分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

1、1.1.2分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理(二二)1、分類加法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有：完成一件事，有n類辦法，在類辦法，在第第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類辦法中有類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法在第在第n類辦法中類辦法中有有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方種不同的方法法. .12nNmmm2 2、分步乘法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n個(gè)步個(gè)步驟，做第驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,做

2、第做第2 2步有步有m m2 2種不同的種不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件那么完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法. .12nNmmm分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)。分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)?；卮鸬亩际怯嘘P(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理聯(lián)系聯(lián)系區(qū)別一區(qū)別一完成一件事情共有完成一件事情共有n類類

3、辦法，關(guān)鍵詞是辦法，關(guān)鍵詞是“分類分類”完成一件事情完成一件事情,共分共分n個(gè)個(gè)步驟，關(guān)鍵詞是步驟，關(guān)鍵詞是“分步分步”區(qū)別二區(qū)別二每類辦法都能每類辦法都能獨(dú)立完獨(dú)立完成成這件事情。這件事情。它是獨(dú)立它是獨(dú)立的、一次的、且每次得到的、一次的、且每次得到的是最后結(jié)果，的是最后結(jié)果，只須一種只須一種方法就可完成這件事方法就可完成這件事。每一步得到的只是每一步得到的只是中間結(jié)果中間結(jié)果，任何一步都任何一步都不能能獨(dú)立完成不能能獨(dú)立完成這件事情這件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成這件事情，不能完成這件事情，只有每只有每個(gè)步驟完成了，才能完成這個(gè)步驟完成了，才能完成這件事情。件事情。分類計(jì)數(shù)

4、原理和分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是關(guān)于分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題。完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題。區(qū)別三區(qū)別三各類辦法是互相獨(dú)各類辦法是互相獨(dú)立的立的各步之間是互相關(guān)聯(lián)的各步之間是互相關(guān)聯(lián)的分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系：例例1. 1. 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？少種？ 解：（解：（1）5名學(xué)生中任一

5、名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為44444= 種種 .54（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種種故有故有n=5= 種種 .45白班白班 晚班晚班白班白班 晚班晚班變式：從變式：從1到到200的自然數(shù)中的自然數(shù)中,各個(gè)各個(gè)數(shù)位上都不含數(shù)位上都不含8的自然數(shù)有多少個(gè)？的自

6、然數(shù)有多少個(gè)？分三類分三類:第一類：一位數(shù)中除第一類：一位數(shù)中除8以外的數(shù)符以外的數(shù)符 合要求，共合要求，共 個(gè)個(gè)第二類：兩位數(shù)中十位、個(gè)位都第二類：兩位數(shù)中十位、個(gè)位都不含不含8的數(shù)的數(shù),有有 個(gè)個(gè).第三類第三類:三位數(shù)中符合要求三位數(shù)中符合要求的數(shù)的數(shù),共有共有 個(gè)個(gè).則滿足條件的總的自然數(shù)有則滿足條件的總的自然數(shù)有:43 (1)將將3封信投入封信投入4個(gè)不同的信箱，個(gè)不同的信箱，共有共有 種不同的投法。種不同的投法。 （2）由）由4名學(xué)生爭(zhēng)奪名學(xué)生爭(zhēng)奪3個(gè)比賽個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種項(xiàng)目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能？可能？34N變式：變式：（1）3名學(xué)生走進(jìn)有名學(xué)生走進(jìn)

7、有4個(gè)大門個(gè)大門的商店，共有的商店，共有 種不同的走法。種不同的走法。 （2）3個(gè)不同的球放入個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的布袋個(gè)不同的布袋內(nèi)，共有內(nèi)，共有 種不同的放法。種不同的放法。 （3）四名學(xué)生分配到三個(gè)車間勞動(dòng)）四名學(xué)生分配到三個(gè)車間勞動(dòng) 實(shí)習(xí)，共有實(shí)習(xí)，共有 分配方案。分配方案。1、將、將5封信投入封信投入3個(gè)郵筒，則有個(gè)郵筒，則有 種不同投種不同投法法2、已知集合、已知集合 從從A、B中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在第一、二象限中的不中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在第一、二象限中的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )12 3 435 6AB ， ， ， ， ， ，A . 8 B . 12 C

8、. 14 D . 16243CA . 336 B . 120 C . 24 D . 16A4216141.同室同室4人各寫人各寫1張賀年卡張賀年卡,先集中起來(lái)先集中起來(lái),然后每然后每人從中各拿人從中各拿1張別人送出的賀年卡張別人送出的賀年卡,則則4張賀年張賀年卡不同的分配方式有（卡不同的分配方式有（ ） A6種種 B9種種 C11種種 D23種種B甲甲乙乙丙丙丁丁21 3 44 4 13 1 331 4 44 2 12 1 241 3 32 1 23 2 1四名同學(xué)分別為四名同學(xué)分別為:甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁，所寫賀卡依次為所寫賀卡依次為1，2，3，4第一步第一步:甲先拿，按規(guī)定甲可拿

9、甲先拿，按規(guī)定甲可拿2，3，4當(dāng)中的當(dāng)中的 一張，有一張，有3種方法。種方法。 第二步：讓與甲取走的卡片相對(duì)應(yīng)的人來(lái)拿，第二步：讓與甲取走的卡片相對(duì)應(yīng)的人來(lái)拿， 有有3種拿法種拿法.(例如甲拿的是例如甲拿的是2,則乙有則乙有3種拿法種拿法.) 第三步第三步:讓剩余的兩個(gè)人拿讓剩余的兩個(gè)人拿,都均有都均有 1種拿法種拿法.四名同學(xué)分別為四名同學(xué)分別為:甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁，所寫賀卡依次為所寫賀卡依次為1，2，3，4總的方法數(shù)總的方法數(shù) 2.自然數(shù)自然數(shù)630有多少個(gè)正約數(shù)？有多少個(gè)正約數(shù)？分析：分析：,其正約其正約數(shù)的結(jié)構(gòu)式為數(shù)的結(jié)構(gòu)式為6302357即在、所形成的取值所形成的取值集合

10、中，各取一個(gè)元素填入上式，集合中，各取一個(gè)元素填入上式，就得就得630的一個(gè)約數(shù)。由乘法原理，的一個(gè)約數(shù)。由乘法原理， 得得CBA1、在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)、在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？2、8本不同的書，任選本不同的書，任選3本分給本分給3個(gè)同學(xué)，每個(gè)同學(xué)，每人人1本，有多少種不同的分法？本，有多少種不同的分法？3、將、將4封信投入封信投入3個(gè)不同的郵筒，有多少種不個(gè)不同的郵筒，有多少種不同的投法？同的投法？4、已知、已知?jiǎng)t方程則方程 可表示不同的圓的可表示不同的圓的個(gè)數(shù)有多少？個(gè)數(shù)有多少？3,4,6,1,2,7,8,8,9abr2

11、22()()xaybr5、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù) 若若 則可以得到多少個(gè)則可以得到多少個(gè)不同的二次函數(shù)？其中圖象過(guò)原點(diǎn)的二次函不同的二次函數(shù)？其中圖象過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)有多少個(gè)？圖象過(guò)原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限數(shù)有多少個(gè)？圖象過(guò)原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限的二次函數(shù)又有多少個(gè)？的二次函數(shù)又有多少個(gè)？2.yaxbxc, , 3, 2,0,1,2,3.a b c 6.給程序模塊命名，需要用給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字符個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母要求用字母AG或或UZ，后兩個(gè)要求用數(shù)字，后兩個(gè)要求用數(shù)字19，問(wèn)最多可以給多少個(gè)程序命名？問(wèn)最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：分析：要給一個(gè)程序模塊命

12、名，可以分三個(gè)步驟：第一步，要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613種不同的選法，種不同的選法，答：答：最多可以給最多可以給10531053個(gè)程序命名。個(gè)程序命名。中間字符和末位字符各有中間字符和末位字符各有9種不同的選法種不同的選法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法種不同的選法7.核糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個(gè)分，一個(gè)RNA分子是一個(gè)

13、有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位分子是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有個(gè)不同的堿基，分別用化學(xué)成分所占據(jù)，總共有個(gè)不同的堿基，分別用A，C，G，U表示，在一個(gè)表示，在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)。假設(shè)有一類他位置上的堿基無(wú)關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由分子由100個(gè)個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？分子？8.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的

14、通與斷、電位的高與底等兩種狀電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有了每一位只有0或或1兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問(wèn)單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問(wèn)（1）一個(gè)字節(jié)（）一

15、個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB碼）包含了碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？少個(gè)字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種如如00000000，10000000，11111111.開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A9.計(jì)算機(jī)編程人員在編寫計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后要對(duì)程序進(jìn)

16、行好程序以后要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試。程序員需要知道到測(cè)試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路（即程底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個(gè)以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)程序模塊又許多子模塊組程序模塊又許多子模塊組成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問(wèn)：行路徑的程序模塊。問(wèn)：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測(cè)行路徑？另外為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，

17、以減少測(cè)試次數(shù)嗎？以減少測(cè)試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：分析：整個(gè)模塊的任整個(gè)模塊的任意一條路徑都分兩步意一條路徑都分兩步完成完成：第：第1步是從開步是從開始執(zhí)行到始執(zhí)行到A點(diǎn)；第點(diǎn)；第2步步是從是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊而第步可由子模塊1或子模塊或子模塊2或子模塊或子模塊3來(lái)完成；第二步可由來(lái)完成；第二步可由子模塊子模塊4或子模塊或子模塊5來(lái)來(lái)完成。因此，分析一完成。因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。個(gè)

18、計(jì)數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個(gè)子模塊都正常工如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就正常。整個(gè)程序模塊就正常。這樣，測(cè)試整個(gè)這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)槟K的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）（次）2）在實(shí)際測(cè)試中，程序）在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考察是否執(zhí)行了正確的子模察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊。塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊。這樣，他可以先分別單獨(dú)這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常。個(gè)子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y(cè)試次數(shù)為：總共需要的測(cè)試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。10.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增