一次二階矩法

1、ch4一次二階矩法一次二階矩法 n引言引言n一次二階矩法是求解非時(shí)變荷載作用下結(jié)構(gòu)可靠度問題的行之有效的近似方法。它既有較高的精度，又有較高的計(jì)算效率 。n一次二階矩法是在基本變量xi(i= 1，2n)，的概率分布尚不清楚中時(shí)，采用只有均值均值(又稱為一階原點(diǎn)矩)和標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差(又稱為二階中心矩)的數(shù)學(xué)模型去求解結(jié)構(gòu)可靠度的方法 。Ch4 一次二階矩法一次二階矩法n4.1 一次二階矩中心點(diǎn)法一次二階矩中心點(diǎn)法n4.2 一次二階矩驗(yàn)算點(diǎn)法n4.3 JC法4.1一次二階矩中心點(diǎn)法一次二階矩中心點(diǎn)法 n4.1.1.簡單問題可靠指標(biāo)的求法n4.1.2.中心點(diǎn)法基本原理 n4.1.3.中心點(diǎn)法舉例 n4

2、.1.4. 對中心點(diǎn)法的評述在介紹中心點(diǎn)法之前，先回顧功能函數(shù)為線性函數(shù)線性函數(shù)，隨機(jī)變量為正態(tài)分布正態(tài)分布情況下的可靠指標(biāo)問題。I I隨機(jī)變量為正態(tài)分布，且功能函數(shù)為線性函數(shù)隨機(jī)變量為正態(tài)分布，且功能函數(shù)為線性函數(shù)n假定抗力R和荷載效應(yīng)S均服從正態(tài)分布，對于功能函數(shù)Z=R-S，,由于Z是R、S的線性函數(shù)，根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量的特性，Z也服從正態(tài)分布，其平均值及標(biāo)準(zhǔn)差分別為:SRz22SRZ則定義可靠指標(biāo)：22SRSRZZ為什么可以定義來衡量結(jié)構(gòu)的可靠程度？4.1.1簡單問題可靠指標(biāo)（或失效概率）的求法簡單問題可靠指標(biāo)（或失效概率）的求法正態(tài)分布功能函數(shù)正態(tài)分布功能函數(shù)Z，其失效概率與可靠指標(biāo)之，

3、其失效概率與可靠指標(biāo)之間的精確關(guān)系間的精確關(guān)系02)(021)(22dzedzzfPZzzZf)()(212ZZtfdtePZZ這種情況下可靠指標(biāo)是唯一的，且與失效概率之間有精確的對應(yīng)關(guān)系。tzzztzzz令ZZZZII隨機(jī)變量為對數(shù)正態(tài)分布，功能函數(shù)為線性函數(shù)隨機(jī)變量為對數(shù)正態(tài)分布，功能函數(shù)為線性函數(shù)n對數(shù)正態(tài)分布的定義:若lnR、lnS 服從正態(tài)分布，則稱R、S服從對數(shù)正態(tài)分布。n假定抗力R和荷載效應(yīng)S均服從對數(shù)正態(tài)分布，且結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可表示為Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服從正態(tài)分布,Z也服從正態(tài)分布，是lnR、lnS的線性函數(shù)，根據(jù)正態(tài)隨機(jī)變量的特性，其平均值及標(biāo)準(zhǔn)差也可以精

4、確得到：SRzlnln2ln2lnSRZ)1)(1ln()11ln(22222ln2lnlnlnSRRSSRSRSRZZ可靠指標(biāo)為：)1ln(2lnxxx)1ln(22lnxx根據(jù)x的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，求 lnx的統(tǒng)計(jì)參數(shù)結(jié)論：隨機(jī)變量為正態(tài)分布（或?qū)?shù)正態(tài)分布），且功能函數(shù)為線性函數(shù)的條件下，結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)或失效概率可根據(jù)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)方便的求出。隨機(jī)變量為正態(tài)分布，由其形成的線性函數(shù)線性函數(shù)也服從正態(tài)分布。4.1.2中心點(diǎn)法引言n假定隨機(jī)變量x1、x2xn服從任意分布，功能函數(shù) 不是線性函數(shù)，這時(shí), 精確求解Z的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差是非常困難的，即便能夠求得，Z也不服從正態(tài)分布，也不能用上面方法來計(jì)

5、算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)。n 若將非線性功能函數(shù)作為泰勒級數(shù)展開，并取其一次展開式（前兩項(xiàng)）。但一次展開式已不是原來的功能函數(shù)，所計(jì)算可靠指標(biāo)與結(jié)構(gòu)失效概率之間不再存在精確的對應(yīng)關(guān)系。n在這種情況下如何選擇展開點(diǎn)，展開點(diǎn)，從而使近似計(jì)算結(jié)果與精確失效概率的誤差最小,成為一次二階矩法要研究的問題。),(2, 1nxxxgZ 4.1.2中心點(diǎn)法 基本原理n設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為 n將極限狀態(tài)函數(shù)在中心點(diǎn)M= ( ) 處展開為泰勒級數(shù)，并作線性化處理，得n根據(jù)概率論中隨機(jī)變量參數(shù)估計(jì) ，Z*的統(tǒng)計(jì)參數(shù)為: n結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo) ),(21nxxxgZ inixixxxxgxgZZin 1*)(),(21),(2

6、1*nxxxZg 22*),(21inxixxxZxg 2*),(),(2121innxixxxxxxZZZZxgg jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21在中心點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù)：321,xxx 4.1.3中心點(diǎn)法舉例n鋼梁承受確定性彎矩 ,截面塑性抵抗矩W和屈服強(qiáng)度f都是隨機(jī)變量，已知統(tǒng)計(jì)參數(shù)為：nW：nf：n試用中心點(diǎn)法計(jì)算該鋼梁抗彎的可靠指標(biāo) 36109 .884mW05. 0WMPaf2621 . 0fmkNM.8 .1284.1.3中心點(diǎn)法舉例n解法1n取功能函數(shù) n極限狀態(tài)方程為 22*),(21inxxxxiZgx 128

7、800fWMfWZ0128800 fWZ).(8 .103043128800mNWfZ9 .25920)(22222222WfWffWWfz975. 39 .259208 .103043Zz2222222221221WffwWifxxxxxZWZfZxgxgiii),(21*nxxxZg 4.1.3中心點(diǎn)法舉例n解法2n取功能函數(shù) n極限狀態(tài)方程為 22*),(21inxxxxiZgx WMfZ0WMfZMPaMWfZ45.116MPaMMwWffwWfz19.27)()(2222222283. 419.2745.116Zz),(21*nxxxZg 22222222212)(121WWfWif

8、xxxxxZMWZfZxgxgiii4.1.4對中心點(diǎn)法的評述n與隨機(jī)變量為正態(tài)分布、功能函數(shù)為線性函數(shù)的情與隨機(jī)變量為正態(tài)分布、功能函數(shù)為線性函數(shù)的情況下求可靠指標(biāo)，形式一樣況下求可靠指標(biāo)，形式一樣( )，卻有本質(zhì)的區(qū)，卻有本質(zhì)的區(qū)別：別：n（1）中心點(diǎn)法不論R、S的概率分布如何，直接用其平均值、標(biāo)準(zhǔn)差求可靠指標(biāo)。事實(shí)上，平均值、標(biāo)準(zhǔn)差相同的隨機(jī)變量有無窮多個(gè)，每一種情況的可靠度都是不同的，而這里是同一個(gè)結(jié)果。n（2）前者的可靠指標(biāo)是唯一的，并與失效概率有精確的對應(yīng)關(guān)系，而中心點(diǎn)法可靠指標(biāo)與建立的功能函數(shù)表達(dá)式的形式有關(guān)。Zz4.1.3對中心點(diǎn)法的評述n中心點(diǎn)法的主要弱點(diǎn)中心點(diǎn)法的主要弱點(diǎn)n

9、沒有考慮基本變量的概率分布 n均值、方差及可靠指標(biāo)的計(jì)算式是誤差傳遞公式n同一個(gè)結(jié)構(gòu)往往可以列出幾種等價(jià)的極限狀態(tài)方程，不同的極限狀態(tài)函數(shù)在運(yùn)用中心點(diǎn)法計(jì)算時(shí)，其結(jié)果可能不一致。n將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量的平均值處展開不合理，由于平均值不在極限狀態(tài)曲面上，展開后的線線性極限狀態(tài)面性極限狀態(tài)面可能會較大程度地偏離原來的極限狀極限狀態(tài)曲面態(tài)曲面。 n基本變量不服從正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，計(jì)算出的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)與結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況出入較大。中心點(diǎn)法的線性示意圖中心點(diǎn)法的線性示意圖該法選用的線性化點(diǎn)（即平均值點(diǎn)）不在失效邊界上4.2驗(yàn)算點(diǎn)法驗(yàn)算點(diǎn)法(改進(jìn)的一次二階矩法）改進(jìn)的一次二階矩法）n4.2.1驗(yàn)

10、算點(diǎn)法基本思想n運(yùn)用泰勒級數(shù)進(jìn)行線性化處理時(shí),略去高階項(xiàng)的誤差隨線性化點(diǎn)到失效邊界的距離增加而增大（中心點(diǎn)法運(yùn)用泰勒級數(shù)在中心點(diǎn)處展開進(jìn)行線性化處理）。n選擇在失效邊界Z0的某點(diǎn)處將極限狀態(tài)函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，以避免這種形式的誤差。驗(yàn)算點(diǎn)法驗(yàn)算點(diǎn)法 jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21inixixxxxgxgZZin 1*)(),(214.2.1驗(yàn)算點(diǎn)法基本思想n關(guān)于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)關(guān)于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)n設(shè)點(diǎn)P(x1，x2，xn)為極限狀態(tài)方程Z=0所對應(yīng)的曲面上的點(diǎn)，d(P，M)為點(diǎn)P到中心點(diǎn)M( ) 的距離，則能使mind(P，M)的點(diǎn)P*稱為

11、設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，簡稱為驗(yàn)算點(diǎn)。n記為P*(x*1，x*2，x*n)，顯然驗(yàn)算點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 nxxx 21,0*)*,*,(21 nxxxgZ驗(yàn)算點(diǎn)法示意M驗(yàn)算點(diǎn)法4.2.2設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)n理論推導(dǎo)理論推導(dǎo)確定驗(yàn)算點(diǎn)位置確定驗(yàn)算點(diǎn)位置進(jìn)而求可靠指標(biāo)求可靠指標(biāo)n當(dāng)線性化點(diǎn)選在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)當(dāng)線性化點(diǎn)選在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)xi*(i=1,2,n)上時(shí)上時(shí) nZ的均值為（求的均值為（求Z的數(shù)學(xué)期望得）的數(shù)學(xué)期望得）n由于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)在失效邊界上，故有由于設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)在失效邊界上，故有 n則有則有)5()(),(*1*2*1xiniiinxgxxxxxgZ )6()(),(*1*2*1xiniixnZxgxxxxg

12、i )7(0),(*2*1 nxxxg)8()(*1*xiniixZxgxi jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21n假設(shè)各隨機(jī)變量獨(dú)立，則可求解假設(shè)各隨機(jī)變量獨(dú)立，則可求解Z的方差：的方差： n引入分離函數(shù)式，將上面的根式線性化，得引入分離函數(shù)式，將上面的根式線性化，得n 表示第個(gè)隨機(jī)變量對整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的相對影表示第個(gè)隨機(jī)變量對整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的相對影響，因此稱為靈敏系數(shù)。響，因此稱為靈敏系數(shù)。 4.2.2設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo))9()(12*2nixixZxginixixiZxgi1*)10(i)11()(12*nixixxixixgxgii

13、nixixZxgi12)(*)5()(),(*1*2*1xiniiinxgxxxxxgZ 4.2.2設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)n根據(jù)可靠指標(biāo)的定義，有根據(jù)可靠指標(biāo)的定義，有n由于由于 ， 必有必有 n（對于所有i） )12()(1*1*nixixinixixiZZxgxxgii0)(1*nixiixxiiixxg0*xixg0*iixiixx將將 乘到分母上乘到分母上整理后得整理后得)8()(*1*xiniixZxgxinixixiZxgi1*)10()14(0),(*2*1 nxxxg)13(*iixixix或表達(dá)為：4.2.2設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)n式（13）代表n個(gè)方程

14、，再加上（14）共有n+1個(gè)方程，未知數(shù)有 和 ，也是n+1個(gè)。可聯(lián)立求解。n解出設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*（ ， ， ）及相應(yīng)的n常用迭代法求解*1x*2x*nx*ix0*iixiixx)13(*iixixix或表達(dá)為：)14(0),(*2*1 nxxxg4.2.2設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)n計(jì)算步驟n（1）選取設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)的初值，一般取 n（2）由式（11） 計(jì)算 的值，其中包括 n（3）由式（13）得到 和 的關(guān)系 n（4）由式（14）解出 值 n（5）將該值代入式（13），求出 新值 n以該 新重復(fù)進(jìn)行（2）-（5）計(jì)算，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時(shí) 即為所求的可靠指標(biāo)， 即為所確定的

15、設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)。*ixixi*xixg*ix*ix*ix*ix)(fP0*iixiixx4.2.3驗(yàn)算點(diǎn)法舉例n設(shè)極限狀態(tài)功能函數(shù)為313221321),(xxxxxxxxxgZ1x2x3x均為隨機(jī)變量，并具有如下統(tǒng)計(jì)信息：1,1011xx1, 522xx5 . 0, 233xx試用驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)1.取均值作為驗(yàn)算點(diǎn)初值2, 5,10321*3*2*1xxxxxx*3*2321xxxxxg*3*1312xxxxxgi2.計(jì)算*1*2123xxxxxg2*1*22*3*12*3*2*3*21)()()()(3211xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*3*12)()

16、()()(3212xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*1*23)()()()(3213xxxxxxxxxxxx)11()(12*nixixxixixgxgii0.26390.7037-0.6597313221321),(xxxxxxxxxgZ2639. 010111*1xxx)13(*iixixix*ix3. 與 的關(guān)系7037. 05222*2xxx3298. 02333*3xxx)14(0),(*2*1 nxxxg313221321),(xxxxxxxxxgZ0*3*1*3*2*2*1xxxxxx0)32987. 02)(2639. 010()32987. 02)(70

17、37. 05()7037. 05)(2639. 010(9236. 1從而有新的*ix4924. 9*1x6464. 3*2x6344. 2*3x4.由（14）求 及新的*ix4.2.3驗(yàn)算點(diǎn)法舉例n5.以新 進(jìn)行第二次迭代，重復(fù)4直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時(shí)即為所求的可靠指標(biāo) ， 即為所確定的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)*ix*ix本例第三次迭代求得8975. 18105. 9*1x6244. 3*2x6466. 2*3x8975. 18120. 9*1x6226. 3*2x6458. 2*3x第四次迭代求得即為最終結(jié)果設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)法求可靠指標(biāo)評述n驗(yàn)算點(diǎn)法對極限狀態(tài)方程中服從正態(tài)分布的隨機(jī)變

18、量計(jì)算結(jié)果尚可，而非正態(tài)分布誤差較大。JC法求可靠指標(biāo)n問題的提出：驗(yàn)算點(diǎn)法對極限狀態(tài)方程中服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量計(jì)算結(jié)果尚可，而非正態(tài)分布誤差較大。n在工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中，永久荷載一般服從正態(tài)分布，風(fēng)壓、雪壓、樓面活載服從其它類型（如極值型等），截面抗力R服從對數(shù)正態(tài)分布。因此在極限狀態(tài)方程中，常包含非正態(tài)變量分布的基本變量，對于這種極限狀態(tài)方程的可靠度分析，一般要把非正態(tài)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化。nJC法的基本概念就是在應(yīng)用前面所述方法(驗(yàn)算點(diǎn)法)時(shí)，將非正態(tài)的隨機(jī)變量先行“當(dāng)量正態(tài)化”。nJC法是由Rackwitz-Fiessler、Hasofer-Lind等人先后提出來的，因?yàn)閲H安全度聯(lián)

19、合委員會(JCSS)推薦采用這個(gè)方法而得名。 JC法求可靠指標(biāo)計(jì)算計(jì)算步驟步驟n設(shè)結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程為Z=g(x1，x2，xn)=0，基本變量xi的統(tǒng)計(jì)參數(shù)均值為 標(biāo)準(zhǔn)差為 ，(i=1，n)，則JC法的具體實(shí)施步驟加下： n（l）假定基本隨機(jī)變量的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*的坐標(biāo)值 （一般取為 ） n（2）對基本變量xi進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化處理，計(jì)算其當(dāng)量正態(tài)分布yi的統(tǒng)計(jì)參數(shù) ， ,并用來代替 和 并記為n ， ( 1，n)；n(3）計(jì)算 的值，其中包括 *ixixiyiyixixiiyxiiyxiixixi*xixgnixixxixixgxgii12*)(JC法求可靠指標(biāo)計(jì)算計(jì)算步驟步驟n（4） 確定 和

20、的關(guān)系 n（5）求n（6）求出 新值 n（7）以該新 重復(fù)進(jìn)行（2）（5）計(jì)算 ，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時(shí) 即為所求的可靠指標(biāo)， 即為所確定的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)。 *ix*ix*ixiixixix*0),(*2*1 nxxxgiixixix*ixJC法計(jì)算實(shí)例n某軸心受壓短柱，承受永久荷載產(chǎn)生的壓力SG，汽車、人群可變荷載產(chǎn)生的壓力SQ，截面抗力為R。各變量的統(tǒng)計(jì)信息如下表，試用JC法求可靠指標(biāo)及對應(yīng)的失效概率。變量SGSQR分布類型正態(tài)極值I型對數(shù)正態(tài)平均值63（kN）84（kN）365.8kN）標(biāo)準(zhǔn)差5.8（kN）25.2kN）54.9（kN）JC法計(jì)算實(shí)例n1.建立極限狀態(tài)

21、方程 Z=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0n2.假定初始的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn),由已知條件得： x1*=R*=365.8；x2*=SG*=63；x3*=SQ*=84.0n3.將非正態(tài)變量SQ和R在均值處進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化處理n抗力R對數(shù)正態(tài)分布，則 6 .54)8 .3659 .54(1ln8 .3651ln(*22lnRRRVRR73.361)8 .3659 .54(18 .365ln8 .365ln1 8 .365)1lnln1 (22*/RRRVRRJC法計(jì)算實(shí)例n可變荷載SQ極值I型分布，則05089. 02 .252825. 12825. 16QiSx658.7205089. 05

22、7722. 00 .8457722. 0ixu84*QSQS5704. 0)658.720 .84(05089. 0expexp)(*QSF01630. 0)658.720 .84(05089. 0exp)658.720 .84(05089. 0exp05089. 0)(*QSf096.2401630. 03927. 001630. 0177. 0 01630. 05704. 0 ()(1*1/QQSSfSFQ)5704. 0(096.240 .84)(1*1*/QSQSSFSQQ735.79177. 024096. 00 .84JC法計(jì)算實(shí)例n4計(jì)算inixixxixixgxgii12*)(1*xRg1*xGSg1*xQSgZ=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0212*2*2*12*)()()()(xQSxGSxRnixixSgSgRgxgQGi962.5996.248 . 56 .54)()()(2122221222QGSSR9106. 0962.591RR0967. 0962.59) 1(GGSS4019. 0962.59) 1(QQSSJC法計(jì)算實(shí)例n