扭轉(zhuǎn)變形(相對扭轉(zhuǎn)角)

1、一、扭轉(zhuǎn)變形：（相對扭轉(zhuǎn)角）一、扭轉(zhuǎn)變形：（相對扭轉(zhuǎn)角）PGITdxddxGITLP扭轉(zhuǎn)角單位：弧度扭轉(zhuǎn)角單位：弧度（rad） GIP抗扭剛度抗扭剛度。dxGITdPpGITlpiiiGIlT單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角mrad二、二、 扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計算扭轉(zhuǎn)桿的變形和剛度計算扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計算式扭轉(zhuǎn)變形與內(nèi)力計算式扭矩不變的等直軸扭矩不變的等直軸PGITdxd各段扭矩為不同值的階梯軸各段扭矩為不同值的階梯軸 # 圖示階梯圓桿，如各段材料圖示階梯圓桿，如各段材料也不同，也不同，AB 兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角兩截面的相對扭轉(zhuǎn)角為：為： # 圖示等直圓桿受分布扭矩圖示等直圓桿受分布扭矩 t 作用

2、，作用，t 的單位為的單位為 。N m m 13nniiA BipiMlnG I T 從中取從中取 dx 段，段，dx 段兩相鄰截面段兩相鄰截面的扭轉(zhuǎn)角為：的扭轉(zhuǎn)角為： npMx dxdGI TAB 截面相對扭轉(zhuǎn)角為：截面相對扭轉(zhuǎn)角為： nllpMx dxdGI T 從中取從中取 dx 段，該段相鄰兩截段，該段相鄰兩截面的扭轉(zhuǎn)角為：面的扭轉(zhuǎn)角為： # 圖示為變截面圓桿，圖示為變截面圓桿，A、B 兩端直徑分別為兩端直徑分別為 d1、d2 。 dxxGITdP)(AB 截面相對扭轉(zhuǎn)角為：截面相對扭轉(zhuǎn)角為： dxxGITdLPL)(單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角mradPGITdxd 圓軸受扭時，

3、除滿足強度條件外，還須滿足一定的剛度要求。圓軸受扭時，除滿足強度條件外，還須滿足一定的剛度要求。通常是限制單位長度上的最大扭轉(zhuǎn)角不超過規(guī)范給定的許用值通常是限制單位長度上的最大扭轉(zhuǎn)角不超過規(guī)范給定的許用值圓軸受扭時剛度條件可寫作圓軸受扭時剛度條件可寫作 )(maxmaxmax）或（PPGITGIT 0maxmax180)(PGITm3 3、剛度條件應用：、剛度條件應用：1)1)、校核剛度、校核剛度； max max pGMIn3)3)、確定外載荷、確定外載荷: :2)2)、設計截面尺寸、設計截面尺寸: : maxpnGIMm三、三、 扭轉(zhuǎn)桿的剛度計算扭轉(zhuǎn)桿的剛度計算例例 已知：已知：MA =

4、180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? 校校核軸的剛度核軸的剛度解：解：1. 1. 內(nèi)力、變形分析內(nèi)力、變形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCABAC rad 1033. 01017. 1101.502-2-22. 2. 剛度校核剛度校核p111ddGITxp222ddGITxp11maxmaxdd GITx故故 m/ )( 43. 0180)m1010P

5、a)(3.010(80mN 180412-59max軸的剛度足夠例例 試計算圖示圓錐形軸的總扭轉(zhuǎn)角試計算圖示圓錐形軸的總扭轉(zhuǎn)角解：解：32)()(4pxdxI MT lxxdddGM0 4121d2132 32311211)-(332ddddGMlxldddxd121)( lxxGITd )( p 例例 長長 L=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，G=80 GPa，許用剪應力許用剪應力 =30 MPa，試設計桿的外徑；若試設計桿的外徑；若 =2/m，試校核試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。此桿的剛

6、度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。解解：1.作扭矩圖作扭矩圖L-x)(20)()(xLxLmxT)(40220maxmNTTx40 116D max43TWp）（2.2.設計桿的外徑設計桿的外徑314max 116）（TDmaxpWT 例例 長長 L=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m =20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，G=80 GPa，許用剪應力許用剪應力 =30 MPa，試設計桿的外徑；若試設計桿的外徑；若 =2/m，試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。L-xTx40代入數(shù)值得：代

7、入數(shù)值得： D 0.0226m。314max 116）（TD3. 3. 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT)1 (108018040324429D m/89. 1剛度足夠剛度足夠 例例 長長 L=2 m的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，G=80 GPa，許用剪應力許用剪應力 =30 MPa，試設計桿的外徑；若試設計桿的外徑；若 =2/m，試試校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。校核此桿的剛度，并求右端面相對于左端面的轉(zhuǎn)角。L-xTx404. 4. 右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角為：

8、為：LPdxGIxT0)(LPdxGIxLm0)(PGImL22弧度）( 033. 0例例 實心圓軸受力如圖示，已知材料的實心圓軸受力如圖示，已知材料的試設計軸的直徑試設計軸的直徑 D 。 980,0.3,80 10MPam GPa 扭矩圖扭矩圖解解 （一）繪制扭矩圖如圖。（一）繪制扭矩圖如圖。 （二）由強度條件設計（二）由強度條件設計 D 。 解得：解得： 66Dmm （三）由剛度條件設計（三）由剛度條件設計 D 。 解得：解得： 102Dmm 從以上計算可知，該軸直徑應由剛度條件確定，選用從以上計算可知，該軸直徑應由剛度條件確定，選用 D=102mm 。 mKNT5 . 4maxmaxma

9、xpWT 16D max3TWp180maxmaxPGIT 18032D max4GTIp 例例 有一階梯形圓軸，軸上裝有三個皮帶輪如圖有一階梯形圓軸，軸上裝有三個皮帶輪如圖a所示。軸的直徑所示。軸的直徑分別為分別為d140mm，d270mm。已知作用在軸上的外力偶矩分別為。已知作用在軸上的外力偶矩分別為T10.62 kNm，T20.81 kNm，T31.43 kNm。材料的許用切應力。材料的許用切應力 =60 MPa，G8104 MPa，軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角為，軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角為2/m，試校核該軸的強度和剛度。，試校核該軸的強度和剛度。 解（解（1 1）作出扭矩圖）作出扭矩圖 （2

10、2）強度校核）強度校核 由于由于AC 段和段和BD 段的直徑不相段的直徑不相同，橫截面上的扭矩也不相同，因同，橫截面上的扭矩也不相同，因此，對于此，對于AC 段軸和段軸和BD 段軸的強度段軸的強度都要進行校核。都要進行校核。0.62 kNm1.43 kNmAC 段段MPaMPadWMn604 .4910)40(1610621. 01610621. 09333max31MPaMPadWMn602 .2110)70(161043. 1161043. 19333max32BD 段段 （3 3）剛度校核）剛度校核AC 段段 mmGIMon/2/77. 118010)40(32101081062. 01

11、24643maxmmGIMoon/2/434. 018010)70(32101081043. 1124643maxBD 段段 計算結(jié)果表明，軸的強度和剛度是足夠的。計算結(jié)果表明，軸的強度和剛度是足夠的。0.62 kNm1.43 kNm例 試求圖示軸兩端的反力偶矩解解: : 受力分析,建立平衡方程(a) 0 , 0MMMMBAx未知力偶矩2個，平衡方程1個，一次超靜定四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題變形分析,列變形協(xié)調(diào)方程0 CBACAB (b) 0bMaMBA聯(lián)立求解方程(a)與(b) baMaMbaMbMBA ，p1GIaTAC p)(GIaMA p2GIbTCB pGIbMB 建立補充

12、方程代入上式例例 長為長為 L=2 m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如圖，若的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226 m ，G=80 GPa，試試求：固定端的反力偶。求：固定端的反力偶。解解：桿的受力圖桿的受力圖02mmmBA幾何方程：幾何方程：0BA 物理方程：物理方程：LPBAdxGIxT0)(mN 20 AM 由平衡方程得由平衡方程得：另另: :此題可由對稱性直接求得結(jié)果。此題可由對稱性直接求得結(jié)果。mN 20BMxLPBAdxGIxT0)(0)(AMmxxT0 xmmxMxTA)(xMA202020dx

13、GIxMPA0402PAGIM0BA02mmmBA平衡方程平衡方程幾何方程幾何方程)(xTxAM7-6 7-6 圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析圓軸扭轉(zhuǎn)破壞分析低碳鋼試件低碳鋼試件：沿橫截面斷開。：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成4545 的螺旋的螺旋線斷開。線斷開。 材料抗拉能力差，構(gòu)材料抗拉能力差，構(gòu)件沿件沿4545斜截面因拉應力而斜截面因拉應力而破壞（脆性材料）。破壞（脆性材料）。 材料抗剪切能力差，構(gòu)材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面因切應力而發(fā)生件沿橫截面因切應力而發(fā)生破壞破壞( (塑性材料）；塑性材料）； x分析方法分析方法取單元體（單元體上的應力認為是均勻分布的）取單元體（

14、單元體上的應力認為是均勻分布的）, 0n, 0t2sin2cos設：設：ef 邊的面積為邊的面積為 dA 則則 xntefbeb 邊的面積為邊的面積為dAcos bf 邊的面積為邊的面積為dAsin 0sin)sin(cos)cos(dAdAdAsin)cos(dAdAcos)sin(dA0 若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿若材料抗拉壓能力差，構(gòu)件沿4545斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。結(jié)論：結(jié)論： 若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞若材料抗剪切能力差，構(gòu)件沿橫截面發(fā)生破壞( (塑性材料）；塑性材料）；2cos ; 2sin 分析：分析： 45:,)1minmax,4

15、50;max,450;min:)2max,0;max橫截面上！橫截面上！7-7 7-7 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)常見的非圓截面受扭桿為矩形截面桿和薄壁桿件圓桿扭轉(zhuǎn)時圓桿扭轉(zhuǎn)時 橫截面保持為平面；橫截面保持為平面；非圓桿扭轉(zhuǎn)時非圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面由平面變?yōu)闄M截面由平面變?yōu)榍妫òl(fā)生翹曲）。曲面（發(fā)生翹曲）。非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的研究方法：彈性力學的方法研究彈性力學的方法研究非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的分類：1 1、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)），、自由扭轉(zhuǎn)（純扭轉(zhuǎn)）， 2 2、約束扭轉(zhuǎn)、約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸），：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸）， 任意兩

16、相鄰截面翹曲程度相同。任意兩相鄰截面翹曲程度相同。應力特點：應力特點：橫截面上正應力等于零，切應力不等于零。橫截面上正應力等于零，切應力不等于零。約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹 曲程度不同。曲程度不同。應力特點：應力特點：橫截面上正應力不等于零，切應力不等于零。橫截面上正應力不等于零，切應力不等于零。1、 橫截面上角點處，切應力為零2、 橫截面邊緣各點處，切應力 / 截面周邊3、 橫截面周邊長邊中點處，切應力最大021 0 21 故故0n 0 n 故故矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應力分布特點矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)時應力分布特點（彈性力學解）（彈性力學