2017天津高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、絕密啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(理工類(lèi))本試卷分為第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150 分，考試用時(shí) 120分鐘。第I卷 1 至 2 頁(yè)，第n卷 3 至 5 頁(yè)。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、 準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題考上， 并在規(guī)定位置粘貼考試用 條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效。考試結(jié)束后，將本 試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2本卷共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。 參考公式：如果事件 A, B 互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).棱柱的體積公式 V=Sh.

2、其中 S 表示棱柱的底面面積，h 表示棱柱的高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有(1)設(shè)集合A =1,2,6, B =2,4, C =x R | -1 Ex乞5，則(AU B)DC -(A)2(B)1,2,4(C)1,2,4,6(D)x R |-仁x空5Ox + y之0,x +2v 2 KO(2)設(shè)變量x, y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z =注意事項(xiàng)：1每小題選出答案后用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)用橡皮擦干如果事件 A, B 相互獨(dú)立，那么P(AB)=P(A) P(B).43球的體積公式V R3.3其中R表示球的半徑.項(xiàng)是符合題目要求的x y的最大值為|xg八3,12

3、c =g(3)，則 a，b，c 的大小關(guān)系為5 :.1.1 -23(A )( B) 1 ( C)( D) 332(3)0( B) 1 (C) 2 ( D) 324,則輸出N的值為(A)(4)設(shè)R，則“一自工”是“曲1”的2(A )充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件2 2(5)已知雙曲線=1(a 0, b 0)的左焦點(diǎn)為F,a b離心率為2.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為2 2(A) -y1(B)442 2xy1(C)882 2xy1(D)48(6)已知奇函數(shù)f(x)在 R 上是增函數(shù),g(x)二 xf (x

4、).若 a = g(log25.1)， b = g(2.8)，(A) a :b : c(B)c : b : a(C)b :a：c(D)b：c .：a(7)設(shè)函數(shù) f (x) =2sin()，其中12-、 0 , I I：I：右 f( )=2 , f ()=0,8 8且 f(x)的最小正周期大于 2 二，則江12甲=1Ulln1(C),( D )324-2x x 3,x 二 1,2設(shè) a R，若關(guān)于 x 的不等式 f (x) al 在 R 上恒x ,x 1.2、 x成立，則 a 的取值范圍是(C) -2.3,2第H卷39(D)【-2 3,祁注意事項(xiàng)：1 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上

5、。2.本卷共 12 小題，共 110 分。二.填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.(9)_ 已知 a. R , i 為虛數(shù)單位，若 ”為實(shí)數(shù)，則 a 的值為 _.2+i(10)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為4Tcos.一)1與圓=2 sinv的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6/A =60,AB =3,AC =2.若-2DCAE二AC - AB( R)，且T TAD AE - -4，則，的值為(14)用數(shù)字 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有 _個(gè)(用

6、數(shù)字作答)三.解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題滿分 13 分)3在厶ABC中，內(nèi)角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a b,a=5,c=6,sinB=.5()求b和sin A的值;24(12)若a,b R,ab 0,a44b41ab的最小值為(8 )已知函數(shù) f(x)(A)一細(xì)(11)在極坐標(biāo)系中，直線(13 )在ABC中，(n)求sin(2An)的值.16.(本小題滿分 13 分)從甲地到乙地要經(jīng)過(guò) 3 個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的11 1概率分別為丄,丄，丄.23 4(I)設(shè)X表示一輛車(chē)從

7、甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(n)若有 2 輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2 輛車(chē)共遇到 1 個(gè)紅燈的概率.(17)(本小題滿分 13 分)如圖，在三棱錐 P-ABC 中，PA 丄底面 ABC,. BAC=90點(diǎn) D, E, N 分別為棱 PA, PC,BC 的中點(diǎn)，M 是線段 AD 的中點(diǎn)，F(xiàn)A=AC=4 , AB=2.(I)求證：MN/平面 BDE;(n)求二面角 C-EM-N 的正弦值；(川)已知點(diǎn) H 在棱 PA 上，且直線 NH 與直線 BE 所成角的余弦值為 -2，求線段 AH 的21長(zhǎng).18.(本小題滿分 13 分)已知an為等差數(shù)列，前 n 項(xiàng)和為S

8、n(N ),bn是首項(xiàng)為 2 的等比數(shù)列，且公比大于0,b2b3=12,4=a4-2a1,務(wù)=1血.(I)求an和bn的通項(xiàng)公式；(n)求數(shù)列a2nb2n=的前 n 項(xiàng)和(nN ).(19)(本小題滿分 14 分)1y2= 2 px( p 0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線I的距離為一.2(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；(II )設(shè)I上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于點(diǎn)A)，直線BQ6與x軸相交于點(diǎn)D若厶APD的面積為上6,求直線AP的方程.2(20)(本小題滿分 14 分)設(shè)a Z，已知定義在 R 上的函數(shù)f (x2x43x3-3x2-6x a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零

9、點(diǎn)xo，g(x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù).(I)求g (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)設(shè)m 1,x)U(x0,2，函數(shù)h(x)二g(x)(m-x0)- f(m)，求證:h(m)h(x。)：0；(川)求證：存在大于 0 的常數(shù)A，使得對(duì)于任意的正整數(shù)p,q，且衛(wèi)1,人)1(人，2,滿q足丨p-x0丨 .2 2設(shè)橢圓篤占=i(a b -0)的左焦點(diǎn)為a bF，右頂點(diǎn)為A，離心率為丄已知A是拋物線2q Aq1-4BDCA 5-8BCAA 9.-2;10.11.2;12.4;14.10803415.(I)解：在ABC中，因?yàn)閍 b，故由sin B，可得cosB.由已知及余弦定55理，有b2=a2c2-2accos

10、B =13，所以b =.由正弦定理得QnA=竺=.sin A sin Bb 13所以，b的值為.13，si nA的值為.13a:：c，得cos A二:，所以si n 2 A = 2si nA cos A二一,131316.(I)解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0,123.所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123天津理數(shù)答案13.3_11(n)解：由(i)及ncos2A =1 2sin2A故sin(2 A )二sin 2A134nncos cos2As in 47. 226P(XP(XP(XP(X1111)=(1) (1) (1廠2344111111=1) (1一一) (1一一) (1一一)一(1一

11、一)(1一一)(123423411111111=2) = (1 ) (1 )23 4 2342 31 1 11=3)=漢一匯一=21 1(1一)一，441124，P111114244241111113隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) = 0 - 1一2 - 3一二一.424424 12（n）解：設(shè)Y表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為P(Y=1Z) =P(二Y 0=1 1111 1 11=X+X =4 2424448所以，這 2 輛車(chē)共遇到 1 個(gè)紅燈的概率為1148（17）本小題主要考查直線與平面平行、二面角、 異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解

12、決立體幾何問(wèn)題的方法考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力滿分 13分.如圖，以 A 為原點(diǎn)，分別以 AB，AC，AP 方向?yàn)?x 軸、y 軸、z 軸正方向建立空間直角坐 標(biāo)系.依題意可得A（ 0，0，0），B（ 2，0，0），C（ 0, 4，0），P（ 0，0, 4），D（ 0，0，2），E（ 0，2，2） ，M （0， 0， 1）， N （1, 2， 0）.n DE =02y =0八，即 2x-2z不妨設(shè)MN n =0.因?yàn)?MN 二平面 BDE，所以 MN/平面 BDE .(I)證明：DE =(0,2,0)，（2，0， -2 ）.設(shè) n = （x,y,z），為平面 BDE 的法向量

13、,z=1，可得 n = （1,0,1）.又 MN = （1，2， -1），可得則n DB =0DB =（H）解：易知 n =（1,0,0）為平面 CEM 的一個(gè)法向量設(shè) n2=（X, y,z）為平面 EMN 的法向量,n2EM 02y _z =0則，因?yàn)?EM =(0, 2,_1) , MN=(1,2, -1)，所以 不妨設(shè) y=l ,n2MN =0 x 2y _z = 0可得 n2=(4,1,_2).28 1 10h -21h 8 =0，解得 h 二，或 h .52所以，線段 AH 的長(zhǎng)為8或-.5218.【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b12，得b

14、i（q q2） =12，而D = 2，所以q2 q - 6 = 0.又因?yàn)閝0,解得q =2.所以，bn=2n.由 6=a4-2a1，可得3d =8.由S11=11b4，可得a1- 5d -16,聯(lián)立，解得a1=1,d= 3，由此可得an=3n - 2.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n -2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為b 2n.(II)解：設(shè)數(shù)列 a2nb2n4的前n項(xiàng)和為T(mén)n,因此有cos : ni, n2 =nin2|ni111.215于是 sin:ni, n2=10521所以，二面角 C EM N 的正弦值為J05.21（川）解：依題意，設(shè) AH=h （ 0 蘭 h 蘭 4 ），則H (0

15、, 0, h),進(jìn)而可得NH =(_1,_2,h),BE =(22,2).由已知，得 |cos：: NH ,BE |二|2h -2|.h252、37,整理得21|NHB引|NH |BE|由a?.=6n-2,bn4=2 4nd，有a2nb2nj=(3n-1) 4n,故Tn=245 428 43|l(3n -1)4n,4Tn=2425 438 44III(3n -4)4n(3n -1) 4n 1,上述兩式相減，得-3Tn=2 4 3 423 4|3 4“-(3n-1) 4n 1-(3n -2) 4n83 n - 2n 1得Tn4n 13P = 2，于是b2二a2-c2-所以，橢圓的方程為x2絲=1

16、，拋物線的方程為3(n)解：設(shè)直線AP的方程為x二my 1(m = 0)，與直線I的方程x -1聯(lián)立,P(-1,-Z)，故Q(-1,Z).將my 1與x2=1聯(lián)立，消去x，整理得mm3226 m(3m 4)y - 6my =0,解得y = 0，或y2.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)3m+4B(2,2).由Q(-1,2)，可得直線BQ的方程為3m 4 3m 4m16m 二6,整理得3m2- 2、6 |m2=0,解得| m = 6,所以m 633所以，直線AP的方程為3x -6y-3=0，或3x-；6y-3=0.20. (I)解:由f (x)二2x43x33x2-6x a,可得g(x)二f (x)二8x3

17、9x26x -6,112 (1一4心一1) 414所以，數(shù)列a2nb2n的前n項(xiàng)和為3n一24n 18319.(I)解：設(shè)F的坐標(biāo)為3c(_c,0).依題意，一ap1” +,1a,a -c,解得a =1,c =-,2 2 2可得點(diǎn)2-3m 4-6 m(-6m3m24 mx 1)-(2 2-3m2：422 - 3m241)(y-蘭)=0，令y=0，解得x =2 3mm3m243m22，故2 23m22，0).所以心2滄6m2 23m 2 3m 2.又因?yàn)锳PD的面積為丄62，故2 3m22 |m|2進(jìn)而可得g (x24x218x -6.令g (x) =0，解得x=1，或x =.4當(dāng) x 變化時(shí)，

18、g (x), g(x)的變化情況如下表:x(嚴(yán)-1)1(r1(二嚴(yán))4g(x)+-+g(x)/ 1 一 1所以，g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(_oo,_1),(-畑)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-1丄).4，4(n)證明：由h(x)二g(x)(m -x0) - f (m)，得h(m)二g (m)(m -x() - f (m),h(x。)=g(x)(m -Xo) - f (m).令函數(shù)H,x) =g(x)(x-x) - f(x)，則已(x) = g (x)(x-x。).由(I)知，當(dāng)x 1,2時(shí)，g(x)0，故當(dāng)1,x)時(shí)，H；(x)：O,H,x)單調(diào)遞減；當(dāng)x (x),2時(shí)，H/(x)0,H,(x)單調(diào)遞增因此，當(dāng)x1,x0)U(x0,2時(shí)，Hd x) H (狡)一f(o,x可得Hi(m) 0,即h(m) 0.令函數(shù)H2(x) =g(x)(x -x) - f (x)，則H2(x)二g(x) - g(x)由(I)知，g(x)在1,2上單