2018版高中數(shù)學第三章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)3.4.1函數(shù)與方程(第1課時)函數(shù)的零點

1、3.4函數(shù)的應用3. 4.1 函數(shù)與方程第 1 課時函數(shù)的零點,-1學習目標導航1理解函數(shù)零點的概念以及函數(shù)零點與方程根的關系.(重點)2.會求函數(shù)的零點.(重點、難點)3掌握函數(shù)零點的存在性定理并會判斷函數(shù)零點的個數(shù).(難點)基礎初探教材整理 1 零點的概念閱讀教材 P91至 P92例 1，完成下列問題.1 .函數(shù)零點的定義一般地，我們把使函數(shù)y=f(x)的值為 0 的實數(shù)x稱為函數(shù)y=f(x)的零點.2.方程、函數(shù)、圖象之間的關系(1) 函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x) = 0 的實數(shù)根.(2) 函數(shù)y=f(x)的零點就是它的圖象與x軸交點的橫坐標.-O噬體驗O-函數(shù)y=x2+ 3x

2、+ 2 的零點是_ ，其圖象與x軸的交點為 _ .【解析】令x+ 3x+ 2 = 0,則(x+ 2)(x+ 1) = 0,.x=- 1 或x=- 2.【答案】一 1 或一 2 ( 1,0) , ( 2,0)教材整理 2 零點存在性定理閱讀教材 P92例 2 至 F93“思考”，完成下列問題.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)0.【答案】X(2)X(3)X2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù)，且圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，f(2)fV0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,5)上零點的個數(shù)是 _ .【解析】 由f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù)，可得f(x)

3、至多有一個零點.又因為f(x) 是一條連續(xù)不斷的曲線，f(2)f(5)V0，所以f(x)在(2,5)上至少有一個零點，可得f(x) 恰有一個零點.【答案】13x(1)f(x) =xx； (2)f(x) = 2 8; (3)f(x) = 1 log4x；f(x) = (ax 1)(x2)(a R).【精彩點撥】 根據(jù)函數(shù)零點的方程根的關系，求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根.32【自主解答】(1) f(x) =xx=x(x 1) =x(x 1)(x+ 1),令f(x) = 0，得x= 0,1 , 1,故f(x)的零點為x= 1,0,1.(2) 令f(x) = 2x 8= 0,.x= 3,故f(x

4、)的零點為x= 3.(3) 令f(x) = 1 log4x= 0,. log4x= 1 ,.x= 4.故f(x)的零點為x= 4.(4) 當a= 0 時，函數(shù)為f(x) = x+ 2,令f(x) = 0，得x= 2. f (x)的零點為 2.階股2o作探究通關求函數(shù)的零點小組合作型求下列函數(shù)的零點.3 1 、 12當a= 時，f(x) = ix 1 (x 2) = /x 2),令f(x) = 0 得X1=X2= 2.4 f (X)有零點 2.1當azo且az時，1 令f(x) = 0 得Xi= ,X2= 2.a1f(x)的零點為二，2.a1 1綜上，當a= 0 時，f(x)的零點為 2；當a=

5、時，函數(shù)有零點 2；當azo且az時，f1(x)的零點為a，2.名師屈砂函數(shù)零點的求法求函數(shù)f(X)的零點時，通常轉(zhuǎn)化為解方程f(x) = 0，若方程f(X)= 0 有實數(shù)根，則 函數(shù)f(X)存在零點，該方程的根就是函數(shù)f(X)的零點；否則，函數(shù)f(X)不存在零點.再練一題令g(x) = 0，則x=扌或 1,即g(x)的零點為 1 或 1.1【答案】4 或1零點存在性定理及其應用在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x) = ex+ 4x 3 的零 點所在的區(qū)間_.(填序號)1-4,0；0，1； 41；1，4.【精彩點撥】利用函數(shù)零點的存在性定理判斷，即是否具備 利用函數(shù)圖象判斷，即函數(shù)圖象與X軸是否有交點.

6、【自主解答】 f Q !=第-20,1 .若函數(shù)f(x) =x2ax+b有兩個零點1 和 4，則函數(shù)g(x) =bx2ax+ 1 的零點為a= 1 + 4 = 5,【解析】由韋達定理得 L= 1* 4,2g(x) = 4x 4x+ 1 = (4x 1)(x 1),卜f(a)f(b)0,零點在4,1上【答案】 1判斷零點所在區(qū)間有兩種方法：一是利用零點存在性定理，二是利用函數(shù)圖象.2要正確理解和運用函數(shù)零點的性質(zhì)在函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷中的應用，若f(x)的圖象在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0 , 則f(x)在(a,b)上不一定沒有零點.再練一題2根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程ex-(x+

7、3) = 0(e-2.72)的一個根所在的區(qū)間是_(填序號)x10123xe0.3712.727.4020.12x+ 323456(一 1,0):(0,1):(1,2):(2,3).【解析】 設f(x) = ex(x+ 3)，由上表可知，f( 1) = 0.37 20,f(0) = 1-30,f(1) = 2.72 40,f(3) = 20.12 60,Af(1)f(2) 時，方程沒有實數(shù)根；132當a= 丁時，方程有兩個相等的實數(shù)根；4函數(shù)f(x) = ex- 3 的零點個數(shù)為8133當av時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.法二：原方程化為x2 5x+ 3 +a= 0.9 = 25-4(3 +a

8、) =- 4a+ 13.2當= 0，即a= 時，方程有兩個相等的實數(shù)根；4133當0，即ay#時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.判斷函數(shù)零點的個數(shù)的方法主要有：（1）可以利用零點存在性定理來確定零點的存在性，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的個數(shù).（2）利用函數(shù)圖象交點的個數(shù)判定函數(shù)零點的個數(shù).再練一題3.若把中x加以限制(1vxv3)，求解相應問題.【解】 原方程可化為一x2+ 5x- 3=a(1vxv3),作函數(shù)f(x) =-x2+ 5x 3(1vxv3)的圖象，注意f(x) =-x2+ 5x 3 的對稱軸為x52，525 2550 - 25- 12 13f2 =-T +兀-3=4=才，f(1)

9、 =- 1+ 5- 3 = 1,f(3) =- 9+ 15-3= 3.故f(x)在 1vxv3 上的草圖如圖所示：由圖可知，131當a=或 1va3時，方程有一解;13當普時,方程沒有實數(shù)根;102當 3vav時，方程有兩解；113當awl或a時，方程無解1下列圖象表示的函數(shù)中沒有零點的是 _(填序號)【解析】 的圖象均與x軸有交點，故函數(shù)均有零點，的圖象與x軸沒有交點,故函數(shù)沒有零點.【答案】 22.函數(shù)f(x) = (x 1)(x+ 3X 10)的零點個數(shù)是 _【解析】/f(x) = (x 1)(x+ 3x 10)=(x 1)(x+ 5)(x 2),由f(x) = 0，得x= 5 或x= 1 或x= 2.【答案】 33已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x,f(x)對應值表:x1234567f(x)136.13615.5523.9210.8852.488232.06411.238由表可知函數(shù)f(x)存在零點的區(qū)間有 _個.【解析】/f(2)f(3)V0,f(3)f(4)V0,f(4)f(5)V0,f(6)fV 0,共有 4 個區(qū)間.【答案】 424._ 方程 0.9x二x= 0 的實數(shù)解的個數(shù)是_2【解析】 設f(x) = 0.9x 2x，則f(x)為減函數(shù)，值域