MATLAB優(yōu)化應(yīng)用非線性規(guī)劃

1、1MATLAB優(yōu)化應(yīng)用1 線性規(guī)劃模型一、線性規(guī)劃課題：實例 i ：生產(chǎn)計劃問題假設(shè)某廠計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，現(xiàn)庫存主要材料有 A 類 3600 公斤，B 類 2000 公斤，C 類 3000 公斤。每件甲產(chǎn)品需用材料 A 類 9 公斤，B 類 4 公 斤，C 類 3 公斤。每件乙產(chǎn)品，需用材料 A 類 4 公斤，B 類 5 公斤，C 類 10 公斤。甲單位產(chǎn)品的利潤 70 元，乙單位產(chǎn)品的利潤 120 元。問如何安排生產(chǎn)， 才能使該廠所獲的利潤最大。建立數(shù)學(xué)模型：設(shè) x1、x2分別為生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的件數(shù)。f 為該廠所獲總潤。max 仁 70 x1+120 x2s.t 9x1+4x2 0實例

2、 2 :投資問題某公司有一批資金用于 4 個工程項目的投資，其投資各項目時所得的凈收益（投入資金锪百分比）如下表：工程項目收益表工程項目ABCD收益（%）1510812由于某種原因，決定用于項目A 的投資不大于其他各項投資之和而用于項目B 和 C 的投資要大于項目 D 的投資。試確定全文該公司收益最大的投資分配方案。建立數(shù)學(xué)模型：設(shè) x1、x2、x3、x4分別代表用于項目 A、B、C、D 的投資百分數(shù)。max仁0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4s.t x1-x2- x3- x4v0 x2+ x3- x4 0 x1+x2+x3+ x4=1Xj0j=1,2,3,4實例 3 :

3、運輸問題有 A、B、C 三個食品加工廠，負責供給甲、乙、丙、丁四個市場。三個廠每天生產(chǎn)食品箱數(shù)上限如下表：工廠ABC生產(chǎn)數(shù)604050四個市場每天的需求量如下表:市場甲乙丙丁需求量20353334從各廠運到各市場的運輸費（元/每箱）由下表給出:收占 發(fā) 占市場甲乙丙丁工A21322廠B1321C3411求在基本滿足供需平衡的約束條件下使總運輸費用最小。建立數(shù)學(xué)模型：設(shè) ai j為由工廠 i 運到市場 j 的費用，Xi j是由工廠 i 運到市場 j 的箱數(shù)。bi是工廠 i 的產(chǎn)量，dj是市場 j 的需求量。s.t當我們用 MATLAB 軟件作優(yōu)化問題時，所有求 maxf 的問題化為求 min(-

4、f )來作。約束 gi(x)0,化為-gi0來作。上述實例去掉實際背景，歸結(jié)出規(guī)劃問題：目標函數(shù)和約束條件都是變量x 的線性函數(shù)。形如：(1)min fTXs.t A X bAeq X =beqlb X ub其中 X 為 n 維未知向量，fT=f1化，們?yōu)槟繕撕瘮?shù)系數(shù)向量，小于等于約束系數(shù)矩陣A 為mxn 矩陣，b 為其右端 m 維列向量，Aeq 為等式約束系數(shù)矩陣，beq 為等式約束右端常數(shù)列向量。lb,ub 為自變量取值上界與下界約束的n 維常數(shù)向量。二.線性規(guī)劃問題求最優(yōu)解函數(shù)：調(diào)用格式：x=linprog(f Ab)x=li nprog(f,A,b,Aeq,beq)x=li nprog

5、(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=li nprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,xO)x=li nprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,xO,optio ns)x,fval=li nprog()x, fval, exitflag=li nprog()x, fval, exitflag, output=li nprog()x, fval, exitflag, output, lambda=li nprog()說明：x=linprog(fAb)返回值 x 為最優(yōu)解向量。x=linprog(fAb,Aeq,beq)作有等式約束的問題。若沒有不等式約束，則令A(yù)= 、

6、b=。x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,xO,options)中 lb ,ub 為變量 x 的下界和上界，x0 為初值點，options 為指定優(yōu)化參數(shù)進行最小化。Optio ns的參數(shù)描述：Display顯示水平。選擇off 不顯示輸出；選擇iter#示每一步迭代過程的輸出；選擇final 顯示最終結(jié)果。MaxFu nEvals函數(shù)評價的最大允許次數(shù)Maxiter最大允許迭代次數(shù)TolX x 處的終止容限x,fval=linprog(左端 fval 返回解 x 處的目標函數(shù)值。x,fval,exitflag,output,lambda=li nprog(f,A,b,

7、 Aeq,beq,lb,ub,x0)的輸出部分：exitflag描述函數(shù)計算的退出條件：若為正值，表示目標函數(shù)收斂于解x 處；若為負值，表示目標函數(shù)不收斂；若為零值，表示已經(jīng)達到函數(shù)評價或迭代的最大次數(shù)。output返回優(yōu)化信息：output.iteratio ns表示迭代次數(shù)；output.algorithm表示所采用的算法；outprt.fu ncCou nt表示函數(shù)評價次數(shù)。b= ( 60 40 50 )d= ( 20 35 33 34 )3lambda 返回 x 處的拉格朗日乘子。它有以下屬性：lambda.lower-lambda 的下界； lambda.upper-lambda 的

8、上界； lambda.ineqlin-lambda 的線性不等式； lambda.eqlin-lambda 的線性等式。三 舉例例 1 ：求解線性規(guī)劃問題：max f=2x1+5x2s.t 先將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化成最小值問題：min(-f)=- 2x 程序：f=-2 -5; A=1 0;0 1;1 2;b=4;3;8; x,fval=linprog(f,A,b) f=fval*(-1) 結(jié)果： x = 23fval = -19.0000 maxf = 19 例 2 ：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5S.t -2x1+x2-X3+X4-3X5 62X1+X2-X3+4X4+X5 7OSj

9、15 j=1,2,3,4,5 程序： f=5 -1 2 3 -8;A=-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1; b=6;7;lb=O O O O O; ub=15 15 15 15 15;X,fval=linprog(f,A,b,lb,ub) 結(jié)果： X =O.OOOOO.OOOO8.OOOOO.OOOO15.OOOO minf =-1O4例 3 ：求解線性規(guī)劃問題：minf=5X1+X2+2X3+3X4+X5S.t-2X1+X2-X3+X4-3X5 12X1+3X2-X3+2X4+X5W-2OSjWlj=1,2,3,4,51-5X24程序：f=5 1 2 3 1;A=-2 1 -1

10、1 -3;2 3 -1 2 1;b=1;-2;lb=0 0 0 0 0;ub=1 1 1 1 1;x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,lb,ub)Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative error has grown 100000 times greater than its minimum value so far: the primal appears to beinfeasible (and the dual unbounded).(Th

11、e dual residual 0將其轉(zhuǎn)換為標準形式： min f=-70 x1-120 x2s.t 9x1+4x2w36004x1+5x2w20003x1+10 x2w3000XX2 0程序： f=-70 -120;A=9 4 ;4 5;3 10 ; b=3600;2000;3000; lb=0 0;ub=;x,fval,exitflag=linprog(f,A,b,lb,ub) maxf=-fval運行結(jié)果：5結(jié)果： x =200.0000240.0000fval =-4.2800e+004exitflag =1maxf =4.2800e+004例 5 ：求解實例 2建立數(shù)學(xué)模型：max

12、f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4S.t x1-X2- x3- x4 0 x1+x2+x3+ x4=1Xj0j=1,2,3,4將其轉(zhuǎn)換為標準形式：min z=-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4S.t X1-X2- x3- x40j=1,2,3,4程序： f = -0.15;-0.1;-0.08;-0.12;A = 1 -1 -1 -10 -1 -1 1;b = 0; 0;Aeq=1 1 1 1;beq=1;lb = zeroS(4,1);X,fval,eXitflag = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) f=-fval結(jié)果：

13、 X =0.50000.25000.00000.2500fval =16s.tx i； 0程序：A=2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1;f=A(:);B= 1 0 01 0 010 0 10 00 1 0 0 100 1 00 1 00 0 1 0 010 0 10 0 1;D=1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 110 0 00 0 00 0 0 0 001 1 10 0 00 0 0 0 000 0 01 1 1;b=60;40;50;d=20;35;33;34;lb=zeros(12,1);x,fval,exitflag=linprog(f,B,b,

14、D,d,lb)結(jié)果：x =0.000020.00000.000035.00000.00000.00000.00000.000033.00000.000018.468215.5318fval =122.0000eXitflag =-0.1300exitflag =0.1300即 4 個項目的投資百分數(shù)分別為 50% ，25% ，0, 25%時可使該公司獲得最大的收益，其最大收益可到達 13% 。過程正常收斂。例 6 ： 求解實例 3建立數(shù)學(xué)模型：設(shè) ai j為由工廠i 運到市場 j 的費用，Xj j是由工廠 i 運到市場 j 的箱數(shù)。6 是工廠 i 的產(chǎn)量，dj是市場 j 的需求量。b= ( 6

15、0 40 50 )Td= ( 20 35 33 34 )7即運輸方案為：甲市場的貨由 B 廠送 20 箱；乙市場的貨由 A 廠送 35 箱；丙商場的貨由 C 廠送 33 箱；丁市場的貨由 B 廠送 18 箱，再由 C 廠送 16 箱。最低總運費為： 122 元。2 非線性規(guī)劃模型一非線性規(guī)劃課題實例 1 表面積為 36 平方米的最大長方體體積。 建立數(shù)學(xué)模型： 設(shè) x、y、z 分別為長方體的三個棱長，f 為長方體體積。max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)實例 2 投資決策問題某公司準備用 5000 萬元用于 A、B 兩個項目的投資，設(shè) Xi、X2分別表示配給項目 A、B

16、 的投資。預(yù)計項目 A、B 的年收益分別為 20%和 16%。同時，投 資后總的風(fēng)險損失將隨著總投資和單位投資的增加而增加，已知總的風(fēng)險損失為2x12+x22+(x1+x2)2.問應(yīng)如何分配資金，才能使期望的收益最大，同時使風(fēng)險損失為最小。建立數(shù)學(xué)模型：2 2 2max f=20 xi+16x2-入2xi+x2+(xi+x2)s.t X1+X2w5000 x1 0,X2 0目標函數(shù)中的入AO是權(quán)重系數(shù)。由以上實例去掉實際背景，其目標函數(shù)與約束條件至少有一處是非線性的，稱其為非線性問題。 非線性規(guī)劃問題可分為無約束問題和有約束問題。實例 1 為無約束問題，實例 2 為有約束問題。無約束非線性規(guī)劃

17、問題：x=fminunc(fun,x0,options)x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)x,fval=fminunc()x,fval, exitflag=fminunc()x,fval, exitflag,output=fminunc()x,fval, exitflag,output,grad=fminunc()x,fval, exitflag,output,grad,hessian=fminunc()說明： fun 為需最小化的目標函數(shù)， x0 為給定的搜索的初始點。 options 指定優(yōu)化參數(shù)。返回的 x 為最優(yōu)解向量； fval 為 x 處的目標函數(shù)值；

18、exitflag 描述函數(shù)的輸出條件； output 返回優(yōu)化信息； grad 返回目標函數(shù)在 x 處的梯度。 Hessian返回在 x 處目標函數(shù)的 Hessian 矩陣信息。例 1 ： 求 程序：編輯 ff1.m 文件function f=ff1(x)f=8*x(1)-4*x (2) +x(1)A2+3*x(2)A2;通過繪圖確定一個初始點：x,y=meshgrid(-10:.5:10);z= 8*x-4*y +x.A2+3*y.A2; surf(x,y,z) 選初始點： x0=(0,0) x0=0,0;x,fval,exitflag=fminunc(ff1,x0)結(jié)果： x =求解無約束

19、最優(yōu)化問題的方法主要有兩類：直接搜索法1 fminunc 函數(shù)調(diào)用格式： x=fminunc(fun,x0)(Search method) 和梯度法 (Gradient method).8-4.0000 0.6667fval =-17.3333 exitflag =1例 2 ： 程序：編輯 ff2.m 文件： function f=ff2(x)f=4*x(1)八2+5*x(1)*x(2)+2*x (2)八2;取初始點： x0=(1,1)x0=1,1;x,fval,exitflag=fminunc(ff2,x0) 結(jié)果： x =1.0e-007 * -0.1721 0.1896 fval =2.

20、7239e-016exitflag =1例 3 ：將上例用提供的梯度 g 最小化函數(shù)進行優(yōu)化計算。 修改 M 文件為： function f,g=ff3(x)f=4*x(1)A2+5*x(1)*x(2)+2*x (2)八2;if nargut 1g(1)=8*x(1)+5*x(2);g(2)=5*x(1)+4*x(2);end通過下面將優(yōu)化選項結(jié)構(gòu)options.GradObj 設(shè)置為on 來得到梯度值。options=optimset( Gradobj , on ); x0=1,1;x,fval,exitflag=fminunc(ff3,x0,options)結(jié)果： x =1.0e-015

21、* -0.2220 -0.2220 fval =5.4234e-031exitflag =12 minsearch 函數(shù)9調(diào)用格式： x=fminsearch(fun,x0)x=fminsearch(fun,x0,options)x=fminsearch(fun,x0,options,P1,P2)x,fval=fminsearch()x,fval, exitflag=fminsearch()x,fval, exitf lag,output=fminsearch()x,fval, exitflag,output,grad=fminsearch()x,fval, exitflag,output,g

22、rad,hessian=fminsearch(說明： 參數(shù)及返回變量同上一函數(shù)。對求解二次以上的問題，)fminsearch 函數(shù)比 fminunc 函數(shù)有效。3 多元非線性最小二乘問題： 非線線性最小二乘問題的數(shù)學(xué)模型為： 其中 L 為常數(shù)。調(diào)用格式： x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,options)x=lsqnonlin(fun,x0,options,P1,P2)x,resnorm=lsqnonlin()x,resnorm, residual,exitflag=lsqnonlin()x,re sn

23、orm, residual , exitflag,output=lsqnonlin()x,resnorm, residual,exitflag, output,lambda=lsqnonlin()x,resnorm, r esidual,exitflag, output,lambda,jacobian=lsqnonlin(說明：x 返回解向量；resnorm 返回 x 處殘差的平方范數(shù)值：sum(fun(x).A2)； residual 返回 x 處的殘差值 fun(x) ； lambda 返回包含 x 處拉格朗日乘子的結(jié)構(gòu)參數(shù)； jacobian 返回解 x 處的 fun 函數(shù)的雅可比矩陣。

24、lsqnonlin 默認時選擇大型優(yōu)化算法。 Lsqnonlin 通過將 options.LargeScale設(shè)置為of 來作中型優(yōu)化算法。其采用一維搜索法。例 4求 minf=4(x2-x1)2+(x2-4)2，選擇初始點 x0(1,1)程序：f =4*(x (2) -x(1)八2+(x (2)-4)八2x,reshorm=lsqnonlin(f,1,1) 結(jié)果：x=3.9896 3.9912reshorm =5.0037e-009例 5：求 ，選擇初始點 x0(0.2,0.3)求解：先編輯 ff5.m 文件：function f=ff5(x)k=1:10;f=2+2*k-exp(k*x(1

25、)-exp(k*x(2);然后作程序： x0=0.2,0.3;x,resnorm=lsqnonlin(ff5,x0)結(jié)果 ： x =0.2578 0.2578resnorm =124.362210有約束非線性規(guī)劃問題：方程第一行描述了目標函數(shù)和約束條件在解處梯度的取消。由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子入來平衡目標函數(shù)與約束梯度間大小的差異。調(diào)用格式 : x=fmincon(f,x0,A,b)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=

26、fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval=fminc on()x, fval, exitflag=fmincon()x, fval, exitflag, output=fmincon()x, fval, exitflag, output, lambda=fmincon()說明：x=fmincon(f,x0Ab)返回值 x 為最優(yōu)解向量。其中：x0 為初始點。A,b 為不等式約束的系數(shù)矩陣和右端列向量。x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq)作有等式約束的問題。若沒有不等式約束，則令 A= 、b= 。x=fminco

27、n(f, x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, nonlcon ,options)中 lb ,ub 為變量 x 的下界和上界； nonlcon=fun, 由 M 文件 fun.m 給定非線性不等式約束c (x)W0廿等式約束 g(x)=0; options 為指定優(yōu)化參數(shù)進行最小化。例 6：求解： min 100(x2-x12)2+(1-x1)2s.tXi 2;X2 2程序： 首先建立 ff6.m 文件：function f=ff6(x)f=100*(x (2)-x (2)A2)A2+(1-x(1)A2;然后在工作空間鍵入程序：x0=1.1,1.1;A=1 0;0 1;b=2;2;x,f

28、val=fmincon(ff6,x0,A,b)結(jié)果： x =1.0000 1.0000fval =3.1936e-011例 7 ：求解：首先建立目標函數(shù)文件 ff7.m 文件：function f=ff7(x)f=-x(1)*x(2)*x(3)然后將約束條件改寫成如下不等式：s.t Gi(x)0i=1, ,mGj(x) =0j=m+1, ,nxl xxu其中： F(x) 為多元實值函數(shù)， G(x) 為向量值函數(shù)，在有約束非線性規(guī)劃問題中，通常要將該問題轉(zhuǎn)換為更簡單的子問題，其基于 K-T 方程解的方法。 它的 K-T 方程數(shù)學(xué)模型： min F(x)可表達為：這些子問題可以求并作為迭代過程的基

29、礎(chǔ)。11-xi-2x2-2x3W0Xi+2x2+2x3w72在工作空間鍵入程序：A=-1 -2 -2;1 2 2; b=0;72; x0=10;10;10;x,fval=fmincon(ff71,x0,A,b) 結(jié)果： x =24.000012.000012.0000fval =-3456例 8 求解： minf=ex1(6x12+3x22+2x1x2+4x2+1)s.t x1x2-x1-x2+1w0 -2x1x2-5w0程序： 首先建立目標函數(shù)文件 ff8.m 文件： function f=ff8(x)f=exp(x(1)*(6*x(1)八2+3*x (2)八2+2*x(1)*x (2)+4

30、*x (2)+1);再建立非線性的約束條件文件： ff8g.m function c,g=ff8g(x)c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1；c(2)=-2*x(1)*x(2)-5；g=; 然后在工作空間鍵入程序：x0=1,1;nonlcon=ff8g x, fval =fmincon(ff8,x0,nonlcon)結(jié)果： x =-2.5000 1.0000fval =3.3244exitflag =1當有等式約束時，要放在矩陣 g 的位置，如上例中加等式約束：x(1)+2*x(1)=0程序： 首先建立 fun1.m 文件： functionc,g=ff8g1(x)c(1)=x

31、(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1；c(2)=-2*x(1)*x(2)-5；g(1)=x(1)+2*x(2); 然后在工作空間鍵入程序：x0=-1,1; nonlcon=ff8g1;x, fval,exitflag =fmincon(ff8,x0,nonlcon)12exitflag =3二次規(guī)劃模型數(shù)學(xué)模型：其中 H 為二次型矩陣， A、 Aeq 分別為不等式約束與等式約束系數(shù)矩陣， f,b,beq,lb,ub,x 為向量。 求解二次規(guī)劃問題函數(shù)為 quadprog( )調(diào)用格式 ： X= quadprog(H,f,A,b)X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)X=

32、quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x,fval= quadprog()x,fval,exitflag= quadprog()x,fval,exitflag,output= quadprog()x,fval,exitflag,output,lambda= quadprog()說明： 輸入?yún)?shù)中， x0 為初始點；若無等式約束或無不等式約束，就將相應(yīng)的矩陣和向量設(shè)置為空； options 解； fval是返回

33、解所對應(yīng)的目標函數(shù)值； exitflag 是描述搜索是否收斂； output 是返回包含優(yōu)化信息的結(jié)構(gòu)。 參數(shù)。例 1 ：求解：二次規(guī)劃問題min f(x)= x1-3x2+3x12+4x22-2x1x2s.t 2xi+x2 2-xi+4x2 3程序： f=1;-3H=6 -2;-2 8A=2 1;-1 4b=2;3X,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b)結(jié)果： X =-0.04550.3636fval =-0.5682exitflag =1例 2 ：求解：二次規(guī)劃問題22min +x1+2x2-2x1x2-4x1-12x2結(jié)果：-2.23611.1180fval =

34、3.6576為指定優(yōu)化參數(shù)。輸出參數(shù)中， x 是返回最優(yōu)Lambda 是返回解 x 入包含拉格朗日乘子的13s.t Xi+x2 2-xi+2x2w22xi+x2w3 0n)為一個 n 維向量；fi(x)為目標函數(shù)，i=1, 2,m; g (x)為系統(tǒng)約束,j=1,2,。,k當目標函數(shù)處于沖突狀態(tài)時，不存在最優(yōu)解使所有目標函數(shù)同時達到最優(yōu)。于是我們尋求有效解(又稱非劣解或非支配解或帕累托解 )定義：若(Q)的鄰域內(nèi)不存在 心，使得(+Ax Q),且則稱 為有效解。多目標規(guī)劃問題的幾種常用解法：(1)主要目標法其基本思想是：在多目標問題中，根據(jù)問題的實際情況，確定一個目標為主要目標，而把其余目標作

35、為次要目標，并且根據(jù)經(jīng)驗，選取一定的界限值。這樣 就可以把次要目標作為約束來處理，于是就將原來的多目標問題轉(zhuǎn)化為一個在新的約束下的單目標最優(yōu)化問題。(2)線性加權(quán)和法其基本思想是：按照多目標fi(x) (i=1,2,的重要程度，分別乘以一組權(quán)系數(shù)Xj(j=1, 2,，m 然后相加作為目標函數(shù)而構(gòu)成單目標規(guī)劃問題。即，其中例 1 :某鋼鐵廠準備用 5000 萬用于 A、B 兩個項目的技術(shù)改造投資。設(shè) X1、X2分別表示分配給項目 A、B 的投資。據(jù)專家預(yù)估計，投資項目 A、B 的年收 益分別為 70%和66%。同時，投資后總的風(fēng)險損失將隨著總投資和單項投資的增加而增加，已知總的風(fēng)險損失為0.02

36、x12+0.01x22+0.04(x1+X2)2，問應(yīng)如何分配資金才能使期望的收益最大，同時使風(fēng)險損失為最小。建立數(shù)學(xué)模型max f1(x)=70 x1+66x2min f2(x)= 0.02x12+0.01x22+0.04(x1+x2)2s.t x1+x2w50000wx1, 0wx2線性加權(quán)構(gòu)造目標函數(shù)： max f=0.5f1(x) -0.5f2(x)化最小值問題：min (-f)=- 0.5f1(x) +0.5f2(x)首先編輯目標函數(shù) M 文件 ff11.m function f=ff11(x) f=-0.5*(70*x(1)+66*x (2)+0.5*(0.02*x(1)八2+0.

37、01*x (2)八2+0.04*(x(1)+x(2)八2); 調(diào)用單目標規(guī)劃求最小值問題的函14數(shù)x0=1000,1000A=1 1;b=5000;lb=zeros(2,1);x,fval, exitflag=fmincon(ff11,x0, A,b,lb,)f1=70*x(1)+66*x(2)f2=0.02*x(1)A2+0.01*x (2)A2+0.04*(x(1)+x(2)A2結(jié)果： x =307.1428414.2857fval =-1.2211e+004exitflag =1f1 =4.8843e+004f2 =2.4421e+004(3) 極大極小法其基本思想是：對于極小化的多目標

38、規(guī)劃，讓其中最大的目標函數(shù)值盡可能地小為此，對每個 最大值中的最小值。即構(gòu)造單目標規(guī)劃：(4) 目標達到法對于多目標規(guī)劃：s.t gj(x)0j=1,2,-,n先設(shè)計與目標函數(shù)相應(yīng)的一組目標值理想化向量 ，再設(shè)Y為一松弛因子標量。設(shè)為權(quán)值系數(shù)向量。于是多目標規(guī)劃問題化為：在 Matlab 的優(yōu)化工具箱中， fgoalattain 函數(shù)用于解決此類問題。 其數(shù)學(xué)模型形式為：minYF(x)- weight ( goalc(x) 0ceq(x)=0A x bAeq x=beqlb xub其中，x,weight,goal,b,beq,lb禾廿 ub 為向量，A 和 Aeq 為矩陣，c(x),ceq(

39、x) 禾廿 F(x)為函數(shù),調(diào)用格式：x=fgoalattain(F,x0,goal,weight)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

40、x R，我們先求諸目標函數(shù)值 fi(x)的最大值，然后再求這些i5x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2)x,fval=fgoalattain()x,fval,attainfactor=fgoalattain()x,fval,attainfactor,exitflag,output=fgoalattain()x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda=fgoalattain()說明： F 為目標函數(shù)； x0 為初值； goal 為 F 達到的指定目標；

41、 weight 為參數(shù)指定權(quán)重； A、b 為線性不等式約束的矩陣與向量；Aeq 、beq 為等式約束的矩陣與向量； lb 、ub 為變量 x 的上、下界向量； nonlcon 為定義非線性不等式約束函數(shù) c(x) 和等式約束函數(shù) ceq(x) ；options 中設(shè)置優(yōu)化參數(shù)。x返回最優(yōu)解； fval 返回解 x 處的目標函數(shù)值； attainfactor 返回解 x 處的目標達到因子； exitflag 描述計算的退出條件； output 返回包含優(yōu)化信息的輸 出參數(shù)； lambda返回包含拉格朗日乘子的參數(shù)。例 2 :某化工廠擬生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品A 和 B，其生產(chǎn)設(shè)備費用分別為 2 萬元/噸和

42、 5 萬元/噸。這兩種產(chǎn)品均將造成環(huán)境污染，設(shè)由公害所造成的損失可折算為 A 為 4 萬元/噸，B 為 1 萬元/噸。由于條件限制，工廠生產(chǎn)產(chǎn)品A 和 B 的最大生產(chǎn)能力各為每月5 噸和 6 噸，而市場需要這兩種產(chǎn)品的總量每月不少于 7 噸。試問工廠如何安排生產(chǎn)計劃，在滿足市場需要的前提下，使設(shè)備投資和公害損失均達最小。該工廠決策認為，這兩個目標中環(huán)境污染應(yīng)優(yōu)先考慮， 設(shè)備投資的目標值為 20 萬元，公害損失的目標為 12 萬元。建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)工廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品 A 為乂！噸，B 為 X2噸，設(shè)備投資費為 f(x!),公害損失費為 f(x2),則問題表達為多目標優(yōu)化問題：min f1(x)=2

43、x1+5x2min f2(x)=4x1+x2s.t xi 0程序： 首先編輯目標函數(shù) M 文件 ffi2.mfunction f=ffi2(x)f(i)=2*x(i)+5*x(2);f(2)= 4*x(i) +x(2);按給定目標?。篻oal=20,i2; weight=20,i2;x0=2,2A=i 0; 0 i;-i -i;b=5 6 -7; lb=zeros(2,i);x,fval,attainfactor,exitflag=fgoalattain(ffi2,x0,goal,weight,A,b,lb,)結(jié)果： x =2.9i674.0833fval =26.2500i5.7500att

44、ainfactor =0.3i25exitflag =i例 3 ：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 i00 公斤需 6 個工時，生產(chǎn)乙產(chǎn)品 i00 公斤需 8 個工時。假定每日可用的工時數(shù)為 48 工時。這兩 種產(chǎn)品每 i00 公斤均可獲利 500 元。乙產(chǎn)品較受歡迎，且若有個老顧客要求每日供應(yīng)他乙種產(chǎn)品 500 公斤，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃？16建立數(shù)學(xué)模型：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量分別為 x 和 x( 以公斤計 ) ，要使生產(chǎn)計劃比較合理，應(yīng)考慮用工時盡量少，獲利盡量大，其用多目標規(guī)劃描述這：min f1=6x1+8x2max f2=100(x1+x2) max f3=x2s.t

45、6xi+8x2 5Xi,x2 0將其標準化為：min f1=6x1+8x2min - f2=-100(x1+x2)min - f3=-x2s.t 6xi+8x2 48-X2-5x1,x20程序： 首先編輯目標函數(shù) M 文件 ff13.mfunction f=ff13(x)f(1)=6*x(1)+8*x(2);f(2)= -100*(x(1) +x(2);f(3)=-x(2);按給定目標?。篻oal=48 -1000 -5;weight=48 -1000 -5;x0=2 2;A=6 8; 0 -1;b=48 -5;lb=zeros(2,1);x,fval,attainfactor,exitfla

46、g=fgoalattain(ff13,x0,goal,weight,A,b,lb,)結(jié)果： x =1.33335.0000fval =48.0000 -633.3333-5.0000attainfactor =1.6338e-008exitflag =1即生產(chǎn)計劃為每日生產(chǎn)甲產(chǎn)品 133.33 公斤，生產(chǎn)乙產(chǎn)品 500 公斤。5最大最小化模型基本思想：在對策論中，我們常遇到這樣的問題：在最不利的條件下，尋求最有利的策略。在實際問題中也有許多求最大值的最小化問題。例如急救中心選址問題就是要規(guī)戈康到所有地點最大距離的最小值。在投資規(guī)劃中要確定最大風(fēng)險的最低限度等等。為此，對每個x R,我們先求諸目標值 f)的最大值，然后再求這些最大值中的最小值。最大最小化問題的數(shù)學(xué)模型：17求解最大最小化問題的函數(shù)為 fmininax調(diào)用格式:x=fminimax(F,xO,)x=fminimax(F,xO,A,b)x=fminimax(F,xO,A,b,Aeq,beq)x=fminimax(F,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fminimax(F,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fminimax(F,xO,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x=fminimax(F,xO,A,b,Aeq,be