第8章 梁的位移分析與剛度設(shè)計(jì)

1、2022-3-301第八章第八章 梁的位移分析與梁的位移分析與剛度剛度設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)主講教師：毛衛(wèi)國(guó)主講教師：毛衛(wèi)國(guó)單單 位：材料與光電物理學(xué)院位：材料與光電物理學(xué)院2022-3-302 在第在第7章，我們主要學(xué)習(xí)了梁的章，我們主要學(xué)習(xí)了梁的純彎曲、橫向彎曲和純彎曲、橫向彎曲和斜彎曲斜彎曲中中正應(yīng)力與外加力偶正應(yīng)力與外加力偶的關(guān)系，分析了的關(guān)系，分析了正應(yīng)力的分正應(yīng)力的分布情況布情況，如何判別最大正應(yīng)力的，如何判別最大正應(yīng)力的位置位置，進(jìn)而如何判斷梁，進(jìn)而如何判斷梁的的強(qiáng)度問題強(qiáng)度問題。yIMzzx另外，我們知道，當(dāng)梁受到橫向載荷或外加力偶時(shí)，其另外，我們知道，當(dāng)梁受到橫向載荷或外加力偶時(shí)，其中不僅

2、產(chǎn)生中不僅產(chǎn)生正應(yīng)力正應(yīng)力，而且，而且在梁的不同位置處其變形情況在梁的不同位置處其變形情況也不同也不同。 max2022-3-303失效失效(failure)或破壞或破壞工程構(gòu)件在外力作用下工程構(gòu)件在外力作用下喪失喪失正常功能的現(xiàn)象。正常功能的現(xiàn)象。(1) 強(qiáng)度失效強(qiáng)度失效(failure by lost strength) 指構(gòu)件在外力作用下發(fā)生不可恢復(fù)的塑性變形或發(fā)生斷裂。指構(gòu)件在外力作用下發(fā)生不可恢復(fù)的塑性變形或發(fā)生斷裂。(2) 剛度失效剛度失效(failure by lost rigidity) 指構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生過量的彈性變形。指構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生過量的彈性變形。(3) 穩(wěn)定失

3、效穩(wěn)定失效(failure by lost stability) 指構(gòu)件在某種外力作用下，其平衡形式發(fā)生突然轉(zhuǎn)變。指構(gòu)件在某種外力作用下，其平衡形式發(fā)生突然轉(zhuǎn)變。失效類型：失效類型：2022-3-304研究的意義研究的意義L位移分析中所涉及的梁的變形和位移，都是彈性的。盡管變形位移分析中所涉及的梁的變形和位移，都是彈性的。盡管變形和位移都是彈性的，工程設(shè)計(jì)中，對(duì)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的和位移都是彈性的，工程設(shè)計(jì)中，對(duì)于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的彈性位移都彈性位移都有一定的限制有一定的限制。彈性位移過大，也會(huì)使。彈性位移過大，也會(huì)使結(jié)構(gòu)或構(gòu)件喪失正常功能結(jié)構(gòu)或構(gòu)件喪失正常功能，即發(fā)生即發(fā)生剛度失效剛度失效。 尤其是在高

4、精密的儀器、器械中對(duì)于材料的彈性變形控制尤為重要。尤其是在高精密的儀器、器械中對(duì)于材料的彈性變形控制尤為重要。我們要研究材料的我們要研究材料的變形和位移變形和位移之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。位移分析也是解決位移分析也是解決超靜定問題超靜定問題與與振動(dòng)問題振動(dòng)問題的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。2022-3-305上一章中已經(jīng)提到，如果忽略上一章中已經(jīng)提到，如果忽略剪力剪力FQ的影響，在平面彎的影響，在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲成曲的情形下，梁的軸線將彎曲成平面曲線平面曲線，梁的橫截面，梁的橫截面變形后依然保持平面，且仍與梁變形后的軸線垂直。由變形后依然保持平面，且仍與梁變形后的軸線垂直。由于發(fā)生彎曲變形，于

5、發(fā)生彎曲變形，梁橫截面的位置發(fā)生改變梁橫截面的位置發(fā)生改變， 這種改變這種改變稱為稱為位移位移(Displacement)。 Y位移是位移是各部分變形累加各部分變形累加的結(jié)果。位移與變形有著的結(jié)果。位移與變形有著密切聯(lián)系，但又有嚴(yán)格區(qū)別。密切聯(lián)系，但又有嚴(yán)格區(qū)別。Y這是因?yàn)?，桿件橫截面的這是因?yàn)?，桿件橫截面的位移位移不僅與變形有關(guān)，不僅與變形有關(guān)，而且還與桿件所受的而且還與桿件所受的約束約束有關(guān)。有關(guān)。 2022-3-306Y在數(shù)學(xué)上，確定桿件在數(shù)學(xué)上，確定桿件橫截面位移橫截面位移的過程主要是的過程主要是積分運(yùn)積分運(yùn)算算，積分限或積分常數(shù)積分限或積分常數(shù)則與則與約束條件和連續(xù)條件約束條件和連續(xù)

6、條件有關(guān)。有關(guān)。 Y若材料的應(yīng)力若材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足應(yīng)變關(guān)系滿足胡克定律胡克定律，且在彈性范，且在彈性范圍內(nèi)加載，則位移與力圍內(nèi)加載，則位移與力(均為廣義的均為廣義的)之間均存在之間均存在線性線性關(guān)系關(guān)系。因此，。因此，不同的力不同的力在在同一處同一處引起的引起的同一種位移同一種位移可可以相互疊加。以相互疊加。 Y本章將在分析本章將在分析變形與位移變形與位移關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立確定梁關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立確定梁位移的位移的小撓度微分方程小撓度微分方程及其積分的概念，重點(diǎn)介紹工及其積分的概念，重點(diǎn)介紹工程上應(yīng)用的程上應(yīng)用的疊加法疊加法以及梁的以及梁的。 2022-3-3078.1 基本概念基本概

7、念8.1.1 梁彎曲后的撓度曲線梁彎曲后的撓度曲線若在彈性范圍內(nèi)加載，梁的軸線在梁彎曲后變成一條若在彈性范圍內(nèi)加載，梁的軸線在梁彎曲后變成一條連續(xù)連續(xù)光滑光滑曲線。這一連續(xù)光滑曲線稱為曲線。這一連續(xù)光滑曲線稱為彈性曲線彈性曲線(elastic curve) 或或撓度曲線撓度曲線(deflection curve)，簡(jiǎn)稱彈性線或撓曲線。，簡(jiǎn)稱彈性線或撓曲線。 2022-3-308 根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在在一點(diǎn)一點(diǎn)的曲率與的曲率與這一點(diǎn)這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系存在下列關(guān)系 1M

8、EI其中，其中，和和M都是橫截面位置都是橫截面位置x的函數(shù)，的函數(shù)，EI為橫截面的為橫截面的彎曲剛度。彎曲剛度。 )(x)(xMM 2022-3-3098.1.2 梁的撓度與轉(zhuǎn)角梁的撓度與轉(zhuǎn)角梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移變稱為位移 (Displacement)。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分： 橫截面形心處的橫截面形心處的鉛垂鉛垂位移，稱為撓度位移，稱為撓度(deflection)，用，用表示表示 變形后的橫截面相對(duì)于變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置變形前位置繞繞中性軸中性軸轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)過的角度 (s

9、lope)，用，用表示。表示。 橫截面形心沿橫截面形心沿水平方向的位移水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移，稱為軸向位移或水平位移(horizontal displacement)，用，用u表示。表示。 在小變形情形下，上述位移中，水平位移在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度與撓度相比為高相比為高階小量，故通常不予考慮階小量，故通常不予考慮水平位移水平位移u 。所以我們主要關(guān)注撓度所以我們主要關(guān)注撓度和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系之間的關(guān)系2022-3-3010+tandxdwtandxxdw)(所以我們得到了撓度所以我們得到了撓度和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角之間的微分關(guān)系之間的微分關(guān)系撓度方程撓度方程(d

10、eflection equation)Zy2022-3-30118.1.3 梁的位移與約束密切相關(guān)梁的位移與約束密切相關(guān)約 束 不 同 導(dǎo)約 束 不 同 導(dǎo)致 梁 的 位 移致 梁 的 位 移不相同。不相同。2022-3-30128.2 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分 應(yīng)用撓度曲線的應(yīng)用撓度曲線的曲率曲率與與彎矩彎矩和和彎曲剛度彎曲剛度之間的關(guān)系之間的關(guān)系式，以及數(shù)學(xué)中關(guān)于曲線的曲率公式有式，以及數(shù)學(xué)中關(guān)于曲線的曲率公式有 EIM1 232 11ww ，故被忽略。在小變形條件下，由于12wEIxMdxxwd)()(22梁的梁的撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程，又，又稱為稱為E

11、uler-Bernoulli方程方程。2022-3-3013符號(hào)問題：符號(hào)問題：撓度撓度和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)由的正負(fù)號(hào)由所選坐標(biāo)系所選坐標(biāo)系的正方向來確定。的正方向來確定。T沿沿y軸正向的軸正向的撓度撓度為為正正+，反之為負(fù)；，反之為負(fù)；T將將x軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90o與與y軸重合，軸重合，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角和它的轉(zhuǎn)向和它的轉(zhuǎn)向相同為正，反之為負(fù)。相同為正，反之為負(fù)。彎矩彎矩M(x)的正負(fù)號(hào)確定依舊與的正負(fù)號(hào)確定依舊與第第5章的符號(hào)規(guī)則章的符號(hào)規(guī)則一樣。一樣。2022-3-3014232 )(1)()(1xfxfx232 )(1)(xwxw補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí))( xw221( )d wxxd

12、x 1)()MIxxEEIxMdxxwd)()(22曲率的定義：曲率的定義：2022-3-30152022-3-30162022-3-3017撓度符號(hào)撓度符號(hào)按照數(shù)學(xué)中的符號(hào)規(guī)定，與坐標(biāo)系的選取按照數(shù)學(xué)中的符號(hào)規(guī)定，與坐標(biāo)系的選取有關(guān)有關(guān)。彎矩彎矩的符號(hào)與前面第五章的規(guī)定一致，與坐標(biāo)選取的符號(hào)與前面第五章的規(guī)定一致，與坐標(biāo)選取無關(guān)無關(guān)。即即M(x)為為+，則梁的曲線向下凸。，則梁的曲線向下凸。 M(x)為為-，則梁的曲線向上凸。，則梁的曲線向上凸。MM22)()(1dxxwdxEIxMx)()(12022-3-30180M 22( )( )0d w xw xdx0M22( )0d w xdx0

13、M22( )0d w xdx0Mx xx xx xx x22( )( )0d w xw xdx2022-3-30190M0)(22dxxwd 根據(jù)彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和根據(jù)彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和上面所選取上面所選取的坐標(biāo)系，彎的坐標(biāo)系，彎矩和撓度二階導(dǎo)數(shù)矩和撓度二階導(dǎo)數(shù)總是不一致總是不一致的，所以在公式右邊應(yīng)該的，所以在公式右邊應(yīng)該取取負(fù)號(hào)負(fù)號(hào)。通常選取的坐標(biāo)：通常選取的坐標(biāo)：EIxMdxxwd)()(22x x2022-3-3020對(duì)于對(duì)于等截面等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程程M(x)，分別對(duì)，分別對(duì)x作不定積分，得到包含積分常數(shù)的撓作不定積分，

14、得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程為度方程與轉(zhuǎn)角方程為:DcxdxdxEIxMwcdxEIxMdxdwlll)()(C、D為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。該方法稱為該方法稱為積分法積分法(Integration method)。2022-3-30218.2.2 積分法積分法中常數(shù)的確定中常數(shù)的確定利用利用約束條件和連續(xù)條件約束條件和連續(xù)條件約束條件約束條件對(duì)對(duì)撓度撓度和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角的限制。的限制。在在固定鉸支座固定鉸支座和和輥軸支座輥軸支座處，約束條件是處，約束條件是 撓度等于零，即撓度等于零，即0，0在在固定端固定端處，約束條件是處，約束條件是 撓度等于零，即撓度等于零，即0 轉(zhuǎn)角等于零，即轉(zhuǎn)角等于

15、零，即02022-3-3022連續(xù)條件連續(xù)條件梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑連續(xù)光滑曲線。曲線。在在間斷處，間斷處，的撓度、的撓度、轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等，轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等， 1 2 1 22022-3-30230AM0CM2022-3-3024得到了帶待定參數(shù)得到了帶待定參數(shù)的撓度方程和轉(zhuǎn)角的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程。方程。2022-3-30252022-3-3026其方法類似于第其方法類似于第5章所求的章所求的剪力剪力方程和方程和彎矩彎矩方程！方程！2022-3-30278.3 工程中的工程中的疊加法疊加法基于桿件變形后其軸線為一基于桿件變形后其軸線為一光

16、滑連續(xù)曲線光滑連續(xù)曲線和和位移是桿件位移是桿件變形累加的結(jié)果變形累加的結(jié)果這兩個(gè)重要概念，以及這兩個(gè)重要概念，以及在小變形條件下在小變形條件下的力的獨(dú)立作用原理的力的獨(dú)立作用原理，采用疊加法，采用疊加法 (superposition method), 由由現(xiàn)有的撓度表現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。的位移。 在很多的工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁，在很多的工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)稱為稱為撓度表?yè)隙缺?參見本章表參見本章表8-

17、1)。 2022-3-3028表表8-1 梁的梁的撓度撓度與與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角公式公式2022-3-3029作業(yè)：作業(yè)：3、4、8、92022-3-3030疊加法疊加法基本思想基本思想 各載荷同時(shí)作用下梁任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，等于各載荷同時(shí)作用下梁任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角，等于各個(gè)載荷各個(gè)載荷單獨(dú)單獨(dú)作用時(shí)同一截面的撓度和轉(zhuǎn)角的作用時(shí)同一截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和代數(shù)和。疊加原理的限制：疊加原理的限制：疊加原理要求梁的某個(gè)截面的撓度和轉(zhuǎn)角與該截面的彎矩疊加原理要求梁的某個(gè)截面的撓度和轉(zhuǎn)角與該截面的彎矩成成，因此要求：，因此要求：彎矩彎矩M與與成成線性線性關(guān)系，這就要求材料是關(guān)系，這就要求材料是的。的。曲率與

18、曲率與成成線性線性關(guān)系，這就要求梁為關(guān)系，這就要求梁為。原理原理2022-3-30312022-3-30322022-3-30332022-3-30348.3.2 疊加法應(yīng)用于疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷間斷性分布載荷作用的情況作用的情況思路：思路：2022-3-30352022-3-30362022-3-30378.4 簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單的超超靜定梁靜定梁 與求解拉伸、壓縮桿件的靜不定問題相似，求解靜與求解拉伸、壓縮桿件的靜不定問題相似，求解靜不定梁時(shí)，除了平衡方程外，還需要根據(jù)不定梁時(shí)，除了平衡方程外，還需要根據(jù)多余約束對(duì)位移多余約束對(duì)位移或變形的限制，建立各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系或變形的限制

19、，建立各部分位移或變形之間的幾何關(guān)系，即建立幾何方程，稱為即建立幾何方程，稱為變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程，并建立力與位移或，并建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系，即變形之間的物理關(guān)系，即物理方程物理方程或稱或稱本構(gòu)方程本構(gòu)方程。將這二。將這二者者聯(lián)立聯(lián)立才能找到求解靜不定問題所需的補(bǔ)充方程。才能找到求解靜不定問題所需的補(bǔ)充方程。 2022-3-3038(1)首先要判斷靜不定的首先要判斷靜不定的次數(shù)次數(shù)，也就是確定有幾個(gè)多余約束；，也就是確定有幾個(gè)多余約束；(2) 然后選擇合適的多余約束，將其去除，使然后選擇合適的多余約束，將其去除，使靜不定梁靜不定梁變成變成靜靜定梁定梁；(3)在解除約束處代之以多

20、余約束力；在解除約束處代之以多余約束力；(4) 最后將解除約束后的梁與原來的靜不定梁相比較，多余約最后將解除約束后的梁與原來的靜不定梁相比較，多余約束處應(yīng)當(dāng)束處應(yīng)當(dāng)滿足什么樣的變形條件滿足什么樣的變形條件才能使解除約束后的系統(tǒng)的受才能使解除約束后的系統(tǒng)的受力和變形與力和變形與原來的系統(tǒng)彎曲等效原來的系統(tǒng)彎曲等效， 從而寫出從而寫出變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件。 思路：思路：如何得出變形協(xié)調(diào)條件？如何得出變形協(xié)調(diào)條件？2022-3-3039多余的約束多余的約束 = 多余的約束力多余的約束力(未知的外力未知的外力)+變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件2022-3-3040四個(gè)未知數(shù)，三個(gè)獨(dú)立方程。四個(gè)未知數(shù)，三

21、個(gè)獨(dú)立方程。2022-3-30412022-3-30422022-3-30438.5 梁的剛度設(shè)計(jì)梁的剛度設(shè)計(jì)8.5.1 剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則 對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，限制在一定范圍內(nèi)， 即滿足彎曲即滿足彎曲剛度設(shè)計(jì)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：準(zhǔn)則： wwmax max2022-3-30442022-3-30452022-3-30462022-3-30471. 強(qiáng)度設(shè)計(jì)強(qiáng)度設(shè)計(jì)

22、2022-3-30482. 剛度設(shè)計(jì)剛度設(shè)計(jì)2022-3-30492022-3-30508.6 結(jié)論與討論結(jié)論與討論2022-3-30512PBAFFF2PAFF PCFF 兩種情況下兩種情況下CB段段所受彎矩不一樣。所受彎矩不一樣。邊界條件邊界條件(約束條件約束條件)和連續(xù)條件也不一樣。和連續(xù)條件也不一樣。最終導(dǎo)致最終導(dǎo)致?lián)隙确匠毯娃D(zhuǎn)角方程撓度方程和轉(zhuǎn)角方程自然不一樣。自然不一樣。2022-3-30522022-3-30538.6.3 關(guān)于求解關(guān)于求解超超靜定問題的討論靜定問題的討論 求解超靜定問題時(shí)，除平衡方程外，還需根據(jù)求解超靜定問題時(shí)，除平衡方程外，還需根據(jù)變形協(xié)變形協(xié)調(diào)方程和物理方程

23、調(diào)方程和物理方程建立求解未知約束力的建立求解未知約束力的補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程。 根據(jù)小變形特點(diǎn)和對(duì)稱性分析，可以使一個(gè)或幾個(gè)未根據(jù)小變形特點(diǎn)和對(duì)稱性分析，可以使一個(gè)或幾個(gè)未知力變?yōu)橐阎瑥亩骨蠼忪o不定問題大為簡(jiǎn)化。知力變?yōu)橐阎?，從而使求解靜不定問題大為簡(jiǎn)化。為了建立變形協(xié)調(diào)方程。需要為了建立變形協(xié)調(diào)方程。需要解除解除多余約束，使多余約束，使超靜超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，這時(shí)的靜定結(jié)構(gòu)稱為，這時(shí)的靜定結(jié)構(gòu)稱為靜定系統(tǒng)靜定系統(tǒng)。 在很多情形下，可以將在很多情形下，可以將不同的約束不同的約束分別視為多余約束，分別視為多余約束，這表明這表明靜定系統(tǒng)的選擇不是唯一的靜定系統(tǒng)的選擇不是唯一的。需要指出的是，這種解除多余約束。代之以相應(yīng)的需要指出的是，這種解除多余約束。代之以相應(yīng)的約約束力束力。實(shí)際上是以。實(shí)際上是以力力為未知量求解靜不定問題。這種為未知量求解靜不定問題。這種方法稱為方法稱為力法力法 (force method)。 2022-3-3054 超靜定梁在構(gòu)造上區(qū)別于靜定梁的特點(diǎn)，是存在多超靜定梁在構(gòu)造上區(qū)別于靜定梁的特點(diǎn)，是存在多余約束，若將超靜定梁的余約束，若將超靜定梁的多余約束去掉多余約束去掉，則其變成仍，則其變成仍可