第二章 概率統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量

1、概率論概率論 第一節(jié) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類(lèi)概率論概率論 一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)在實(shí)際問(wèn)題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.概率論概率論 1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）個(gè)數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 四月份哈爾濱的最高溫度；四月份哈爾濱的最高溫度；每天進(jìn)入一號(hào)樓的人數(shù)；每天進(jìn)入一號(hào)樓的人數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)；概率論概率論 2

2、、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各種結(jié)果.也就也就是說(shuō)，是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運(yùn)正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)員的名字而叫號(hào)碼一樣，二者建碼一樣，二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系系. 概率論概率論 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值單值函數(shù)單值函數(shù).e.X(e)sR這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！數(shù)不一樣！概率論

3、概率論 （1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值肯定它將取哪個(gè)值.（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率也有一定的概率.稱(chēng)這種定義在樣本空間稱(chēng)這種定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)上的實(shí)值單值函數(shù)X= X(e)為為隨隨量量機(jī)機(jī)變變簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 r.v. 概率論概率論 而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí)而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),

4、一般采用小寫(xiě)字母一般采用小寫(xiě)字母 x, y, z, w, n等等.隨機(jī)變量通常用大寫(xiě)字母隨機(jī)變量通常用大寫(xiě)字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示概率論概率論 有了隨機(jī)變量有了隨機(jī)變量, 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).二、引入隨機(jī)變量的意義二、引入隨機(jī)變量的意義 如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話(huà)交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話(huà)交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫沒(méi)有收到呼叫沒(méi)有收到呼叫 X 1X= 0 概率論概率論 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率

5、論發(fā)展史上的重隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件大事件. 引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件及事件概率事件概率隨機(jī)變量及其隨機(jī)變量及其取值規(guī)律取值規(guī)律概率論概率論 我們將研究?jī)深?lèi)隨機(jī)變量：我們將研究?jī)深?lèi)隨機(jī)變量： 如如“取到次品的個(gè)數(shù)取到次品的個(gè)數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等等.隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量例如，例如，“電視機(jī)的壽命電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中

6、，實(shí)際中常遇到的常遇到的“測(cè)量誤差測(cè)量誤差”等等.三、隨機(jī)變量的分類(lèi)三、隨機(jī)變量的分類(lèi)概率論概率論 這兩種類(lèi)型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，這兩種類(lèi)型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn)同，又有其各自的特點(diǎn).隨隨機(jī)機(jī)變變量量連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量學(xué)習(xí)時(shí)請(qǐng)注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法學(xué)習(xí)時(shí)請(qǐng)注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法.概率論概率論 解：分析解：分析例例1 一報(bào)童賣(mài)報(bào)，每份一報(bào)童賣(mài)報(bào)，每份0.15元，其成本為元，其成本為0.10元元. 報(bào)館每天給報(bào)童報(bào)館每天給報(bào)童100

7、0份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣(mài)不份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣(mài)不出的報(bào)紙退回出的報(bào)紙退回. 設(shè)設(shè)X為報(bào)童每天賣(mài)出的報(bào)紙份數(shù)，為報(bào)童每天賣(mài)出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢(qián)這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示試將報(bào)童賠錢(qián)這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)當(dāng) 0.15 X0 是常數(shù),則稱(chēng) X 服從參數(shù)為 的泊松分布,記作X( ).概率論概率論 例8 一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷(xiāo)售記錄知道，某種商品每月的銷(xiāo)售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷(xiāo)，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷(xiāo)售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿(mǎn)足P X m

8、0.95 的最小的m .進(jìn)貨數(shù)銷(xiāo)售數(shù)概率論概率論 求滿(mǎn)足P X m 0.95 的最小的m.查泊松分布表得,032. 0!5105kkkePXm 0.05也即068. 0!595kkke于是得 m+1=10,1505. 0!5mkkkem=9件或概率論概率論 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布律,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律. 在這個(gè)意義上，我們說(shuō) 這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其分布律，并給出兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布三種重要離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量由它的分布律唯一確定.四、小結(jié)概率論概率論 練習(xí)題二二. 設(shè)在設(shè)在 15 只同類(lèi)型零件中有只同類(lèi)型零件中有 2 只是次品，只

9、是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以樣，以 X 表示取出次品的只數(shù)，表示取出次品的只數(shù)， （1）求）求 X 的的分布律，分布律， （2）畫(huà)出分布律的圖形。）畫(huà)出分布律的圖形。一一. 一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，編號(hào)為只乒乓球，編號(hào)為 1、2、3、4、在其中同時(shí)取三只，以、在其中同時(shí)取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量三只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量 X 的分的分布律布律概率論概率論 三、一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為三、一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為 45%，以以 X 表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，表示他首次

10、投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫(xiě)出寫(xiě)出 X 的分布律，并計(jì)算的分布律，并計(jì)算 X 取偶數(shù)的概率。取偶數(shù)的概率。四、一大樓裝有四、一大樓裝有 5 個(gè)同類(lèi)型的供水設(shè)備，個(gè)同類(lèi)型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻調(diào)查表明在任一時(shí)刻 t 每個(gè)設(shè)備使用的概率每個(gè)設(shè)備使用的概率為為 0.1，問(wèn)在同一時(shí)刻，問(wèn)在同一時(shí)刻（1）恰有）恰有 2 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至少有） 至少有 3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至多有） 至多有 3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（4） 至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少） 至少有一個(gè)設(shè)備被使用的

11、概率是多少？概率論概率論 解：解：4 , 3 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：3 XP341C 41 4 XP3423CC 43 一一. 一袋中有一袋中有 4 只乒乓球，編號(hào)為只乒乓球，編號(hào)為 1、2、3、4、在其中同時(shí)取三只，以、在其中同時(shí)取三只，以 X 表示取出的表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量三只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量 X 的分的分布律布律概率論概率論 二二. 設(shè)在設(shè)在 15 只同類(lèi)型零件中有只同類(lèi)型零件中有 2 只是次品，只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以樣，以 X 表示取出次品的只數(shù)，表示取出次品的只數(shù)，

12、 （1）求）求 X 的的分布律，分布律， （2）畫(huà)出分布律的圖形。）畫(huà)出分布律的圖形。解：解：2 , 1 , 0 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：0 XP315313CC 3522 1 XP31512213CCC 3512 2 XP31522113CCC 351 概率論概率論 三、一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為三、一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為 45%，以以 X 表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫(xiě)出寫(xiě)出 X 的分布律，并計(jì)算的分布律，并計(jì)算 X 取偶數(shù)的概率。取偶數(shù)的概率。解：解：, 2 , 1 XX的的所所有有可可能能取取值值為為：, 2 , 1 iiAi次

13、投籃命中，次投籃命中，表示第表示第kXP )(121kkAAAAP )()()()(121kkAPAPAPAP , 2 , 1%45)( iAPi，則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且kkAAAA121 , 2 , 1%45%551 kk，概率論概率論 取偶數(shù)取偶數(shù)XP 12kkXP 112%45%55kk3111 概率論概率論 四、一大樓裝有四、一大樓裝有 5 個(gè)同類(lèi)型的供水設(shè)備，個(gè)同類(lèi)型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻調(diào)查表明在任一時(shí)刻 t 每個(gè)設(shè)備使用的概率每個(gè)設(shè)備使用的概率為為 0.1，問(wèn)在同一時(shí)刻，問(wèn)在同一時(shí)刻（1）恰有）恰有 2 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（2） 至少

14、有） 至少有 3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（3） 至多有） 至多有 3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（4） 至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少） 至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？解：解：被被使使用用的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)表表示示同同一一時(shí)時(shí)刻刻供供水水設(shè)設(shè)備備X)1 . 0 , 5(X則則kXP 5, 1 , 09 . 01 . 055 kCkkk2 X3 X3 X1 X概率論概率論 )1(2 XP 252259 . 01 . 0 C0729. 0 )2(3 XP543 XPXPXP00856. 0 )3(3 XP31 XP541 XPXP99954.

15、 0 )4(1 XP11 XP01 XP40951. 0 概率論概率論 第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)小結(jié) 布置作業(yè)概率論概率論 一、分布函數(shù)的定義 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 內(nèi)的,(x概率.xoxX 設(shè) X 是一個(gè) r.v，稱(chēng))()(xXPxF)(x為 X 的分布函數(shù) , 記作 F (x) .概率論概率論 (1) 在分布函數(shù)的定義中, X是隨機(jī)變量, x是參變量. (2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.(3) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間( x1 , x2 內(nèi)的概率為：P x1X

16、 x2 因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述. =P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)1x2xox X概率論概率論 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來(lái)研究隨機(jī)變量.xxXPxF),()(xoxX概率論概率論 當(dāng) x0 時(shí)， X x = ， 故 F(x) =0例1設(shè) 隨機(jī)變量 X 的分布律為當(dāng) 0 x 1 時(shí)， F(x) = PX x = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解0 x12 x Xkp0121 31 61 2求 X 的分布函數(shù) F (x) .概率論概率論 當(dāng) 1 x 2 時(shí)， F(x)

17、 = PX=0+ PX=1= + =316121當(dāng) x 2 時(shí)， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 10 x12 xx概率論概率論 故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF概率論概率論 31211202161OOO1)(xF的分布函數(shù)圖xy概率論概率論 設(shè)離散型 r .v X 的分布律是P X=xk = pk , k =1,2,3, F(x) = P(X x) = xxkkp即F(x) 是 X 取xk 的諸值 的概率之和.x則其分布函數(shù)概率論概率論 二、分布函數(shù)的性質(zhì) ,上上是是一一個(gè)個(gè)不不減減函函數(shù)數(shù)在在 xF(1) ;,

18、212121xFxFxxxx 都都有有且且即即對(duì)對(duì) 21F xF x1x2xox X 120P xXx概率論概率論 如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)r.v X 的分布函數(shù). 也就是說(shuō)，性質(zhì)(1)-(3)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某 r.v 的分布函數(shù)的充分必要條件.(3) F(x) 右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx(2) xoXx()F limxF x limxF x()F 0 1 概率論概率論 試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)r.v 的分布函數(shù).例2 設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF 解 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿(mǎn)足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).,2不滿(mǎn)足性

19、質(zhì)(2)， 可見(jiàn)F(x)也不能是r.v 的分布函數(shù).或者0)(lim)(xFFx概率論概率論 第四節(jié)第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間, 對(duì)這對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量種類(lèi)型的隨機(jī)變量, 不能象離散型隨機(jī)變量那樣不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定以指定它取每個(gè)值概率的方式它取每個(gè)值概率的方式, 去給出其概率分布去給出其概

20、率分布, 而是通過(guò)給而是通過(guò)給出所謂出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式的方式. 下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.概率論概率論 則稱(chēng)則稱(chēng) X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱(chēng)稱(chēng) f (x) 為為 X 的的概率密概率密度度函數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度概率密度 .一、一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義 xF xf t dt 有有,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù) , x 對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量 X , 如果存在非負(fù)可積函數(shù)如果存在非負(fù)可積函數(shù) f (x) , ,x P Xx連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在

21、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在 上連續(xù)上連續(xù)R概率論概率論 二、概率密度的性質(zhì)二、概率密度的性質(zhì)1 o0)(xf2 o1)(dxxf f (x)xo面積為面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r .v X 的的概率密度的充要條件概率密度的充要條件概率論概率論 利用概率密度可確利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)定隨機(jī)點(diǎn)落在某個(gè)范圍內(nèi)的概率范圍內(nèi)的概率對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù) x1 , x2 , (x1 x2 ) ,32112( )xxP xXxf x dx 若若 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 處連續(xù)處連續(xù) , 則有則有4( )( ).Fxf x 概率論概率論 要

22、注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的高度，的高度，并不反映并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這個(gè)高度越大，則但是，這個(gè)高度越大，則X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大. 也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線(xiàn)的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度曲線(xiàn)的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. f (x)xoa概率論概率論 (1) 連續(xù)型連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值取任一指定實(shí)數(shù)值a 的概率均為的概率均為0. 即即這是因?yàn)檫@是因?yàn)檎?qǐng)注意請(qǐng)注意: xaFaFaXxaPaXP 0 0 .P Xa0,x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)得到得到 0 .P Xa概率論概率論

23、 注意 在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有 PaXbPaXb=PaX。 在這里，事件X=a)并非不可能事件，但有PXa=0這就是說(shuō)，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)0，并不一定意味著A是不可能事件。 以后當(dāng)我們提到一個(gè)隨機(jī)變量X的“概率分布”時(shí)，指的是它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)X是連續(xù)型時(shí)指的是它的概率密度，當(dāng)X是離散型時(shí)指的是它的分布律。概率論概率論 1. 均勻分布均勻分布則稱(chēng)則稱(chēng)X在區(qū)間在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布上服從均勻分布，X U(a, b)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf三、三種重要的連續(xù)型

24、隨機(jī)變量三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若若 r .v X的概率密度為：的概率密度為：記作記作概率論概率論 abldxablcXcPblccalcclbaUXlcc 1,),(.1),(有有為的區(qū)間為的區(qū)間對(duì)于長(zhǎng)度對(duì)于長(zhǎng)度若若 bxbxaabaxaxxXPxFX1, 0)(.2的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：概率論概率論 均勻分布常見(jiàn)于下列情形：均勻分布常見(jiàn)于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)點(diǎn)后某入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；一位小數(shù)引入的誤差；概率論概率論 例例2 某公共汽車(chē)站從上午某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班分鐘來(lái)一班車(chē)，即車(chē)，即

25、 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的之間的均勻隨機(jī)變量均勻隨機(jī)變量, 試求他候車(chē)時(shí)間少于試求他候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為起點(diǎn)為起點(diǎn)0，以分為單位，以分為單位其它, 0300,301)(xxf概率論概率論 為使候車(chē)時(shí)間為使候車(chē)時(shí)間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車(chē)站之間到達(dá)車(chē)站.所求概率為：所

26、求概率為：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候車(chē)時(shí)間少于即乘客候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即分鐘來(lái)一班車(chē)，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，概率論概率論 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命壽命.2 . 指數(shù)分布指數(shù)分布 若若 r .v X具有概率密度具有概率密度 1,0,0 ,x exfx 其其它它, ,0 其其中中為常數(shù)為常數(shù), 則稱(chēng)則稱(chēng) X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布.概率論概

27、率論 其它其它, 00,1)(/xexXPxFx 若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布, 則其則其分布函數(shù)分布函數(shù)為為事實(shí)上事實(shí)上 , xF xf t dt 0 x xx xF xf t dt 0 xdt 0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), xF xf t dt 00dt 01txedt 概率論概率論 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布 若連續(xù)型若連續(xù)型 r .v X 的的概率密度為概率密度為 xexfx,21)(222)( 記作記作其中其中 和和 ( 0 )都是常數(shù)都是常數(shù), 則稱(chēng)則稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的的正態(tài)分布正態(tài)分布或或高斯分布高斯分布. 2( ,)XN 概率論概率

28、論 :具有下述性質(zhì)具有下述性質(zhì)xf ;12 dxxf ;01 xf事實(shí)上事實(shí)上 , 22212x fx dxedx 22212x edx 222022x edx 1概率論概率論 ,2xt 令令則有則有 dxxfdtet202 122 曲線(xiàn)曲線(xiàn) 關(guān)于關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)稱(chēng)； fx 3 P hX P Xh 0h 202tedt 概率論概率論 xexfx,21)(222)( 函數(shù)函數(shù) 在在 上單調(diào)增加上單調(diào)增加, ,在在 上上 fx 4(, ,) 單調(diào)減少單調(diào)減少, ,在在 取得最大值；取得最大值；x 22()23,2x xfxex x = 為為 f (x) 的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

29、5 22()2223(),2x xfxex 概率論概率論 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0. . xexfx,21)(222)( f (x) 以以 x 軸為漸近線(xiàn)軸為漸近線(xiàn) 6 根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫(huà)出正態(tài)分布根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫(huà)出正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)圖的概率密度曲線(xiàn)圖. .概率論概率論 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中決定了圖形中峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N概率論概率論 設(shè)設(shè) X ,),(2NX 的分布函數(shù)的分布函數(shù)是是正態(tài)分布正態(tài)分布 的分布函數(shù)的分布函數(shù)),(2N 2 22()21,2txF

30、 xedtx 概率論概率論 正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和和唯一確定，唯一確定， 當(dāng)當(dāng)和和不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布概率論概率論 1, 0的正態(tài)分布稱(chēng)為的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布3 221,2txxedtx 221,2x xex 概率論概率論 )(x )(x 概率論概率論 的性質(zhì)的性質(zhì) : ;2101 dtet 022210 21212122 d

31、tet ;1,2xxRx dtexxt 2221 事實(shí)上事實(shí)上 , 221()2txxedtx 概率論概率論 22112uxedu x 1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)可以通過(guò)線(xiàn)性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布. .定理定理1 .1 ,0,2NXZNX 則則若若2212uxutedu 概率論概率論 .1 ,0,2NXZNX 則則若若證證Z Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 dtexXPxXPxZPxt 22221, tu令令則有則有 duexZPxu 2221 x 概率論概率論 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1

32、,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題. . .1 ,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是概率論概率論 書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表. .正態(tài)分布表正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), (x)的值的值.4概率論概率論 ),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1) 則則概率論概率論 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在