高等數(shù)學向量代數(shù)與空間解析幾何

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學一）§51 向量代數(shù) 一空間直角坐標系 從空間某定點作三條互相垂直的數(shù)軸，都以為原點，有相同的長度單位，分別稱為軸，軸，軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標系，稱為坐標原點。 1兩點間距離 設點，為空間兩點，則這兩點間的距離可以表示為 2中點公式 設為，聯(lián)線的中點，則 二向量的概念 1向量 既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個幾何性質(zhì)，它反映在兩點之間從一點到另一點的順序關系，而兩點間又有一個距離。常用有向線段表示向量。點叫起點，點叫終點，向量的長度叫做模，記為。模為的向量稱為單位向量。 2向量的坐標表示 若將向

2、量的始點放在坐標原點，記其終點，且點在給定坐標系中的坐標為。記以三個坐標軸正向為方向的單位向量依次記為，則向量可以表示為 稱之為向量的坐標表達式，也可以表示為 稱分別為向量在軸，軸，軸上的分量。稱分別為向量在軸，軸，軸上的投影。 記與軸、軸、軸正向的夾角分別為，則 方向余弦間滿足關系 描述了向量的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪?。的?？梢员硎緸?與向量同方向的單位向量可以表示為。與向量平行的單位向量可以表示為。 向量同方向上的單位向量常記為。 三向量的運算 1加法。 減法。 2數(shù)乘。（是常數(shù)） 向量的加、減和數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。 3數(shù)量積。 其中為向量間夾角 為數(shù)量也稱點乘。 表示向量在向量上的

3、投影，即 4向量積也稱為叉乘。 的方向按右手法則垂直于所在平面，且 是向量，。等于以為鄰邊的平行四邊形的面積。 5混合積：定義，坐標公式 幾何意義表示以為棱的平行大面體的體積。 四兩向量間的關系 設關系向量表示向量坐標表示間夾角與垂直與平行§52 平面與直線 一空間解析幾何 1空間解析幾何研究的基本問題 （1）已知曲面（線）作為點的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。 （2）已知坐標和間的一個方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。 2距離公式 空間兩點與間的距離為 3定比分點公式 是的分點：，點的坐標為，則 當為中點時， 二平面及其方程 1法（線）向量，法（線）方向數(shù)。 與平

4、面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標稱為法（線）方向數(shù)。對于給定的平面，它的法向量有無窮多個，但它所指的方向只有兩個。 2點法式方程 已知平面過點，其法向量，則平面的方程為 或 其中 3一般式方程其中不全為零。前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，是的法向量。 特別情形： ，表示通過原點的平面。 ，平行于軸的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4三點式方程 設，三點不在一條直線上，則通過的平面方程為 5平面束 設直線的一般式方程為，則通過的所有平面方程為，其中。 6有關平面的問題 兩平面為 與間夾角垂直條件平行條件重合條件 設平面的方程為，而點為平面外的一點，則到平面的距離： 三

5、直線及其方程 1方向向量、方向數(shù) 與直線平行的非零向量，稱為直線的方向向量，方向向量的坐標稱為方向數(shù)。 2直線的標準方程（對稱式方程）。 其中為直線上的點，為直線的方向數(shù)。 3參數(shù)式方程 為參變量。 4兩點式 設，為不同的兩點，則通過和的直線方程為 5一般式方程（作為兩平面的交線）： ，方向向量 6有關直線的問題 兩直線為 與間夾角垂直條件平行條件四平面與直線相互關系 平面的方程為： 直線的方程為：與間夾角（）與垂直條件與平行條件與重合條件上有一點在上§53 曲面與空間曲線 一曲面方程 1一般方程 2參數(shù)方程 （平面區(qū)域） 二空間曲線方程 1一般方程 2參數(shù)方程 三常見的曲面方程 1球面方程 設是球心，是半徑，是球面上任意一點，則，即 2旋轉(zhuǎn)曲面的方程 （1）設是平面上一條曲線，其方程是繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設是旋轉(zhuǎn)面上任一點，由點旋轉(zhuǎn)而來（點是圓心）。 由得旋轉(zhuǎn)面方程是 或 由參數(shù)方程，得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)