教學(xué)論文：淺談下化歸方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用

1、教學(xué)論文：淺談新課標(biāo)下化歸方法在三角函數(shù)中的應(yīng)用摘要：新課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力，而掌握基本數(shù)學(xué)思想方法則是形成和發(fā)展學(xué)生能力的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，不僅可以提高課堂教學(xué)效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，而且有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。而化歸方法是最重要、應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)思想。本文將借助高中數(shù)學(xué)必修四第一、第三章及必修五第一章三角函數(shù)部分具體闡述化歸方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：化歸、等價(jià)、非等價(jià)、三角函數(shù)客觀事物總是在不斷變化的,并在一定條件下是會(huì)轉(zhuǎn)化的。通過(guò)轉(zhuǎn)化，將待解決的問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化為可解決的問(wèn)題的思維方法，叫做等價(jià)與非等價(jià)化歸，或稱化歸方法。化歸思想是數(shù)學(xué)

2、思想的核心，其內(nèi)涵十分豐富：高維向低維的化歸，陌生向熟悉的化歸，復(fù)雜向簡(jiǎn)單的化歸，抽象向直觀的化歸，多元向一元的化歸，高次向低次的化歸，未知向已知的化歸，數(shù)與形的化歸，一般與特殊的化歸，動(dòng)與靜的化歸，有限與無(wú)限的化歸等等，在數(shù)學(xué)中無(wú)時(shí)不有，無(wú)處不在?；瘹w方法也是數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的一種獨(dú)特的思維方法,匈牙利數(shù)學(xué)家羅沙·彼得（RoszaPeter）曾對(duì)此作過(guò)十分生動(dòng)形象的描述。他的比喻道出了化歸方法的基本特征：(1).問(wèn)題轉(zhuǎn)換性：將待求的A問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為相對(duì)于求解者來(lái)說(shuō)已能解決的B問(wèn)題,問(wèn)題的轉(zhuǎn)化是化歸的關(guān)鍵。(2).間接性：因問(wèn)題已轉(zhuǎn)化，常常表現(xiàn)為不是原問(wèn)題直接求解。(3).后瞻性：在一個(gè)

3、問(wèn)題序列中，往往不是由舊問(wèn)題的求解邏輯的演進(jìn)到新問(wèn)題的求解，而是從新問(wèn)題出發(fā)，逆向轉(zhuǎn)換，尋求與舊問(wèn)題連接的通路。(4).簡(jiǎn)捷性：只要待求問(wèn)題A與已解決問(wèn)題B之間搭上橋，問(wèn)題即解決，不必再重復(fù)有些過(guò)程。利用化歸方法解決問(wèn)題的過(guò)程,可以圖示為如下基本模式：新問(wèn)題解答已知問(wèn)題解答化歸還原容易困難顯然，利用化歸原則解決問(wèn)題的必要條件是：與原來(lái)的問(wèn)題相比，化歸后得出的問(wèn)題必須是已經(jīng)解決了的，或者較為容易的、簡(jiǎn)單的。因此，化歸的方向應(yīng)是：由未知到已知，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，由困難到容易?；瘹w思想貫穿于各級(jí)各類數(shù)學(xué)教材的始終，貫穿于解題過(guò)程的始終，它是最重要、應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)思想。本文將著重介紹化歸方法在三角函數(shù)中

4、的應(yīng)用。現(xiàn)行普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修四第一章、第三章及必修五第一章三角函數(shù)主要分為任意角的三角函數(shù)、兩角和與差的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、解三角形四部分。總結(jié)這幾章的學(xué)習(xí)內(nèi)容和習(xí)題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)大量運(yùn)用了化歸思想，現(xiàn)概括成以下兩個(gè)方面：一.等價(jià)化歸： 所謂等價(jià)化歸,就是在保持一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的條件下,把所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題中有關(guān)命題或?qū)ο蟮谋憩F(xiàn)形式做可逆的邏輯改變（即由A經(jīng)過(guò)邏輯推理或演算可以推出B，反過(guò)來(lái)由B又可經(jīng)邏輯推理或演算可以推出A）。以使所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為我們熟悉的或容易處理的問(wèn)題。對(duì)于所給的一個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一定的變換，把它變成一些與它等價(jià)的問(wèn)題，一般地說(shuō)，這些等價(jià)問(wèn)題一個(gè)比

5、一個(gè)簡(jiǎn)單直至將它變換成某種標(biāo)準(zhǔn)形式，然后經(jīng)過(guò)直接、簡(jiǎn)單的計(jì)算，得出所需的結(jié)果（或解）。在三角函數(shù)部分，進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、恒等變形和證明時(shí)，常常需要等價(jià)化歸的思想，下面著重談?wù)勥\(yùn)用等價(jià)化歸思想應(yīng)遵循的幾個(gè)原則：1把未知化歸為已知：三角函數(shù)部分，用到此思想最多的便是利用誘導(dǎo)公式把求任意角的三角函數(shù)值逐步化歸成求銳角三角函數(shù)值。一般可以按下面的步驟進(jìn)行：任意負(fù)角的三角函數(shù)0°到360°的角的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)例求下列三角函數(shù)值:(1) Sin(2) Cos()解：(1) Sin= Sin(2)=- Sin=(2) Cos()=Cos(3×

6、2)= Cos=2.把數(shù)化歸為形：代數(shù)是研究“數(shù)”的科學(xué)，幾何則是研究“形”的科學(xué)；三角函數(shù)作為一種工具，兩者皆而有之。代數(shù)與幾何是對(duì)立的兩個(gè)方面，二者在坐標(biāo)系下統(tǒng)一了起來(lái)。三角函數(shù)的解析式，我們稱之為“數(shù)”，單位圓、直角三角形等理解為“形”。三角函數(shù)的圖像可以直觀的反映出三角函數(shù)的性質(zhì)；反之，掌握了三角函數(shù)的性質(zhì)，就能簡(jiǎn)捷地做出圖像，兩者是相輔相成的。三角函數(shù)的圖像，可以看作“數(shù)”向“形”的一種轉(zhuǎn)換，由于這一轉(zhuǎn)換，可以使學(xué)生直觀的認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的一些規(guī)律：如三角函數(shù)的定義域、值域（即圖像在坐標(biāo)平面上的伸展范圍）；最大值、最小值（圖像上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)）；奇偶性（圖像關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱）；單調(diào)性

7、（圖像的升降情況）；周期性（圖像每隔一定距離形狀相同）等。yABxoC把已知三角函數(shù)值求角化歸為求0,2上適合條件的角的集合，也是把數(shù)化歸為形思想的典型應(yīng)用。例1 .解不等式：Sinx解：在y軸上過(guò)(0, )的點(diǎn)C作x軸的平行線。交單位圓于A、B兩點(diǎn)。從圖可見(jiàn)，在0,2上，分別得交點(diǎn)和其解集為+2kx+2k，kZyA-xo例2 .解不等式 tanx解：過(guò)y軸上點(diǎn)處作x軸的平行線，與y=tanx的圖像交于A點(diǎn)，過(guò)A作x軸的垂線的交點(diǎn),從圖像中可見(jiàn),其通解為+kx+k，kZ說(shuō)明：解這類簡(jiǎn)單的三角不等式，正切用一個(gè)周期的圖像來(lái)解效果較好；而正弦、余弦不等式，除用一個(gè)周期的圖像來(lái)解外，用單位圓來(lái)解，效

8、果更好。與研究中學(xué)數(shù)學(xué)中各類函數(shù)一樣，研究三角函數(shù)定義和性質(zhì)所采用的基本方法就是把數(shù)化歸為形。利用單位圓和三角函數(shù)圖像表示任意角的三角函數(shù)值；在分析和解決有關(guān)比較三角函數(shù)值得大小、角的終邊位置與三角函數(shù)值的符號(hào)關(guān)系、已知三角函數(shù)值求角、已知三角函數(shù)值的取值范圍確定角的取值范圍等問(wèn)題中，單位圓和三角函數(shù)圖像都可提供簡(jiǎn)捷、有效的思路和方法。3把對(duì)立化歸為統(tǒng)一：化歸應(yīng)朝著使待解決問(wèn)題在條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形、數(shù)關(guān)系方面趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行。對(duì)于三角函數(shù)部分的證明題目，面對(duì)眾多的三角公式、紛繁的結(jié)構(gòu)，學(xué)生普遍感到無(wú)從入手，不知道該用哪個(gè)公式，通過(guò)什么途徑，去實(shí)現(xiàn)一邊到另一邊的化歸。應(yīng)該

9、運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一的原則進(jìn)行指導(dǎo)，消除對(duì)立，力爭(zhēng)統(tǒng)一來(lái)找入手點(diǎn)。一般方法是化異名為同名、化異角為同角、化異次為同次、化切為弦等，其實(shí)質(zhì)均是“統(tǒng)一”的思想。把對(duì)立化歸為統(tǒng)一要有一定的方向，必須從條件（或結(jié)論）出發(fā)，根據(jù)條件（或結(jié)論）的特征向結(jié)論（或條件）轉(zhuǎn)化，這就是結(jié)論和條件的相向性原則。例1 已知Sin(2+)=3Sin。求證tan(+)=2tan.分析：結(jié)論中含角+、，已知條件中含角2+、。為了實(shí)現(xiàn)已知到結(jié)論的轉(zhuǎn)化，可將已知中的角進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：解：由已知得Sin(+)+=3Sin(+)即SinCos(+)+ CosSin(+)= 3Sin(+) Cos3 Cos(+) Sin得2Sin(+) Co

10、s=4 Cos(+) Sin故tan(+)=2tan在三角恒等變形中，角的拆變應(yīng)用十分廣泛，而且也非常靈活，如可變?yōu)?+)；2可變?yōu)?+)()；2可變?yōu)?)；可視為的倍角；（45°±）可視為（90°±2）的半角；15°=45°30°=60°45°，x=+,y=等等。例2. 已知f(Sinx)=Sin2006x，求f(Cos x)的值。分析：已知是f(Sinx)，而目標(biāo)是f(Cosx)，那么就首先應(yīng)把Cos x轉(zhuǎn)換成Sinx，這就要找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系：Cos x= Sin(x)，是求證可以向已知轉(zhuǎn)換。解

11、：f(Cos x)fSin(x)=Sin2006(x)= Sin(10032006x)=Sin(2006x)= Sin2006x分析上述解題思維過(guò)程，將元素(Sinx,Cosx)統(tǒng)一即將條件與結(jié)論統(tǒng)一是關(guān)鍵。其實(shí)，回顧一下中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，很多內(nèi)容是遵循著統(tǒng)一性原則的：如分式的加減運(yùn)算要統(tǒng)一為同分母的分式加減運(yùn)算；不同底的對(duì)數(shù)式運(yùn)算常通過(guò)換底公式統(tǒng)一為同底數(shù)的對(duì)數(shù)來(lái)運(yùn)算；三角誘導(dǎo)公式的重要作用就是實(shí)現(xiàn)三角式的和諧統(tǒng)一等等。所以，統(tǒng)一性原則是等價(jià)化歸的一項(xiàng)重要原則。4.把復(fù)雜化歸為簡(jiǎn)單：在化歸中盡量把復(fù)雜的問(wèn)題或條件通過(guò)分解，轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題或條件，善于將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化，往往可以收到事半功倍的效果

12、。例.銳角ABC中，求證SinA+SinB+SinCCosA+CosB+CosC分析：本題看來(lái)似乎很簡(jiǎn)單，但從整體上解答比較難于入手。由三個(gè)角的和為，以及三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，我們可以把三個(gè)參數(shù)（A、B、C）轉(zhuǎn)化為兩個(gè)參數(shù)，以達(dá)到化歸的目的。證明：ABC為銳角三角形 A+B=C,AB ,即0BA依正弦函數(shù)在0,上的增減性知：SinASin(-B)= CosB同理：SinBCosC，SinCCosA三式相加即得：SinA+SinB+SinCCosA+CosB+CosC5.把問(wèn)題模式化歸為聯(lián)想模式：聯(lián)想，特別是相似聯(lián)想，是實(shí)現(xiàn)化歸的重要途徑。所謂“相似聯(lián)想”，就是將面臨的問(wèn)題，從它的數(shù)、式和形的某

13、一方面特點(diǎn)與我們已熟知的某種模式加以聯(lián)想和比較，并設(shè)法從新模式（問(wèn)題中的模式）轉(zhuǎn)化為舊模式，并按舊模式來(lái)解決。下面舉例加以說(shuō)明：例、 已知x0，y0，z0，求證： +BxAyCzxP分析：由題目的結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想余弦定理，將=看成兩邊分別是x、y，其夾角60°的三角形的第三邊。由此，便聯(lián)想到構(gòu)造幾何圖形。如右圖，在平面上任選一點(diǎn)P，作APB=BPC=60°，設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，由余弦定理知，AB=，BC=，AC=，在ABC中，由兩邊之和大于第三邊知，原不等式成立。通過(guò)以上例題的分析可知，相似性聯(lián)想成功的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩類對(duì)象之間的相似性特征，相似特征的得到需要借助對(duì)

14、討論對(duì)象結(jié)構(gòu)敏銳的觀察力。如果我們運(yùn)用得當(dāng)，會(huì)得出創(chuàng)造性的解決方法，這是會(huì)有一種茅塞頓開、豁然開朗的感覺(jué)。在日常教學(xué)中，注意結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極聯(lián)想，既可有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，又能培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。二.不等價(jià)化歸:化歸如同“翻譯”，把同一問(wèn)題用不同“語(yǔ)言”在不同的思維水平上反映出來(lái)。如果是等價(jià)化歸，即“翻譯”全真，那么所得到的解即原問(wèn)題的解。如果是非等價(jià)化歸，則“翻譯”部分“失真”，對(duì)于“失真”部分必須另作處理，才能獲得原問(wèn)題的全部解。例.設(shè)012n,其中n2，求證：tan1tann分析：由于變?cè)^多，難于下手，先退為二元考慮，即012，求證：tan1tan2只要證就行

15、，這是不難辦到的。012，0Sin1Sin2,Cos1Cos2002Sin1Sin1+Sin22Sin2,2Cos1Cos1+Cos22Cos20故即tan1tann這樣就開啟了原題證明的訣竅！證明：012n，0Sin1Sin2SinnCos1Cos2Cosn00nSin1Sin1+Sin2+SinnnSinnnCos1Cos1+Cos2+CosnnCos20tan1tann注：對(duì)有些涉及自然數(shù)n的這類“多元”問(wèn)題，有時(shí)也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解，這里就不舉例了。化歸方法著眼于揭示實(shí)際，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，在遷移轉(zhuǎn)換中求得問(wèn)題的解。我們?cè)诮鉀Q眾多的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，總是把它們化歸為以解決了的問(wèn)題而求解的?？梢?jiàn)，化

16、歸方法在數(shù)學(xué)解題方法中占據(jù)著極為重要的地位。如何選用正確的化歸方法是我們值得探討的一個(gè)重要問(wèn)題。先看下面兩道例題：例1 求Sin+Cos的最值。解：Sin+Cos=4(Sin+Cos)=4Sin(+) 其中tan=,為銳角44Sin(+)4Sin+Cos的最大值為4,最小值為4。例2 若2+=,求y=Cos6Sin的最值。解 : =2y=Cos(2)6Sin=Cos26Sin=2Sin2-6Sin-1=2(Sin)2 當(dāng)Sin=1時(shí),y有最大值7； 當(dāng)Sin=1時(shí),y有最小值5。例1、例2的方法是三角函數(shù)部分求最值是常用的兩種方法。例1的方法叫做引入輔助角法。這類將函數(shù)化歸為y=ASin(x+)+h的形式的首要前提是函數(shù)中只含一個(gè)已知角。例2是將三角函數(shù)求最值化歸為一元二次函數(shù)求最值的問(wèn)題。如果學(xué)生盲目地用例1的方法求解例2，則會(huì)進(jìn)入“死胡同”。導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因始沒(méi)有弄清楚兩種方法的適用條件：例1是兩項(xiàng)都含同一個(gè)已知角的一次式；例2則是兩個(gè)不同的已知角和，當(dāng)劃歸為角時(shí)，出現(xiàn)同角同名的二次三項(xiàng)式