挑戰(zhàn)2016中考數(shù)學(xué)壓軸題(第九版)

1、挑戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)壓軸題(第九版)第一局部 函數(shù)圖象中點(diǎn)的存在性問(wèn)題 1.1 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題 例1 2021年上海市中考第24題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線yax2bxa0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AOBO2，AOB1201求這條拋物線的表達(dá)式；2連結(jié)OM，求AOM的大??；3如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo) 圖1總分值解答1如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AHy軸，垂足為H在RtAOH中，AO2，AOH30，所以AH1，OH 因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、B(2,0)兩點(diǎn)， A(-1 32所以拋物線的表達(dá)式為y=x(x-2)=xx 圖2 22 由y= x-

2、x=x-1)2-3333得拋物線的頂點(diǎn)M 的坐標(biāo)為(1, BOM30所以AOM150 所以tanBOM=3由 A(-1、B(2,0)、 M(1, AB= OM= ，得tanABO= OA所以ABO30 ，=C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，ABCAOM150 OM設(shè)yax(x2)，代入點(diǎn) A(- 1，可得a=ABC與AOM相似，存在兩種情況：BAOA= 時(shí)，BC=2此時(shí)C(4,0) BCOMBCOA如圖4 ，當(dāng)= 時(shí)，BC=6此時(shí)C(8,0) BAOM如圖3 ，當(dāng)圖3 圖4 考點(diǎn)伸展在此題情境下，如果ABC與BOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)如圖5，因?yàn)锽OM是30底角的等腰三角形，ABO30，因此ABC也是底角為30的

3、等腰三角形，ABAC，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0) 圖5 例2 2021年蘇州市中考第29題 121bx-(b+1)x+b是實(shí)數(shù)且b2與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B點(diǎn)A444位于點(diǎn)B是左側(cè)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C1點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)用含b的代數(shù)式表示；2請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；3請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似全等可看作相似的特殊情況？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

4、 如圖1，拋物線y= 圖1總分值解答1B的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (0, b) 42如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PDx軸，PEy軸，垂足分別為D、E，那么PDBPEC因此PDPE設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)OP1b15x+bx=bx2b 2428161616解得x=所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,) 555所以S四邊形PCOBSPCOSPBO圖2 圖33由y= 121b1x-(b+1)x+=(x-1)(x-b)，得A(1, 0)，OA1 4444如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么OQCQOABAQA，即QA2=BAOA時(shí)，BQAQOA =QAOAb所以()2=b-1解得b=8Q為(1

5、,2 4當(dāng)如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x1交于點(diǎn)Q，那么OQC90。因此OCQQOABAQA時(shí)，BQAQOA此時(shí)OQB90 =QAOABOQA所以C、Q、B三點(diǎn)共線因此，即b=QA解得QA=4此時(shí)Q(1,4) =COOAb14當(dāng)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第3題的思路是，A、C、O三點(diǎn)是確定的，B是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而QOA與QOC是互余的，那么我們自然想到三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)QOA與QOC相似把點(diǎn)Q的位置確定下來(lái)，再根據(jù)兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例確定點(diǎn)B的位置如圖中，圓與直線x1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)Q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)B的位置距離點(diǎn)A很近，這與OB4OC矛盾

6、例3 2021年黃岡市中考模擬第25題 如圖1，拋物線的方程C1：y=-1(x+2)(x-m) (m0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且m點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)1假設(shè)拋物線C1過(guò)點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；2在1的條件下，求BCE的面積；3在1的條件下，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)H，使得BHEH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；4在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與BCE相似？假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 總分值解答11(x+2)(x-m)，得2=-4(2-m)解得m4 mm1112當(dāng)m4時(shí)，y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+2所以C(4,

7、 0)，E(0, 2) 44211所以SBCEBCOE=62=6 221將M(2, 2)代入y=-3如圖2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BHEH最小 設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么因此HPEO =CPCOHP233=解得HP=所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1,) 34224如圖3，過(guò)點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FFx軸于FCEBC2，即BC=CEBF時(shí)，BCEFBC =CBBF1(x+2)(x-m)1FFEO2設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,-(x+2)(x-m)，由，得= mBFCOx+2m由于BCEFBC，所以當(dāng)解得xm2所以F(m2, 0) COBFm+4由所以BF= = =CE

8、BFBF 由BC=CE BF，得(m+2)= 22整理，得016此方程無(wú)解 圖2 圖3 圖4如圖4，作CBF45交拋物線于F，過(guò)點(diǎn)F作FFx軸于F，BEBC2，即BC=BEBF時(shí)，BCEBFC =BCBF1在RtBFF中，由FFBF，得(x+2)(x-m)=x+2 m解得x2m所以F(2m,0)所以BF2m2 ，BF=m+2) 由于EBCCBF，所以由BC2=BE BF，得(m+2)2=m+ 2)解得m=2綜合、，符合題意的m 為2+考點(diǎn)伸展第4題也可以這樣求BF的長(zhǎng)：在求得點(diǎn)F、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求BF的長(zhǎng) 例4 2021年義烏市中考第24題 如圖1，梯形OABC，拋物線分別過(guò)

9、點(diǎn)O0，0、A2，0、B6，31直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸、解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；2將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、 B1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)S=36時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；3在圖1中，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿著線段DM運(yùn)動(dòng)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)P、Q兩點(diǎn)

10、的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對(duì)稱(chēng)軸圍成的三角形相似？假設(shè)存在，請(qǐng)求出t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2 總分值解答1拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x2 梯形O1A1B1C1的面積S=1，解析式為y=1x2-1x，頂點(diǎn)為M1，-1 8482(x1-1+x2-1)3s=3(x1+x2)-6，由此得到x1+x2=+2由于y2-y1=3，231211217211x-x=所以y2-y1=x2-x2-x1+x1=3整理，得(x2-x1)因此得到 (x+x)-=321218484S84x2+x1=14,x1=6,當(dāng)S=36時(shí)， 解得

11、 此時(shí)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為6，3 x-x=2.x=8.212=3設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)G，直線AB與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，直線PQ與x軸交于點(diǎn)F，那么要探求相似的GAF與GQE，有一個(gè)公共角G在GEQ中，GEQ是直線AB與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的夾角，為定值在GAF中，GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且GEQGAF因此只存在GQEGAF的可能，GQEGAF這時(shí)GAFGQEPQD 由于tanGAF=33t20DQt，tanPQD=，所以=解得t= =445-t7QP5-t 圖3 圖4 考點(diǎn)伸展第3題是否存在點(diǎn)G在x軸上方的情況？如圖4，假設(shè)存在，說(shuō)理過(guò)程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4

12、都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3 例5 2021年臨沂市中考第26題 如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，0)、B1，0)、C0，2三點(diǎn)1求此拋物線的解析式；2P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？假設(shè)存在，請(qǐng)求出符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；3在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo) , 1 圖 總分值解答 1因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(4，0)、B1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-4)，代入點(diǎn)C的 坐標(biāo)0，2，解得 a=-1115所以拋物線的解析式為y=-

13、(x- 1)(x-4)=-x2+x-2 222211AM=4-x如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，1x4， (x-1)(x-4)PM=-(x-1)(x-4)，2212設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,-(x-1)(x-4)AMAO2如果，那么=2=2解得x=5不合題意 PMCO4-xAMAO1，那么-2(x-1)(x-4)1解得x=2此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，1如果 =PMCO24-x21如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，x4，PM=(x-1)(x-4)，AM=x-4 211(x-1)(x-4)(x-1)(x-4)1 22解方程=，得x=2不合題意 =2，得x=5此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,-2) 解方程x- 42x-4如圖4，

14、當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，x1，PM1=1(x-1)(x-4)，AM=4-x 21(x-1)(x-4)解方程2=2，得x=-3此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,-14)4-x1(x-1)(x-4)1解方程2=，得x=0此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，不合題意4-x2綜上所述，符合條件的 點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，1或(-3,-14)或(5,-2)圖2 圖3 圖43如圖5，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交AC于E直線AC的解析式為設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(1 y=21x-2 22m4)，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,-1m2+5m-2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,1m-2) 2所以DE=(-1m2+5m-2)-(1m-2)=-1m2+2m 2222因此SDDAC=

15、當(dāng)m22112(-m+2m)4=-m+4m=-(m-2)+4 22=2時(shí)，DCA的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為2，1圖5 圖6考點(diǎn)伸展 第3題也可以這樣解：如圖6，過(guò)D點(diǎn)構(gòu)造矩形OAMN，那么DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去CDN和ADM的面積設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，n(1m4)，那么S=1(2n+2)4-1m(n+2)-1n(4-m)=-m+2n+4 222由于n=-2125m+m-2，所以S=-m+4m 22例6 2021年蘇州市中考第29題 圖1 總分值解答1OH，b= 2由拋物線的解析式y(tǒng)=a(x+1)(x-5)，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,0) = 1，k= 因

16、此MN的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為2，0，DN3因?yàn)锳OB是等腰直角三角形，如果DNE與AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如圖2，如果DN為直角邊，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為E12，3或E22，3將E12，3代入y=a(x+1)(x-5)，求得a=-131 3此時(shí)拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-5)=-將E22，3代入1245x+x+ 3331 311245此時(shí)拋物線的解析式為y=(x+1)(x-5)=x-x- 33331111如果DN為斜邊，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為E3(3,1)或E4(3,-1) 2222112將E3(3,1)代入y=a(x+1)(x-5)，求得a=- 229222810此時(shí)拋物線的解析式為

17、y=-(x+1)(x-5)=-x+x+ 9999112將E4(3,-1)代入y=a(x+1)(x-5)，求得a= 229222810此時(shí)拋物線的解析式為y=(x+1)(x-5)=x-x- 9999y=a(x+1)(x-5)，求得a= 圖2 圖3對(duì)于點(diǎn)E為E12，3和E3(3 11,1)，直線NE是相同的，ENP45 22又OBP45，PP，所以POBPGN 因此PBPG=POPN=27=143414443，所以PBPG=14102 又PB3333考點(diǎn)伸展在此題情景下，怎樣計(jì)算PB的長(zhǎng)？如圖3，作AFAB交OP于F，那么OBCOAF，OFOC PF 2- PA PF= 1，所以PB=11.2 因

18、動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題 例1 2021年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題 如圖1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DEBC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PDQ901求ED、EC的長(zhǎng)；2假設(shè)BP2，求CQ的長(zhǎng)；3記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，假設(shè)PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng) 圖1 備用圖 總分值解答1在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以ED=CDtanC=53=15，EC= 4442如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PD

19、Q90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN 所以2534PMDM4=所以QN=PM，PM=QN 43QNDN3圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時(shí)，PM1 此時(shí)QN =33319PM=所以CQ=CN+QN=4+= 4444如圖4，當(dāng)BP2，P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM5 3151531PM=所以CQ=CN+QN=4+= 4444QDDN33如圖5，如圖2，在RtPDQ中，tanQPD= PDDM4BA3在RtABC中，tanC=所以QPDC CA4此時(shí)QN=由PDQ90，CDE90，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時(shí)，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD

20、5時(shí)，QNCQCN541如圖3所示 4445=QN=所以BP=BM-PM=3-= 33335425CH如圖6，當(dāng)QCQD時(shí)，由cosC=，可得CQ= 258CQ257所以QNCNCQ4- =如圖2所示8847725此時(shí)PM=QN=所以BP=BM+PM=3+= 3666此時(shí)PM不存在DPDF的情況這是因?yàn)镈FPDQPDPQ如圖5，圖6所示 圖5 圖6考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解BP =25 6例2 2021年揚(yáng)州市中考第27題 如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三

21、點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸1求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；2設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；3在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，假設(shè)存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 總分值解答1因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x3)， 代入點(diǎn)C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x32如圖2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x1當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)最小設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為H 由BHPH，BOCO，得PHBH2 =BOCO圖2 所以點(diǎn)

22、P的坐標(biāo)為(1, 2)3點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)、 、 (1,或(1,0)考點(diǎn)伸展第3題的解題過(guò)程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時(shí)，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時(shí)，AM2AC2解方程4m210 ，得m= 此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 或 (1,如圖5，當(dāng)CMCA時(shí)，CM2CA解方程1(m3)210，得m0或6 當(dāng)M(1, 6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0) 圖3 圖4 圖5 例3 2021年臨沂市中考第26題 如圖1，點(diǎn)A在x軸上，

23、OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至OB的位置1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；3在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 總分值解答1如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2 ，OC所以點(diǎn)B 的坐標(biāo)為(-2,-= 2因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點(diǎn) B(-2,- 2所以拋物線的解析式為y=x(x-4)=xx ，-=-2a(- 6)解得a=3拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y

24、) 當(dāng)OPOB4時(shí)，OP216所以4+ y216解得y=當(dāng)P在 時(shí)，B、 O、P三點(diǎn)共線如圖2當(dāng)BPBO4時(shí)，BP2 16所以42+(y+當(dāng)PBPO時(shí)，PB2PO2 所以42+(y+綜合、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2=16解得y1=y2 =- 2=22+ y 2解得y=- ，如圖2所示圖2 圖3 考點(diǎn)伸展如圖3，在此題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D ，那么DOA與OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形 ，得拋物線的頂點(diǎn)為D(x-4)= x-2)2 因此tanDOA=DOA30，ODA120 由y= 例4 2021年鹽城市中考第28題 如圖1，一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù)y=4x的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B 31求

25、點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；2過(guò)點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求t的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1 總分值解答y=-x+7,x=3, 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3，4) 1解方程組 得4y=x,y=4.3令y=-x+7=0，得x=7所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是

26、(7，0)2如圖2，當(dāng)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0t4由SAPR=S-S梯形CORAACP-SPOR8=，得1113+7-t)4(t4-)t2222如圖3，當(dāng)P在CA(t7-整理，得)=8t-8t+12=0解得t2或t6舍去上運(yùn)動(dòng)時(shí)，APR的最大面積為6因此，當(dāng)t2時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8 圖2 圖3 圖4我們先討論P(yáng)在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，0t4如圖1，在AOB中，B45，AOB45，OB7 ，AB=OBAB因此OABAOBB 如圖4，點(diǎn)P由O向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，OPBRRQ，所以PQ/x軸因此AQP45保持不變，PAQ越來(lái)越大，所以只存在APQAQP的情況此時(shí)點(diǎn)A在PQ的垂直平分線上，

27、OR2CA6所以BR1，t1我們?cè)賮?lái)討論P(yáng)在CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形，4t735520為定值，AP=7-t，AQ=OA-OQ=OA-OR=t- 533352041如圖5，當(dāng)APAQ時(shí)，解方程7-t=t-，得t= 338如圖6，當(dāng)QPQA時(shí)，點(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，AP2(OROP)解方程7-t=2(7-t)-(t-4)，得t=51AQ5203226如7，當(dāng)PAPQ時(shí)，那么cosA=因此AQ=2APcosA解方程t- =2(7-t)，得t=33543AP41226綜上所述，t1或或5或時(shí)，APQ是等腰三角形 843在APQ中， cosA= 圖5 圖6 圖7 考點(diǎn)伸展當(dāng)P在CA上，QPQA時(shí)，也可以用

28、AP=2AQcosA來(lái)求解 例5 2021年南通市中考第27題 如圖1，在矩形ABCD中，ABmm是大于0的常數(shù)，BC8，E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)不與B、C重合連結(jié)DE，作EFDE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CEx，BFy1求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；2假設(shè)m8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？123假設(shè)y=，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？ m圖1 總分值解答(1)因?yàn)镋DC與FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因?yàn)镃B90，所以DCEEBF因此DCEB=CEBF128m8-xx+x 整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y=-=mmxy1212(2)如圖2，當(dāng)m8時(shí)，y=-x+x=-(

29、x-4)+2因此當(dāng)x4時(shí)，y取得最大值為2 88121812=-x2+x整理，得x2-8x+12=0解得x2或x6要使DEF為等腰三角形，(3) 假設(shè)y=，那么mmmm，即只存在EDEF的情況因?yàn)镈CEEBF，所以CEBF，即xy將xy 2代入y=6代入y=12，得m6如圖3；將xy m12，得m2如圖4 m 圖2 圖3 圖4 考點(diǎn)伸展此題中蘊(yùn)涵著一般性與特殊性的辯證關(guān)系，例如：由第1題得到y(tǒng)=-1281116x+x=-(x2-8x)=-(x-4)2+， mmmmm那么不管m為何值，當(dāng)x4時(shí)，y都取得最大值對(duì)應(yīng)的幾何意義是，不管AB邊為多長(zhǎng)，當(dāng)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，BF都取得最大值第2題m8是第1

30、題一般性結(jié)論的一個(gè)特殊性再如，不管m為小于8的任何值，DEF都可以成為等腰三角形，這是因?yàn)榉匠蘹=- 128x+x總有一個(gè)根x=8-m的第3題是這個(gè)一般性結(jié)論的一個(gè)特殊性 mm 例 6 2021年江西省中考第25題 如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF/BC交CD于點(diǎn)F，AB4，BC6，B601求點(diǎn)E到BC的距離；2點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMEF交BC于M，過(guò)M作MN/AB交折線ADC于N，連結(jié)PN，設(shè)EPx當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)如圖2，PMN的形狀是否發(fā)生改變？假設(shè)不變，求出PMN的周長(zhǎng)；假設(shè)改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)如圖3，是否存在

31、點(diǎn)P，使PMN為等腰三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的x的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2 圖3 總分值解答1如圖4，過(guò)點(diǎn)E作EGBC于G1AB=2，B60， 2所以BG=BEcos60=1，EG=BEsin60= 在RtBEG中，BE=所以點(diǎn)E到BC的距離為2因?yàn)锳D/EF/BC，E是AB的中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)因此EF是梯形ABCD的中位線，EF4如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)，PMN的形狀不是否發(fā)生改變過(guò)點(diǎn)N作NHEF于H，設(shè)PH與NM交于點(diǎn)Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四邊形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因?yàn)镻M與NH平行且相等，所以PH與NM互相平分

32、，PH2PQ2在RtPNH中，NH3，PH2，所以PN在平行四邊形ABMN中，MNAB4因此PMN的周長(zhǎng)為7 74 圖4 圖5當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)，CMN恒為等邊三角形如圖5，當(dāng)PMPN時(shí)，PMC與PNC關(guān)于直線PC對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在DCB的平分線上在RtPCM中，PM，PCM30，所以MC3此時(shí)M、P分別為BC、EF的中點(diǎn)，x2如圖6，當(dāng)MPMN時(shí)，MPMNMC3，xGMGCMC5如圖7，當(dāng)NPNM時(shí)，NMPNPM30，所以PNM120又因?yàn)镕NM120，所以P與F重合此時(shí)x4綜上所述，當(dāng)x2或4或5 3 時(shí)，PMN為等腰三角形 圖6 圖7 圖8考點(diǎn)伸展第2題求等腰三角形PMN可以這樣解：如圖8，

33、以B為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為m，0，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為m，6m，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，MNMC3m+63(6-m)， 2222由兩點(diǎn)間的距離公式，得PN=m-9m+212當(dāng)PMPN時(shí)，m-9m+21=9，解得m=3或m=6此時(shí)x=2當(dāng)MPMN時(shí)，6-m=3，解得m=6-3，此時(shí)x=5-22當(dāng)NPNM時(shí)，m-9m+21=(6-m)，解得m=5，此時(shí)x=4 1.3 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問(wèn)題 例1 2021年山西省中考第26題 如圖1，拋物線y=123，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)x-x-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)42BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上

34、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q1求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；2當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說(shuō)明理由；3當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使BDQ為直角三角形，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 總分值解答1231x-x-4=(x+2)(x-8)，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4) 42412直線DB的解析式為y=-x+4 21123由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0)，可得M(m,-m-4)，Q(m,m-m-4) 2

35、42112312所以MQ(-m+4)-(m-m-4)=-m+m+8 24241由y=當(dāng)MQDC8時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形 解方程-12 m+m+8=8，得m4，或m0舍去4此時(shí)點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC與MQ互相平分所以四邊形CQBM是平行四邊形 圖2 圖33存在兩個(gè)符合題意的點(diǎn)Q，分別是(2,0)，(6,4)考點(diǎn)伸展第3題可以這樣解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,如圖3，當(dāng)DBQ90時(shí)，解得x6此時(shí)Q(6,4) 1(x+2)(x-8) 41-(x+2)(x-8)QGBH11=所以= GBHD28-x2如圖4，當(dāng)BDQ90時(shí)，解得x2此時(shí)Q(

36、2,0) 14-(x+2)(x-8)QGDH=2所以=2 GDHB-x圖3 圖4 例1 2021年廣州市中考第24題 33如圖1，拋物線y=-x2-x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C 841求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；2設(shè)D為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；3假設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)E(4, 0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式 圖1 總分值解答1由y=-3233x-x+3=-(x+4)(x-2)， 848得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(4, 0)、B(2, 0)對(duì)稱(chēng)軸是直線x12ACD與A

37、CB有公共的底邊AC，當(dāng)ACD的面積等于ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等 過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)HDGCO3= BGAO4399所以DG=BG=，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-) 444由BD/AC，得DBGCAO所以因?yàn)锳C/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG=2727所以D的坐標(biāo)為(1,) 44圖2 圖33過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M以AB為直徑的G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了 聯(lián)結(jié)GM，那

38、么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4M1A3=，所以M1A6 AE43所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(4, 6)，過(guò)M1、E的直線l為y=-x+3 43根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，直線l還可以是y=x+3 4在RtEM1A中，AE8，tanM1EA=考點(diǎn)伸展第3題中的直線l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，因此可以過(guò)點(diǎn)C、E求直線l的解析式在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直線CM過(guò)點(diǎn)C 例3 2021年杭州市中考第22題 在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)yk(x2x1)的圖象交于點(diǎn)A(1,k)和點(diǎn)B(1,k)1當(dāng)k2時(shí)，求反比例

39、函數(shù)的解析式；2要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；3設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為Q，當(dāng)ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時(shí)，求k的值 總分值解答1因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是y=當(dāng)k2時(shí)，反比例函數(shù)的解析式是y=-2在反比例函數(shù)y=k x2 xk中，如果y隨x增大而增大，那么k0 x125)-k的對(duì)稱(chēng)軸是直線24當(dāng)k0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x增大而增大 拋物線yk(x2x1)k(x+1x=- 圖1 21所以當(dāng)k0且x1以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成AB

40、C，設(shè)AB=x1求x的取值范圍；2假設(shè)ABC為直角三角形，求x的值；3探究：ABC的最大面積？ 圖1 總分值解答1在ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x，所以2221+x3-x,解得1xx.2假設(shè)AC為斜邊，那么1=x+(3-x)，即x-3x+4=0，此方程無(wú)實(shí)根5，滿足1x2 3422假設(shè)BC為斜邊，那么(3-x)=1+x，解得x=，滿足1x2354因此當(dāng)x=或x=時(shí)，ABC是直角三角形33假設(shè)AB為斜邊，那么x=(3-x)+1，解得x=223在ABC中，作CDAB于D，設(shè)CD=h，ABC的面積為S，那么S=如圖2，假設(shè)點(diǎn)D在線段AB上，那么-h2+1xh 22222(3-x)2-h2=x移項(xiàng)，得(3-x)-h=x-h兩邊平方，得(