計量經(jīng)濟學 第四章_4 隨機解釋變量

1、4.4 4.4 隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題基本假設(shè)基本假設(shè): :解釋變量解釋變量X X1 1,X,X2 2,X,Xk k是是確定性變量確定性變量。如果存在一個或多個。如果存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現(xiàn)隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現(xiàn)隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題。 一、隨機解釋變量問題的含義一、隨機解釋變量問題的含義 對于模型對于模型 ikikiiiXXYY22110 在解釋變量為確定性變量的假定下，解釋變量與隨機誤差項獨立，從在解釋變量為確定性變量的假定下，解釋變量與隨機誤差項獨立，從而意味著：而意味著：cov(,)0 (1,2,., ;1,2,., )jtt

2、xjk tn 當解釋變量為隨機變量時，解釋變量有可能會與隨機誤差項產(chǎn)生相關(guān)。當解釋變量為隨機變量時，解釋變量有可能會與隨機誤差項產(chǎn)生相關(guān)。具體而言，可能有三種情況：（不妨設(shè)具體而言，可能有三種情況：（不妨設(shè)X X2 2為隨機變量）為隨機變量） 1. 1. 隨機解釋變量與隨機誤差項獨立隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independence)(Independence) 2. 2. 隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關(guān)隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關(guān)(contemporaneously (contemporaneously uncorrelated)uncorrelated)，但異期相關(guān)。，但異期相關(guān)

3、。22cov(,)()0ttttXE x 22cov(,)()0 s0tt stt sXE x 2222cov(,)()()()0ttttttXE XXE x (1,2,., )tn (1,2,., )tn 3. 3. 隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關(guān)隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關(guān)(contemporaneously (contemporaneously correlated)correlated)。 22cov(,)()0ttttXE x (1,2,., )tn 二、實際經(jīng)濟問題中的隨機解釋變量問題二、實際經(jīng)濟問題中的隨機解釋變量問題 在實際經(jīng)濟問題中，經(jīng)濟變量往往都具有隨機性。在實際經(jīng)濟

4、問題中，經(jīng)濟變量往往都具有隨機性。 但是在單方程計量經(jīng)濟學模型中，一般都將解釋變量認為是確定性但是在單方程計量經(jīng)濟學模型中，一般都將解釋變量認為是確定性的，而不去考慮其隨機性。的，而不去考慮其隨機性。 于是于是隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題主要發(fā)生于主要發(fā)生于用滯后被解釋變量作為模型的解用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。釋變量的情況。 這是緣于經(jīng)濟活動的連續(xù)性，被解釋變量的現(xiàn)期值往往會受到若干這是緣于經(jīng)濟活動的連續(xù)性，被解釋變量的現(xiàn)期值往往會受到若干前期值的影響。因此模型需要包含被解釋變量的滯后期變量。前期值的影響。因此模型需要包含被解釋變量的滯后期變量。例例1 1：耐用品存量調(diào)整模

5、型：耐用品存量調(diào)整模型 耐用品的存量耐用品的存量QQt t由前一個時期的存量由前一個時期的存量QQt-1t-1和當期收入和當期收入I It t共同決定：共同決定： Q Qt t= = 0 0+ + 1 1I It t+ + 2 2QQt-1t-1+ + t t t t=1,=1,T T 這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。 但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關(guān)性，那么隨機解釋變量但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關(guān)性，那么隨機解釋變量QQt-1t-1只與只與 t-1t-1相關(guān)，與相關(guān)，與 t t不相關(guān)不相關(guān) 屬于上述的第屬于上述的第2 2

6、種情況：種情況：同期無關(guān)而異期相關(guān)同期無關(guān)而異期相關(guān)。 例例2 2：合理預期的消費函數(shù)模型：合理預期的消費函數(shù)模型 合理預期理論合理預期理論認為消費認為消費C Ct t是由對收入的預期是由對收入的預期Y Yt te e所決定的：所決定的：tettYC10 預期收入預期收入Y Yt te e與實際收入與實際收入Y Y間存如下關(guān)系的假設(shè)間存如下關(guān)系的假設(shè) ettetYYY1)1 (容易推出容易推出tetttYYC1110)1 (ttttCY)()1 (101101110)1 ()1 (ttttCY 其中：其中：C Ct-1t-1是一隨機解釋變量，且與是一隨機解釋變量，且與 ( ( t t- -t-

7、1t-1) )高度相關(guān)。高度相關(guān)。 屬于上述第屬于上述第3 3種情況：種情況：同期相關(guān)同期相關(guān)。在對在對OLSOLS估計量的小樣本性質(zhì)（無偏性和有效性）的證明過程中使估計量的小樣本性質(zhì)（無偏性和有效性）的證明過程中使用了解釋變量為非隨機變量，從而用了解釋變量為非隨機變量，從而X X與與 不相關(guān)的假定。不相關(guān)的假定。計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關(guān)的話計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關(guān)的話，如果仍采用，如果仍采用OLSOLS法估計模型參數(shù)，將影響到參數(shù)的所具有的優(yōu)良法估計模型參數(shù)，將影響到參數(shù)的所具有的優(yōu)良性質(zhì)。性質(zhì)。為便于理解隨機解釋變量對參數(shù)性質(zhì)的影

8、響，先介紹估計量在大樣為便于理解隨機解釋變量對參數(shù)性質(zhì)的影響，先介紹估計量在大樣本下的漸進統(tǒng)計性質(zhì)本下的漸進統(tǒng)計性質(zhì) 主要包括：漸進無偏性和一致性主要包括：漸進無偏性和一致性三、隨機解釋變量的后果三、隨機解釋變量的后果1 1、漸進無偏性、漸進無偏性記記n 為樣本容量為為樣本容量為n n時參數(shù)時參數(shù) 的估計量，如果滿足：的估計量，如果滿足：lim()nnE 則稱則稱n 為為的的漸進無偏估計量漸進無偏估計量2 2、一致性、一致性對上述對上述n 如果滿足：如果滿足：limnnp （plimplim表示概率極限）表示概率極限）則稱則稱n 為為的的一致估計量一致估計量可以證明：可以證明：nlim()li

9、mvar()0nnnnEAND是是 的的一一致致估估量量即：一致估計量一定是漸進無偏的，并且在真實值附近離散的程度隨樣即：一致估計量一定是漸進無偏的，并且在真實值附近離散的程度隨樣本容量的增加而逐漸趨于本容量的增加而逐漸趨于0 0注意注意： 上述漸進統(tǒng)計性質(zhì)僅在大樣本條件下才有意義，而在小樣本下不起上述漸進統(tǒng)計性質(zhì)僅在大樣本條件下才有意義，而在小樣本下不起作用。作用。 01YX 01YX # # 隨機解釋變量的后果直觀理解隨機解釋變量的后果直觀理解（a a）正相關(guān)）正相關(guān) （b b）負相關(guān)）負相關(guān) 擬合的樣本回歸線可能低估截擬合的樣本回歸線可能低估截距項，而高估斜率項。距項，而高估斜率項。 擬

10、合的樣本回歸線可能高估擬合的樣本回歸線可能高估截距項，而低估斜率項。截距項，而低估斜率項。以對一元線性回歸模型為例分析不同情況下，隨機解釋變量問題對參數(shù)以對一元線性回歸模型為例分析不同情況下，隨機解釋變量問題對參數(shù)性質(zhì)的影響。性質(zhì)的影響。 tttXY10參數(shù)參數(shù) 1 1的的OLSOLS估計量為：估計量為：1 1、如果、如果X X與與 相互獨立，得到的參數(shù)估計量仍然是無偏、一致估計量。相互獨立，得到的參數(shù)估計量仍然是無偏、一致估計量。 # # 隨機解釋變量的后果理論分析隨機解釋變量的后果理論分析11122()()ttttttXXxXXx 11112()()()tttttxEEEkx 2 2、如果

11、、如果X X與與 同期不相關(guān)，異期相關(guān)，得到的參數(shù)估計量有偏、但卻是同期不相關(guān)，異期相關(guān)，得到的參數(shù)估計量有偏、但卻是一致的。一致的。 k kt t的分母中包含不同期的的分母中包含不同期的X X；由異期相關(guān)性知：；由異期相關(guān)性知：k kt t與與 t t相關(guān)，因此相關(guān)，因此11)(E 但是但是11112()()()tttttxEEEkx 1121211l i ml i m ()1l i m ()1l i m ()c o v (,)()ttnntttntntttxPPxPxnPxnXV a rX 3 3、如果、如果X X與與 同期相關(guān)，得到的參數(shù)估計量有偏、且非一致。同期相關(guān)，得到的參數(shù)估計量有

12、偏、且非一致。 注意：注意： 由上述分析可見，當隨機解釋變量與隨機誤差項相關(guān)時（異期相關(guān)或由上述分析可見，當隨機解釋變量與隨機誤差項相關(guān)時（異期相關(guān)或同期相關(guān)），同期相關(guān)），OLSOLS估計量將存在偏誤，造成模型全面的失準。估計量將存在偏誤，造成模型全面的失準。 特別地，對于存在滯后被解釋變量作為解釋變量的模型，滯后被解釋特別地，對于存在滯后被解釋變量作為解釋變量的模型，滯后被解釋變量最低限度都會與誤差項異期相關(guān)，因此對于此類模型必須要解決變量最低限度都會與誤差項異期相關(guān)，因此對于此類模型必須要解決隨機解釋變量問題。隨機解釋變量問題。 如果異期相關(guān)，增加樣本容量是解決問題的一個良好辦法，但是對

13、于如果異期相關(guān)，增加樣本容量是解決問題的一個良好辦法，但是對于同期相關(guān)，增加樣本容量也無濟于事。同期相關(guān)，增加樣本容量也無濟于事。 從（從（2 2）的證明中可以看出。）的證明中可以看出。四、工具變量法四、工具變量法 所謂的所謂的工具變量法工具變量法（instrumental variable methodinstrumental variable method）是指：）是指： 當隨機解釋變量當隨機解釋變量X X與隨機誤差項與隨機誤差項 相關(guān)時，尋找另一個相關(guān)時，尋找另一個與隨機解釋變量與隨機解釋變量 X X高度相關(guān)高度相關(guān)，但，但與隨機誤差項與隨機誤差項 不相關(guān)的不相關(guān)的變量變量Z Z，并在模

14、型的，并在模型的估計過程估計過程 中用中用Z“Z“代替代替”X X去完成參數(shù)估計的一種方法。去完成參數(shù)估計的一種方法。 其中變量其中變量Z Z稱為稱為工具變量工具變量（Instrument Variables,IVInstrument Variables,IV）。）。1 1、工具變量法的含義、工具變量法的含義2 2、工具變量的選取、工具變量的選取 工具變量是在模型估計過程中作為工具使用，以替代與隨機誤差項工具變量是在模型估計過程中作為工具使用，以替代與隨機誤差項相關(guān)的隨機解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：相關(guān)的隨機解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：(1) (1)

15、 與所替代的隨機解釋變量高度相關(guān)與所替代的隨機解釋變量高度相關(guān)(2) (2) 與隨機誤差項不相關(guān)與隨機誤差項不相關(guān)(3) (3) 與模型中的其它解釋變量不相關(guān)（為什么？）與模型中的其它解釋變量不相關(guān)（為什么？）(4) (4) 如果同時使用多個工具變量，則工具變量間不相關(guān)如果同時使用多個工具變量，則工具變量間不相關(guān)此外，通常要求工具變量最好是具有明確經(jīng)濟含義的外生變量，而非此外，通常要求工具變量最好是具有明確經(jīng)濟含義的外生變量，而非另外的隨機變量。另外的隨機變量。3 3、工具變量的應(yīng)用、工具變量的應(yīng)用 考慮一元線性回歸模型如下：考慮一元線性回歸模型如下：用用OLSOLS估計模型，需要構(gòu)造一個估計

16、模型，需要構(gòu)造一個正規(guī)方程組正規(guī)方程組。01iiiYX 工具變量的應(yīng)用要點在于：在模型的工具變量的應(yīng)用要點在于：在模型的估計過程估計過程中中代替代替X X進行參數(shù)估計。進行參數(shù)估計。# # 以一元線性回歸模型為例說明這一含義以一元線性回歸模型為例說明這一含義。01201 (*)iiiiiiYnXX YXX這一正規(guī)方程組相當于用這一正規(guī)方程組相當于用1 1與與X Xi i去乘模型兩邊、對去乘模型兩邊、對i i求和、再略去求和、再略去i i與與 X Xi i i i項后得到的。項后得到的。在基本假定下，由于：在基本假定下，由于：cov(,)0iiX 這意味著在大樣本下，有：這意味著在大樣本下，有：

17、11()0iiiiiiXXxnn從而，略掉從而，略掉 X Xi i i i項是合適的。項是合適的。但當?shù)擷 X隨機，且與隨機，且與 相關(guān)相關(guān)時，上式并不成立，所構(gòu)造的正規(guī)方程組是時，上式并不成立，所構(gòu)造的正規(guī)方程組是無效無效的。的。 如果選擇如果選擇Z Z為為X X的的工具變量工具變量，在上述估計過程用對，在上述估計過程用對( (* *) )式改用式改用Z Zi i乘以模型乘以模型兩邊并求和，則有：兩邊并求和，則有：由于由于Cov(ZCov(Zi i, , i i)=E(z)=E(zi i i i)=0 )=0 ，即在大樣本下，有：，即在大樣本下，有：01 iiiiiiiZ YZZ XZ11

18、()0iiiiiiZZznn此時可以略去此時可以略去 Z Zi i i i而得到一個有效的正規(guī)方程組：而得到一個有效的正規(guī)方程組：0101 (#)iiiiiiiYnXZYXZ X 這種求模型參數(shù)估計量的方法即為這種求模型參數(shù)估計量的方法即為工具變量法工具變量法(instrumental (instrumental variable method)variable method)，相應(yīng)的上述，相應(yīng)的上述估計量稱為估計量稱為工具變量法估計量工具變量法估計量（instrumental variable (IV) estimatorinstrumental variable (IV) estimato

19、r）。）。101()(),()()iiiiZZ YYYXZZXX 解此正規(guī)方程組可得到：解此正規(guī)方程組可得到：由于由于Z Z與與 的無關(guān)性，保證了在大樣本下正規(guī)方程組（的無關(guān)性，保證了在大樣本下正規(guī)方程組（# #）的有效性，從）的有效性，從而所獲得上述參數(shù)估計大樣本下滿足相應(yīng)的性質(zhì)要求，具體而言，而所獲得上述參數(shù)估計大樣本下滿足相應(yīng)的性質(zhì)要求，具體而言，具有具有一致性一致性。特別地，對于多元線性回歸模型（特別地，對于多元線性回歸模型（矩陣形式矩陣形式）： Y=X + 假設(shè)假設(shè)X X2 2與隨機項相關(guān)，其工具變量為與隨機項相關(guān)，其工具變量為Z Z，則采用工具變量法（用工具變量，則采用工具變量法（

20、用工具變量Z Z替代替代X X）得到的）得到的正規(guī)方程組正規(guī)方程組為：為： XZYZ參數(shù)估計量為：參數(shù)估計量為： YZXZ1)(knkknnXXXZZZXXX212111211111Z其中其中:稱為稱為工具變量矩陣工具變量矩陣4 4、工具變量法估計量是一致估計量、工具變量法估計量是一致估計量一元回歸中，工具變量法估計量為一元回歸中，工具變量法估計量為基于工具變量基于工具變量Z Z選取要求，有：選取要求，有： 兩邊取兩邊取概率極限概率極限得：得： iiniinxzPzPP1111limlim)lim(0),cov(1limiiiiZznP0),cov(1limiiiiXZxznP則有：則有： 1

21、1)lim(P0111()=iiiiiiiiiiiiiiiiiz yzYzXzz xz xz xz x 即在即在大樣本下大樣本下IVIV參數(shù)估計量具有一致性參數(shù)估計量具有一致性 5 5、對工具變量法的說明、對工具變量法的說明（1 1）在模型估計方面，工具變量法并沒有改變原模型，只是在原模）在模型估計方面，工具變量法并沒有改變原模型，只是在原模 型的型的參數(shù)估計過程參數(shù)估計過程中用工具變量中用工具變量“代替代替”模型中的隨機解釋變量模型中的隨機解釋變量 實際上，工具變量法估計過程等價于一種兩步實際上，工具變量法估計過程等價于一種兩步OLSOLS回歸：回歸： 1) 1) 用用X X關(guān)于工具變量關(guān)于

22、工具變量Z Z進行回歸，得到進行回歸，得到XX 2) 2) 用用Y Y關(guān)于關(guān)于XX進行回歸。進行回歸。 所以工具變量法仍是用所以工具變量法仍是用Y Y對對X X的回歸，而非的回歸，而非Y Y對對Z Z的回歸。的回歸。（2 2）在參數(shù)性質(zhì)方面）在參數(shù)性質(zhì)方面: : 大樣本大樣本下，工具變量法估計量具有下，工具變量法估計量具有一致性一致性， 小樣本小樣本下，工具變量法估計量仍是下，工具變量法估計量仍是有偏有偏的的。 0)()1()1(iiiiiiiizExzEzxzE（3 3）在實際應(yīng)用過程中，一方面，尋求到一個既與）在實際應(yīng)用過程中，一方面，尋求到一個既與X X高度相關(guān)，又與高度相關(guān)，又與 無關(guān)

23、的工具變量并非易事。一般可以用無關(guān)的工具變量并非易事。一般可以用X Xt-1t-1作為原隨機解釋變量作為原隨機解釋變量X Xt t的工具變量。的工具變量。 另一方面，也有可能對同一個另一方面，也有可能對同一個X X找到多個符合要求的工具變量。找到多個符合要求的工具變量。此時選擇的工具變量不同，參數(shù)估計值不一定一致，具有隨意性。此時選擇的工具變量不同，參數(shù)估計值不一定一致，具有隨意性。選擇哪一個工具變量是一個技巧。解決的策略之一是廣義矩估計選擇哪一個工具變量是一個技巧。解決的策略之一是廣義矩估計（GMMGMM）。）。特別地，由于使用工具變量，有可能產(chǎn)生較高的標準差，從而不能保特別地，由于使用工具變量，有可能產(chǎn)生較高的標準差，從而不能保證參數(shù)估計值的漸進方差一定能夠最小，即證參數(shù)估計值的漸進方差一定能夠最小，即不能保證參數(shù)的漸進有效不能保證參數(shù)的漸進有效性性。（4 4）如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關(guān)，就必如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關(guān)，就必須分別為他們找到相應(yīng)的