《因數(shù)和倍數(shù)》具體內(nèi)容及教學(xué)建議

1、1 / 6因數(shù)和倍數(shù)具體內(nèi)容及教學(xué)建議教學(xué)內(nèi)容：第1216頁教材說明：這部分教材首先介紹了因數(shù)和倍數(shù)的概念，然后在例1和例2分別介紹了求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。1.因數(shù)和倍數(shù)。冷4冷4 472 x 6 - 12祥韋：為了方便，和惰雉的時悝ftiJPrW.數(shù)招的足鞍戢tHR不氈括0昇編寫意圖本單元在引入因數(shù)和倍數(shù)的概念時與以往的教材有所不同。在以往的教材 中，都是通過除法算式來引出整除的概念， 每個除法算式對應(yīng)著一對有整除關(guān)系 的數(shù)，如b*a=n表示b能被a整除，b*n=a表示b能被n整除。在此基礎(chǔ)上 再引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。實(shí)際上，如前所述，由于乘除法本身就存在著互逆關(guān) 系，用乘法算式（如b

2、=na）同樣可以表示整除的含義。因此，本套教材中沒有 用數(shù)學(xué)化的語言給“整除”下定義，而是利用一個簡單的實(shí)物圖（2行飛機(jī)，每依匡理找d: 12的乂他訊註哋？ =2和6思12的因釵12尼2的倍腔也屋的3和4 6 12的洞L応址自和斗的諸#L2 / 6行6架）引出一個乘法算式2X6=12,通過這個乘法算式直接給出因數(shù)和倍數(shù) 的概念。這樣，學(xué)生不必通過12-2=6得出12能被2整除，進(jìn)而2是12的因 數(shù)，12是2的倍數(shù)。再通過12-6=2得出12能被6整除，進(jìn)而6是12的因數(shù)，12是6的倍數(shù)，大大簡化了敘述和記憶的過程。在這兒，用一個乘法算式2X6=12可以同時說明“2和6都是12的因數(shù)，12是2的

3、倍數(shù)，也是6的倍數(shù)?！?接著，通過3X4=12,進(jìn)一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。在學(xué)生熟練掌握了 因數(shù)和倍數(shù)的概念以后，教材讓學(xué)生試著找出12的其他因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生寫出兩個數(shù)的積等于12的另一個乘法算式1X12=12,從而得出1和12也是12的因 數(shù)。最后，教材對整數(shù)0進(jìn)行特殊說明，以明確本單元中數(shù)的研究范圍。因為數(shù) 論只研究整數(shù)的性質(zhì)，所以，本單元中涉及到的數(shù)都是整數(shù)。由于學(xué)生還沒有學(xué) 習(xí)負(fù)整數(shù)，因此，本單元的整數(shù)與自然數(shù)同義。根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義，0是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是0的因數(shù)。但是考慮到以后研究最大 公因數(shù)和最小公倍數(shù)時，如果不排除0,很多問題無從討論，如討論0和5的最

4、大公因數(shù)既沒有實(shí)際意義，也沒有數(shù)學(xué)意義，再如，如果把0考慮在內(nèi)，任意兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)就是0,這樣的研究沒有任何價值。因此，教材指出本單 元研究的內(nèi)容一般不包括0,這樣就避免了一些不必要的麻煩。教學(xué)建議教學(xué)因數(shù)和倍數(shù)概念時，可以結(jié)合教材上的直觀圖（2行飛機(jī)，每行6架） 引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式2X6=12或6X2=12,再根據(jù)所列的乘法算式直接給出因 數(shù)和倍數(shù)的概念。接下來，再結(jié)合直觀圖（3行飛機(jī)，每行4架）進(jìn)一步鞏固因 數(shù)和倍數(shù)的概念。最后，讓學(xué)生脫離情境圖，想一想12還有哪些因數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式1X12=12或12X1=12,概括出“1和12都是12的因數(shù)，12是1和它本身的倍數(shù)”。

5、在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用一般的乘法算式aXb=c歸納出因數(shù)和倍數(shù)的概念：a、b都是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。教學(xué)時，應(yīng)注意以下四點(diǎn)：（1）雖然本套教材不是從過去的整除定義（形式 上是除法算式）出發(fā)，而是通過一個乘法算式來引出因數(shù)和倍數(shù)概念，但在本質(zhì)上仍是以“整除”為基礎(chǔ)，只是略去了許多中間描述。因此，要注意，只有在這 個乘法算式中的因數(shù)和積都是整數(shù)的情況下才能討論因數(shù)和倍數(shù)的概念。教學(xué)時，教師也可以舉出一些反例加以說明，如5X0.8=4,雖然等式成立，但不能 說5和0.83 / 6是4的因數(shù)，或4是5和0.8的倍數(shù)。（2）因數(shù)和倍數(shù)是一對相互依 存的概念，不能單獨(dú)存在。a是b的因數(shù)，

6、反過來b就是a的倍數(shù)，因此，描述 因數(shù)或倍數(shù)時必須說清楚誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)），要引導(dǎo)學(xué)生使用比較規(guī)范的 語言，如“2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)”而不是“2是因數(shù)，12是倍數(shù)”，在 課堂上或練習(xí)中學(xué)生如果出現(xiàn)類似的錯誤要及時加以糾正。（3）要注意區(qū)分乘法算式各部分名稱中的“因數(shù)”和本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別。在同一個乘 法算式中，兩者都是指乘號兩邊的整數(shù)，但前者是相對于“積”而言的，與“乘 數(shù)”同義，可以是小數(shù)，而后者是相對于“倍數(shù)”而言的，與以前所說的“約數(shù)” 同義，說“X是X的因數(shù)”時， 兩者都只能是整數(shù)。（4） 要注意區(qū)分“倍數(shù)”與 前面學(xué)過的“倍”的聯(lián)系與區(qū)別。 “倍”的概念比“

7、倍數(shù)”要廣，如我們可以說“15是3的5倍”，也可以說“1.5是0.3的5倍”， 但我們只能說“15是3的 倍數(shù)”，卻不能說“1.5是0.3的倍數(shù)”。我們在求一個數(shù)的倍數(shù)時，運(yùn)用的方法 與“求一個數(shù)的幾倍是多少”是相同的，只是這里的“幾倍”都是指整數(shù)倍。2.例1。的內(nèi)戟編寫意圖例1是教學(xué)一個數(shù)的因數(shù)的求法。教材直接提出問題“18可以由哪兩個 數(shù)相乘呂的曲數(shù)右那幾牛?1A 1 N 1B- 2 x a4 / 6得到？ ”引導(dǎo)學(xué)生利用因數(shù)的概念來求18的因數(shù)。在這里，每列出一個 乘法算式，就可以求出18的一對因數(shù)，只要學(xué)生有序地寫出兩個數(shù)的乘積是185 / 6的所有乘法算式，就可以把因數(shù)找全。在此基礎(chǔ)

8、上，再用集合圖表示出一個數(shù)的 全部因數(shù)，為后面用交集形式表示兩個數(shù)的公因數(shù)打下基礎(chǔ)，使學(xué)生初步體會到 一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。接下來，通過“做一做”進(jìn)一步鞏固求一個數(shù)的因數(shù)的方法。最后，以例1和“做一做”為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生抽象地概括出一個數(shù)的最 小因數(shù)和最大因數(shù)分別是什么，總結(jié)出一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的結(jié)論， 向?qū)W 生滲透從個別到全體、從具體到一般的抽象歸納的思想方法。教學(xué)建議教學(xué)例1時，要引導(dǎo)學(xué)生從因數(shù)的概念出發(fā)去求18的因數(shù)，也就是想：哪 兩個整數(shù)相乘的積是18？從每個滿足條件的乘法算式中可以找出18的一對因 數(shù)。找的時候，要引導(dǎo)學(xué)生有序地思考。教學(xué)時，如果學(xué)生用除法思考，固定被 除數(shù)

9、18,改變除數(shù)，看除得的商是不是整數(shù)，如果是，貝U除數(shù)和商都是被除數(shù) 的因數(shù)，這樣的思考方法也是應(yīng)該鼓勵的。等學(xué)生把18的所有因數(shù)都寫出來，再讓他們用集合的形式表示出來，為后面求兩個數(shù)的公因數(shù)做準(zhǔn)備。然后，讓學(xué)生做“做一做”的題目。通過例1和“做一做”的練習(xí)，引 導(dǎo)學(xué)生觀察到每個數(shù)的最小因數(shù)是1,而最大因數(shù)是它本身，因此，它的因數(shù)的 個數(shù)是有限的。3.例2。編寫意圖禰鑿拽出多少十 2 的値牧】2 的惦覿有 2，4. 6,6 / 6例2是教學(xué)一個數(shù)的倍數(shù)的求法。根據(jù)一個數(shù)的倍數(shù)的定義，可知該數(shù)和任 意非零自然數(shù)之積都是該數(shù)的倍數(shù)。因此，2的倍數(shù)也就是2和任意非零自然數(shù) 的乘積，學(xué)生在列乘法算式時

10、就會發(fā)現(xiàn)這樣的算式是列不完的，因此，2的倍數(shù) 的個數(shù)是無限的。接下來，也用集合圖表示出2的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)用交集表示 兩個數(shù)的公倍數(shù)打下基礎(chǔ)?！白鲆蛔觥敝蟹謩e安排了讓學(xué)生求3、5的倍數(shù)的練習(xí)，一方面鞏固了對 倍數(shù)概念的理解，另一方面，結(jié)合例2中2的倍數(shù)，為后面學(xué)習(xí)2、3、5的倍數(shù) 的特征做準(zhǔn)備。最后，與例1的編排相類似，教材通過求以上幾個數(shù)的倍數(shù)，使學(xué)生總 結(jié)出：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，只有最小的倍數(shù)，沒有最大的倍數(shù)，為后 面學(xué)習(xí)最小公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。教材還用“你知道嗎？ ”介紹了完全數(shù)的概念，以豐富學(xué)生的數(shù)論知識， 引導(dǎo)學(xué)生在課余時間探索完全數(shù)的性質(zhì)，也可以先求出教材上提供的幾個數(shù)的因 數(shù)

11、，然后驗證是否符合完全數(shù)的定義。教學(xué)建議教學(xué)例2時， 可以參照例1的方法進(jìn)行教學(xué)。 在找一個數(shù)的倍數(shù)時， 要引導(dǎo) 學(xué)生從“這個數(shù)的整數(shù)倍”考慮，因此，可以從最小的倍數(shù)找起。學(xué)生找出了幾 個2的倍數(shù)以后，教師可以提問2的倍數(shù)有多少個，引導(dǎo)學(xué)生通過想自然數(shù)的個 數(shù)是無限的，進(jìn)而想到2的自然數(shù)倍也是無限的，無法一一羅列，可以用省略號 表示。在用集合圖表示2的倍數(shù)時，也要注意提醒學(xué)生在集合圈里寫出省略號。 然后在完成“做一做”的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：一個數(shù)的最小倍數(shù)是幾？ 有沒有最大的倍數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生自主得出結(jié)論。4.關(guān)于練習(xí)二中一些習(xí)題的說明和教學(xué)建議。第2題，讓學(xué)生分別找出36和60的因數(shù)，在

12、學(xué)生完成題目后，教師可以有 意識地讓學(xué)生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的因數(shù)， 這些共同因數(shù)中最大的 是什么，為后面學(xué)習(xí)“公因數(shù)”和“最大公因數(shù)”做準(zhǔn)備。第3題，讓學(xué)生分別找出8和9的倍數(shù)，在學(xué)生完成題目后，教師可以 有意識地讓學(xué)生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的倍數(shù)，這些共同倍數(shù)中最小的是什么，為后面學(xué)習(xí)“公倍數(shù)” “最小公倍數(shù)” “互質(zhì)的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積”等知識做準(zhǔn)備第5題，幫助學(xué)生辨析某些概念。如說因數(shù)和倍數(shù)時，必須說清楚誰是 誰的因數(shù)（或倍數(shù)）。再如，任何一個非零自然數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)都是無限的，任 何非零自然數(shù)都有7 / 6因數(shù)1,等等。第6題，通過猜數(shù)游戲鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念，第（1）題，使學(xué)生認(rèn)識 到，隨著限制條件的增多，符合條件的數(shù)越來越少。實(shí)際上，題目中共有四個限 制條件，先看42的因數(shù)有1 2、3、6、7、14、21、42,其中只有7、14、21、42是7的倍數(shù)，這四個數(shù)中只有14和42是2的倍數(shù)，其中只有42才是3的倍 數(shù)，所以，符合條件的數(shù)只有42。第（2）、（3）題，都使學(xué)生進(jìn)一步理解一個 數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。第16頁的思考題，是通過兩個特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生通過不