高中數(shù)學(xué)必修二直線的方程

1、第九編 解析幾何9.1 9.1 直線的方程直線的方程 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角與斜率（1 1）直線的傾斜角）直線的傾斜角 定義：當(dāng)直線定義：當(dāng)直線l l與與x x軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S相交時(shí)，我們?nèi) x軸作為基軸作為基 準(zhǔn)，準(zhǔn)，x x軸軸 與直線與直線l l 方向之間所成的角方向之間所成的角 叫叫 做直線做直線l l的傾斜角的傾斜角. .當(dāng)直線當(dāng)直線l l與與x x軸平行或重合時(shí)，軸平行或重合時(shí)， 規(guī)定它的傾斜角為規(guī)定它的傾斜角為 . .傾斜角的范圍為傾斜角的范圍為 . .正向正向向上向上0 0 1801800 0(2)(2)直線的

2、斜率直線的斜率定義：一條直線的傾斜角定義：一條直線的傾斜角 的的 叫做這條叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k k表示，即表示，即k k= = ，傾斜角是傾斜角是9090的直線斜率不存在的直線斜率不存在. .過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P P1 1（x x1 1, ,y y1 1）, ,P P2 2( (x x2 2, ,y y2 2) () (x x1 1x x2 2) )的直線的直線的斜率公式為的斜率公式為k k= = 正切值正切值tan tan .1212xxyy2.2.直線方程的五種形式直線方程的五種形式名稱名稱方程方程適用

3、范圍適用范圍點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式不含垂直于不含垂直于x x軸的直線軸的直線斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于x x軸的直線軸的直線兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式不含直線不含直線x x= =x x1 （x x1x x2）和直線和直線y y= =y y1 （y y1y y2）)(11xxkyybkxy121121xxxxyyyy截距式截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線點(diǎn)的直線一般式一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用都適用1byax)0(022BACByAx3.3.過(guò)過(guò)P P1 1（x x1 1，y y1 1），），P P2 2（x x2 2，y y2 2）的直線方程）的直線方程（

4、1 1）若）若x x1 1= =x x2 2, ,且且y y1 1y y2 2時(shí)，直線垂直于時(shí)，直線垂直于x x軸，方程軸，方程為為 ; ;(2)(2)若若x x1 1x x2 2, ,且且y y1 1= =y y2 2時(shí)，直線垂直于時(shí)，直線垂直于y y軸，方程為軸，方程為 ; ;(3)(3)若若x x1 1= =x x2 2=0=0，且，且y y1 1y y2 2時(shí)，直線即為時(shí)，直線即為y y軸，方程軸，方程為為 ; ;(4)(4)若若x x1 1x x2 2, ,且且y y1 1= =y y2 2=0=0時(shí)，直線即為時(shí)，直線即為x x軸，方程軸，方程為為 . .x x= =x x1 1y

5、y= =y y1 1x x=0=0y y=0=04.4.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 若點(diǎn)若點(diǎn)P P1 1、P P2 2的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（x x1 1，y y1 1），）， （x x2 2，y y2 2），且線段），且線段P P1 1P P2 2的中點(diǎn)的中點(diǎn)MM的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x x, ,y y），）， 則則 ，此公式為線段，此公式為線段P P1 1P P2 2的中點(diǎn)的中點(diǎn) 坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式. .222121yyyxxx基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)MM（-2-2，m m），），N N（m m，4 4）的直線的斜率等）的直線的斜率等 于于1 1，則，則m m的值為的值為

6、 （ ） A.1 B.4 C.1A.1 B.4 C.1或或3 D.13 D.1或或4 4 解析解析 k kMNMN= =1= =1，m m=1.=1.Amm242.2.經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角的是（經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角的是（ ） A.A.（1818，8 8），（），（4 4，-4-4） B.B.（0 0，0 0），（），（ ，1 1） C.C.（0 0，-1-1），（），（3 3，2 2） D.D.（-4-4，1 1），（），（0 0，-1-1）3解析解析 對(duì)對(duì)A A過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率對(duì)對(duì)B B過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率對(duì)對(duì)C C過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率過(guò)兩點(diǎn)的

7、直線斜率對(duì)對(duì)D D過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率過(guò)過(guò)D D中兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角中兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角. .答案答案 D, 076418)4(8k, 0330301k, 010312k. 02104) 1(1k3.3.下列四個(gè)命題中，假命題是下列四個(gè)命題中，假命題是 （ ） A.A.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P P（x x0 0，y y0 0）的直線不一定都可以用）的直線不一定都可以用 方程方程y y- -y y0 0= =k k( (x x- -x x0 0) )表示表示 B.B.經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)P P1 1（x x1 1，y y1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y

8、y2 2） 的直線都可以用方程的直線都可以用方程( (y y- -y y1 1)()(x x2 2- -x x1 1)=)= ( (x x- -x x1 1)()(y y2 2- -y y1 1) )來(lái)表示來(lái)表示 C.C.與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方 程程 表示表示 D.D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q Q（0 0，b b）的直線都可以表示為）的直線都可以表示為y y= =kxkx+ +b b 解析解析 A A不能表示垂直于不能表示垂直于x x軸的直線，故正確；軸的直線，故正確；B B 正確；正確；C C不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線即截距為不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線即截距為

9、0 0的直的直 線，故也正確；線，故也正確；D D不能表示斜率不存在的直線，不能表示斜率不存在的直線， 不正確不正確. .1byaxD4.4.如果如果A AC C0,0,且且B BC C0,0,那么直線那么直線AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0 不通過(guò)不通過(guò) （ ） A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 由題意知由題意知A AB BC C0.0. 直線方程變?yōu)橹本€方程變?yōu)閥 y=- =- x x- - ， A AC C0 0，B BC C0 0，A AB B0 0， 其斜率其斜率k k=- =- 0,0,在在y

10、 y軸上的截距軸上的截距b b=- =- 0,0, 直線過(guò)第一、二、四象限直線過(guò)第一、二、四象限. .CBABCBABC5.5.一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A A（-2-2，2 2），并且與兩坐標(biāo)軸），并且與兩坐標(biāo)軸 圍成的三角形的面積為圍成的三角形的面積為1 1，則此直線的方程為，則此直線的方程為 . . 解析解析 設(shè)所求直線的方程為設(shè)所求直線的方程為 A A（-2-2，2 2）在直線上，）在直線上， 又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1 1， | |a a|b b|=1|=1 , 1byax122ba21 由由可得可得 由（由（1 1）解得）解得 方程組（

11、方程組（2 2）無(wú)解）無(wú)解. . 故所求的直線方程為故所求的直線方程為 即即x x+2+2y y-2=0-2=0或或2 2x x+ +y y+2=0+2=0為所求直線的方程為所求直線的方程. . 答案答案 x x+2+2y y-2=0-2=0或或2 2x x+ +y y+2=0+2=0.21)2(21) 1 (abbaabba或，baba2112或，yxyx121112或題型一題型一 直線的傾斜角直線的傾斜角【例例1 1】 若若 ，則直線，則直線2 2x xcos +3cos +3y y+1=0+1=0 的傾斜角的取值范圍是的傾斜角的取值范圍是 （ ） A. B.A. B. C. D. C.

12、D. 2,62,66, 0,6565,2題型分類(lèi)題型分類(lèi) 深度剖析深度剖析思維啟迪思維啟迪 從斜率的定義先求出傾斜角的正切值的從斜率的定義先求出傾斜角的正切值的范圍，再確定傾斜角范圍范圍，再確定傾斜角范圍. .解析解析 設(shè)直線的傾斜角為設(shè)直線的傾斜角為 , ,則則tan =- tan =- coscos , ,又又 ，00coscos , , coscos 0 0即即- tan - tan 0,0,注意到注意到0 0 , , . .答案答案 B322,62333323365探究提高探究提高 （1 1）求一個(gè)角的范圍，是先求這個(gè)角）求一個(gè)角的范圍，是先求這個(gè)角某一個(gè)函數(shù)值的范圍，再確定角的范圍某

13、一個(gè)函數(shù)值的范圍，再確定角的范圍. .（2 2）在已知兩個(gè)變量之間的關(guān)系式要求其中一）在已知兩個(gè)變量之間的關(guān)系式要求其中一個(gè)變量的范圍，常常是用放縮法消去一個(gè)變量得個(gè)變量的范圍，常常是用放縮法消去一個(gè)變量得到另一個(gè)變量的范圍，解決本題時(shí)，可以利用余到另一個(gè)變量的范圍，解決本題時(shí)，可以利用余弦函數(shù)的單調(diào)性放縮傾斜角的取植范圍，其目的弦函數(shù)的單調(diào)性放縮傾斜角的取植范圍，其目的 是消去變量是消去變量 得到。得到。知能遷移知能遷移1 1 直線直線x xsinsin - -y y+1=0+1=0的傾斜角的變化范的傾斜角的變化范圍是圍是 （ ）A. B.(0,)A. B.(0,)C. D.C. D.解析解

14、析 直線直線x xsinsin - -y y+1=0+1=0的斜率是的斜率是k k=sin ,=sin ,又又-1sin 1-1sin 1，-1-1k k11，當(dāng)當(dāng)00k k11時(shí)，傾斜角的范圍是時(shí)，傾斜角的范圍是 ；當(dāng)當(dāng)-1-1k k0 0時(shí)，傾斜角的范圍是時(shí)，傾斜角的范圍是 . .2, 04,4,434, 0D4, 0,43題型二題型二 直線的斜率直線的斜率【例例2 2】 已知直線已知直線l l過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P（-1-1，2 2），且與以），且與以A A（-2-2，-3-3），），B B（3 3，0 0）為端點(diǎn)的線段相交，）為端點(diǎn)的線段相交，求直線求直線l l的斜率的取值范圍的斜率的取值范圍

15、. . 分別求出分別求出PAPA、PBPB的斜率，直線的斜率，直線l l處處于直線于直線PAPA、PBPB之間，根據(jù)斜率的幾何意義利之間，根據(jù)斜率的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合即可求用數(shù)形結(jié)合即可求. .解解 方法一方法一 如圖所示，直線如圖所示，直線PAPA的的斜率斜率直線直線PBPB的斜率的斜率, 5)2(1)3(2PAk思維啟迪思維啟迪當(dāng)直線當(dāng)直線l l繞著點(diǎn)繞著點(diǎn)P P由由PAPA旋轉(zhuǎn)到與旋轉(zhuǎn)到與y y軸平行的位置軸平行的位置PCPC時(shí)，它的斜率變化范圍是時(shí)，它的斜率變化范圍是5 5，+）；）；當(dāng)直線當(dāng)直線l l繞著點(diǎn)繞著點(diǎn)P P由由PCPC旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到PBPB的位置時(shí)，它的斜的位置時(shí)，它的斜

16、率的變化范圍是率的變化范圍是直線直線l l的斜率的取值范圍是的斜率的取值范圍是方法二方法二 設(shè)直線設(shè)直線l l的斜率為的斜率為k k，則直線，則直線l l的方程為的方程為y y-2=-2=k k（x x+1+1），），即即kxkx- -y y+ +k k+2=0.+2=0.A A、B B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l l上，上，（-2-2k k+3+3+k k+2+2）（）（3 3k k-0+-0+k k+2+2）00，.21) 1(320PBk21,., 521,即即（k k-5-5）（）（4 4k k+2+2）00，k k55或或k k- .- .即直線

17、即直線l l的斜率的斜率k k的取值范圍是的取值范圍是 5 5，+）. . 方法一方法一 運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想. .當(dāng)直線當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)，的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)，需根據(jù)正切函數(shù)需根據(jù)正切函數(shù)y y=tan =tan 的單調(diào)性求的單調(diào)性求k k的范圍，數(shù)的范圍，數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法形結(jié)合是解析幾何中的重要方法. .解題時(shí)，借助圖解題時(shí)，借助圖形及圖形性質(zhì)直觀判斷，明確解題思路，達(dá)到快形及圖形性質(zhì)直觀判斷，明確解題思路，達(dá)到快捷解題的目的捷解題的目的. .方法二則巧妙利用了不等式所表示方法二則巧妙利用了不等式所表示的平面區(qū)

18、域的性質(zhì)使問(wèn)題得以解決的平面區(qū)域的性質(zhì)使問(wèn)題得以解決. .2121,探究提高探究提高知能遷移知能遷移2 2 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A（1 1，3 3），），B B（-2-2，-1-1）. .若直若直線線l l：y y= =k k（x x-2-2）+1+1與線段與線段ABAB相交，則相交，則k k的取值范圍是的取值范圍是 （ ）A.A.k k B. B.k k-2-2C.C.k k 或或k k-2 D.-2-2 D.-2k k解析解析 由已知直線由已知直線l l恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)P P（2 2，1 1），如圖），如圖. .若若l l與線段與線段ABAB相交，相交，則則k kPAPAk kk kPBPB，

19、k kPAPA=-2=-2，k kPBPB= = ，-2-2k k . .212121D2121題型三題型三 求直線的方程求直線的方程【例例3 3】 求適合下列條件的直線方程：求適合下列條件的直線方程：（1 1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P P（3 3，2 2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；相等；（2 2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A A（-1-1，-3-3），且傾斜角等于直線），且傾斜角等于直線y y= = 3 3x x的傾斜角的的傾斜角的2 2倍倍. . 選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把所需要選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把所需要的條件求出即可的條件求出即可. .解解 （1 1）方法一方法一 設(shè)直線設(shè)直

20、線l l在在x x, ,y y軸上的截距均為軸上的截距均為a a, ,若若a a=0=0，即，即l l過(guò)點(diǎn)（過(guò)點(diǎn)（0 0，0 0）和（）和（3 3，2 2），），l l的方程為的方程為y y= = x x，即，即2 2x x-3-3y y=0.=0.32思維啟迪思維啟迪若若a a00，則設(shè)，則設(shè)l l的方程為的方程為l l過(guò)點(diǎn)（過(guò)點(diǎn)（3 3，2 2），），a a=5=5，l l的方程為的方程為x x+ +y y-5=0,-5=0,綜上可知，直線綜上可知，直線l l的方程為的方程為2 2x x-3-3y y=0=0或或x x+ +y y-5=0.-5=0.方法二方法二 由題意知，所求直線的斜率由

21、題意知，所求直線的斜率k k存在且存在且k k0,0,設(shè)直線方程為設(shè)直線方程為y y-2=-2=k k( (x x-3),-3),令令y y=0=0，得，得x x=3- ,=3- ,令令x x=0,=0,得得y y=2-3=2-3k k, ,由已知由已知3- =2-33- =2-3k k，解得，解得k k=-1=-1或或k k= ,= ,直線直線l l的方程為的方程為y y-2=-2=-（x x-3-3）或）或y y-2= (-2= (x x-3),-3),即即x x+ +y y-5=0-5=0或或2 2x x-3-3y y=0.=0., 1ayax, 123aak2k23232（2 2）由已

22、知：設(shè)直線）由已知：設(shè)直線y y=3=3x x的傾斜角為的傾斜角為 ，則所求直線的傾斜角為則所求直線的傾斜角為2 . 2 . tan =3,tan 2 =tan =3,tan 2 =又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A A（-1-1，-3-3），），因此所求直線方程為因此所求直線方程為y y+3=- (+3=- (x x+1),+1),即即3 3x x+4+4y y+15=0.+15=0.43tan1tan2243探究提高探究提高 在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹痹谇笾本€方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用線方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜

23、率必須存在，而兩斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類(lèi)討論，判斷截距時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類(lèi)討論，判斷截距是否為零，若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在是否為零，若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況的情況. .知能遷移知能遷移3 3 求下列直線求下列直線l l的方程：的方程：（1 1）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)A A（0 0，2 2），它的傾斜角的正弦值是），它的傾斜角的正弦值是 ；（2 2）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)A A（

24、2 2，1 1），它的傾斜角是直線），它的傾斜角是直線l l1 1：3 3x x+4+4y y+5=0+5=0的傾斜角的一半；的傾斜角的一半；（3 3）過(guò)點(diǎn)）過(guò)點(diǎn)A A（2 2，1 1）和直線）和直線x x-2-2y y-3=0-3=0與與2 2x x-3-3y y-2=0-2=0的交點(diǎn)的交點(diǎn). .解解 （1 1）設(shè)直線）設(shè)直線l l的傾斜角為的傾斜角為 ，則則sin = ,tan =sin = ,tan = , ,由斜截式得由斜截式得y y= = x x+2,+2,即即3 3x x-4-4y y+8=0+8=0或或3 3x x+4+4y y-8=0.-8=0.53534343（2 2）設(shè)直線

25、）設(shè)直線l l和和l l1 1的傾斜角分別為的傾斜角分別為 、 ，則則解得解得tan =3tan =3或或tan =- tan =- （舍去）（舍去）. .由點(diǎn)斜式得由點(diǎn)斜式得y y-1=3(-1=3(x x-2),-2),即即3 3x x- -y y-5=0.-5=0.（3 3）解方程組）解方程組即兩條直線的交點(diǎn)為（即兩條直線的交點(diǎn)為（-5-5，-4-4）. .由兩點(diǎn)式得由兩點(diǎn)式得即即5 5x x-7-7y y-3=0.-3=0.,tan1tan243,43tan,2, 022則又31. 45, 0232, 032y，xyxyx得,252141xy題型四題型四 直線方程的應(yīng)用直線方程的應(yīng)用【

26、例例4 4】 （1212分）過(guò)點(diǎn)分）過(guò)點(diǎn)P P（2 2，1 1）的直線）的直線l l交交x x軸、軸、y y 軸正半軸于軸正半軸于A A、B B兩點(diǎn)，求使：兩點(diǎn)，求使： （1 1）AOBAOB面積最小時(shí)面積最小時(shí)l l的方程；的方程； （2 2）| |PAPA|PBPB| |最小時(shí)最小時(shí)l l的方程的方程. . 先求出先求出ABAB所在的直線方程，再求出所在的直線方程，再求出A A， B B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出ABOABO的面積，然后利用的面積，然后利用 相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求最值相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)求最值. .思維啟迪思維啟迪解解 方法一方法一 設(shè)直線的方程為設(shè)直線的方程為當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅

27、當(dāng) , ,即即a a=4,=4,b b=2=2時(shí)，時(shí)，S SAOBAOB取最取最小值小值4 4， 4 4分分此時(shí)直線此時(shí)直線l l的方程為的方程為 6 6分分. 421. 8, 112122) 1 (. 112),1, 2( 1abSabbababababyaxAOB由已知可得1 1分分3 3分分2112ba. 042, 124yxyx即當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a a-2=1,-2=1,b b-1=2,-1=2,即即a a=3,=3,b b=3=3時(shí)，時(shí)，| |PAPA|PBPB| |取最小值取最小值4.4.此時(shí)直線此時(shí)直線l l的方程為的方程為x x+ +y y-3=0. 12-3=0. 12分分.

28、 ) 1(4)2(24)1( 1)2()1 ()02()01 ()2(, 2) 1)(2(, 02, 112)2(222222bababaPBPAbabaabba變形得得由8 8分分1010分分方法二方法二 設(shè)直線設(shè)直線l l的方程為的方程為y y-1=-1=k k( (x x-2) (-2) (k k0),0),則則l l與與x x軸、軸、y y軸正半軸分別交于軸正半軸分別交于當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)-4-4k k=- ,=- ,即即k k=- =- 時(shí)取最小值，此時(shí)直時(shí)取最小值，此時(shí)直線線l l的方程為的方程為y y-1=- (-1=- (x x-2),-2),即即x x+2+2y y-4=0.

29、6-4=0. 6分分. 4)44(21)1()4(421)21)(12(21) 1 ().21 , 0()0 ,12(kkkkSkBkAAOB、k121211 1分分3 3分分（2 2）| |PAPA|PBPB|= |= 10 10分分當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) =4=4k k2 2, ,即即k k=-1=-1時(shí)取得最小值時(shí)取得最小值, ,此時(shí)直此時(shí)直線線l l的方程為的方程為y y-1=-(-1=-(x x-2),-2),即即x x+ +y y-3=0. 12-3=0. 12分分 求直線方程最常用的方法是待定系數(shù)求直線方程最常用的方法是待定系數(shù)法，本題所要求的直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線方程的點(diǎn)法，本題所要求的

30、直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式，由另一條件確定斜率，思路順理成章，而斜式，由另一條件確定斜率，思路順理成章，而方法一和方法二聯(lián)系已知條件與相關(guān)知識(shí)新穎獨(dú)方法一和方法二聯(lián)系已知條件與相關(guān)知識(shí)新穎獨(dú)特，需要較高的邏輯思維能力和分析問(wèn)題、解決特，需要較高的邏輯思維能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力問(wèn)題的能力. .22441)1(kk, 484422kk24k探究提高探究提高知能遷移知能遷移4 4 已知直線已知直線l l: :kxkx- -y y+1+2+1+2k k=0 (=0 (k kR R).).（1 1）證明：直線）證明：直線l l過(guò)定點(diǎn)；過(guò)定點(diǎn)；（2 2）若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求）若直線不經(jīng)過(guò)第

31、四象限，求k k的取值范圍；的取值范圍；（3 3）若直線）若直線l l交交x x軸負(fù)半軸于軸負(fù)半軸于A A，交，交y y軸正半軸于軸正半軸于B B，AOBAOB的面積為的面積為S S，求，求S S的最小值并求此時(shí)直線的最小值并求此時(shí)直線l l的的方程方程. .（1 1）證明證明 直線直線l l的方程是：的方程是：k k（x x+2)+(1-+2)+(1-y y)=0,)=0,無(wú)論無(wú)論k k取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2-2，1 1）. .,12,0102yxyx解之得令（2 2）解解 由方程知由方程知, ,當(dāng)當(dāng)k k00時(shí)直線在時(shí)直線在x x軸上的截距為軸上的截距為 ,

32、,在在y y軸上的截距為軸上的截距為1+21+2k k，要使直線不經(jīng)過(guò)，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，第四象限，則必須有則必須有 解之得解之得k k0;0;當(dāng)當(dāng)k k=0=0時(shí)，直線為時(shí)，直線為y y=1,=1,符合題意，故符合題意，故k k0.0.kk21,121221kkk（3 3）解解 由由l l的方程，得的方程，得依題意得依題意得).21 , 0(),0 ,21(kBkkA. 0, 021, 021kkkk解得. 042:, 4,21,140”“, 4)422(21)414(21)21 (2121212121min2yxlSkkkkkkkkkkkOBOAS此時(shí)即且成立的條件是方法與技巧方法與

33、技巧1.1.要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值 范圍，熟記斜率公式：范圍，熟記斜率公式：k k= = ，該公式，該公式 與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)（與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)（x x1 1x x2 2）時(shí)，）時(shí)， 根據(jù)該公式可求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率根據(jù)該公式可求出經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率. .當(dāng)當(dāng)x x1 1= =x x2 2，y y1 1y y2 2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直 線的傾斜角為線的傾斜角為9090. .1212xxyy思想方法思想方法 感悟提高感悟提高2.2.求斜率可用求斜率可用k k=tan =tan

34、 （ 9090），其中），其中 為傾為傾 斜角，由此可見(jiàn)傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分斜角，由此可見(jiàn)傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分 割，牢記：割，牢記：“斜率變化分兩段，斜率變化分兩段，9090是分界，遇是分界，遇 到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論”. .3.3.求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方 程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系 數(shù)法數(shù)法. .4.4.重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線 上設(shè)一任意點(diǎn)上設(shè)一任意點(diǎn)P P（x x，y y）

35、，再找出），再找出x x，y y的一次關(guān)的一次關(guān) 系式，例如求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程、求直系式，例如求直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程、求直 線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程就可用軌跡法來(lái)求線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程就可用軌跡法來(lái)求. .失誤與防范失誤與防范1.1.求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在；求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在； 每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存 在斜率在斜率. .2.2.根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍； 二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性. .3.3.利用一般

36、式方程利用一般式方程AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0求它的方向向量為求它的方向向量為 （- -B B，A A）不可記錯(cuò)，但同時(shí)注意方向向量是不）不可記錯(cuò)，但同時(shí)注意方向向量是不 唯一的唯一的. .4.4.利用三種直線方程求直線方程時(shí)，要注意這三利用三種直線方程求直線方程時(shí)，要注意這三 種直線方程都有適用范圍，利用它們都不能求種直線方程都有適用范圍，利用它們都不能求 出垂直于出垂直于x x軸的直線方程軸的直線方程. .一、選擇題一、選擇題1.1. 直線直線l l經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)A A（2 2，1 1）、）、 B B（1 1，m m2 2） （m mR R）兩點(diǎn)，）兩點(diǎn)，那么直線那么直線l l的

37、傾斜角的取值范圍是的傾斜角的取值范圍是 （ ） A.A.0 0， ） B.B. C. D. C. D. 解析解析 k k= =1-= =1-m m2 21,1,又又k k=tan ,0 =tan ,0 , , 所以所以l l的傾斜角的取值范圍為的傾斜角的取值范圍為定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)D,434, 04, 0,24, 02112m.）24, 0，2 2. .直線直線l l1 1:3:3x x- -y y+1=0+1=0，直線，直線l l2 2過(guò)點(diǎn)（過(guò)點(diǎn)（1 1，0 0），且它的），且它的 傾斜角是傾斜角是l l1 1的傾斜角的的傾斜角的2 2倍，則直線倍，則直線l l2 2的方程為的方程為 （ ）

38、A.A.y y=6=6x x+1 +1 B.B.y y=6(=6(x x-1)-1) C.C.y y= (= (x x-1) -1) D.D.y y=- (=- (x x-1)-1) 解析解析 由由tan =3tan =3可求出直線可求出直線l l2 2的斜率的斜率 k k=tan 2 =tan 2 = 再由再由l l2 2過(guò)點(diǎn)（過(guò)點(diǎn)（1 1，0 0）即可求得直線方程）即可求得直線方程. .4343D,43tan1tan223.3.若直線（若直線（2 2m m2 2+ +m m-3-3）x x+(+(m m2 2- -m m) )y y=4=4m m-1-1在在x x軸上的軸上的 截距為截距為

39、1,1,則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)m m是是 ( )( ) A.1 B.2 C. D.2 A.1 B.2 C. D.2或或 解析解析 當(dāng)當(dāng)2 2m m2 2+ +m m-30-30時(shí)時(shí), , 在在x x軸上截距為軸上截距為 =1,=1,即即2 2m m2 2-3-3m m-2=0-2=0， m m=2=2或或m m= .= .21D32142mmm21214.4.直線直線x x+(+(a a2 2+1)+1)y y+1=0 (+1=0 (a aR R) )的傾斜角的取值范圍的傾斜角的取值范圍 是是 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 斜率斜率k k=- -1,=- -1,故故k

40、 k-1-1，0 0），）， 由圖象知傾斜角由圖象知傾斜角 , ,故選故選B.B.4, 0,43),2(4, 0),432,4B112a,435.5.直線直線axax+ +y y+1=0+1=0與連結(jié)與連結(jié)A A（2 2，3 3）、）、B B（-3-3，2 2）的）的 線段相交，則線段相交，則a a的取值范圍是的取值范圍是 （ ） A.A.-1-1，2 2 B.B.（-，-1-1）2 2，+） C.C.-2-2，1 1 D.D.（-，-2-21 1，+） 解析解析 直線直線axax+ +y y+1=0+1=0過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)C C（0 0，-1-1），當(dāng)直），當(dāng)直 線處在線處在ACAC與與BCBC

41、之間時(shí)，必與線段之間時(shí)，必與線段ABAB相交，應(yīng)滿相交，應(yīng)滿 足足- -a a 或或- -a a ，即，即a a-2-2或或a a1.1.D2133126.6.已知直線已知直線x x=2=2及及x x=4=4與函數(shù)與函數(shù)y y=log=log2 2x x圖象的交點(diǎn)分別圖象的交點(diǎn)分別 為為A A，B B，與函數(shù)，與函數(shù)y y= =lglg x x圖象的交點(diǎn)分別為圖象的交點(diǎn)分別為C C，D D， 則直線則直線ABAB與與CD CD （ ） A.A.相交，且交點(diǎn)在第相交，且交點(diǎn)在第象限象限 B.B.相交，且交點(diǎn)在第相交，且交點(diǎn)在第象限象限 C.C.相交，且交點(diǎn)在第相交，且交點(diǎn)在第象限象限 D.D.相

42、交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn) 解析解析 易知易知A A（2 2，1 1），），B B（4 4，2 2），原點(diǎn)），原點(diǎn) O O（0 0，0 0），）， k kOAOA= =k kOBOB= .= .直線直線ABAB過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn). . 同理同理C C（2 2，lglg 2 2），），D D（4 4，2lg 22lg 2），），k kOCOC= =k kODOD= = 直線直線CDCD過(guò)原點(diǎn)，且與過(guò)原點(diǎn)，且與ABAB相交，故選相交，故選D.D.D21.2122g1二、填空題二、填空題7.7.過(guò)兩點(diǎn)過(guò)兩點(diǎn)A A（m m2 2+2+2，m m2 2-3-3），），B B（3-3-m m-

43、-m m2 2，2 2m m）的）的 直線直線l l的傾斜角為的傾斜角為4545，則，則m m的值為的值為 . . 解析解析 由題意得：由題意得： 解得：解得：m m=-2=-2或或m m=-1.=-1. 又又m m2 2+23-+23-m m- -m m2 2,m m-1-1且且m m , ,m m=-2.=-2. , 13223222mmmmm21-2-28.8.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P P（1-1-a a,1+,1+a a）和）和Q Q（3 3，2 2a a）的直線的）的直線的傾傾 斜角為銳角，則實(shí)數(shù)斜角為銳角，則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是 . . 解析解析 由條件知直線的斜率存在，由公式得由條件知直線的斜率存在，由公式得 因?yàn)閮A斜角為銳角，所以因?yàn)閮A斜角為銳角，所以k k0 0， 解得解得a a1 1或或a a-2.-2. 所以所以a a的取值范圍是的取值范圍是 a a| |a a1 1或或a a-2.-2.,21aak（-,-2-,-2）(1,+)(1,+)9.9.直線直線y y= = x x關(guān)于直線關(guān)于直線x x=1=1對(duì)稱的直線方程是對(duì)稱的直線方程是 . . 解析解析 在所求直線上任取一點(diǎn)坐標(biāo)為（在所求直線上任取一點(diǎn)坐標(biāo)為（x x, ,y y），設(shè)），設(shè) 關(guān)于