《誤差理論與數(shù)據(jù)處理(苐7版)》費業(yè)泰 第6章 回歸分析

1、合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第6章 回歸分析合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理 本章主要闡述回歸分析的基本概念，并重點介紹一元線性回歸和非線性回歸的基本方法，給出回歸方程的方差分析和顯著性檢驗。從而使學生掌握回歸分析方法的基本原理，學會從實際測量中尋求兩個變量和多個變量之間的內(nèi)在關(guān)系。教學目教學目標標合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理n 回歸分析的基本概念和主要內(nèi)容n 一元線性回歸方程的求法n 回歸方程的方差分析和顯著性檢驗n一元非線性回歸方法重點與重點與難難點點合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一節(jié)回歸分析的基本概念一、函數(shù)與相關(guān)一、函數(shù)與相關(guān)函數(shù)關(guān)系：可以用明確的函數(shù)關(guān)系式精確地表示 出來相關(guān)關(guān)系

2、：這些變量之間既存在著密切的關(guān)系， 又不能由一個（或幾個）自變量的數(shù) 值精確地求出另一個因變量的數(shù)值， 而是要通過試驗和調(diào)查研究，才能確 定它們之間的關(guān)系。 合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一節(jié)回歸分析的基本概念二、回歸分析思路二、回歸分析思路1、由數(shù)據(jù)確定變量之間的數(shù)學表達式回歸方程或經(jīng) 驗公式；2、 對回歸方程的可信度進行統(tǒng)計檢驗；3、 因素分析。合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸一元線性回歸：確定兩個變量之間的線性關(guān)系，即 直線擬合問題。一、回歸方程的確定一、回歸方程的確定例：確定某段導線的電阻與溫度之間的關(guān)系：19.125.030.136.040.046.550.076.

3、3077.8079.7580.8082.3583.9085.10散點圖：2025 303540 45507678828084Cxo/y合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸從散點圖可以看出：電阻與溫度大致成線性關(guān)系。設測量數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：Ntxyttt, 2 , 1,0式中， 分別表示其它隨機因素對電阻值 影響的總和。N,21Nyyy,21思路：要求電阻y與x的關(guān)系，即根據(jù)測量數(shù)據(jù)要求出0和 的估計值。根據(jù)測量數(shù)據(jù)，可以得到7個測量方程，結(jié)合前面所學，未知數(shù)有兩個，而方程個數(shù)大于未知數(shù)的個數(shù)，適合于用最小二乘法求解。合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸設得到的回歸方程

4、bxby0殘差方程為Ntbxbyyyvttti, 2 , 1,0根據(jù)最小二乘原理可求得回歸系數(shù)b0和b。對照第五章最小二乘法的矩陣形式，令NNNvvvVbbbxxxXyyyY2102121111合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸則誤差方程的矩陣形式為VbXY對照 ，設測得值 的精度相等，則有XALVtyYXXXbTT1)(將測得值分別代入上式，可計算得xxxyNttNttNttNttNtttllxxNyxyxNb2112111)()(xbyxxNyxxyxbNtNttttNttNttNttNtt1122111120)()()(合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸其中2

5、11122111121121211)(1)()(1)( )()(1)(11NttNtNtttyyNttNttNttttNttxyNttNttNttxxNttNttyNyyylyxNyxyyxxlxNxxxlyNyxNx合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、回歸方程的方差分析及顯著性檢驗二、回歸方程的方差分析及顯著性檢驗第二節(jié)一元線性回歸問題：這條回歸直線是否符合y 與x之間的客觀規(guī)律？回歸直線的預報精度如何？u對N個觀測值與其算術(shù)平均值之差的平方和進行分解；u從量值上區(qū)別對個觀測值的影響因素；u用F檢驗法對所求回歸方程進行顯著性檢驗。方差分析法合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸（一）

6、回歸方程的方差分析1、引起變差的原因： A、自變量x取值的不同； B、其它因素（包括試驗誤差）的影響。2、方差分析總的離差平方和（即N個觀測值之間的變差）NtyytlyyS12)(1 NS可以證明：合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸S=U+Q其中NtxytblyyU12)(xyyyNtttbllyyQ12)(1U2 NQU回歸平方和，反映總變差中由于x和y的線性關(guān) 系而引起 y變化的部分。Q殘余平方和，反映所有觀測點到回歸直線的殘 余誤差，即其它因素對y變差的影響。合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸（二）回歸方程顯著性檢驗 F檢驗法基本思路：方程是否顯著取決于U和Q

7、的大小，U越大，Q越小，說明y與x的線性關(guān)系愈密切。計算統(tǒng)計量FQUQUF/對一元線性回歸，應為)2/(1/NQUF查F分布表，根據(jù)給定的顯著性水平 和已知的自由度1和N-2進行檢驗：合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理若 回歸在0.01的水平上高度顯著。第二節(jié)一元線性回歸),2, 1 (01. 0NFF),2, 1 ()2, 1 (01. 005. 0NFFNF回歸在0.05的水平上顯著。),2, 1 ()2, 1 (05. 010. 0NFFNF回歸在0.1的水平上顯著。),2, 1 (10. 0NFF回歸不顯著。合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理（三）殘余方差與殘余標準差第二節(jié)一元線性回歸殘余方差

8、：排除了x 對y的線性影響后，衡量y 隨機波動的特征量。22NQ殘余標準差：2NQ含義： 越小，回歸直線的精度越高。合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸（四）方差分析表來源平方和自由度 方差 F顯著性回歸殘余 1 N-2 總計 N-1 xyblU xyyybllQyylS 三、重復試驗情況三、重復試驗情況1、重復試驗的意義“回歸方程顯著”：只表明因素x的一次項對y的影響顯著；難以確定影響y的是否還有其它不可忽略的因素？x和y是否線性? 不表明該方程擬合得很好。)2/(1/NQUF)2, 1 (NF合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理 為檢驗一個回歸方程擬合的好壞，可通過重復試驗，獲得誤差

9、平方和 和失擬平方和 ，然后用 對 進行F檢驗。第二節(jié)一元線性回歸EQLQEQLQ2、重復試驗回歸直線的求法1）設N個試驗點，每個試驗點重復m次試驗，則將 這m次試驗取平均值，然后再按照前面的方法進 行擬合，見表65和表66。2）方差分析合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理來源 平方和 自由度 方差 F 顯著性回歸失擬誤差總計 第二節(jié)一元線性回歸xymblU UmlQyyLNtmittiEyyQ112)(LEQQUS1U2 NL) 1(mNE1 NmSUU/LLQ/EEQ/EEUQUF/EELLQQF/1),(EUF),(ELF3）方差檢驗EEUQUF/)/()(/2LELEUQQUF:判斷一元回歸

10、方程擬合效果:判斷失擬平方和對試驗誤差的影響:綜合判斷一元回歸方程擬合效果EELLQQF/1合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第二節(jié)一元線性回歸1）分組法平均值法 將自變量按由小到大次序排列，分成個數(shù)相等或近于相 等的兩個組（分組數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)），則可建立相應的兩 組觀測方程：kkbxbybxby0101NNkkbxbybxby0101將兩組觀測方程分別相加，得NktNktttktktttxbbkNyxbkby110110)(b和b02）圖解法緊繩法四、回歸直線的簡便求法四、回歸直線的簡便求法合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三節(jié)一元非線性回歸2、求解未知參數(shù)。可化曲線回歸為直線回歸，用最小二乘法

11、求解；可化曲線回歸為多項式回歸。1、確定函數(shù)類型并檢驗。一、求解思路一、求解思路二、回歸曲線函數(shù)類型的選取和檢驗二、回歸曲線函數(shù)類型的選取和檢驗1、直接判斷法2、作圖觀察法，與典型曲線比較，確定其屬于何種類型，然后檢驗。合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理第三節(jié)一元非線性回歸3、直線檢驗法（適用于待求參數(shù)不多的情況）a、預選回歸曲線b、c、求出幾對與x,y相對應的Z1,Z2值d、以Z1,Z2為坐標作圖，若為直線，則說明原選定的曲線類型是合適的，否則重新考慮。0),(bayxf0),(bayxf21BZAZ合肥工業(yè)大學誤差理論與數(shù)據(jù)處理4、表差法（適用于多項式回歸，含有常數(shù)項多于兩個的情況）第三節(jié)一元非線性回歸a、用試驗數(shù)據(jù)畫圖；b、確定定差 ，列出xi,yi各對應值；c、根據(jù)x,y的讀出值作出差值 ，看其是否與確 定方程式的標準相符，若一致，則說明原選定 的曲線類型是合適的。xky三、化曲線回歸為直線回歸問題三、化曲線回歸