數(shù)學(xué)建模模型應(yīng)用--灰色理論

1、灰色理論1、灰關(guān)聯(lián)理論2、灰色預(yù)測模型教師：郭文艷1.1、灰關(guān)聯(lián)分析方法概述n灰色系統(tǒng)是既含有已知信息，又含有未知信息或非確知信息的系統(tǒng)?；谊P(guān)聯(lián)分析是依據(jù)灰數(shù)列間幾何相似的序化分析與關(guān)聯(lián)測度，來量化不同層次中多個(gè)序列相對某一級別的關(guān)聯(lián)性，其實(shí)質(zhì)為灰色系統(tǒng)中多個(gè)序列之間接近度的序列分析，這種接近度稱為數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)度。1.1、灰關(guān)聯(lián)分析方法概述關(guān)聯(lián)度愈高，說明該樣本序列隸屬的關(guān)系愈貼近，這是綜合評價(jià)的信息和依據(jù)。在數(shù)學(xué)理論上，它反映了離散數(shù)列空間的接近度，所以是一種幾何分析法。灰關(guān)聯(lián)度分析的基本思想是根據(jù)離散數(shù)據(jù)之間幾何相似程度來判斷關(guān)聯(lián)性大小，并進(jìn)行排序。n在此，我們通過兩個(gè)實(shí)例給出灰關(guān)聯(lián)分析方

2、法的過程1.2、灰關(guān)聯(lián)分析的步驟n應(yīng)用灰關(guān)聯(lián)分析，一般包括下列的計(jì)算和分析步驟：1）確定參考序列和比較序列；2）作原始數(shù)據(jù)變換；3）求絕對差序列；4）計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)；1.2、灰關(guān)聯(lián)分析的步驟5）計(jì)算關(guān)聯(lián)度；6）排關(guān)聯(lián)序；7）列關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行優(yōu)勢分析。1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)n為了保證建模的質(zhì)量與系統(tǒng)分析的正確結(jié)果，對收集來的原始數(shù)據(jù)必須進(jìn)行數(shù)據(jù)變換處理，使其消除量綱和具有可比性。定義1 設(shè)有序列稱映射為序列到序列的數(shù)據(jù)變換。( (1), (2), ( )xxxx n1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)稱映射為序列 到序列 的數(shù)據(jù)變換1）初值化變換：2）均值化變換： :fxy( ( )( ),1,2,f x k

3、y kkn( )( ( )( ), (1)0(1)x kf x ky kxx1( )1( ( )( ),( )nkx kf x ky kxx kxnxy1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)3）百分比變換：4）倍數(shù)變換：5）歸一化變換： ( )( ( )( )max ( )kx kf x ky kx k( )( ( )( ),min ( )0min ( )kkx kf x ky kx kx k00( )( ( )( ),0 x kf x ky kxx1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)6）極差最大化變換：7）區(qū)間值化變換： ( )min ( )( ( )( )max ( )kkx kx kf x ky kx k( )m

4、in ( )( ( )( )max ( )min ( )kkkx kx kf x ky kx kx k1.2.2 變換的性質(zhì)n上述變換滿足1）當(dāng) ；2）保序性：3）保差異性：對任意的 ，有 ( )0,1,2, , ( )0 x kkn y k( )( ), ( )( ); ( )( ), ( )( )x ix jy iy jx ix jy iy j, , ,i t l j( )( )( )( )( )( )( )( )x ix ty iy tx lx jy ly j1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換n設(shè)有多指標(biāo)序列稱映射1111(1),(2),( )xxxx n2222(1),(2),( )xx

5、xx n(1),(2),( )mmmmxxxxn:iifxy( ( )( ),1,2,iif x ky k kn1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換n為序列 到序列 的數(shù)據(jù)變換。n多因素指標(biāo)的數(shù)據(jù)變換主要依賴于指標(biāo)的屬性類型，常用的屬性類型有效益型（指標(biāo)值越大越好型）、成本型（指標(biāo)值越小越好型）、固定型（指標(biāo)值越接近某固定值越好型）、區(qū)間型（指標(biāo)值越接近某固定區(qū)間越好）、偏離型（指標(biāo)值越偏離某固定值越好）、偏離區(qū)間型（指標(biāo)值越偏離某固定區(qū)間越好）等。 ixiy1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換n關(guān)聯(lián)分析中常用的數(shù)據(jù)變換有1）效益型： 2）成本型： ( )min( )( )max( )min( )ii

6、iiiiiix kx ky kx kx kmax( )( )( )max( )min( )iiiiiiiix kx ky kx kx k1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換3）固定型： 為固定值 4）區(qū)間 型： ( )a kmax( )( )( )( )( )max( )( )min( )( )iiiiiiiix ka kx ka ky kx ka kx ka k ( ), ( )b k b kmax( )( )( ),( )max ( )( ), ( )( )max( ) min( )iiiiiiiiiiikky kkx kb k b kx kkk1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換5）偏離 型：6

7、）偏離區(qū)間 型： ( )c k( )( )max( )( )( )max( )( )min( )( )iiiiiiiix kc kx kc ky kx kc kx kc k ( ), ( )b k b k( )max( )( ),max( )min( )( )max ( )( ),( )( )iiiiiiiiiiikky kkkkb kx kx kb k1.2.4 關(guān)聯(lián)度定義2：設(shè)為 灰關(guān)聯(lián)因子集， 為參考序列， 為比較序列， 分別為 與 的第 個(gè)點(diǎn)的數(shù)，01,mx xx0 xix0( ),( )ix kx k0 xixk0000(1),(2),( )xxxx n1111(1),(2),( )

8、xxxx n2222(1),(2),( )xxxx n(1),(2),( )mmmmxxxxn1.2.4 關(guān)聯(lián)度定義 為灰關(guān)聯(lián)系數(shù)。其中為絕對差， 為兩極最小差， 為兩極最大差， 為分辨系數(shù)minmax00max( ),( )( )iir x kx kk 00( )( )( )iikx kx kmin0minmin( )iikkmax0maxmax( )iikk(0,1)1.2.4 關(guān)聯(lián)度定義3：設(shè)為 指標(biāo) 的權(quán)重，滿足 ， ，定義為 對 的灰關(guān)聯(lián)度， 是序列幾何距離的一種度量。kk01k11nkk001(,)( ),( )nikikr xxr x kx k0 xix0(,)ir xx1.3

9、實(shí)例 n1.3.1 實(shí)例一：用灰關(guān)聯(lián)分析的方法分析影響呼和浩特市大氣污染的各主要因素的污染水平。n表1 1999-2003年城市大氣污染監(jiān)測數(shù)據(jù)因素 1999 20002001 20022003 大氣污染值 0.732 0.646 0.636 0.598 0.627 NO0.038 0.031 0.0420.036 0.043 TSP 0.5070.451 0.448 0.4110.1220.0480.034 0.030 0.0300.031 工業(yè)總產(chǎn)值 183.25 207.28 240.98 290.80 370.00基建投資 24.03 44.98 62.7983.44 127.22 機(jī)

10、動車數(shù)量85508 74313 85966 100554 109804 煤炭用量 175.87 175.72 183.69 277.11 521.26 沙塵天數(shù) 10 13 13 11x2SO計(jì)算步驟：（1）將城市區(qū)域大氣污染值作為參考序列 ，其他各因素作為比較因素序列 ，對各因素初值化處理，得各標(biāo)準(zhǔn)化序列表2 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)0( ),1,5x k k ( ),1,8,1,5ix k ik( ),1,8,1,5iy k ik因素 1999 20002001 20022003 大氣污染值 10.883 0.869 0.817 0.857 NO10.816 1.105 0.9471.132 TSP 1

11、0.890 0.884 0.811 0.241 10.708 0.625 0.625 0.646 工業(yè)總產(chǎn)值 11.131 1.315 1.5872.019 基建投資 11.872 2.613 3.4725.294 機(jī)動車數(shù)量10.869 1.005 1.176 1.284 煤炭用量 10.999 1.044 1.576 2.964 沙塵天數(shù) 11.300 1.300 0.1000.1002SOx（2）由上表求絕對差。得序列 01(0,0.067,0.236,0.130,0.275)02(0,0.007,0.015,0.006,0.616)03(0,0.175,0.244,0.192,0.21

12、1)04(0,0.248,0.446,0.770,1.162)05(0,0.989,10744,2.655,4.437)06(0,0.014,0.136,0.359,0.427)07(0,0.116,0.175,0.759,2.107)08(0,0.417,0.431,0.717,0.757)minmax0,4.437（3）計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)如下：取 0.50 ( )000.5 4.4370.5 4.437j ki01(1,0.971,0.904,0.945,0.890)02(1,0.997,0.993,0.997,0.783)03(1,0.927,0.901,0.920,0.913)04(1,0.

13、899,0.833,0.742,0.656)05(1,0.692,0.560,0.455,0.333)06(1,0.994,0.942,0.861,0.839)07(1,0.950,0.927,0.861,0.839)08(1,0.842,0.837,0.756,0.746)（4）計(jì)算關(guān)聯(lián)度n取 ，比較因素和參考因素的關(guān)聯(lián)度為 123450.25010111( )0.9425krk5020211( )0.9545krk5030311( )0.9355krk5040411( )0.8265krk5050511( )0.6085krk5060611( )0.9275krk5070711( )0.8

14、275krk5080811( )0.8365krk結(jié)果分析n從結(jié)果可以看出，直接因素（前3個(gè)）關(guān)聯(lián)度的排序?yàn)?，說明在城市大氣環(huán)境的影響因素中，TSP是主要因素；在間接因素（后5個(gè)）中，關(guān)聯(lián)度的排序?yàn)?，機(jī)動車數(shù)量是主要的間接影響因素。020103rrr0608070405rrrrr1.3.2 實(shí)例二：基于灰度關(guān)聯(lián)的多傳感器融合目標(biāo)識別方法 n目標(biāo)識別的基本任務(wù)就是利用樣本的特征和目標(biāo)庫中已知目標(biāo)的特征的比較，將待識別樣本劃分為相應(yīng)的目標(biāo)類型。目標(biāo)識別技術(shù)是軍用指揮自動化系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，一直是該領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)。3.2.1單傳感器灰色識別原理n設(shè)目標(biāo)庫 中有 個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)有 個(gè)屬性

15、。記 ， 表示第 個(gè)目標(biāo)， 表示第 個(gè)目標(biāo)的第 個(gè)屬性。在灰色關(guān)聯(lián)分析理論中，目標(biāo)庫中的每一個(gè)目標(biāo)稱為比較序列 。傳感器收到的待識別的目標(biāo)記為 ，稱為參考序列， 。 Xmnix( (1),(2),( )iiixxx n(1,2,)ix imi( )ix k(1,2, )knikix0 x0 x000(1),(2),( )xxx n3.2.1單傳感器灰色識別原理n經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后計(jì)算 ，用于反映了待識別目標(biāo)的第 個(gè)屬性與第 個(gè)目標(biāo)類的第 個(gè)屬性的匹配程度。然后計(jì)算 對 的灰關(guān)聯(lián)度 ，反映了待識別目標(biāo)與第 個(gè)目標(biāo)的相似程度。n基于灰關(guān)聯(lián)分析的識別原理為計(jì)算待識別目標(biāo)與目標(biāo)庫中各目標(biāo)的灰關(guān)聯(lián)度，按照灰

16、色系統(tǒng)分辨原理，對關(guān)聯(lián)度進(jìn)行 0( ),( )ir x kx kkik0 xix0(,)ir xxi3.2.1多傳感器融合灰色識別原理 n排序，若 ，則判斷認(rèn)為目標(biāo)的類型為 所對應(yīng)的目標(biāo)類型。n多傳感器融合灰色識別原理n設(shè)有 個(gè)傳感器在同一時(shí)間內(nèi)對同一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行監(jiān)測，第 個(gè)傳感器收到的待識別目標(biāo)信息記為n多傳感器灰色識別融合原理可敘述如下： 000max (,)iiirr xx0iNj000(1),(2),( )jjjxxxn0 jx3.2.1多傳感器融合灰色識別原理n對1）計(jì)算第 個(gè)傳感器收到的待識別目標(biāo)的第 個(gè)指標(biāo)與目標(biāo)庫中第 個(gè)目標(biāo)的關(guān)聯(lián)系數(shù) ；2）計(jì)算 ，得向量 （ ）3）設(shè)第 個(gè)傳感

17、器的權(quán)重為 ， 1,2,jNjk0( ),( )jir xkx ki0(,)jir xx(1,2,)imjr0(,)jir xx1 mjj),(0ijjixxrr3.2.1多傳感器融合灰色識別原理n求矩陣 （ ） 的加權(quán)1范數(shù) ，則斷定多傳感器融合識別的結(jié)果為目標(biāo)屬于第 類。1.3.3 應(yīng)用根據(jù)不同目標(biāo)類型在空中飛行時(shí)地面防空系統(tǒng)雷達(dá)所能探測的指標(biāo)和雷達(dá)系統(tǒng)校飛中所采用的指標(biāo),我們選取空中飛行器RjirmN0iR1RNjjijmir11max0i1.3.3 應(yīng)用n 、高度 、機(jī)動能力 （加速度）、雷達(dá)波形大小 、雷達(dá)回波強(qiáng)弱 這5項(xiàng)指標(biāo)，建立目標(biāo)類型的參數(shù)模板。設(shè)有兩個(gè)傳感器在同一時(shí)刻對同一目

18、標(biāo)進(jìn)行觀察，觀測值如表3所示。n表3 目標(biāo)類型的參數(shù)模板及待識別的目標(biāo)參數(shù)vH1P2P戰(zhàn)略轟炸機(jī)B52 250 10000 1 0.8 0.8 殲擊機(jī)F16 280 10000 2.50.50.5武裝直升機(jī) 100 64002.00.20.2隱形戰(zhàn)斗機(jī)F117A22010000 1.00.10.1傳感器1的觀測數(shù)據(jù)23810000 1.00.8 0.7傳感器2的觀測數(shù)據(jù) 24010000 1.020.8 0.721x2x3xH1P2P1.3.3 應(yīng)用n將各傳感器的觀測數(shù)據(jù)作為參考序列，各機(jī)型參數(shù)作為比較序列，對各參數(shù)值進(jìn)行初值化處理，得到無量綱序列表4。戰(zhàn)略轟炸機(jī)B52 140 0.004 0

19、.0032 0.0032 殲擊機(jī)F16 135.71 0.0089 0.0018 0.0018 武裝直升機(jī) 1 64 0.02 0.002 0.002 隱形戰(zhàn)斗機(jī)F117A145.45 0.0045 0.00045 0.00045 傳感器1的觀測數(shù)據(jù)142.017 0.0042 0.0034 0.0029傳感器2的觀測數(shù)據(jù) 141.67 0.00425 0.0033 0.003 1x2x3xH1P2P1.3.3 應(yīng)用由上表計(jì)算絕對差，取分辨系數(shù) 0.5，各指標(biāo)的權(quán)重相同， 由式（1）計(jì)算灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，由式（2）計(jì)算灰關(guān)聯(lián)度得 （0.9690，0.9269，0.8663，0.9523），（0.97

20、40，0.9303，0.8663，0.9493），灰關(guān)聯(lián)度矩陣為1r2r21rrR0.96090.92690.86630.95230.97400.93030.86630.94931.3.3 應(yīng)用n由單傳感器識別原理，可判定傳感器1和傳感器2觀測到的目標(biāo)為戰(zhàn)略轟炸機(jī)，但由于傳感器1的灰關(guān)聯(lián)度中，最大值和次大值之間僅差0.01左右，所以由傳感器1判定為戰(zhàn)略轟炸機(jī)的可信度并不高，現(xiàn)設(shè)傳感器2的觀測精度高，取其權(quán)重為 ，傳感器1的權(quán)重為 ，由多傳感器融合識別原理，計(jì)算矩陣 的列加權(quán)和得 （ 0.972，0.9292，0.8663，0.9503），故 的加權(quán)1范數(shù)為 0.972，即多傳感器融合識別的結(jié)果

21、為戰(zhàn)略轟炸機(jī)。3231RcRR1R1R二、灰色模型n2.1 灰色模型概述n從灰色系統(tǒng)中抽象出來的模型。灰色系統(tǒng)是既含有已知信息，又含有未知信息或非確知信息的系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)普遍存在。研究灰色系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一是如何從一個(gè)不甚明確的、整體信息不足的系統(tǒng)中抽象并建立起一個(gè)模型，該模型能使灰色系統(tǒng)的因素由不明確到明確，由知之甚少發(fā)展到知之較多提供研究基礎(chǔ)?；疑到y(tǒng)理論是控制論的觀點(diǎn)和方法延伸到社會、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的產(chǎn)物，也是自動控制科學(xué)與運(yùn)籌學(xué)數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的結(jié)果。2.1 灰色模型概述n如果一個(gè)系統(tǒng)具有層次、結(jié)構(gòu)關(guān)系的模糊性，動態(tài)變化的隨機(jī)性，指標(biāo)數(shù)據(jù)的不完備或不確定性，則稱這些特為灰色性。具有灰色性的系

22、統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)。在灰色系統(tǒng)理論中，利用較少的或不確切的表示灰色系統(tǒng)行為特征的原始數(shù)據(jù)序列作生成變換后建立的，用以描述灰色系統(tǒng)內(nèi)部事物連續(xù)變化過程的模型，稱為灰色模型，簡稱GM模型模型2.2 GM（1,1）模型n2.2.1GM（1,1）建立n灰色系統(tǒng)理論的實(shí)質(zhì)是將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行累加生成，得到規(guī)律性較強(qiáng)的生成數(shù)列后再重新建模。由生成模型得到的數(shù)據(jù)再通過累加生成的逆運(yùn)算累減生成得到還原模型，再還原模型作為預(yù)測模型?；疑Ｐ褪穷A(yù)測工作的基礎(chǔ)模型。2.2.1GM（1,1）建立n記 為原始序列n 為由 經(jīng)過一次累加生成的序列，其中 ， n 表示 的均值生成序列， )(),2(),1 ()0(

23、)0()0()0(nxxxx)(),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(xkiixkx1)0()1()()(nk, 2 , 1)(),2(),1 ()1 ()1 ()1 ()1 (nzzzz)1(x)() 1(21)()1()1()1(kxkxkznk, 3 , 22.2.1GM（1,1）建立n命題1： 序列 的GM（1,1）模型定義為則參數(shù) 的表達(dá)式為 )0(xbkazkx)()()1()0(nk, 3 , 2ba,1()TTaB BB Yb (1)(1)(1)(2)1(3)1( )1zzBzn(0)(0)(0)(2)(3)( )xxYxn2.2.2新息改進(jìn)GM（1,1）模

24、型n設(shè) ，其參數(shù) 為的GM（1,1）模型如上n 為系統(tǒng)最新信息，由于它與預(yù)測時(shí)間最為接近，因而對系統(tǒng)特征的研究更具價(jià)值，記 ，由建立的GM（1,1）模型稱為新息GM（1,1）模型。n該模型的邊界條件為 )1(),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxxba,)() 0(nx)()0()0()0(1nxxx) 1 () 1 () 1 ()0()1()1(xxx2.2.2新息改進(jìn)GM（1,1）模型n若將含系統(tǒng)最新信息的條件作為邊界條件，即 ，得到如下模型 n定義2.1： 稱為新息改進(jìn)GM（1,1）模型。)()()1()1(nxnx)()()()()1 ()1 (1)1 (1)0(nxnxb

25、kzakxnk3 , 22.2.2新息改進(jìn)GM（1,1）模型n命題2： 新息改進(jìn)GM（1,1）模型的參數(shù)估計(jì)為nkkznkxDa2)1(1)0(11)() 1()(1nkkzkxDb21)1(1)0(11)()(122)1(1)(nkkznkkz2)1(1)(2111) 1( nD2.2.3灰色模型的建模步驟n（1）級比檢驗(yàn)、建模可行性分析。n對給定序列 ，能否建立高精度的GM（1,1）模型，一般可用 的級比 的大小與所屬區(qū)間來判斷。n設(shè) ， ，若 ，則可GM（1,1）建模。 (0)x(0)x0( )k)(),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx0(0)(0)( )(1)( )kx

26、kxk22011( ),nnkee2.2.3灰色模型的建模步驟n（2）數(shù)據(jù)變換處理。對級比檢驗(yàn)不合格的序列，經(jīng)過平移變換、對數(shù)變換、方根變換等進(jìn)行變換。n（3）建立GM（1,1）模型n（4）模型檢驗(yàn)。n1）殘差檢驗(yàn)： 為由模型得到的估計(jì)值(0)( )xk(0)(0)(0)( )( )( )100%( )xkxkkxk（4）模型檢驗(yàn)n一般要求 ，最好 ；一般要求 ，最好 。n2）后驗(yàn)差檢驗(yàn)：設(shè) 為原始序列， 為模型序列， 為殘差序列， 的均值和方差分別0(1() 100%pavg( )20%k( )10%k080%p 090%p (0)x(0) x(0)(0)(0)( )( )( ),q kxk

27、xk q(0)x(0)2(0)211111( ),( )nnkkxxkSxkxnn（4）模型檢驗(yàn)n 的均值和方差分別為n后驗(yàn)差比值和小誤差頻率分別為，n（5）預(yù)報(bào)(0)q2221111( ),( ( ) ,nnkkqq kSq kqnnnn21SCS1 ( )0.6745 PP q kqS的均值和方差分別為，2.2.5實(shí)例n1.GM（1.1）模型n某城市道路交通噪聲平均級數(shù)數(shù)據(jù)為 （71.1，72.4，72.4，72.1，71.4，72.0，71.6）（1）求級比：)0(x0(0)(0)( )(1)( )kxkxk0(0.9820,1.0000,1.0042,1.0098,0.9917,1.0

28、059)1.GM（1.1）模型n所有 ，可作GM（1,1）建模n（2）對原始數(shù)據(jù)作一次累加0( )0.7788,1.2840k(1)(0)(1)(1)71.1xx(1)(1)(0)(2)(1)(2)143.5xxx(1)(1)(0)(3)(2)(3)215.9xxx(1)(1)(0)(4)(3)(4)288xxx(1)(1)(0)(5)(4)(5)359.4xxx(1)(1)(0)(6)(5)(6)431.4xxx(1)(1)(0)(7)(6)(7)503xxx1.GM（1.1）模型n構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣,B Y(1)(1)(1)1(2)(1)(2)107.32zxx(1)(1)(1)1(3)(2)(

29、3)179.72zxx(1)(1)(1)1(4)(3)(4)251.952zxx(1)(1)(1)1(5)(4)(5)323.72zxx(1)(1)(1)1(6)(5)(6)394.42zxx(1)(1)(1)1(7)(6)(7)467.22zxx1.GM（1.1）模型107.31179.71251.951323.71359.41467.21B72.472.472.171.472.071.6Y172.6572696()0.00234379TTaB BB Yb 1.GM（1.1）模型n（3）建立模型n白化方程為n取 ，n得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)(0)(1)( )0.00234379( )72.6572696xkzk(1)(1)0.0023437972.6572696dxxdt(1)(0)(0)(1)71.4xx1.GM（1.1）模型(1)(1)xk (1)(0)akbbxeaa0.00234379ke=-30928.85259 +30999.95259 （4）求生成序列 及模型還原值令， ,6，由上面的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)計(jì)算 ，取 (1)(1)xk (0)(1)xk 5 , 4 , 3 , 2 , 1k(1) x(1)(0)(0)(1)(1)(1)71.4xxx1.GM（1.1）模型n由 ，取 ，7，得（5）模型檢驗(yàn)見表5表5 GM（1,1）模型檢驗(yàn)表(0