模塊復(fù)習(xí)-計數(shù)原理

1、第一課計 數(shù) 原 理【網(wǎng)絡(luò)體系網(wǎng)絡(luò)體系】【核心速填核心速填】1.1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事可以有分類加法計數(shù)原理：完成一件事可以有n n類辦法，在第一類辦法中類辦法，在第一類辦法中有有m m1 1種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有m m2 2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n n類辦法中有類辦法中有m mn n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，那么完成這件事共有N=_N=_種種不同的方法不同的方法. .2.2.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要分成分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要分成n n個步驟，做第一步有個步驟，做第一步有m m1 1種不同的方

2、法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m m2 2種不同的方法，種不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不種不同的方法，那么完成這件事有同的方法，那么完成這件事有N=_N=_種不同的方法種不同的方法. .m m1 1+m+m2 2+m+mn nm m1 1m m2 2m mn n3.3.排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)排列數(shù)與組合數(shù)公式及性質(zhì)排列與排列數(shù)排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)組合與組合數(shù)公式公式排列數(shù)公式排列數(shù)公式 =n(n-1)=n(n-1)(n-2)_=_(n-2)_=_組合數(shù)公式組合數(shù)公式 =_=_=_=_=_性質(zhì)性質(zhì)當當m=nm=n時，時， 為全排列為全排列 = =n n！；??；

3、0 0！=_=_備注備注n n，mNmN* *且且mnmnmnA(n-m+1)(n-m+1)n(nm)！mnCmnmmAAn(n1)(n2)(nm 1)m！nm (nm)！mnAnnA1 10nmnnnCC1 C_；n mnCmm 1nnCC_mn 1C4.4.二項式定理二項式定理(1)(1)二項式定理的內(nèi)容二項式定理的內(nèi)容(a+b)(a+b)n n=_.=_.(2)(2)通項公式：通項公式： ，k0k0，1 1，2 2，nn，(3)(3)二項式系數(shù)二項式系數(shù)_的性質(zhì)的性質(zhì)與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等；與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等；若若n n為偶數(shù)，中間一項為偶數(shù)，中間一項(

4、(第第 項項) )的二項式系數(shù)最大；若的二項式系數(shù)最大；若n n為奇數(shù)，為奇數(shù)，中間兩項中間兩項( (第第 項和第項和第 項項) )的二項式系數(shù)相等且最大的二項式系數(shù)相等且最大. .0n1n 1kn kknn*nnnnC aC abC abC b (nN )kn kkk 1nTC abknC (k012n)， ， ， ，n12n12n112012nn0213n 1nnnnnnnnCCCC2CCCC2.；【易錯提醒易錯提醒】1.“1.“分類分類”與與“分步分步”的區(qū)別的區(qū)別(1)(1)分類就是能分類就是能“一步到位一步到位”任何一類中任何一種方法都能完成任何一類中任何一種方法都能完成這件事情，簡

5、單的說分類的標準是這件事情，簡單的說分類的標準是“不重不漏，一步完成不重不漏，一步完成”. .(2)(2)分步則只能分步則只能“局部到位局部到位”任何一步中任何一種方法都不能完任何一步中任何一種方法都不能完成這件事情，只能完成事件的某一部分，只有當各步全部完成時，這成這件事情，只能完成事件的某一部分，只有當各步全部完成時，這件事情才完成簡單地說步與步之間的方法件事情才完成簡單地說步與步之間的方法“相互獨立，多步完成相互獨立，多步完成”. .2.2.正確區(qū)分是組合問題還是排列問題，要把排列中的正確區(qū)分是組合問題還是排列問題，要把排列中的“定序定序”和和“有有序序”區(qū)分開來區(qū)分開來3 3正確區(qū)分分

6、堆問題和分配問題正確區(qū)分分堆問題和分配問題4 4二項式定理的通項公式二項式定理的通項公式 是第是第k+1k+1項，而不是第項，而不是第k k項，項，注意其指數(shù)規(guī)律注意其指數(shù)規(guī)律5 5求二項式展開式中的特殊項求二項式展開式中的特殊項( (如：系數(shù)最大的項、二項式系數(shù)最大如：系數(shù)最大的項、二項式系數(shù)最大的項、常數(shù)項、含某未知數(shù)的次數(shù)最高的項、有理項的項、常數(shù)項、含某未知數(shù)的次數(shù)最高的項、有理項)時，要注意時，要注意n n與與k k的取值范圍的取值范圍kn kkk 1nTC ab6 6注意區(qū)分注意區(qū)分“某項的系數(shù)某項的系數(shù)”與與“某項的二項式系數(shù)某項的二項式系數(shù)”，展開式中，展開式中“二項式系數(shù)的和

7、二項式系數(shù)的和”與與“各項系數(shù)的和各項系數(shù)的和”，“奇奇( (偶偶) )數(shù)項系數(shù)的和數(shù)項系數(shù)的和”與與“奇奇( (偶偶) )次項系數(shù)的和次項系數(shù)的和”. .類型一類型一 兩個計數(shù)原理兩個計數(shù)原理【典例典例1 1】(1)(1)方程方程 表示焦點在表示焦點在y y軸上的橢圓，其中軸上的橢圓，其中m1m1，2 2，3 3，4 4，55，n1n1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，77，那么這樣的橢圓的個數(shù)是，那么這樣的橢圓的個數(shù)是_._.(2)(2015(2)(2015宣城高二檢測宣城高二檢測) )某電視臺連續(xù)播放某電視臺連續(xù)播放6 6個廣告，其中有個廣告，其中有3 3個不個不同的商業(yè)廣告、兩

8、個不同的宣傳廣告、一個公益廣告，要求最后播放同的商業(yè)廣告、兩個不同的宣傳廣告、一個公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個宣傳的不能是商業(yè)廣告，且宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？22xy1mn【解析解析】(1)(1)以以m m的值為標準分類，分為五類的值為標準分類，分為五類第一類：第一類：m=1m=1時，使時，使nmnm，n n有有6 6種選擇；種選擇；第二類：第二類：m=2m=2時，使時，使nmnm，n n有有5 5種選擇；種選擇；第三類：第三類：m=3m

9、=3時，使時，使nmnm，n n有有4 4種選擇；種選擇；第四類：第四類：m=4m=4時，使時，使nmnm，n n有有3 3種選擇；種選擇；第五類：第五類：m=5m=5時，使時，使nmnm，n n有有2 2種選擇種選擇所以共有所以共有6+5+4+3+2=206+5+4+3+2=20種方法，種方法，即有即有2020個符合題意的橢圓個符合題意的橢圓答案：答案：2020(2)(2)用用1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6表示廣告的播放順序，則完成這件事有三類表示廣告的播放順序，則完成這件事有三類方法方法第一類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是第一類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2 2，4

10、4，6.6.分分6 6步完成這件步完成這件事，共有事，共有3 33 32 22 21 11=361=36種不同的播放方式種不同的播放方式第二類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是第二類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1 1，4 4，6 6，分，分6 6步完成這件步完成這件事，共有事，共有3 33 32 22 21 11=361=36種不同的播放方式種不同的播放方式第三類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是第三類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1 1，3 3，6 6，同樣分，同樣分6 6步完成步完成這件事，共有這件事，共有3 33 32 22 21 11=361=36種不同的播放方式由分類加法種不同的播

11、放方式由分類加法計數(shù)原理得：計數(shù)原理得：6 6個廣告不同的播放方式有個廣告不同的播放方式有36+36+36=10836+36+36=108種種. .【延伸探究延伸探究】若本例若本例(1)(1)中條件中條件“y y軸軸”改為改為“x x軸軸”，試求滿足條件，試求滿足條件的橢圓的個數(shù)的橢圓的個數(shù). .【解析解析】因為方程表示焦點在因為方程表示焦點在x x軸上的橢圓，則軸上的橢圓，則mn0.mn0.以以m m的取值進行分類的取值進行分類當當m=1m=1時，時，n n值不存在；值不存在；當當m=2m=2時，時，n n可取可取1 1，只有，只有1 1種選擇；種選擇；當當m=3m=3時，時，n n可取可取

12、1 1，2 2，有，有2 2種選擇；種選擇；當當m=4m=4時，時，n n可取可取1 1，2 2，3 3，有，有3 3種選擇；種選擇；當當m=5m=5時，時，n n可取可取1 1，2 2，3 3，4 4，有，有4 4種選擇；種選擇；由分類加法計數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有由分類加法計數(shù)原理可知，符合條件的橢圓共有1010個個【方法技巧方法技巧】1.1.使用兩個原理解決問題的思路使用兩個原理解決問題的思路(1)(1)選擇使用兩個原理解決問題時，要根據(jù)我們完成某件事情采取的選擇使用兩個原理解決問題時，要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定，確定是分類還是分步，要抓住兩個原理的本質(zhì)方式而定，確定是分

13、類還是分步，要抓住兩個原理的本質(zhì). .(2)(2)分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“類類”，分類時，首先要根據(jù)問題的，分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次分特點確定一個合適的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意，完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別類時要注意，完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法屬于不同類的兩種方法是不同的方法. .(3)(3)分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“步步”，分步時首先要根據(jù)問題的特，分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分

14、步的標準；其次，分步時還要注意滿足完成一件事必須點確定一個分步的標準；其次，分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這并且只有連續(xù)完成這n n個步驟后，這件事才算完成，只有滿足了上述個步驟后，這件事才算完成，只有滿足了上述條件，才能用分步乘法計數(shù)原理條件，才能用分步乘法計數(shù)原理. .2.2.使用兩個原理解決問題時應(yīng)注意的問題使用兩個原理解決問題時應(yīng)注意的問題對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使

15、問題更加直觀、清晰直觀、清晰. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2015(2015四川高考四川高考) )用數(shù)字用數(shù)字0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5組成沒有重組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 00040 000大的偶數(shù)共有大的偶數(shù)共有( )( )A.144A.144個個 B.120B.120個個 C.96C.96個個 D.72D.72個個【解題指南解題指南】注意分類討論，結(jié)合首位分別為注意分類討論，結(jié)合首位分別為4 4，5 5，末位分別為，末位分別為0 0，2 2，4 4求解求解. .【解析解析】選選B.B.首位為首位為5 5，末位為，末位為0 0：4 43 3

16、2=24(2=24(個個) )；首位為首位為5 5，末位為，末位為2 2：4 43 32=24(2=24(個個) )；首位為首位為5 5，末位為，末位為4 4：4 43 32=24(2=24(個個) )；首位為首位為4 4，末位為，末位為0 0：4 43 32=24(2=24(個個) )；首位為首位為4 4，末位為，末位為2 2：4 43 32=24(2=24(個個).).共共24245=120(5=120(個個).).【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】在某種信息傳輸過程中，用在某種信息傳輸過程中，用4 4個數(shù)字的一個排列個數(shù)字的一個排列( (數(shù)字允數(shù)字允許重復(fù)許重復(fù)) )表示一個信息，不同排列表示不同信息

17、表示一個信息，不同排列表示不同信息. .若所用數(shù)字只有若所用數(shù)字只有0 0和和1 1，則與信息則與信息0 1100 110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為( )( )A.10 B.11 A.10 B.11 C.12 C.12 D.15 D.15【解析解析】選選B.B.方法一：分方法一：分0 0個相同、個相同、1 1個相同、個相同、2 2個相同討論個相同討論. .(1)(1)若若0 0個相同，則信息為：個相同，則信息為：1 001.1 001.共共1 1個個(2)(2)若若1 1個相同，則信息為：個相同，則信息為：0 0010 001，1 10

18、11 101，1 0111 011，1 000.1 000.共共4 4個個(3)(3)若若2 2個相同，又分為以下情況：個相同，又分為以下情況：若位置一與二相同，則信息為：若位置一與二相同，則信息為：0 1010 101；若位置一與三相同，則信息為：若位置一與三相同，則信息為：0 0110 011；若位置一與四相同，則信息為：若位置一與四相同，則信息為：0 0000 000；若位置二與三相同，則信息為：若位置二與三相同，則信息為：1 1111 111；若位置二與四相同，則信息為：若位置二與四相同，則信息為：1 1001 100；若位置三與四相同，則信息為：若位置三與四相同，則信息為：1 010

19、.1 010.共有共有6 6個個故與信息故與信息0 1100 110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為1+4+6=11.1+4+6=11.方法二：若方法二：若0 0個相同，共有個相同，共有1 1個；個；若若1 1個相同，共有個相同，共有 =4(=4(個個) )；若若2 2個相同，共有個相同，共有 =6( =6(個個) )故共有故共有1+4+6=11(1+4+6=11(個個).).14C24C類型二類型二 排列與組合的綜合應(yīng)用排列與組合的綜合應(yīng)用【典例典例2 2】(1)3(1)3位男生和位男生和3 3位女生共位女生共6 6位同學(xué)站成一排，若男生甲

20、不站位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，兩端，3 3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為( )( )A A360 B360 B288 288 C C216 216 D D9696(2)(2015(2)(2015濟南高二檢測濟南高二檢測) )航天員擬在太空授課，準備進行標號為航天員擬在太空授課，準備進行標號為0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的六項實驗，向全世界人民普及太空知識，其中的六項實驗，向全世界人民普及太空知識，其中0 0號實號實驗不能放在第一項，最后一項的標號小于它前面相鄰一項的標號，則驗不能放在第一項，最后一項的標

21、號小于它前面相鄰一項的標號，則實驗順序的編排方法種數(shù)為實驗順序的編排方法種數(shù)為_(_(用數(shù)字作答用數(shù)字作答) )(3)(2015(3)(2015宜春高二檢測宜春高二檢測) ) 用用0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5這六個數(shù)字組成無重這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)復(fù)數(shù)字的五位數(shù). .試分別求出符合下列條件的五位數(shù)的個數(shù)試分別求出符合下列條件的五位數(shù)的個數(shù)( (最后結(jié)果最后結(jié)果用數(shù)字表達用數(shù)字表達) )：總的個數(shù)；奇數(shù)；能被總的個數(shù)；奇數(shù)；能被6 6整除的數(shù)整除的數(shù). .【解析解析】(1)(1)選選B.3B.3位男生排成一排有位男生排成一排有 種排法，種排法，3 3名女生分成兩組名女

22、生分成兩組. .其中其中2 2名排好看成一個整體有名排好看成一個整體有 種排法，這兩組女生插空到種排法，這兩組女生插空到3 3名男名男生中有生中有 種插法，于是種插法，于是6 6位同學(xué)排成一排且位同學(xué)排成一排且3 3位女生中有且只有兩位位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有女生相鄰的排法有 =432=432種種33A2232C A24A22323234C A A A其中男生甲在排頭或排尾時，其余兩男生的排法有其中男生甲在排頭或排尾時，其余兩男生的排法有 種，兩組女生種，兩組女生插到插到2 2名男生中有名男生中有 種插法種插法. .于是男生甲在排頭或排尾，于是男生甲在排頭或排尾，3 3位女生中有位

23、女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有且只有兩位女生相鄰的排法有 =144=144種種所以滿足條件的排法共所以滿足條件的排法共432-144=288(432-144=288(種種).).22A23A222223322A A C A(2)(2)由于由于0 0號實驗不能放在第一項，所以第一項實驗有號實驗不能放在第一項，所以第一項實驗有5 5種選擇種選擇. .因為最因為最后兩項實驗的順序確定，所以共有后兩項實驗的順序確定，所以共有 =300=300種不同的編排方法種不同的編排方法. .答案：答案：30030055225AA(3)(3)根據(jù)題意，根據(jù)題意，0 0不能在首位即萬位，則萬位有不能在首位即萬位，

24、則萬位有5 5種選法，剩余的種選法，剩余的4 4位位沒有限制，在剩下沒有限制，在剩下5 5個數(shù)字中任選個數(shù)字中任選4 4個，進行全排列，即有個，進行全排列，即有 種選法，種選法，共有共有5 5120=600120=600個五位數(shù)個五位數(shù). .先排個位，因為要求是奇數(shù)，則有先排個位，因為要求是奇數(shù)，則有3 3種選法，再分析萬位，除去已種選法，再分析萬位，除去已排在個位的數(shù)和排在個位的數(shù)和0 0，還有，還有4 4個數(shù)字可選，有個數(shù)字可選，有4 4種選法，最后排中間種選法，最后排中間3 3位，位，在剩下在剩下4 4個數(shù)字中任選個數(shù)字中任選3 3個，進行全排列，即有個，進行全排列，即有 =24=24種

25、選法，則共有種選法，則共有3 34 424=28824=288個奇數(shù)個奇數(shù). . 45A34A能被能被6 6整除的數(shù)必須是偶數(shù)且各個數(shù)字之和為整除的數(shù)必須是偶數(shù)且各個數(shù)字之和為3 3的倍數(shù)，分的倍數(shù)，分2 2種情況種情況討論，討論，末位為末位為0 0，其余的，其余的4 4個數(shù)字必是個數(shù)字必是1 1，2 2，4 4，5 5，進行全排列即可，進行全排列即可，有有 =24=24種情況，種情況，末位為末位為2 2或或4 4，若，若0 0不在五位數(shù)中，則有不在五位數(shù)中，則有2 2 =48 =48個五位數(shù)，個五位數(shù)，若若0 0在五位數(shù)中，則有在五位數(shù)中，則有2 2 =36 =36個五位數(shù)，個五位數(shù)，此時共

26、有此時共有48+36=8448+36=84個五位數(shù)，個五位數(shù)，綜上可得，共有綜上可得，共有24+84=10824+84=108個五位數(shù)個五位數(shù). .44A44A1333CA【方法技巧方法技巧】1.1.處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟(1)(1)認真審題，弄清楚是排列認真審題，弄清楚是排列( (有序有序) )還是組合還是組合( (無序無序) )，還是排列與組，還是排列與組合混合問題合混合問題. .(2)(2)抓住問題的本質(zhì)特征，準確合理地利用兩個基本原理進行抓住問題的本質(zhì)特征，準確合理地利用兩個基本原理進行“分類分類與分步與分步”. .2.2.處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律處理

27、排列組合應(yīng)用題的規(guī)律(1)(1)兩種思路：直接法，間接法兩種思路：直接法，間接法. .(2)(2)兩種途徑：元素分析法，位置分析法兩種途徑：元素分析法，位置分析法3.3.排列組合應(yīng)用題的常見類型和解決方法排列組合應(yīng)用題的常見類型和解決方法(1)(1)特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的策略特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排的策略. .(2)(2)合理分類與準確分步的策略合理分類與準確分步的策略. .(3)(3)正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略. .(4)(4)相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法的策略相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法的策略. .(5)(5)元素定序，先排后除的策略元素定序，先排后除

28、的策略. .(6)(6)排列、組合混合題先選后排策略排列、組合混合題先選后排策略. .(7)(7)復(fù)雜問題構(gòu)造模型策略復(fù)雜問題構(gòu)造模型策略. .【拓展延伸拓展延伸】解排列組合問題的順口溜解排列組合問題的順口溜審明題意，排審明題意，排( (組組) )分清；合理分類，用準加乘；分清；合理分類，用準加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗真?zhèn)卧匚恢茫厥庀刃?；一題多解，檢驗真?zhèn)? .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(1)(2015(1)(2015福州高二檢測福州高二檢測) )我國第一艘航母我國第一艘航母“遼寧艦遼寧艦”在某次艦載機

29、起降飛行訓(xùn)練中，有在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有5 5架飛機準備著艦如果甲、乙兩架飛機準備著艦如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有有( )( )A A1212種種 B B1818種種 C C2424種種 D D4848種種【解析解析】選選C.C.把甲、乙看作把甲、乙看作1 1個元素和戊全排列，調(diào)整甲、乙，共有個元素和戊全排列，調(diào)整甲、乙，共有 種方法，再把丙、丁插入到剛才種方法，再把丙、丁插入到剛才“兩個兩個”元素排列產(chǎn)生的元素排列產(chǎn)生的3 3個個空位中，有空位中，有 種方法，由分步乘法計數(shù)原理可

30、得總的方法種數(shù)為種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為2222A A23A222223A A A24.(2)(2015(2)(2015佛山高二檢測佛山高二檢測)3)3名教師與名教師與4 4名學(xué)生排成一橫排照相，求名學(xué)生排成一橫排照相，求3 3名教師必須排在一起的不同排法有多少種？名教師必須排在一起的不同排法有多少種？3 3名教師必須在中間名教師必須在中間( (在在3 3，4 4，5 5位置上位置上) )的不同排法有多少種？的不同排法有多少種？3 3名教師不能相鄰的不同排名教師不能相鄰的不同排法有多少種？法有多少種？【解析解析】3 3名教師的排法有名教師的排法有 ，把，把3 3名教師作為一

31、個整體與名教師作為一個整體與4 4個學(xué)生個學(xué)生共共5 5個元素的全排列共有個元素的全排列共有 種，則共有種，則共有 =720( =720(種種).).3 3名教師的排法有名教師的排法有 ，4 4個學(xué)生在個學(xué)生在4 4個位子上的全排列共有個位子上的全排列共有 種，種，則共有則共有 =144(=144(種種).).先先4 4個學(xué)生全排列，再在五個空位中任選個學(xué)生全排列，再在五個空位中任選3 3個排個排3 3名教師，共名教師，共 =1 440( =1 440(種種).).33A55A3535A A33A44A3434A A4345A A【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】(1)(1)將將1818個參加青少年科技創(chuàng)新

32、大賽的名額分配給個參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3 3個學(xué)個學(xué)校，要求每校至少有一個名額且各校分配的名額互不相等，則不同的校，要求每校至少有一個名額且各校分配的名額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為分配方法種數(shù)為( )( )A A9696 B B114114 C C128 D128 D136136【解析解析】選選B.B.若某一學(xué)校的最少人數(shù)是若某一學(xué)校的最少人數(shù)是1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，則各有，則各有7 7，5 5，4 4，2 2，1 1種不同的分組方案故不同的分配方法種數(shù)是種不同的分組方案故不同的分配方法種數(shù)是(7+5+4+(7+5+4+2+1) =192+1) =196=

33、114.6=114.33A(2)(2)兩人進行乒乓球比賽，先贏兩人進行乒乓球比賽，先贏3 3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形出現(xiàn)的情形( (各人輸贏局次的不同視為不同情形各人輸贏局次的不同視為不同情形) )共有共有( )( )A A1010種種 B B1515種種 C C2020種種 D D3030種種【解析解析】選選C.C.由題意知比賽場數(shù)至少為由題意知比賽場數(shù)至少為3 3場，至多為場，至多為5 5場當為場當為3 3場時，場時，情況為甲或乙連贏情況為甲或乙連贏3 3場，共場，共2 2種當為種當為4 4場時，若甲贏，則前場時，若甲贏，則前3 3場中

34、甲贏場中甲贏2 2場，最后一場甲贏，共有場，最后一場甲贏，共有 =3(=3(種種) )情況；同理，若乙贏也有情況；同理，若乙贏也有3 3種情種情況共有況共有6 6種情況當為種情況當為5 5場時，前場時，前4 4場，甲、乙各贏場，甲、乙各贏2 2場，最后場，最后1 1場勝出場勝出的人贏，共有的人贏，共有 =12( =12(種種) )情況由上綜合知，共有情況由上綜合知，共有2020種情況種情況. .23C242C類型三類型三 二項式定理的應(yīng)用二項式定理的應(yīng)用【典例典例3 3】(1)(2015(1)(2015湖南高考湖南高考) )已知已知 的展開式中含的展開式中含 的的項的系數(shù)為項的系數(shù)為3030，

35、則，則a=( )a=( )A. B.- A. B.- C.6 C.6 D.-6D.-6(2)(2015(2)(2015廈門高二檢測廈門高二檢測) )已知二項式已知二項式 展開式中各項系數(shù)之展開式中各項系數(shù)之和是各項二項式系數(shù)之和的和是各項二項式系數(shù)之和的1616倍倍. .求求n n；求展開式中二項式系數(shù)最大的項；求展開式中二項式系數(shù)最大的項；求展開式中所有求展開式中所有x x的有理項的有理項. .5a( x)x32x33n1(5x)x【解析解析】(1)(1)選選D D ，令，令得得r=1r=1，可得，可得-5a=30-5a=30，得，得a=-6a=-6(2)(2)令令x=1x=1得二項式得二項

36、式 展開式中各項系數(shù)之和為展開式中各項系數(shù)之和為(5-1)(5-1)n n=4=4n n，各項二項式系數(shù)之和為各項二項式系數(shù)之和為2 2n n，由題意得，由題意得，4 4n n=162=162n n，所以，所以2 2n n=16=16，n=4.n=4.通項通項展開式中二項式系數(shù)最大的項是第展開式中二項式系數(shù)最大的項是第3 3項：項：5 2rrrr2r 15TC ( 1) a x52r322，n1(5x)x34rr4 rrrr4 r2r 1441TC (5x)()( 1) C 5xx 22234T( 1) C 5 x150 x 由得：由得：4- rZ.(r=04- rZ.(r=0，1 1，2 2

37、，3 3，4)4)，即，即r=0r=0，2 2，4 4，所以展開，所以展開式中所有式中所有x x的有理項為的有理項為320204442214344402254T1C 5 x625xT1C 5 x150 xT1C 5 xx . ，【方法技巧方法技巧】1.1.明確二項展開式通項公式的作用明確二項展開式通項公式的作用通項公式通項公式 (r=0 (r=0，1 1，2 2，n)n)集中體現(xiàn)了二項展開式中集中體現(xiàn)了二項展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化，是二項式定理的核心，它在求展開式的的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項某些特定項( (如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理

38、項、系數(shù)最大如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等的項等) )及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用. .rn rrr 1nTC ab2.2.應(yīng)用二項式定理解題要注意的問題應(yīng)用二項式定理解題要注意的問題(1)(1)通項公式表示的是第通項公式表示的是第“r+1”r+1”項，而不是第項，而不是第“r”r”項項. .(2)(2)展開式中第展開式中第r+1r+1項的二項式系數(shù)項的二項式系數(shù) 與第與第r+1r+1項的系數(shù)，在一般情況項的系數(shù)，在一般情況下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和下是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和

39、指數(shù)的運算要細心，以防出差錯指數(shù)的運算要細心，以防出差錯. .(3)(3)它表示二項展開式中的任意項，只要它表示二項展開式中的任意項，只要n n與與r r確定，該項也隨之確定確定，該項也隨之確定. .對于一個具體的二項式，它的展開式中的項對于一個具體的二項式，它的展開式中的項T Tr+1r+1依賴于依賴于r.r.rnC(4)(a+b)(4)(a+b)n n展開式的第展開式的第r+1r+1項項 和和(b+a)(b+a)n n的展開式的第的展開式的第r+1r+1項項 是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的a a和和b b是不能隨便交是不能隨便交換的換的. .(5)

40、(5)通項公式是在通項公式是在(a+b)(a+b)n n這個標準形式下而言的，而這個標準形式下而言的，而(a-b)(a-b)n n的二項展的二項展開式的通項公式是開式的通項公式是 ( (只需把只需把-b-b看成看成b b代入二項式定代入二項式定理理) )，這與，這與 是不同的，在這里，對應(yīng)項的二項式系數(shù)是是不同的，在這里，對應(yīng)項的二項式系數(shù)是相等的，都是相等的，都是 ，但項的系數(shù)一個是，但項的系數(shù)一個是(-1)(-1)r r ，一個是，一個是 ，可看出，可看出二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念rn rrnC abrn rrnC barrn rrr 1nT1 C a

41、b rn rrr 1nTC abrnCrnCrnC【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2015(2015達州高二檢測達州高二檢測) )已知已知f(x)= f(x)= 展開式中展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.992.(1)(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項求展開式中二項式系數(shù)最大的項. .(2)(2)求展開式中系數(shù)最大的項求展開式中系數(shù)最大的項. .322n( x3x )【解析解析】(1)(1)令令x=1x=1，得二項展開式各項系數(shù)和為，得二項展開式各項系數(shù)和為f(1)=(1+3)f(1)=(1+3)n n=4=4n n，由，由題意得：題意得：4 4n n-

42、2-2n n=992=992，(2(2n n) )2 2-2-2n n-992=0-992=0， 所以所以(2(2n n+31)(2+31)(2n n-32)=0-32)=0，解得，解得n=5n=5，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為中間兩項，它們是：所以展開式中二項式系數(shù)最大項為中間兩項，它們是：(2)(2)展開式通項公式為展開式通項公式為假設(shè)假設(shè)T Tr+1r+1項系數(shù)最大，則有：項系數(shù)最大，則有：解得：解得： 又因為又因為r=0r=0， 1 1，5 5，所以所以r=4r=4，所以展開式中系數(shù)最大項為，所以展開式中系數(shù)最大項為222223226322 33333545TC (x ) (3x )

43、90 xTC (x ) (3x )270 x .，2(5 2r)rr3r 15TC 3 xr015， ， ， ，rrr 1r 155rrr 1r 155C 3C3C 3C3，79r22，2264243355TC x(3x )405x.【補償訓(xùn)練補償訓(xùn)練】 展開式的第展開式的第7 7項與倒數(shù)第項與倒數(shù)第7 7項的比是項的比是1616，求，求展開式中的第展開式中的第7 7項項. .【解析解析】第第7 7項：項：倒數(shù)第倒數(shù)第7 7項：項：由由 所以所以n=9n=9，則則n331( 2)36n 6637n31TC ( 2)()3，n 66n 63n 7 2n 5n31TTC( 2) ()3 6n 66

44、3n3n 66n 63n31C ( 2)()1316C( 2) ()3，69 663379931156TC ( 2)()C 2.933類型四類型四 二項式定理中的二項式定理中的“賦值賦值”問題問題【典例典例4 4】(1)(2015(1)(2015孝感高二檢測孝感高二檢測) )若若(x(x2 2+1)(x-3)+1)(x-3)9 9=a=a0 0+a+a1 1(x-2)+(x-2)+a a2 2(x-2)(x-2)2 2+a+a3 3(x-2)(x-2)3 3+a+a1111(x-2)(x-2)1111，則，則a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1111的值為的值為_._.(2)(2

45、)設(shè)設(shè)(2- x)(2- x)100100=a=a0 0+a+a1 1x+ax+a2 2x x2 2+a+a100100 x x100100，求下列各式的值，求下列各式的值. .a a0 0. .a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a100100. .a a1 1+a+a3 3+a+a5 5+a+a9999. .(a(a0 0+a+a2 2+a+a100100) )2 2-(a-(a1 1+a+a3 3+a+a9999) )2 2. .|a|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a100100|.|.3【解析解析】(1)(1)令令x=2x=2得得a a0 0=(2

46、=(22 2+1)(2-3)+1)(2-3)9 9=-5=-5，令令x=3x=3得，則得，則a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1111=(3=(32 2+1)(3-3)+1)(3-3)9 9=0=0，所以所以a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a1111=-a=-a0 0=5.=5.答案：答案：5 5(2)(2)令令x=0 x=0，則展開式為，則展開式為a a0 0=2100.=2100.令令x=1x=1，可得，可得a a0 0+a+a1 1+a+a2 2+a+a100100=(2- )=(2- )100100，( (* *) )所以所以a a1 1+a+

47、a2 2+a+a100100=(2- )=(2- )100100-2-2100100. .令令x=-1x=-1，可得，可得a a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a100100=(2+ )=(2+ )100100. .與中與中( (* *) )式聯(lián)立相式聯(lián)立相減得減得3331001001399(23)(23)aaa.2原式原式= =(a(a0 0+a+a2 2+a+a100100)+(a)+(a1 1+a+a3 3+a+a9999) )(a(a0 0+a+a2 2+a+a100100)-)-(a(a1 1+a+a3 3+a+a9999) )=(a=(a0 0+a+a1 1+

48、a+a2 2+a+a100100)(a)(a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a9898-a-a9999+a+a100100)=)=(2- )(2- )(2+ )(2+ )100100=1=1100100=1.=1.因為因為T Tr+1r+1所以所以a a2k-12k-10(kN0(kN* *).).所以所以|a|a0 0|+|a|+|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|a100100| |=a=a0 0-a-a1 1+a+a2 2-a-a3 3+a+a100100=(2+ )=(2+ )100100. .33rr100 rrr1001 C2( 3) x ，3【方法

49、技巧方法技巧】賦值法的應(yīng)用規(guī)律賦值法的應(yīng)用規(guī)律與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二與二項式系數(shù)有關(guān)，包括求展開式中二項式系數(shù)最大的項、各項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以項式系數(shù)或系數(shù)的和、奇數(shù)項或者偶數(shù)項的二項式系數(shù)或系數(shù)的和以及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊及各項系數(shù)的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得的結(jié)構(gòu)特點和所求式子的關(guān)系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在到的式子比所求式子多一項或少一項，此時