解題中的“設(shè)而不求”綜述

1、.解題中的“設(shè)而不求”綜述周淦利 設(shè)而不求是數(shù)學(xué)解題中的一種很有用的手段，采用設(shè)而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的無益的循環(huán)運算，從而達到準確、快速、簡捷的解題效果。本文將對設(shè)而不求的常見類型加以歸納，以供借鑒與參考。一、整體代入，設(shè)而不求 在解決某些涉及若干個量的求值問題時，要有目標(biāo)意識，通過虛設(shè)的策略，整體轉(zhuǎn)化的思想，繞開復(fù)雜的運算過程，可使問題迅速得到解決。 例1. 已知等比數(shù)列中，求。解：設(shè)公比為q，由于，故于是<2>÷<1>得，則所以 二、轉(zhuǎn)化圖形，設(shè)而不求有些代數(shù)問題，通過挖掘題目中隱含的幾何背景，設(shè)而不求，可轉(zhuǎn)化成幾何問題求解。例2. 設(shè)a

2、、b均為正數(shù)，且，求證。證明：設(shè)，則u、v同時滿足其中表示直線，m為此直線在v軸上的截距是以原點為圓心，2為半徑的圓在第一象限內(nèi)的一部分圓?。ㄈ鐖D1），顯然直線與圓弧相切時，所對應(yīng)的截距m的值最大。圖1由圖易得即三、適當(dāng)引參，設(shè)而不求恰當(dāng)合理地引入?yún)?shù)，可使解題目標(biāo)更加明確，已知和欲求之間的聯(lián)系得以明朗化，使問題能夠得到解決。例3. 已知對任何滿足的實數(shù)x、y，如果恒成立，求實數(shù)k的取值范圍。解：設(shè)（），則 令，得四、巧設(shè)坐標(biāo)，設(shè)而不求在解析幾何問題中，對于有關(guān)點的坐標(biāo)采用設(shè)而不求的策略，能促使問題定向，簡便化歸，起到以簡馭繁的解題效果。例4. 設(shè)拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、

3、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC/x軸，求證：直線AC經(jīng)過原點O。證明：設(shè)點A（，）、B（，），則點C（，）因為AB過焦點F所以得又直線OC的斜率直線OA的斜率，則故A、O、C三點共線，即直線AC經(jīng)過原點O。圖2五、活用性質(zhì)，設(shè)而不求解題過程中，不斷變換觀察角度，類比方法、聯(lián)想內(nèi)容，明確最終目標(biāo)，經(jīng)過巧妙構(gòu)造，活用性質(zhì)，可直達目標(biāo)。例5. 求證證明:設(shè)則由可知：數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列。又則即六、中介過渡，設(shè)而不求根據(jù)解題需要，可引入一個中間量作為中介，起到過渡作用，使問題得以解決。例6. 如圖3，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐體積分成相等的兩部分，求圓錐母線與軸的夾角。圖3解：過點A作SO的垂線，垂足為M，可知MAOAOBOSB設(shè)MAx，OBr，SOh則有化簡可得又因為即所以于是，從而七、恒等變形，設(shè)而不求某些看似十分復(fù)雜的運算，經(jīng)過巧妙轉(zhuǎn)換，恒等變形，使運算對象發(fā)生轉(zhuǎn)移，起到意想不到的效果。例7. 求的值。解：設(shè)則 而，故年級高中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題解題中的“設(shè)而不求”綜述分類索引號G.622.46