行列式的基本性質(zhì)

1、.第一章 行列式學(xué)習(xí)目的和要求1、了解行列式概念產(chǎn)生的背景和原因；2、掌握二階、三階行列式的計(jì)算方法，了解從二、三階行列式的形成規(guī)律，了解n階行列定義產(chǎn)生的過(guò)程；3、掌握行列式的性質(zhì)，特別是可以簡(jiǎn)化行列式構(gòu)成元素的性質(zhì)以及行列式可以以任一行或列展開(kāi)的性質(zhì)；4、掌握行列式的化三角形行列式的計(jì)算方法和以行或列展開(kāi)逐步降階計(jì)算行列式的方法；5、掌握行列式一些應(yīng)用，特別是克萊姆法則及其應(yīng)用。內(nèi)容介紹:行列式的概念是在研究線性方程組解的過(guò)程中產(chǎn)生的.第一節(jié) 行列式的基本概念和性質(zhì)問(wèn)題提出：數(shù)學(xué)知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的，初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)二元或三元一次方程組的求解，常常利用消元法求解，并且總是可以求出唯一解。那么

2、，每個(gè)二元或三元一次方程組都有唯一解嗎？問(wèn)題研究：我們做以下研究，對(duì)于二元一次方程組情況 （） 得類似可得 于是，若 ，則方程組有唯一解同樣，對(duì)于三元一次方程組 （）利用類似的消元的方法得 （）=若0可以求出唯一的，類似可以求出唯一，于是可得方程組的唯一解。這樣就很好的回答了我們提出的問(wèn)題，但以上這些條件和解的公式多很復(fù)雜，于是，人們引進(jìn)了下面我們要介紹的二階和三階乃至n階行列式，以便我們更好的求解方程組。行列式在數(shù)學(xué)的許多分支中都有著非常廣泛的應(yīng)用，是常用的一種計(jì)算工具。特別是在本門(mén)課程中，它是研究線性方程組、矩陣及向量組的線性相關(guān)性的一種重要工具。一、二階行列式的定義引進(jìn)符號(hào)稱為由構(gòu)成的二

3、階行列式，符號(hào)與表達(dá)式之間有明顯的對(duì)角線法則。二、三階行列式的定義引進(jìn)符號(hào)稱為由構(gòu)成的三階行列式，容易看出三階行列式的表達(dá)式有6項(xiàng)，每一項(xiàng)均為不同行不同列的三個(gè)元素之積再冠于正負(fù)號(hào)，簡(jiǎn)單變形后有= ， ，均為二階行列式，且分別為三階行列式中劃掉，所在的行與它們所在的列后，剩余元素構(gòu)成的二階行列式，可以記為，而用,于是 =由此可見(jiàn)，三階行列式的表達(dá)式，可以以上述方法用二階行列式來(lái)表達(dá)。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，四階行列的表達(dá)式也可以利用上述方法用三階行列式給出，以此類推五階、六階.n階都可以用遞推的方法定義。三、階行列式的定義通過(guò)上面的分析，我們可以用遞推的方法給出n階行列式的定義。引進(jìn)符號(hào) 稱為由構(gòu)成的n

4、階行列式，常用來(lái)表示。記為劃掉所在的行與列余下的元素構(gòu)成階行列式，稱為的余子式；而記 ,稱為的代數(shù)余子式，我們定義n階行列式的表達(dá)式為特別的，當(dāng)時(shí)，.例1 計(jì)算解 例2、計(jì)算行列式解 由行列式的定義，有例3、計(jì)算行列式解 由行列式的定義，有四、三角形行列式形如 或的行列式稱為三角形行列式，由于 = = 類似由n階行列式定義，遞推可得 = 三角形行列式有相同的值。即三角形行列式的值等于其主對(duì)角線上元素乘積。五、行列式的基本性質(zhì)通過(guò)對(duì)二階、三階行列式定義進(jìn)行研究，我們得到二、三行列式具有下面的一些性質(zhì)，并且可以證明這些性質(zhì)對(duì)n階行列式也成立。命題1、將行列式各行元素作為各列構(gòu)成的行列式，稱為原行列

5、式的轉(zhuǎn)置行列式；行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式值相等。注：此命題表明，關(guān)于行成立的性質(zhì)，對(duì)于列也成立。命題2、交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號(hào)。推論、行列式中如果有兩行或兩列元素對(duì)應(yīng)相等，則此行列式值為零。命題3、若行列式中某行或某列元素有一個(gè)公因子，則此公因子可以提到行列式符號(hào)外面。命題4、=+對(duì)于列同樣成立。命題5、行列式中某一行或列的元素，乘上一個(gè)數(shù)，加到另外一行或列對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變。命題6、行列式可以表示為其任一行或列的元素，分別乘上它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之和.也稱行列式可以按任意行或列展開(kāi)。推論、行列式中某行或列的元素，分別乘上另一行或列對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式之和值為零。命題6

6、和推論可歸結(jié)為如下等式 第二節(jié) 行列式的計(jì)算和一些應(yīng)用問(wèn)題提出：盡管在行列式定義中給出了計(jì)算行列式的具體方法，但當(dāng)行列式階數(shù)較高、構(gòu)成行列式元素比較大時(shí)，計(jì)算量很大，例如，計(jì)算行列式 問(wèn)題研究：我們有必要尋找計(jì)算行列式的更有效方法，。本節(jié)我們利用行列式的性質(zhì)，給出行列式計(jì)算的一些基本方法和某些應(yīng)用。一、行列式的計(jì)算利用行列式的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化行列式計(jì)算，也可以給出行列式計(jì)算的許多方法，我們這里主要介紹兩種計(jì)算行列式的基本方法：方法一：利用行列式的性質(zhì)，將一個(gè)行列式化為三角形行列式計(jì)算之；方法二：利用行列式的性質(zhì)，將行列式的一行或列化為只有一個(gè)非零元素，然后按該行或列展開(kāi)，轉(zhuǎn)換成計(jì)算低一階的行列式；

7、再將這個(gè)低階的行列式的一行或列化為只有一個(gè)非零元素，然后按該行或列展開(kāi)，轉(zhuǎn)換成計(jì)算更低一階的行列式，如此進(jìn)行下去，即可求出行列式的值。例1 設(shè) 求解 利用行列式性質(zhì)，有例2計(jì)算行列式.解 先將第一行的公因子3提出來(lái)：例3、計(jì)算解 例4 計(jì)算解 注意到行列式的各列4個(gè)數(shù)之和都是6.故把第2，3，4行同時(shí)加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式. 例5 計(jì)算行列式 解 例6 計(jì)算行列式 解 課堂練習(xí)1.計(jì)算行列式二、行列式的一些應(yīng)用 行列式的應(yīng)用是廣泛的，在后面各章節(jié)我們還會(huì)看到。這里我們介紹它的兩個(gè)應(yīng)用。1、空間直角坐標(biāo)系下向量的向量積可以用行列式來(lái)表示在空間直角坐標(biāo)系下

8、，如果分別用i,j,k，表示與三個(gè)坐標(biāo)軸正方向同向的單位向量，則任何一個(gè)空間直角坐標(biāo)系下的向量a都可以表示為設(shè)則例1 設(shè)，求。解： 例2 設(shè) 求解：先求，于是 2、克萊姆法則從引言可知，二元線性方程組 的系數(shù)行列式 0時(shí)，它有唯一解，且解為，這里。類似對(duì)于三元線性方程組 當(dāng)它的系數(shù)行列式 D= 時(shí)，它有唯一解，其中。一般我們有以下含有n個(gè)未知數(shù)的線性方程組稱為n元線性方程組.當(dāng)其右端的常數(shù)項(xiàng)不全為零時(shí),線性方程組(1)稱為非齊次線性方程組,當(dāng)全為零時(shí), 線性方程組(1)稱為齊次線性方程組，形式如下線性方程組(1)的系數(shù)構(gòu)成的行列式稱為該方程組的系數(shù)行列式記為，即 .類似于二元和三元線性方程組我

9、們有定理1（克萊姆法則）若線性方程組(1)的系數(shù)行列式, 則線性方程組(1)有唯一解,其解為 (3)其中是把中第列元素對(duì)應(yīng)地?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)而其余各列保持不變所得到的行列式. 證明：（略）。定理2 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式則(1)一定有解,且解是唯一的。.在解題或證明中，常用到定理2的逆否定理:定理 如果線性方程組(1)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解, 則它的系數(shù)行列式必為零.對(duì)齊次線性方程組(2), 易見(jiàn)一定該方程組的解, 稱其為齊次線性方程組(2)的零解. 把定理2應(yīng)用于齊次線性方程組(2)，可得到下列結(jié)論.定理3 如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式則齊次線性方程組(2)只有零解.定理 如果齊次

10、方程組(2)有非零解,則它的系數(shù)行列式例1用克萊姆法則求解線性方程組：解 由克萊姆法則, 例2 用克萊姆法則解方程組 解 例3人們?cè)陲嬍撤矫娲嬖诤芏鄦?wèn)題，比如很多人不重視吃早飯，日常飲食沒(méi)有規(guī)律，因此為了身體的健康，就要制訂營(yíng)養(yǎng)改善行動(dòng)計(jì)劃，通常一日食譜配餐的要求為：需要攝入一定的蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物，下邊是三種食物，它們的質(zhì)量用適當(dāng)?shù)膯挝挥?jì)量。這些食品提供的營(yíng)養(yǎng)以及食譜所需的營(yíng)養(yǎng)如下給出營(yíng)養(yǎng)單位食物所含的營(yíng)養(yǎng)所需營(yíng)養(yǎng)量食物一食物二食物三蛋白質(zhì)102020105脂肪010360碳水化合物504010525試根據(jù)這個(gè)問(wèn)題建立一個(gè)線性方程組，并通過(guò)求解方程組來(lái)確定每天需要攝入上述三種食物的量。

11、解：設(shè)分別為三種食物的量，則由表中的數(shù)據(jù)可得出下列線性方程組：由克萊姆法則可得， =，=， =則= ，= ，= 從而我們每天可以攝入5.5個(gè)單位的食物一、7.5個(gè)單位的食物二、5個(gè)單位的食物三就可以保證我們的健康飲食了。例4 問(wèn)為何值時(shí), 齊次方程組有非零解?解: D若齊次線性方程組有非零解，則所以 或時(shí)齊次線性方程組有非零解.課堂練習(xí)1、設(shè) 求2.計(jì)算行列式3.如果下列齊次線性方程組有非零解, k應(yīng)取何值? 4.判定齊次線性方程組是否僅有零解.本 章 小 結(jié)本章主要討論了n階行列式的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法，同時(shí)討論了n階行列式在向量的向量積和解n元線性方程組的應(yīng)用。內(nèi)容可分為三個(gè)部分。第一部分是理論部分，它主要包括：（1）n階行列式的定義（包括二階、三階行列式的定義）；（2）n階行列式的性質(zhì)。第二部分是計(jì)算部分，它主要介紹了二種計(jì)算行列式的方法： （1）利用性質(zhì)將行列式化為三角形