大學(xué)物理力學(xué)復(fù)習(xí)

1、角動量角動量轉(zhuǎn)動定理力矩力轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量剛體的定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)點的運動質(zhì)點的運動的規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律對比質(zhì)點的運動的規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律對比mmrId2FFrMamFIM PrLIL 運動定律機械能守恒重力勢能動能定理動能定理轉(zhuǎn)動動能動能力矩的功力的功角動量守恒動量守恒角動量定理動量定理tmFd)(dvtIMd)(d恒矢量時，iiiiimFv0 恒量時IM,0BAABrFAdBAMAABd221vmEk221IEk222121ABmmAvv 222121ABIIAmghEpcpmghE恒量內(nèi)非外 pkEEAA0重力勢能 題型題型一一.質(zhì)點平動與剛體的定軸轉(zhuǎn)動問題質(zhì)點平動與剛體的定軸轉(zhuǎn)動問

2、題maF IM Ra 1.對質(zhì)點質(zhì)點應(yīng)用對剛體剛體應(yīng)用聯(lián)系式聯(lián)系式MgRamaTmgm - :對221 MRIITRM：對例：一個質(zhì)量為例：一個質(zhì)量為半徑為半徑為的定滑輪（當(dāng)?shù)亩ɑ啠ó?dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求滑輪以角速體而下垂。忽略軸處摩擦，求滑輪以角速度度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動,經(jīng)多長時間角速度為經(jīng)多長時間角速度為0,此時物體此時物體上升高度上升高度是多少是多少?0解：取豎直向上為正解：取豎直向上為正.軸向軸向 為正。為正。.滑輪作勻加速圓周轉(zhuǎn)動滑輪作勻加速圓周

3、轉(zhuǎn)動, ,t0mgRMmt00)2(0)(20202mgRMm2)2(2020200mgRMmRh2)2()(2020RMmmg)2(MgRamaTmgm - :對221 MRIITRM：對.求出加速度，從物體作勻加速直線運動計算更簡單。求出加速度，從物體作勻加速直線運動計算更簡單。另解另解: :視為一系統(tǒng)視為一系統(tǒng), ,用角動量定理求用角動量定理求t t. .Mg00dLLtMt)2(0002vRmMRmgRt00Rv僅有重力作功僅有重力作功, 系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒mghRMm2022022121vmgRMmh2)2(202 mgRMmt0)2(00Rv2.看成一個系統(tǒng), 用質(zhì)點組的

4、動能定理和角動量定理質(zhì)點組的動能定理和角動量定理求解。.取軸向取軸向 為正。為正。. 例：力學(xué)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點組成，它們之間只有引例：力學(xué)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點組成，它們之間只有引 力作用，若質(zhì)點所受合外力的矢量和為零，力作用，若質(zhì)點所受合外力的矢量和為零， 則系統(tǒng)：則系統(tǒng)：（A）動量、機械能守恒及對一軸的角動量守恒；）動量、機械能守恒及對一軸的角動量守恒；（B）動量、機械能守恒但角動量不能守恒；）動量、機械能守恒但角動量不能守恒；（C）動量守恒、但角動量、機械能是否守恒不能確定；）動量守恒、但角動量、機械能是否守恒不能確定； （D）角動量、動量守恒，但機械能是否守恒不能確定；）角動量、動量守恒，但機械

5、能是否守恒不能確定； C二二.有關(guān)三大守恒定律的問題有關(guān)三大守恒定律的問題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。例如：對質(zhì)點組有以下幾種說法：例如：對質(zhì)點組有以下幾種說法： （1）質(zhì)點組總動量的改變與內(nèi)力無關(guān)。）質(zhì)點組總動量的改變與內(nèi)力無關(guān)。 （2）質(zhì)點組總動能的改變與內(nèi)力無關(guān)。）質(zhì)點組總動能的改變與內(nèi)力無關(guān)。 （3）質(zhì)點組機械能的改變與保守內(nèi)力無關(guān)。）質(zhì)點組機械能的改變與保守內(nèi)力無關(guān)。 在上述說法中在上述說法中 （A）只有（）只有（1）是正確的。）是正確的。 （B）（）（1） （3）是正確的。）是正確的。 （C）（）（1） （2）是正確的。）是正確的。 （D）（）（2） （3）是正確的。）

6、是正確的。 所有所有外力作的功與所有內(nèi)力作的功外力作的功與所有內(nèi)力作的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)的代數(shù)和等于系統(tǒng)總動能的增量總動能的增量. .由由n個質(zhì)點組成的力學(xué)系統(tǒng)所受個質(zhì)點組成的力學(xué)系統(tǒng)所受合外力合外力的沖量等于系的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。統(tǒng)總動量的增量。系統(tǒng)系統(tǒng)外力與非保守內(nèi)力作功外力與非保守內(nèi)力作功之和等于系統(tǒng)機械能的增量。之和等于系統(tǒng)機械能的增量。B二二.有關(guān)三大守恒定律的問題有關(guān)三大守恒定律的問題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。2.26證明行星在軌道上運動的總能量為證明行星在軌道上運動的總能量為 式中式中M和和m分別為太陽和行星的質(zhì)量，分別為太陽和行星的質(zhì)量，r1和和r2分別為

7、太陽分別為太陽 和行星軌道和行星軌道的近日點和遠(yuǎn)日點的距離的近日點和遠(yuǎn)日點的距離12GMmErr r1r2v1v2證明證明設(shè)行星在近日點和遠(yuǎn)日點的速度分別為設(shè)行星在近日點和遠(yuǎn)日點的速度分別為v1和和v2，由于只有保守力做功，所以機械能守，由于只有保守力做功，所以機械能守恒，總能量為恒，總能量為 21112GMmEmvr22212GMmEmvr行星相對于參考點行星相對于參考點( (太陽太陽) )不受外力矩作用，所以行星的角動量守恒行星不受外力矩作用，所以行星的角動量守恒行星在兩點的位矢方向與速度方向垂直，可得角動量守恒方程在兩點的位矢方向與速度方向垂直，可得角動量守恒方程 mv1r1 = mv2

8、r2 即 v1r1 = v2r2 （3）， （1）（2）二二.有關(guān)三大守恒定律的問題有關(guān)三大守恒定律的問題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。2.物體在引力場引力場中的運動總是遵循機械能守恒和角動量守恒。將（將（1）式各項同乘以）式各項同乘以r12得得Er12 = m(v1r1)2/2 - GMmr1， (4)將（將（2）式各項同乘以）式各項同乘以r22得得Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)將（將（5）式減（）式減（4）式，利用（）式，利用（3）式，可得）式，可得E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)由于由于r1不等于不等于r2，所以，

9、所以（r2 + r1)E = -GMm，12GMmErr 21112GMmEmvr22212GMmEmvrv1r1 = v2r2 （3）， （2）（1）r1r2v1v23.涉及到剛體的碰撞碰撞總是滿足系統(tǒng)角動量守恒.ch l mmS例例. .如圖所示，勻質(zhì)直桿長如圖所示，勻質(zhì)直桿長 l ，桿與物體的質(zhì)量，桿與物體的質(zhì)量m相等。桿從相等。桿從水平位置開始靜止下落，于鉛垂位置和水平位置開始靜止下落，于鉛垂位置和物體物體碰撞，碰撞， 碰撞后碰撞后物物體移動距離體移動距離s 后停止，后停止，求碰撞后直桿求碰撞后直桿中點中點達(dá)到的高度達(dá)到的高度h。設(shè)物設(shè)物體與地面的摩擦系數(shù)為體與地面的摩擦系數(shù)為 。解：

10、桿從水平位置開始靜止下落，機械解：桿從水平位置開始靜止下落，機械能守恒能守恒。lmIlmg2121g2令碰撞后桿的角速度為令碰撞后桿的角速度為 ，物體的，物體的速度為速度為v。，。，由角動量守恒，有由角動量守恒，有l(wèi)mvII0二二.有關(guān)三大守恒定律的問題有關(guān)三大守恒定律的問題1.守恒條件守恒條件各不相同，注意區(qū)分。2.物體在引力場引力場中的運動總是遵循機械能守恒和角動量守恒。聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：fsmv20210碰撞后碰撞后桿桿的質(zhì)心的質(zhì)心達(dá)到的高達(dá)到的高度度滿足滿足 機械能守恒，機械能守恒，llhs6-s3hlmImgg21212mgfmlI,312式中碰撞后碰撞后物體移動距離物體移動距離S

11、 S 后后停止，按動能定理停止，按動能定理ch l mmSlmIlmg2121g2lmvII0下落下落碰撞碰撞4.系統(tǒng)繞一共同固定軸轉(zhuǎn)動時系統(tǒng)繞一共同固定軸轉(zhuǎn)動時,若若合外力矩合外力矩M=0,則系統(tǒng)則系統(tǒng)對該軸的對該軸的角動量守恒角動量守恒. 例. 空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0，環(huán)的半徑為R，初始時環(huán)的角速度為0質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點和環(huán)的最低處的C點時，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為多大?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可視為質(zhì)點，環(huán)截面半徑rR.)RA0BC22220200

12、212121BRmJmgRJv0222002JmRRJgRBv 解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)運動過程中所受合外力矩為零，角動量守恒對解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)運動過程中所受合外力矩為零，角動量守恒對地球、小球和環(huán)系統(tǒng)機械能守恒取過環(huán)心的水平面為勢能零點地球、小球和環(huán)系統(tǒng)機械能守恒取過環(huán)心的水平面為勢能零點 J00(J0mR2) vB表示小球在B點時相對于地面的豎直分速度，也等于它相對于環(huán)的速度 J0 0 / (J0 + mR2) 小球到B點時： 由式得：代入式得：RmgmC2212vgRC4v 當(dāng)小球滑到C點時，由角動量守恒定律，系統(tǒng)的角速度又回復(fù)至0，又由機械能守恒定律知，小球在C的動能完全由重力勢能轉(zhuǎn)換

13、而來即： (1)(RMtgRM12111121解解:對對A,B輪分別用角動量定理輪分別用角動量定理)(221222221RMtgRM兩輪間無相對滑動時兩輪間無相對滑動時,有有:)(32211RR2211122111)(,:)3(),2(),1(RMMRMMMM 得得由由AfBfBAff ABO1R2R1M2M2R 例例:輪輪A(質(zhì)量質(zhì)量 ,半徑半徑 )以角速度以角速度 繞繞OA輕桿的輕桿的A端轉(zhuǎn)動端轉(zhuǎn)動,將其將其放在靜止的輪放在靜止的輪B (質(zhì)量質(zhì)量 , 半徑半徑 )上上,設(shè)兩輪間摩擦系數(shù)為設(shè)兩輪間摩擦系數(shù)為 ,求兩輪間無相對滑動時的角速度求兩輪間無相對滑動時的角速度 .1R4.系統(tǒng)繞一共同固

14、定軸轉(zhuǎn)動時系統(tǒng)繞一共同固定軸轉(zhuǎn)動時,若若合外力矩合外力矩M=0,則系統(tǒng)則系統(tǒng)對該軸的對該軸的角動量守恒角動量守恒. 如果問題中涉及兩個或多個軸如果問題中涉及兩個或多個軸,則不能用角動量守恒則不能用角動量守恒定律求解。定律求解。一對摩擦力對各自中心軸的力矩不能抵消一對摩擦力對各自中心軸的力矩不能抵消,因而系統(tǒng)角動量不守恒因而系統(tǒng)角動量不守恒.例：均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動，初始角速度為例：均質(zhì)矩形薄板繞豎直邊轉(zhuǎn)動，初始角速度為 0 0，轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動時受到空氣的阻力阻力垂直于板面，時受到空氣的阻力阻力垂直于板面，每一小面積所受阻每一小面積所受阻力的大小與其面積及速度的平方的乘積成正比，比例常數(shù)力的大小

15、與其面積及速度的平方的乘積成正比，比例常數(shù)為為k試計算經(jīng)過多少時間，薄板角速度減為原來的一試計算經(jīng)過多少時間，薄板角速度減為原來的一半設(shè)薄板豎直邊長為半設(shè)薄板豎直邊長為b，寬為，寬為a，薄板質(zhì)量為，薄板質(zhì)量為m 解解 在板上取一長度為在板上取一長度為b，寬度為，寬度為dr的的面積面積元元 dS = bdr 當(dāng)板的角速度當(dāng)板的角速度 時，面積元時，面積元所受的阻力為所受的阻力為 df = kv2dS = k 2r2bdr，力矩為力矩為dM = -rdf = -k 2r3bdr，因此合力矩為因此合力矩為 abdSrr0負(fù)號表示負(fù)號表示力矩力矩的方向與角速度的方向相反的方向與角速度的方向相反. .

16、三三.有關(guān)力矩的問題有關(guān)力矩的問題2430241dkbarbrkMa由于由于 = d /dt，可得可得22d3d4kbatm 分離變量得分離變量得 223dd4kbatm 當(dāng)當(dāng)t = 0時時， = 0，203114kbatm當(dāng)當(dāng) = 0/2時時，積分解得時間為積分解得時間為 ：2043mtkbarbabmrmrIaadd020223am其角加速度為其角加速度為mbakIM4322)(4124tkbaMabdSrr01.軌道是光滑的，物體從軌道是光滑的，物體從A滑到滑到C的過程中，哪個說法是正確的？的過程中，哪個說法是正確的？（A）它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心。）它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心。（B）

17、它的速率均勻增加?？上蛴善囁俣燃霸撎幥拾霃角蟮茫┧乃俾示鶆蛟黾印？上蛴善囁俣燃霸撎幥拾霃角蟮?（C）它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。）它的合外力大小變化，方向永遠(yuǎn)指向圓心。（D）它的合外力大小不變。）它的合外力大小不變。（E）軌道的支持力大小不斷增加。）軌道的支持力大小不斷增加。 E 一一.選擇題選擇題.dtd,2mFRmFtn根據(jù)牛頓定律法向與切向分量公式：.cos,sinmgFmgNFtn物體做變速圓周運動，從A至C的下滑過程中速度增大，法向加速度增大。由軌道支持力提供的向心力增大。2.一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的質(zhì)量均勻的圓形轉(zhuǎn)臺的質(zhì)量均勻的圓形轉(zhuǎn)臺 ，可繞通過

18、臺心的鉛直軸轉(zhuǎn)動（與軸的磨擦不，可繞通過臺心的鉛直軸轉(zhuǎn)動（與軸的磨擦不 計）。臺上也有一質(zhì)量為計）。臺上也有一質(zhì)量為m的人，當(dāng)他在轉(zhuǎn)臺的人，當(dāng)他在轉(zhuǎn)臺 邊緣時，轉(zhuǎn)臺與人一起以角速度邊緣時，轉(zhuǎn)臺與人一起以角速度 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)人走旋轉(zhuǎn)，當(dāng)人走 到臺心時，轉(zhuǎn)臺的角速度為：到臺心時，轉(zhuǎn)臺的角速度為：（A）、）、3 ； （B）、）、2 ；（C）、）、 ； （D）、）、3 / 2+ mm21)21(222mRmRmR A F/Nt/s510-102001. 質(zhì)量為質(zhì)量為2kg的物體作直線運動，其所受的作用力的物體作直線運動，其所受的作用力F 隨時隨時間的變化關(guān)系如圖所示。若物體從靜止開始出發(fā)，則間的變化關(guān)系如

19、圖所示。若物體從靜止開始出發(fā)，則10s末物體的速率末物體的速率v= 。010100mvmvtFd1052501100tFtFtFddd252550求面積求面積!)s(m15122510.mv二二. 填空題填空題0FiFF000F2. 圖中，沿著半徑為R圓周運動的質(zhì)點，所受的幾個力中有一個是恒力，方向始終沿x軸正向，即.當(dāng)質(zhì)點從A點沿逆時針方向走過3 /4圓周到達(dá)B點時，力 所作的功為A_ROBxAF0RyFxFrFAyxdddRFxFR000d3.一個力F作用在質(zhì)量為1.0kg的質(zhì)點上,使之沿X軸運動,已知在此力作用下質(zhì)點的運動方程為x=3t-4t2 + t3（SI）, 在0到4s的時間間隔內(nèi)

20、， （1）力F的沖量大小I= . （2）力F對質(zhì)點所作的功A= .,3832tt v19, 340vvsN1604)(mIvvJ176)(212024vvmA4 一長為l、質(zhì)量可以忽略的直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為2m和m的小球，桿可繞通過其中心O且與桿垂直的水平光滑固定軸在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動開始桿與水平方向成某一角度q，處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示釋放后，桿繞O軸轉(zhuǎn)動則當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時，該系統(tǒng)所受到的合外力矩的大小M_，此時該系統(tǒng)角加速度的大小 _m2mO mgl212g / (3l) 2222lmglmglmgMIM22223222)()()(lmlmlmI=2g / (3l) 5. 質(zhì)量為質(zhì)量為m、長為、長為l 的的直桿以直桿以 v0沿水平方向平沿水平方向平動動, 與前方光滑固定軸與前方光滑固定軸 O 作作完完全非全非彈性碰撞。彈性碰撞。求碰撞后直桿求碰撞后直桿的角速度的角速度 = _lmV0Im)42(0v7120vOCl/4由角動量守恒，有由角動量守恒，有)4/2/(12/22mm1. 如圖所示一根長 l，質(zhì)量為m1的均勻直棒，靜止放在水平桌面()上，可繞o端轉(zhuǎn)動。今有一質(zhì)量為m2的小球，以水平速度v1與A端相碰,沿反方向以速度v2彈回,。求碰后棒從開始轉(zhuǎn)動到停止所需的時間。解：碰撞時動量矩守恒 lvm12）（ 1312221)()(lvmlm=1v2vAxO