討論Jordan標準形及其過渡矩陣的求法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上討論標準形及其過渡矩陣的求法摘要：本文較系統(tǒng)的總結(jié)了標準形及其過渡矩陣的通用的求法。關(guān)鍵字：標準形，特征向量，過渡矩陣一、求解標準形1、通過矩陣求標準形定義：是一個數(shù)域，是一個文字，作多項式環(huán)。一個矩陣，若它的元素是的多項式，稱其為矩陣，用表示。定義：設(shè)矩陣的秩為，對于正整數(shù)，中必有非零的級子式，中全部級子式的首相系數(shù)為的最大公因式稱為的級行列式因子。定義：矩陣的初等變換：、。若經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)?，稱與等價。在初等變換過程中，行列式因子是不變的，也就是說等價的矩陣具有相同的行列式因子。對任意一個非零的的矩陣進行有限次適當?shù)某醯茸儞Q總能將其化為以下形式的矩陣 其中是

2、首項系數(shù)為的多項式，且。稱其為的標準形。依據(jù)以上論述可以求得：，因此可以斷定矩陣的標準形是唯一的。我們稱標準形的主對角線上非零元素為的不變因子；將不變因子分解成為互不相同的首項為的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為的初等因子。下面給出一個定理。定理：為數(shù)域上級矩陣，分別為的特征矩陣。以下命題等價：相似等價有相同的行列式因子有相同的不變因子有相同的初等因子我們簡稱矩陣的特征矩陣的三個因子（行列式因子、不變因子、初等因子）為的三個因子。從定理可以看出，三個因子都是矩陣的相似不變量，因此，我們可以將一個線性變換的任一矩陣的因子定義為的因子。從以上論述我們可以得到一

3、個尋找相似矩陣最簡形的方向：對于矩陣，我們想辦法找到一個形式比較簡單的矩陣，使得和有相同的因子（考慮計算方便的因素，我們選取初等因子），那么，相似。先給出求矩陣的初等因子的方法：通過初等變換，將化為對角形式，將主對角線上的元素分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，這些一次因式的方冪就是的全部初等因子。形矩陣的具體形式為：，其中可以求得矩陣的全部初等因子是：這樣，對于任意階矩陣求出其初等因子，就可以寫出相應的具有相同初等因子（因此也是相似的）的形矩陣，在不考慮塊排列次序的前提下，寫出的矩陣是唯一確定的。這樣就證明了定理。至此，通過矩陣這個橋梁，已經(jīng)完整的解決了怎樣求一個矩陣的標準形的問題?？梢钥吹?/p>

4、，關(guān)鍵是找到了相似不變量不變因子，從不變因子的角度，構(gòu)造出了一個與原矩陣相似的唯一的矩陣。下面，我們從線性空間本身出發(fā)，通過恰當?shù)闹焙头纸鈦碜C明定理。2、通過直和分解求標準形相似矩陣有相同的特征多項式，所以我們可以定義線性變換的特征多項式。設(shè)線性變換的特征多項式為，是的全部不同的根。可以證明，可以分解成子空間的直和，其中，。記，稱是上的一個冪零線性變換，我們現(xiàn)在考慮上的冪零線性變換。因為是線性變換的特征值，可以斷定。取，有，故存在正整數(shù)使得且。顯然有，向量組線性無關(guān)，令，則為的一個不變子空間，我們稱為由生成的循環(huán)不變子空間。顯然有： 對于線性空間，利用商空間和子空間直和分解技巧，可以得到如下結(jié)

5、論：可分解為的循環(huán)不變子空間的直和：，則以下向量組（為便于書寫和理解，我們用如下形式表示出來）為的一組基：其中，為的一個循環(huán)不變子空間的一組基。在上面給出的這組基下，在上的矩陣為，其中則在同一組基下，線性變換在上得矩陣為。是前面對做直和分解的一個子空間，我們將所有的以上形式的基合并為的一組基，則在該組基下的矩陣為矩陣。值得注意的是：；也稱為屬于特征值的根子空間。從以上直和分解的證明思路可以看出，我們只證明了標準型的存在性，并沒有給求出具體形式的標準型的方法，更沒有給出其唯一性的證明，事實上，這兩個問題可以用下面的方法得到完滿的解決。2.1、對直和分解方法的一個補充設(shè)為維線性空間中一線性變換，為

6、的一個特征值，構(gòu)造線性變換，定義以下空間：則： 顯然，為子空間，且，因為為的一個特征值，可以斷定，故存在正整數(shù)使得，相應的有：可以證明，上面的有，且為冪零線性變換。這樣，我們將直和分解成兩個子空間，其中的上有冪零線性變換，由前面的論述過程可知，在上存在一組基，使得在此基下的矩陣為，其中而，這樣，就可以用數(shù)學歸納法證得矩陣的存在性。對于構(gòu)造出的序列空間可以求得等于中以為特征值，且階為的塊的個數(shù)，所以，以為特征值的塊的階和個數(shù)完全由序列空間：確定，和基的選取無關(guān)。注：為計算方便，我們做如下簡單轉(zhuǎn)換：由于，可以知道，所以，就可以寫成，對于一個線性變換，先求出它的全部特征值，再先后求出各個特征值的塊，

7、這樣，就完成了唯一性的證明，并且給出了標準型的具體求法。上面我們從兩方面完成了標準形存在性和唯一性的證明，并且給出了具體的求法。由于代數(shù)基本定理告訴我們，每個次數(shù)的復系數(shù)多項式在復數(shù)域中有一根。由此，由定理可以得出出以下定理。定理：每個級復矩陣，存在可逆矩陣，使得，是形矩陣，在不考慮主對角線上塊的排列次序的情況下，這個矩陣是唯一的。下面我們來求相似矩陣的過渡矩陣。二、求解過渡矩陣1、通過矩陣求解相似，則與等價，故存在可逆矩陣使得 對，存在使得 對，存在使得，可以證明，這樣，就得到了我們想要的過渡矩陣。但由于上面的很難求得，所以，在具體計算上是極其局限的。下面用另一種相對來說可用于具體計算的方法

8、解決過渡矩陣的問題。2、用商空間的技巧求過渡矩陣關(guān)于標準形的討論，本質(zhì)上我們是對一個線性變換，找出一組基，使得在此組基下的矩陣有盡量簡單的形式以便于我們研究。對于線性變換，由其特征多項式可以求得其所有特征值，對每個特征值，它的全部特征向量再添加零向量就構(gòu)成了的一個特征子空間，記為，顯然，當時，也就是說恰有個線性無關(guān)的特征向量時，在一組基下的矩陣是對角矩陣。當時，在任何基下的矩陣都不能是對角形矩陣。從前面的論述我們已經(jīng)知道，總存在一組基，使得在這組基下的矩陣為標準形，那么，我們可以合理猜想，當?shù)木€性無關(guān)的特征向量個數(shù)小于線性空間維數(shù)時，肯定是某些特征子空間的維數(shù)小于相應特征值的重數(shù)，那能不能找到

9、個線性無關(guān)的向量，和個特征向量組合成一線性無關(guān)的向量組（這個向量組與有緊密的關(guān)系），最后將這新構(gòu)造的個向量組合并起來恰好是個，若這個向量線性無關(guān)，則構(gòu)造了空間的一組新基，且使得在這組基下的矩陣為矩陣呢？應該注意到，上面提出的“猜想”的過程，恰好是前面“通過直和分解求標準形”中采用的分解空間為根子空間，進而將根子空間分解為循環(huán)不變子空間的“逆過程”。下面，我們就來簡單地論述這件事情。首先給出商空間的定義和基本性質(zhì)：定義：是數(shù)域上的一個維線性空間，是的一個子空間。在集合上定義加法：，對，定義數(shù)乘： ?？梢则炞C這個加法和數(shù)乘是合理的。關(guān)于該加法和數(shù)乘組成數(shù)域上的線性空間，稱為對的商空間，記為。一般記

10、；設(shè)為的一組基，將其擴充成的一個基組：。易證得為的一組基，則?？梢远x一個從到線性映射。是子空間，在 內(nèi)我們定義誘導變換：，其實誘導變換可以表示為。從“通過直和分解求標準形”的論述可以看出，我們真正要處理的問題是：對根子空間上的一個冪零線性變換，找出各個循環(huán)不變子空間的基組。只有一個特征值。定義，為的唯一特征值0的特征子空間。則可以定義商空間?，F(xiàn)在我們假設(shè)，在內(nèi)誘導變換有一個維循環(huán)不變子空間，由知，所以，若，則，這顯然是不可能的，所以，。也就是說，我們得到在內(nèi)一個維的循環(huán)不變子空間，顯然其中。上面這個結(jié)論的意義在于，我們可以用它來解決這樣一個問題：如果在上找到了一個循環(huán)子空間的基組，那么同時就

11、得到了上相應的一個循環(huán)不變子空間的基組。我們在實際運算中遇到的問題是在上找循環(huán)不變子空間基組，由于，我們可以轉(zhuǎn)而去求較低維空間上的循環(huán)不變子空間，再利用上述結(jié)論回到空間上即可，如果上還是不好求解，我們可以再前一步去上求解循環(huán)子空間，再一步步返回。這樣，往前走的第一步，我們降的維數(shù)為，第二步降的維數(shù)為，第三步為這個降維次數(shù)一般情況甚至大多數(shù)情況下是很快的，當維數(shù)降至維的時候，我們是很容易求得想要的循環(huán)不變子空間的基組的。這樣，我們就找到了一個操作難度不是很大的（至少對于一般教低維的矩陣）求過渡矩陣的方法。為便于直觀理解，下面將給出一道簡單的例題，用本文中敘述的各個方法來求解相應的問題。三、一道例

12、題例：為維線性空間上的線性變換，求的標準形極其過渡矩陣。解：在下的矩陣為1、 通過矩陣求解：，故的不變因子為，相應的標準形矩陣為2、 通過直和分解的方法求解：，（四重特征值）。，也就是說，中以為特征值，且階為的塊的個數(shù)為。故，相應的標準形矩陣為：。3、 求過渡矩陣，（四重特征值）。則考慮，。是冪零矩陣。解齊次方程得基礎(chǔ)解系：。將其擴充為的一組基，則為的一組基，又，。故，是在上誘導變換的兩個循環(huán)不變子空間，則是在上兩個循環(huán)不變子空間。故在基下的矩陣為形矩陣，過渡矩陣，可求得：。四、求過渡矩陣的一個補充例題的另一個解法：解：解齊次方程得基礎(chǔ)解系：，再解非齊次方程得，在基下的矩陣為形矩陣，過渡矩陣，

13、可求得：。這種求法的基本思路是，先求得特征向量，再有特征向量導出根向量。這種求法明顯的缺陷是，當由特征向量導出根向量時，方程往往是無解的，即使有界，由于解不唯一，選哪個，導出到哪一步結(jié)束等問題的確定較復雜。但對于部分矩陣（例如例題中所示），還是可以運用此法的。關(guān)于過渡矩陣的求法，值得注意的是，由于塊順序的關(guān)系，過渡矩陣必然不是唯一的，即使確定了塊順序之后，由求解過程可以看出，方程的解不是唯一的，故過渡矩陣也必然不是唯一的，這里對于過渡矩陣之間的關(guān)系就不贅述了。五、小結(jié)在通過直和分解求標準形的證明過程中，進行了兩次直和分解：前者是將空間分解為根子空間的直和，后者是將根子空間分解為循環(huán)子空間的直和，它們分別被稱為空間第一、第二分解定理。在將根子空間分解為循環(huán)不變子空間的直和時提到，“利用商空間的技巧”，第二個分解的具體證明在參考文獻中第七章前兩節(jié)可以詳細地看到。子空間和商空間是研究線性空間的兩種基本方法，在標準形的求解過程中的應用