第6章力系的簡(jiǎn)化

1、16.1 力的平移定理力的平移定理6.2 一般力系向某點(diǎn)的簡(jiǎn)化一般力系向某點(diǎn)的簡(jiǎn)化6.3 一般力系的最簡(jiǎn)形式一般力系的最簡(jiǎn)形式6.4 特殊力系的簡(jiǎn)化特殊力系的簡(jiǎn)化 6.4.1 平面力系的簡(jiǎn)化平面力系的簡(jiǎn)化6.4.2 平行力系的簡(jiǎn)化平行力系的簡(jiǎn)化作業(yè)作業(yè) 6.1 6.3 6.5 6.104學(xué)時(shí)2在工程實(shí)際中，一個(gè)剛體的受力往往是比較復(fù)雜復(fù)雜的，為了便于了解力系對(duì)剛體總的作用效應(yīng)，常常要用一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的與之等效等效的力系進(jìn)行替換，稱(chēng)為力系的簡(jiǎn)化力系的簡(jiǎn)化。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容學(xué)習(xí)本章的意義學(xué)習(xí)本章的意義力系的簡(jiǎn)化在研究剛體在力系作用下的平衡條件平衡條件或運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律規(guī)律時(shí)具有十分重要的意義。3

2、6.1 力的平移定理力的平移定理問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出：作用于同一剛體上的力力是一個(gè)滑移矢量；作用于同一剛體上的力偶的力偶矩力偶矩是一個(gè)自由矢量自由矢量；力偶矩矢量可以在同一剛體內(nèi)作任意的平移，都不會(huì)影響力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)。那么，力矢量能否隨意地平移呢？若不能，則需要附加什么條件，才能保證力矢量平移后對(duì)剛體的作用效應(yīng)保持不保證力矢量平移后對(duì)剛體的作用效應(yīng)保持不變變呢？下面就來(lái)研究這一問(wèn)題。4FAFA1F2FOA1FMOFFF21FOAFFM2,力偶力的平移定理力的平移定理若將作用于剛體上的力若將作用于剛體上的力 平移至同一剛體上不在力平移至同一剛體上不在力 的作用線上的其他的作用線上的其他點(diǎn)

3、，則必須增加一個(gè)附加力偶，其力偶矩點(diǎn)，則必須增加一個(gè)附加力偶，其力偶矩 等于原力等于原力 對(duì)平移點(diǎn)之矩對(duì)平移點(diǎn)之矩，這樣才能保證對(duì)剛體的作用效應(yīng)相同。FFMF或者說(shuō)，原來(lái)作用于點(diǎn)A的力 可以分解為作用于同一剛體上點(diǎn)O的一個(gè)力和作用于這個(gè)剛體上的一個(gè)力偶，而且作用于點(diǎn)O的這個(gè)力的力矢與原作用于點(diǎn)A的力的力矢相等，作用于剛體上的這個(gè)力偶的力偶矩等于原力對(duì)點(diǎn)O的矩。F顯然，這個(gè)力偶的力偶矩垂直于由點(diǎn)O與原力 的作用線所作出的平面。F5力的平移定理的逆定理力的平移定理的逆定理當(dāng)作用于剛體上某點(diǎn)O的某個(gè)力 與作用于同一剛體的某個(gè)力偶的力偶矩 垂直時(shí)，該力和力偶可以合成為一個(gè)力 。1FMF 的力矢與 相同

4、，其作用線需將 的作用線平移，平移的垂直方向?yàn)镕1F1FMF1平移的垂直方向?yàn)槠揭频拇怪本嚯x為1FM即力 和力偶矩為 的力偶可以合成為一個(gè)作用線過(guò)點(diǎn)B，其大小和方向與 相同的合力 ，且1FM1FF211FMFOB1FMO1FMOB211FMFOBF1FM6力螺旋的概念力螺旋的概念FM/方向一致0MF方向一致0MF右手力螺旋左手力螺旋FMFM7niiOMM1 iniOFM1niiOFF1niiF1RF iOiFMMiiFOD6.2 一般力系向某點(diǎn)的簡(jiǎn)化一般力系向某點(diǎn)的簡(jiǎn)化一般力系向某點(diǎn)簡(jiǎn)化一般力系向某點(diǎn)簡(jiǎn)化作用于同一剛體上點(diǎn) 上iFiD), 2 , 1(ni點(diǎn)O為剛體上任一確定點(diǎn)，根據(jù)力的平移定

5、理力的平移定理，將力系中各力均向點(diǎn)O平移，得到共點(diǎn)力系iF)(iiFF作用于點(diǎn)O力偶系(6.1)(6.2)結(jié)論：一般力系可簡(jiǎn)化為過(guò)點(diǎn)一般力系可簡(jiǎn)化為過(guò)點(diǎn)O的一個(gè)力的一個(gè)力 和力偶矩為和力偶矩為 的一個(gè)力偶。的一個(gè)力偶。OFOMRFFO力系的主矢的力矢 的主矩力系對(duì)點(diǎn)的大小和方向OMO通常，稱(chēng)點(diǎn)O為力系的簡(jiǎn)化中心力系的簡(jiǎn)化中心，而將以上過(guò)程稱(chēng)為一般力系向一般力系向點(diǎn)點(diǎn)O的簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)化。), 2 , 1(ni), 2 , 1(ni8RFniiOFF1) 1 . 6(力系的第一不變量力系的第一不變量將一般力系分別向剛體上任意的不同的兩個(gè)確定的點(diǎn)任意的不同的兩個(gè)確定的點(diǎn)O、A簡(jiǎn)化，得到niiAFF1(6

6、.3)上式表明： 力系的主矢主矢 與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)，稱(chēng)為力系的第一不變量力系的第一不變量。RF力系的第二不變量力系的第二不變量將一般力系分別向剛體上任意的不同的兩個(gè)確定的點(diǎn)任意的不同的兩個(gè)確定的點(diǎn)O、A簡(jiǎn)化，得到niiOMM1)2 . 6( iniAAFMM1(6.4)R)20. 5(FAOMMOA(6.5)由力系對(duì)不同兩點(diǎn)的主矩關(guān)系知RF iniOFM19則OAMFMFRR(6.6)(RR)5 . 6(RFAOMFMFOA)(RRRFAOFMFO)(RRFAOF0)(RRFAOF上式表明： 力系的主矢主矢 與主矩主矩 的點(diǎn)積 是不隨簡(jiǎn)化中心的不不隨簡(jiǎn)化中心的不同而改變的同而改變的（此時(shí)主矩的矩

7、心一般不寫(xiě)），將 稱(chēng)為力力系的第二不變量系的第二不變量。RFMMFRMFR10固定端約束的約束力的表示方法固定端約束的約束力的表示方法作為一般力系向某點(diǎn)簡(jiǎn)化理論的應(yīng)用，可以說(shuō)明固定端約束的約束力的表示方法。當(dāng)物體的一端受到另一物體的固結(jié)作用，不允許它們?cè)诩s束處發(fā)生任何相對(duì)平移和轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，稱(chēng)這種約束為固定端約束固定端約束。(a)(b)(c)AAFAM(d)AxyzAxMAxFAyMAyFAzFAzM11平面一般力系A(chǔ)AMAxFAyF懸臂梁懸臂梁若物體的一端不受其他物體的任何約束，則稱(chēng)該端為自由端自由端。在工程實(shí)際中，將一端為固定端，另一端為自由端的梁（會(huì)發(fā)生彎曲變形的桿件）稱(chēng)為懸臂梁懸臂梁。平面固

8、定端約束126.3 一般力系的最簡(jiǎn)形式一般力系的最簡(jiǎn)形式空間一般力系向任一點(diǎn)空間一般力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化：簡(jiǎn)化：空間一般力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。力的作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心，其RF力系的主矢力矢 力偶的力偶矩與該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，即OM力偶的力偶矩和 的不同情況可分為以下幾種情形：RFOM(1) 平衡力系：平衡力系：力系為零力系，即平衡力系；0RF0OM(2) 合力偶：合力偶：0RF0OM力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶合力偶，其力偶矩為 ；OM(3) 合力：合力：0RF0OM力系可簡(jiǎn)化為一個(gè)過(guò)簡(jiǎn)化中心的合力 ，其力矢與力系主矢 相同；OFRF130ROMFOMFR作用線過(guò)點(diǎn)B2RRFMFOBO

9、力矢與力系主矢 相同的合力。RF力系的第二不變量(4) 有兩種情況：有兩種情況：0OM0RF力系可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為“合力”：建立直角坐標(biāo)系Oxyz， 設(shè) 為作用線任一點(diǎn)，zyxP,則合力作用線方程為BBBxzzFyyFxxFRzRyR(6.7)或由 得到RFOPMOxyOzzxOyyzOxyFxFMxFzFMzFyFMRRRRRR(6.8)14當(dāng) 與 反向，即 OFOM力系的第二不變量0ROMF此時(shí)又分為兩種情況此時(shí)力系不能進(jìn)一步簡(jiǎn)化了。(a) OMF/R力螺旋力螺旋該力系由一個(gè)力和在與該力垂直平面內(nèi)的一個(gè)力偶所組成，通常稱(chēng)之為力螺旋力螺旋。右手力螺旋：0OOMF當(dāng) 與 同向，即 OFOM(a)O

10、FOOM(b)OFOOM左手力螺旋：0OOMF力螺旋中力的作用線稱(chēng)為力螺旋的中心軸力螺旋的中心軸。不難證明，力螺旋可以與兩個(gè)大小相等的異面力等效。力螺旋的舉例：在工程實(shí)際中的力螺旋有許多應(yīng)用，手?jǐn)Q螺釘，右手螺旋；飛機(jī)螺旋槳，左手螺旋。15(a)2M2F1M1F(b) 與 不平行：RFOM（沿主矢 方向的分量）RF（垂直于 方向的分量）RF設(shè)RFpMO 的量綱為長(zhǎng)度，且 ，稱(chēng) 為力螺旋參數(shù)力螺旋參數(shù)。pp2RRFMFpO力螺旋參數(shù)力螺旋參數(shù)是一個(gè)完全由力系的第一不變量和第二不變量確定的量，稱(chēng)為力系的第三不變量力系的第三不變量。OM分解OMOM OOOMMM (b)FM162RRFMFOBO 顯然

11、， 和過(guò)點(diǎn)O的一個(gè)力 （ ）可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為作用線過(guò)點(diǎn)B的一個(gè)力 ，其力矢與 相同，OM OFRFBFRF于是，力系簡(jiǎn)化為由力力系簡(jiǎn)化為由力 與力偶矩為與力偶矩為 的力偶組成的力螺旋的力偶組成的力螺旋。BFOM建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則該力螺旋的中心軸設(shè) 為其上任一點(diǎn)方程為zyxP,BBBxzzFyyFxxFRzRyR(6.9)或由 ，而 得到RFpMPRFOPMMOP)()()(RRRRRRRRRxyOzzzxOyyyzOxxyFxFMFxFzFMFzFyFMF(6.10)2RR)(FMMFOO2RR2RRFMFFMFOO2RRFMFO17空間一般力系的最簡(jiǎn)形式：空間一般力系的最簡(jiǎn)形式：綜上所

12、述，可歸納如下：一般力系的簡(jiǎn)化的最簡(jiǎn)形式0000000000000RF主矢OM主矩OMFR第二不變量力系最簡(jiǎn)形式平衡合力偶合力合力力螺旋表明： 和 完全確定了力系簡(jiǎn)化的最簡(jiǎn)形式，它們是力系的兩個(gè)極其重要的特征量。RFOM合力偶合力平衡力系第二不變量0ROMF力螺旋第二不變量0ROMF18一般力系的合力矩定理一般力系的合力矩定理假設(shè)某個(gè)一般力系可合成為一個(gè)合力 ，其作用線通過(guò)點(diǎn)C，F(xiàn)根據(jù)力系的簡(jiǎn)化理論01 niiiCFrM(6.11)OCrCiririFiDF(6.12)iCirrr niiOOFMM1niiiFr1(6.13)niiiCFrr112. 6）（ niiiiCFrFr1niiCFr

13、1)11. 6(niiCFr1(6.14) FrFMCOniiCFr1(6.15) niiOOFMFM1(6.16)19若一個(gè)一般力系存在合力，則其合力對(duì)任一點(diǎn)的矩等于此力系各分力對(duì)該點(diǎn)的矩的矢量和。存在合力的一般力系，其合力對(duì)某軸的矩等于此力系各分力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。上式表明：上式表明：以上性質(zhì)稱(chēng)為一般力系的合力矩定理一般力系的合力矩定理。206.4 特殊力系的簡(jiǎn)化特殊力系的簡(jiǎn)化平面力系平面力系平面力系是各力作用線均在同一平面內(nèi)的力系。平行力系平行力系平行力系是各力作用線均平行的力系?？臻g平行力系空間平行力系平面平行力系平面平行力系6.4.1 平面力系的簡(jiǎn)化平面力系的簡(jiǎn)化平面力系向其作用面

14、內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化的結(jié)果，取決于平面力系的簡(jiǎn)化是一般力系的簡(jiǎn)化的一種特殊情況。（必在平面力系的作用面內(nèi)）（必垂直于平面力系的作用面） 力系的對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩niiOOFMM1)(力系的主矢niiFF1ROMFR平面力系的第二不變量0ROMF這說(shuō)明平面力系簡(jiǎn)化的最簡(jiǎn)形式只有平衡平衡，合力偶合力偶和合力合力三種情形。21平面力系的合力作用線：平面力系的合力作用線：當(dāng)平面力系的第一不變量 時(shí)，0RF力系存在合力的非平衡情形。合力的力矢RFF合力的作用線可用如下方法求得合力的作用線可用如下方法求得：(1) 平面力矩)(iOFM(2) 平面力矩的轉(zhuǎn)向規(guī)定根據(jù)右手螺旋法則，若規(guī)定某一轉(zhuǎn)向所對(duì)應(yīng)的方向?yàn)槠矫媪?/p>

15、矩的正方向，平面力系中各力對(duì)點(diǎn)O的矩 恒垂直于平面力系的作用平面，稱(chēng)它們?yōu)槠矫媪仄矫媪亍?, 2 , 1(ni)(iOFM則 對(duì)點(diǎn)O的矩用一個(gè)代數(shù)量 來(lái)表示，)(iOFMiF大小為)(iOFM”“表示其轉(zhuǎn)向與規(guī)定的正轉(zhuǎn)向一致；”“表示其轉(zhuǎn)向與規(guī)定的正轉(zhuǎn)向相反。轉(zhuǎn)向?yàn)橛谑?niiOOFMM122且使由 至 的轉(zhuǎn)向與平面力矩所規(guī)定的正轉(zhuǎn)向一致，若在平面力系的作用面內(nèi)以簡(jiǎn)化中心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy，ijxyOyFxFMRR(6.17)(3) 平面力系的合力作用線方程則合力作用線方程為236.4.2 平行力系的簡(jiǎn)化平行力系的簡(jiǎn)化平行力系：平行力系：力系各力作用線都相互平行的力系為平行力系。平行

16、力系的簡(jiǎn)化是一般力系簡(jiǎn)化的另一種特殊情形。平行力系的最簡(jiǎn)形式平行力系的最簡(jiǎn)形式平行力系的主矢平行力系對(duì)空間任一確定點(diǎn)O的主矩niiFF1R(6.18)niiOOFMM1)(6.19)(iOiFMFjiFF/)(RiOFMF0)(RiOFMF(6.20)0ROMF(6.21)上式表明： 平行力系的第二不變量為零，平行力系的最簡(jiǎn)形式平行力系的最簡(jiǎn)形式只有平衡平衡、合力偶合力偶和合力合力三種情形。24平行力系的簡(jiǎn)化與平行力系的中心平行力系的簡(jiǎn)化與平行力系的中心(1) 平行力系的合力平行力系的合力(2) 平行力系的合力矩平行力系的合力矩當(dāng)平行力系的主矢 時(shí)，0RFRFF該力系必存在合力，合力的力矢Oi

17、DCiCDirCriFRF平行力系各力作用點(diǎn) 相對(duì)于點(diǎn)O的矢徑；iriD平行力系合力作用線上任意一點(diǎn)C 相對(duì)于點(diǎn)O的矢徑，Cr根據(jù)平行力系的合力對(duì)其作用線上的點(diǎn)平行力系的合力對(duì)其作用線上的點(diǎn)C的矩為零的矩為零及由力系的等效性質(zhì)力系的等效性質(zhì)知，平行力系的合力的矩等于各分力的矩的矢量和，有niiCFCDM1niiCiFrr10(6.22)0)(R1FMMFrMOOniiCO25(3) 平行力系的中心平行力系的中心若取力作用線的某一指向?yàn)檎颍鋯挝皇噶繛?，則eeFFii), 2 , 1(ni(6.23)將上式代入式(6.22)得到011erFrFCniiniii(6.24)當(dāng)平行力系的各力大小

18、和作用點(diǎn)保持不變，但各力的作用線繞同向軸轉(zhuǎn)過(guò)任意相同的角度后（體現(xiàn)在 方向的任意性上），由式(6.24)可確定一個(gè)唯一的固定不變的點(diǎn)C，滿(mǎn)足eniiniiiCFrFr11(6.25)這個(gè)固定不變的點(diǎn)C稱(chēng)為平行力系的中心平行力系的中心。平行力系的中心相對(duì)平行力系的中心相對(duì)于點(diǎn)于點(diǎn)O的矢徑公式的矢徑公式26(4) 平行力系的中心的坐標(biāo)公式平行力系的中心的坐標(biāo)公式(5) 結(jié)論結(jié)論若在點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)系Oxyz，則平行力系的中心的坐標(biāo)公式為kzjyixrCCCC),(CCCzyxC),(iiiizyxDkzjyixriiiiniiniiiCFxFx11niiniiiCFyFy11niiniiiCFzF

19、z11(6.26)只要求得平行力系的中心位置平行力系的中心位置，則平行力系的合力作用線的位置平行力系的合力作用線的位置也就確定了?？傊?，若平行力系的主矢 ，則平行力系存在合力，且合力必過(guò)平行力系的中心，其力矢與 相同。0RFRF276.4.3 平行力系的簡(jiǎn)化理論在工程中的兩個(gè)平行力系的簡(jiǎn)化理論在工程中的兩個(gè)應(yīng)用應(yīng)用(1) (1) 物體的重心、質(zhì)心和形心物體的重心、質(zhì)心和形心計(jì)算物體的重心是平行力系簡(jiǎn)化在工程中的一個(gè)具體應(yīng)用。物體的重力系重力系是同向的平行力系，顯然其主矢不為零主矢不為零，一定存在合力合力。物體的重力系的合力稱(chēng)為物體的重力重力，物體重力的中心稱(chēng)為物體的重心重心。 物體的重心物體的

20、重心整個(gè)物體所受的重力重力可等效于全部都集中在其重心上集中在其重心上。物體重心矢徑公式物體重心矢徑公式 物體重心坐標(biāo)公式：物體重心坐標(biāo)公式：假設(shè)：V為某一物體的體積；Vd為該物體微元體的體積；為物體的密度；g為重力加速度的大小；則微元體的質(zhì)量為 ，Vd微元體受到的重力的大小為 。VgdV),(dzyxVOxyzgVgdr28有限大小的物體，其上各點(diǎn)處的重力加速度可以認(rèn)為是相等的。則由式(6.25)、(6.26)可得物體重心矢徑和坐標(biāo)公式為VVCVVrrdd(6.27)VVCVVxxdd(6.28)VVCVVyyddVVCVVzzdd 物體的質(zhì)心和物質(zhì)的形心物體的質(zhì)心和物質(zhì)的形心通常，有限大小的

21、物體的重心位置與重力加速度無(wú)關(guān)，它只是反映物體質(zhì)量分布特征的一個(gè)幾何點(diǎn)。物體質(zhì)量分布的中心稱(chēng)為物體的質(zhì)心質(zhì)心。在均勻重力場(chǎng)中，物體的重心與質(zhì)心重合。應(yīng)該指出，質(zhì)心單純地由質(zhì)量分布所決定，而重心只在重力場(chǎng)中才有意義。29當(dāng) ，即物體是均質(zhì)均質(zhì)時(shí)，式(6.27)、(6.28)可寫(xiě)為constVVrrVCd(6.29)VVxxVCdVVyyVCdVVzzVCd(6.30)以上兩式表明，均質(zhì)物體的重心位置完全由物體的幾何形狀所決定，物體幾何形狀的中心稱(chēng)為物體的形心形心，對(duì)均質(zhì)物體，其重心和形心重合。均質(zhì)平板的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：均質(zhì)平板的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：對(duì)于面積為A的均質(zhì)平板均

22、質(zhì)平板，其重心矢徑和坐標(biāo)公式可分別寫(xiě)為AArrACd(6.31)AAxxACdAAyyACdAAzzACd(6.32)對(duì)于工程中常見(jiàn)的等厚等厚、均質(zhì)薄殼均質(zhì)薄殼，其厚度可看成趨于零，可用式(6.31)、(6.32)求重心的矢徑和坐標(biāo)。30均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿的重心矢徑公式和其重心坐標(biāo)公式：對(duì)于長(zhǎng)度為l 的均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿，其重心矢徑和坐標(biāo)公式可分別寫(xiě)為llrrlCd(6.33)llxxlCdllyylCdllzzlCd(6.34)對(duì)于工程中常見(jiàn)的等截面均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)線條物體等截面均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)線條物體，其橫截面積可看成趨于零，可用式(6.33)、(6.34)求重心的矢徑和坐標(biāo)。工程中求均質(zhì)物體重心的常用方法：工程中求均質(zhì)物體重心的常用方法：任何物體的重心均可利用重心的積分公式求得。但在很多情況下，其積分運(yùn)算比較麻煩，甚至是相當(dāng)困難的。下面介紹工程中求均質(zhì)物體重心的常用方法。查表法查表法工程中許多物體都具有簡(jiǎn)單的幾何形狀簡(jiǎn)單的幾何形狀，其重心可通過(guò)工程手冊(cè)直接查得。在本教材的P335338的附錄II列出了幾種常見(jiàn)規(guī)則幾何形狀的均質(zhì)物體的重心公式。31對(duì)稱(chēng)性法對(duì)稱(chēng)性法凡是具有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)點(diǎn)的物體，其重心必在對(duì)稱(chēng)面、重心必在對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)點(diǎn)上對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)點(diǎn)上。根據(jù)這一原則，可方便求得重心的一部分坐標(biāo)