量n n無限增無限增大時,樣本均值與總體均值,樣本方差與總體方大時,樣本均值與總體均值,
47、樣本方差與總體方差的商無限趨近于差的商無限趨近于1 1。所以可以分別用。所以可以分別用樣本均值樣本均值和和樣本方差樣本方差估計估計總體均值總體均值和和總體方差總體方差。假設總體。假設總體服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(,N(,2 2) ),我們可以用樣本均值估,我們可以用樣本均值估計總體參數(shù)計總體參數(shù),用樣本方差估計總體參數(shù),用樣本方差估計總體參數(shù)2 2。一、參數(shù)的點估計一、參數(shù)的點估計 一般地,設一般地,設F(x,)F(x,)為總體為總體的分布函數(shù),的分布函數(shù),其中其中x x為變元,為變元,為參數(shù),為參數(shù),(1 1,2 2,n n) )為來自總體為來自總體的一個樣本,現(xiàn)用樣本函數(shù)的一個樣本,現(xiàn)用
48、樣本函數(shù) 去估計去估計,我們稱,我們稱 為參數(shù)為參數(shù)的一個的一個點估點估計量計量,而,而為待估參數(shù)。若為待估參數(shù)。若(x(x1 1,x,x2 2,x,xn n) )為一個樣本值,代入估計量為一個樣本值,代入估計量 中,就得到中,就得到的具體數(shù)據(jù),這個數(shù)據(jù)稱為參數(shù)的具體數(shù)據(jù),這個數(shù)據(jù)稱為參數(shù)的估的估計值。計值。),.,(n21 ( (二二) ) 估計量好壞的衡量標準估計量好壞的衡量標準 總體分布參數(shù)的點估計量可以用多種形式總體分布參數(shù)的點估計量可以用多種形式給出。例如,總體均值給出。例如,總體均值E()E()可以用樣本的可以用樣本的均值均值 作估計量,也可以用某一個作估計量,也可以用某一個i i
49、(i(i1,2,n)1,2,n)作為估計量;總體方差作為估計量;總體方差D()D()可以可以用樣本方差用樣本方差 作為估計量,也可作為估計量,也可以用以用 作為估計量。這就有一個作為估計量。這就有一個比較估計量好壞的問題。比較估計量好壞的問題。n1i2i2)(1n1Sn1i2i2)(n1*S所謂一個好的估計量,總的要求是希望待估所謂一個好的估計量,總的要求是希望待估參數(shù)參數(shù)的估計量的估計量 和和在某種意義在某種意義上最為接近。下面給出兩個常用的衡量估計上最為接近。下面給出兩個常用的衡量估計量好壞的標準量好壞的標準無偏性和有效性。無偏性和有效性。),.,(n211 1、無偏性、無偏性 一個好的估
50、計量總是希望它在待估參數(shù)附一個好的估計量總是希望它在待估參數(shù)附近擺動,就是看這個估計量的均值是否等近擺動,就是看這個估計量的均值是否等于待估參數(shù)。即于待估參數(shù)。即定義:假設定義:假設 是參數(shù)是參數(shù)的估計量,若的估計量,若E( )E( ),則稱估計量,則稱估計量 是參數(shù)是參數(shù)的無偏估計的無偏估計量。量。例例1-4 1-4 試證明試證明 是是E()E()的無偏估的無偏估計量。計量。證明:證明:E( )E( )E( )E( ) E()E()所以所以 是是E()E()的無偏估計量。的無偏估計量。n1iin1n1iin1n1ii)E(n1例例1-5 1-5 試證明試證明 是是D()D()的無偏的無偏估計
51、量,而估計量,而 不是不是D()D()的無偏的無偏估計量。估計量。n1i2i2)(1n1Sn1i2i2)(n1*S證明:證明:E(S2)E = =n1i2i)(1n1n1i2)E()E(E1n1i)E()E()E(2)E(E1n1n1in1i2in1i2i)E(n()E()E(2()E(E1n12n1iin1i2i)E(n()E(E1n12n1i2i)E(nE()E(E(1n12n1i2i)nD()(nD(1n1)nD()(nD(1n1)nD()(nD(1n1 (因為 )E()E( D()n)D(n)(nD(1n1 又因為 所以E(S*2) 22Sn1n*S)Sn1nE(2)E(Sn1n2)D
52、(n1n所以所以S S2 2是是D()D()的無偏估計量,而的無偏估計量,而S S* *2 2不是不是D()D()的無偏估計量。的無偏估計量。 無偏性是估計量好壞的標準之一,但無偏性是估計量好壞的標準之一,但是一個總體參數(shù)的無偏估計量并不是唯是一個總體參數(shù)的無偏估計量并不是唯一的。如果要比較同一參數(shù)的兩個無偏一的。如果要比較同一參數(shù)的兩個無偏估計量的好壞,自然應該在樣本容量完估計量的好壞,自然應該在樣本容量完全相同的條件下,看哪一個擺動更小,全相同的條件下,看哪一個擺動更小,這就是有效性的概念。這就是有效性的概念。定義定義2 2:設:設 和和 是同一參數(shù)是同一參數(shù)的無偏估的無偏估計量,若計量,
53、若D( )D( )D( )D( ),則,則 比比 有效。有效。1212122 2、有效性、有效性例例1-6 1-6 比較比較E()E()的兩個估計量的兩個估計量 及及 1 1的有效性。的有效性。 解:解:D( )D( ) , D( )D( )2 2 D( ) D( )D( )D( ) 比比 有效。有效。n1iin1a 2n1a a a 對點估計,即使是無偏和有效的,也只能對點估計,即使是無偏和有效的,也只能是一定程度地精確。那么究竟估計量是一定程度地精確。那么究竟估計量 與被與被估計量估計量相關多大?相關多大? 在距離在距離的一個什么的一個什么范圍之內(nèi)?這樣的范圍通常用區(qū)間的形式給范圍之內(nèi)?這
54、樣的范圍通常用區(qū)間的形式給出,同時給出此區(qū)間包含參數(shù)出,同時給出此區(qū)間包含參數(shù)真值的可靠真值的可靠程度,這種形式的估計稱為程度,這種形式的估計稱為區(qū)間估計區(qū)間估計。 區(qū)間估計是要根據(jù)樣本來確定一個區(qū)間區(qū)間估計是要根據(jù)樣本來確定一個區(qū)間( , )( , ),使參數(shù)落在這個區(qū)間內(nèi)的概率等,使參數(shù)落在這個區(qū)間內(nèi)的概率等于一個給定的數(shù)于一個給定的數(shù)(1(1),即,即P( P( ) )1 1二、參數(shù)的區(qū)間估計二、參數(shù)的區(qū)間估計 其中,其中,( , )( , )稱為稱為的的(1(1)的置信區(qū)的置信區(qū)間,間,(1(1)叫置信度,叫置信度, 叫叫置信下限置信下限, 叫叫置信上限置信上限,區(qū)間估計就是求置信區(qū)間
55、,區(qū)間估計就是求置信區(qū)間( , )( , )。(一)(一)正態(tài)總體數(shù)學期望正態(tài)總體數(shù)學期望的區(qū)間估計的區(qū)間估計1 1、已知、已知2 2,估計,估計 設總體設總體N(,N(,2 2) ),且,且2 2已知,已知,(1 1,2 2,n n) )是來自正態(tài)總體的一是來自正態(tài)總體的一個樣本,則由式個樣本,則由式(1-3)(1-3)和式和式(1-4)(1-4)已知已知 N(, ) (1-3) N(, ) (1-3) n2 u u N (0, 1) (1-4) N (0, 1) (1-4) n根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),對給定的根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),對給定的,查正,查正態(tài)分布的分位數(shù)表態(tài)分布的分位數(shù)表( (附表附表
56、2)2),可得,可得使得使得 即即 2U1)U|uP(|21)U|nP(|2 其中其中 | | |nU2 P ( ) P ( )1 1nU2nU2所以所以的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為( ( , ) )nU2nU2例例1-7 1-7 在某飲料灌裝機灌裝的汽水中隨機在某飲料灌裝機灌裝的汽水中隨機抽取抽取6 6瓶,檢驗瓶內(nèi)飲料的體積瓶,檢驗瓶內(nèi)飲料的體積(ml)(ml),結果,結果為為251251,250.8250.8,249249,249.5249.5,251.5251.5,250250 求:求:(1) (1) 該批產(chǎn)品灌裝的平均體積該批產(chǎn)品灌裝的平均體積(ml)(ml) (2) (2) 若已知方差若
57、已知方差2 2為為2.52.5,求平均灌,求平均灌裝體積的置信區(qū)間裝體積的置信區(qū)間解:解: 250.3250.3 給定給定0.050.05,故,故 0.0250.025,查附表,查附表2 2得得U U0.0250.0251.961.96又因為又因為2 22.52.5,所以,所以 ,n n6 6,所以,所以 250.3250.31.961.96 249.0249.0 250.3250.31.961.96 251.6251.6 即置信區(qū)間為即置信區(qū)間為(249.0(249.0,251.6)251.6),置信水平,置信水平為為9595。250)251.5249.5249250.8(2516125 .
58、 2nU2nU265 . 265 . 2 由上面的計算可以看出,當樣本容量由上面的計算可以看出,當樣本容量n n越大越大時,時, 越小,計算得到的置信區(qū)間越越小,計算得到的置信區(qū)間越小,估計效果越好。小,估計效果越好。nU2 在大多數(shù)情況下,在大多數(shù)情況下,2 2是未知的,這時可是未知的,這時可以用以用S S2 2代替代替2 2,用類似的方法求,用類似的方法求的區(qū)間估的區(qū)間估計。計。設設(1 1,2 2,n n) )來自正態(tài)總體來自正態(tài)總體N(,N(,2 2) ),則由,則由(1-8)(1-8)式可知式可知2 2、未知、未知2 2,估計,估計 t t t t (n(n1)1) (1-8) (1
59、-8) nS用給定的置信度用給定的置信度(1(1)及自由度及自由度f fn n1 1,查查t t分布表分布表( (附表附表3)3)可得可得 ,使得,使得即即 f2t,1)t|tP(|f ,21)t|nSP(|f ,2其中,其中,| | |nStf ,2P ( )P ( )1 1于是得到的于是得到的的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為( ( , ) )nStf ,2nStf ,2nStf ,2nStf ,2例例1-8 1-8 為檢驗魚被汞污染的情況,從一批魚為檢驗魚被汞污染的情況,從一批魚中隨機抽取一些樣品測定汞含量中隨機抽取一些樣品測定汞含量(mg/kg)(mg/kg),結果如下:結果如下: 2.122.
60、12,2.162.16,1.891.89,2.062.06,1.931.93,1.951.95 試估計這批魚的汞含量的范圍。試估計這批魚的汞含量的范圍。解:解: 2.022.02 0.01210.0121 S S 0.110.11x)95. 193. 106. 289. 116. 2.122(61n1i2i2)x(x1n1S0.07)(0.09)(0.040.13)(0.140.101612222220121. 0 取置信度為取置信度為0.050.05,自由度為,自由度為6 61 15 5,查,查t t分布分布表得到表得到 2.57062.5706 2.57062.5706 0.120.12
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