第4章流體動(dòng)力學(xué)基本定理_4,5

1、4.4 動(dòng)量方程、動(dòng)量矩方程及其應(yīng)用動(dòng)量方程、動(dòng)量矩方程及其應(yīng)用 4.4.1 動(dòng)量方程動(dòng)量方程 時(shí)刻時(shí)刻t，任取一流體系統(tǒng)，體積，任取一流體系統(tǒng)，體積V(t)、邊界面邊界面S(t)，外法向量，外法向量n 。VSnP系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)量的變化率等于作用在系統(tǒng)上的合外力系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)量的變化率等于作用在系統(tǒng)上的合外力( ( ）。）。 Fa mBernoulli方程：方程： 速度分布速度分布 動(dòng)量變化動(dòng)量變化 。 )(tVdVv)()(tSntVdSdVpfP系統(tǒng)內(nèi)流體動(dòng)量系統(tǒng)內(nèi)流體動(dòng)量: : 系統(tǒng)所受合外力：系統(tǒng)所受合外力： SnVSdSdVdspfnvv)(zsnysnxsnPdswvPvdsvPudsv動(dòng)量方

2、程反映了物體與動(dòng)量方程反映了物體與流體間的相互作用，是流體間的相互作用，是積分形式的方程，對理積分形式的方程，對理想和粘性流體都適用。想和粘性流體都適用。 CV內(nèi)流體動(dòng)量的變化與單位時(shí)間內(nèi)（凈）流出內(nèi)流體動(dòng)量的變化與單位時(shí)間內(nèi)（凈）流出CS的動(dòng)量之和等于的動(dòng)量之和等于外界作用在外界作用在CV和和CS上的合力。上的合力。 VSnPPv)(tVdVDtDSnVSVdSdVdSdVtpfnvvv)(SnVSdSdVdspfnvv)(（1 1）壁面無摩擦（理想流體）：）壁面無摩擦（理想流體）：（2 2）忽略質(zhì)量力：）忽略質(zhì)量力：f = 0; ;（3 3）進(jìn)出口流動(dòng)均勻）進(jìn)出口流動(dòng)均勻: : V=con

3、st. .nppn4.4.1 動(dòng)量方程動(dòng)量方程4.4.2 動(dòng)量矩方程動(dòng)量矩方程cv內(nèi)關(guān)于某一點(diǎn)動(dòng)量矩的變化率與單位時(shí)間內(nèi)流內(nèi)關(guān)于某一點(diǎn)動(dòng)量矩的變化率與單位時(shí)間內(nèi)流出出cs的動(dòng)量矩之和等于外界作用在的動(dòng)量矩之和等于外界作用在cv上的力關(guān)于同一點(diǎn)的矩上的力關(guān)于同一點(diǎn)的矩: : MnvvrvrdsdVtSV)()()(SnvdsdV)()(prfrM外力矩：外力矩： SnvSdsdVds)()()()(prfrnvvr 流出動(dòng)量矩流出動(dòng)量矩CS 流入動(dòng)量矩流入動(dòng)量矩CS = 合外力矩合外力矩CV+CS zSnySnxSnMdsvyuxvMdsvxwzuMdsvzvyw直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中: :

4、方程方程1 1、建立相應(yīng)的坐標(biāo)系、建立相應(yīng)的坐標(biāo)系2 2、選取合適的控制面（控制體）：、選取合適的控制面（控制體）： 1 1）邊界面或流面）邊界面或流面 2 2）速度及壓強(qiáng)分布已知的面）速度及壓強(qiáng)分布已知的面 3 3、根據(jù)相應(yīng)問題及動(dòng)量、根據(jù)相應(yīng)問題及動(dòng)量( (矩矩) )定理：定理：動(dòng)量（矩）的變化率動(dòng)量（矩）的變化率= = 外力（矩外力（矩) )，按以下方式直接寫出表達(dá)式：，按以下方式直接寫出表達(dá)式： Q Q以流出為正以流出為正, ,流進(jìn)為負(fù)流進(jìn)為負(fù), ,速度外力速度外力v,F v,F 等與坐標(biāo)軸方向等與坐標(biāo)軸方向 為準(zhǔn)為準(zhǔn), ,求力矩時(shí)求力矩時(shí), ,將將v v對矩心取矩對矩心取矩, ,其方

5、向代表動(dòng)量矩方向其方向代表動(dòng)量矩方向具體應(yīng)用動(dòng)量（矩）方程的步驟具體應(yīng)用動(dòng)量（矩）方程的步驟SnVSdSdVdspfnvv)(例例1 1如圖所示，不可壓流體定常流過彎管，截如圖所示，不可壓流體定常流過彎管，截面各為面各為 ，求流體作用于彎管上的力，求流體作用于彎管上的力 ，已知進(jìn)出口截面流面流動(dòng)均勻，忽略質(zhì)量力，已知進(jìn)出口截面流面流動(dòng)均勻，忽略質(zhì)量力，且已知且已知 及出口截面方向及出口截面方向。2, 1AAR1211p,A,A,v A1V1P1A2n2n1SnVSdSdVdspfnvv)(圖4.3.6 孔口出流ABhp0 p0孔口孔口 Find: 液箱受到的反推力液箱受到的反推力Given：大

6、容器小孔口，液面大容器小孔口，液面高度高度 h 。大氣中二元流沖擊平板Given：b0、V0，a，p0，不計(jì)粘性。，不計(jì)粘性。Find：流體對平板的作用力。流體對平板的作用力。SnVSdSdVdspfnvv)(（4 4）BernoulliBernoulli方程：方程： （5 5）連續(xù)方程：）連續(xù)方程： 221100bVbVbV210bbb210VVVnppnPbVVbVVbVVbVV00000022211)sin)(00)cos)()(（1 1）取坐標(biāo)系）取坐標(biāo)系oxyoxy及控制體：端面足夠遠(yuǎn)；及控制體：端面足夠遠(yuǎn)；（2 2）設(shè)）設(shè)P為流體對平板的沖擊力方向如圖；為流體對平板的沖擊力方向如圖

7、；（3 3）列動(dòng)量方程）列動(dòng)量方程( (表壓力表壓力) )： 0V1V2V1b2b0bePyxo02010202cos12cos1sinbbbbbVP0V1V2V1b2b0bePyxoPeVbVbVbVb2222111122ctgbe20（“”表示表示 f 在在 x 軸軸正正方向）方向） （6 6）求沖擊力）求沖擊力P 的的作用點(diǎn)作用點(diǎn) f 的位置的位置 e ： 對坐標(biāo)原點(diǎn)對坐標(biāo)原點(diǎn) o 取矩：取矩： 圖中葉片以勻速圖中葉片以勻速ve沿沿x方向運(yùn)動(dòng)，截面積方向運(yùn)動(dòng)，截面積 為為A0的一的一股水流沿葉片切線方向射入葉片，并沿葉片流動(dòng)，最后從葉片股水流沿葉片切線方向射入葉片，并沿葉片流動(dòng)，最后從葉

8、片出口處流出。設(shè)水流經(jīng)過葉片時(shí)截面積不變，因而流速的大小出口處流出。設(shè)水流經(jīng)過葉片時(shí)截面積不變，因而流速的大小不變不變 （等于（等于vr), 只是方向改變。已知只是方向改變。已知A0 =0.001， v0 = 120m/s， ve = 60m/s出口速度方向與水平線夾角出口速度方向與水平線夾角 =100。求水流對葉片的。求水流對葉片的反作用力以及對葉片所做的功率反作用力以及對葉片所做的功率。例例4A0 v0ve解yxovrA0 vrve取如圖所示的坐取如圖所示的坐標(biāo)系和控制體，標(biāo)系和控制體，并假定受力方向并假定受力方向均沿坐標(biāo)軸正向均沿坐標(biāo)軸正向沿沿x和和y分別列出分別列出動(dòng)量方程動(dòng)量方程)(

9、0ervvvNvAvvAvFrrrrx7146)cos)()(00NvAvAvFrrry625)sin)()0)(00kW76.428607146exvFP例例5 5、明渠水流經(jīng)閘門流動(dòng)如圖所示明渠水流經(jīng)閘門流動(dòng)如圖所示, ,假定流體是理想的假定流體是理想的, ,流動(dòng)是平面定常的流動(dòng)是平面定常的,1-1,1-1和和2-22-2截面上流速均勻截面上流速均勻, ,壓力分布壓力分布與靜水情況相同。如已知求單位寬度閘門上所受到的力。與靜水情況相同。如已知求單位寬度閘門上所受到的力。 H1H2作業(yè)n4-3,4,54.5.1 開爾文（開爾文（Kelvin）定理）定理旋渦強(qiáng)度的保持性定理旋渦強(qiáng)度的保持性定理

10、流體線：流體線：由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的線。由確定的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的線。 如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則沿封閉流體線的速度環(huán)量如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則沿封閉流體線的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化。又稱為不隨時(shí)間變化。又稱為Thomson定理。定理。0DtD 可證得可證得 UpDtDfv 若理想流體、正壓、質(zhì)量力有勢若理想流體、正壓、質(zhì)量力有勢(Kelvin condition)：llDtDDtDlvlvdd速度環(huán)量導(dǎo)數(shù)速度環(huán)量導(dǎo)數(shù)加速度環(huán)量加速度環(huán)量0)d(d)(llUUDtDlKelvinKelvin定理的幾個(gè)推論：定理的幾個(gè)推論：4.5.2 Lagrange 定理定理 - 渦量保持性（

11、不生不滅）定理渦量保持性（不生不滅）定理定理定理2：如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，若某一時(shí)刻流如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，若某一時(shí)刻流 場無旋，則以后的流動(dòng)始終無旋。場無旋，則以后的流動(dòng)始終無旋。(1) 粘性：粘性：均勻流體經(jīng)過物體邊界層時(shí)運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛行?；均勻流體經(jīng)過物體邊界層時(shí)運(yùn)動(dòng)變?yōu)橛行?2) 非正壓流場：非正壓流場：大氣和海洋中的密度分層形成旋渦；大氣和海洋中的密度分層形成旋渦；(3) 非有勢力場：非有勢力場：地球哥氏力使氣流生成旋渦（旋風(fēng)）；地球哥氏力使氣流生成旋渦（旋風(fēng)）；(4) 流場的間斷（非連續(xù)）：流場的間斷（非連續(xù)）：曲面激波后形成有旋流動(dòng)。曲面激波后形成有旋流動(dòng)。旋旋

12、渦渦 產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因4.5.3 Helmholtz定理定理 - 渦線和渦管保持定理渦線和渦管保持定理定理定理3 如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則組成渦線的如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則組成渦線的流體質(zhì)點(diǎn)永遠(yuǎn)組成此渦線。流體質(zhì)點(diǎn)永遠(yuǎn)組成此渦線。定理定理4 如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則組成渦管的如果流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，則組成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)始終組成此渦管，且渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)始終組成此渦管，且渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)間而變。間而變。 綜上所述，綜上所述，Kelvin、Lagrange及及Helmholtz定理全面地定理全面地描述了理想正壓流體在有勢場中運(yùn)動(dòng)時(shí)渦量演化的規(guī)律：描述了

13、理想正壓流體在有勢場中運(yùn)動(dòng)時(shí)渦量演化的規(guī)律：若流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，無旋運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)無旋，若流體理想、正壓、質(zhì)量力有勢，無旋運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)無旋，有旋運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)有旋；渦線、渦面、渦管及渦管強(qiáng)度具有有旋運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)有旋；渦線、渦面、渦管及渦管強(qiáng)度具有保持性。若不滿足保持性。若不滿足Kelvin任一條件，則運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)任一條件，則運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)產(chǎn)生新的旋渦，無旋變成有旋生新的旋渦，無旋變成有旋,不具備保持性。不具備保持性。bae_146wingbound vortextrailing vortextrailing vortexVkelvin_helm_rollupSir William Thompson (L

14、ord Kelvin), born in Belfast, Contributed significantly to the field of hydrodynamics as is evidenced by his 661 papers and 56 patents. When 11 years old, he entered the the University of Glasgow, leaving in 1841 to enter Perterhouse, Cambridge University, to further his education. To meet Biot in P

15、aris. In 1846 he became Professor of Natural Philosophy at Glasgow, a post he held for 53 years. Contributions: Long waves, heat conduction, thermodynamics, submarine cables. Philosophy: “There cannot be a greater mistake than that of looking superciliously upon practical applications of science”. B

16、uried: in Westminster Abbey. 4.5.4 BiotSavart定理定理 渦線的誘導(dǎo)速度渦線的誘導(dǎo)速度電流電流在磁場中會(huì)誘導(dǎo)磁場強(qiáng)度在磁場中會(huì)誘導(dǎo)磁場強(qiáng)度 旋渦旋渦在流場中會(huì)誘導(dǎo)流體速度。在流場中會(huì)誘導(dǎo)流體速度。 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系：水電比擬水電比擬 物理現(xiàn)象不同，但滿足相同的數(shù)學(xué)方程，其數(shù)學(xué)解相同。物理現(xiàn)象不同，但滿足相同的數(shù)學(xué)方程，其數(shù)學(xué)解相同。電磁場電磁場 流場流場 方程方程 磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度 H v 流體速度流體速度 磁場勢磁場勢 V 速度勢速度勢 電流面密度電流面密度 渦量渦量 電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度 i 速度環(huán)量速度環(huán)量 vHvHV000022VvHlSlSdsd

17、dsdinlvnlH電流誘導(dǎo)磁場強(qiáng)度電流誘導(dǎo)磁場強(qiáng)度3d4drirlH3d4drrlvdsin4)sin/d(sin4sind4d23Rrrrrlv旋渦誘導(dǎo)流體速度旋渦誘導(dǎo)流體速度vdMl dL iHdr4.5.4 BiotSavart定理定理 渦線的誘導(dǎo)速度渦線的誘導(dǎo)速度12dsin4sind42RrlVL12coscos4RV直渦線直渦線L在在M點(diǎn)處誘導(dǎo)速度的點(diǎn)處誘導(dǎo)速度的大小大小誘導(dǎo)速度誘導(dǎo)速度方向方向指向紙里。指向紙里。Ll dMR12dr4.5.4 BiotSavart定理定理 渦線的誘導(dǎo)速度渦線的誘導(dǎo)速度一般記憶方式采取兩內(nèi)角一般記憶方式采取兩內(nèi)角余弦之和。余弦之和。)cos(cosR4v21半無限長直渦線，半無限長直渦線， 2 2 0 0 ， 1 1 / / 2 ： 無限長直渦線無限長直渦線， 2 2 0 0 ， 1 1 0： 平面點(diǎn)渦誘導(dǎo)速度場平面點(diǎn)渦誘導(dǎo)速度場：rvvr20 ，RV2RV4vMR4.5.4 BiotSavart定理定理 渦線