2015年湖南省岳陽縣一中高三上學(xué)期第三次月考試題 數(shù)學(xué)（理）

1、2015屆湖南省岳陽縣一中高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.【題文】1. 設(shè)復(fù)數(shù)，若，則 ( )A B C D【知識點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算L4【答案】【解析】B 解析：因?yàn)?所以，故選B.【思路點(diǎn)撥】先利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則求出，由于它為實(shí)數(shù)，可得，由此求得x的值【題文】2. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是( ) A. B. C. D.【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)B12 B4【答案】【解析】D 解析：由題可知，B、C選項(xiàng)不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)單

2、調(diào)遞增（無極值），而D選項(xiàng)既為奇函數(shù)又存在極值故選D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)奇函數(shù)、存在極值的條件，即可得出結(jié)論【題文】3. 在中,則等于( )A.B.C.D.【知識點(diǎn)】正弦定理C8【答案】【解析】D 解析：由正弦定理有,為銳角,所以=.故選D.【思路點(diǎn)撥】由正弦定理可求得，再由，可得為銳角，運(yùn)算求得結(jié)果【題文】4. 已知為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若，則下列各式一定為定值的是（ ）A.B.C.D. 【知識點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和D2【答案】【解析】C 解析：定值，,故選C.【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到為定值，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可【題文】5. 已知，命題，則( )A是

3、假命題; B是假命題; C是真命題; D.是真命題; 【知識點(diǎn)】命題的真假的判斷；命題的否定.A2【答案】【解析】D 解析：恒成立,則在上單調(diào)遞減,則恒成立,所以是真命題,故選D.【思路點(diǎn)撥】先對原函數(shù)求導(dǎo)，再利用單調(diào)性判斷可知是真命題,然后再寫出其否定命題即可?！绢}文】6. 設(shè)等比數(shù)列的前 項(xiàng)和為,若 則 =（ ）A. 2 B. C. D.3【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)D3【答案】【解析】B 解析：,故選B.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到成等比列出關(guān)系式，又表示出S3，代入到列出的關(guān)系式中即可求出的值【題文】7. 函數(shù)是 ( ) A最小正周期為，值域?yàn)榈暮瘮?shù) B最小正周期為，值域?yàn)榈暮瘮?shù)C最

4、小正周期為，值域?yàn)榈暮瘮?shù) D最小正周期為,值域?yàn)榈暮瘮?shù)【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的周期；三角函數(shù)的值域.C3【答案】【解析】C 解析：，最小正周期為,因?yàn)?所以,即值域?yàn)?故選C.【思路點(diǎn)撥】先把原函數(shù)化簡整理，再利用周期公式求解即可，然后求出值域。【題文】8. 如圖，面積為8的平行四邊形對角線，與交于點(diǎn)，某指數(shù)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)，則 （ ）A.B.C.D.【知識點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)B6【答案】【解析】A 解析：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，又，平行四邊形的面積，又平行四邊形的面積為8,故選A.【思路點(diǎn)撥】首先設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，又；然后根據(jù)平行四邊形的面積是8，求出t的值，代入求出a的值即可【題文】9. 已知,

5、且成等比數(shù)列，則的最小值是A. 1 B. C. D. 【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)D3【答案】【解析】C 解析：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,則由,則所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,的最小值是,故選C.【思路點(diǎn)撥】依題意成等比數(shù)列，可得，再利用對數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合基本不等式，即可求出xy的最小值【題文】10. 已知函數(shù)，若對于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )A.B. C.D.【知識點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性.B3【答案】【解析】A 解析：由題意可得對恒成立因?yàn)樗援?dāng)時函數(shù)在R上是減函數(shù),函數(shù)的值域?yàn)楣?1)當(dāng)時函數(shù)在R上是增函數(shù),函數(shù)的值域?yàn)楣?(2)由(1)(2)知,故選A.【思路點(diǎn)撥】先把原函數(shù)分離常數(shù)，結(jié)合對恒

6、成立，然后對m分類討論即可?！绢}文】二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分【題文】11. 已知集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【知識點(diǎn)】補(bǔ)集、并集的運(yùn)算.A1【答案】【解析】 解析：，且，可得，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件求出B的補(bǔ)集，再根據(jù)可求結(jié)果。【題文】12. 數(shù)列中，則 .【知識點(diǎn)】數(shù)列的遞推式.D1【答案】【解析】 解析：，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】由數(shù)列的遞推式依次計算即可?！绢}文】13. 已知，則= .【知識點(diǎn)】兩角和的正切公式.C5【答案】【解析】 解析：，又，則【思路點(diǎn)撥】先由解出,最后可得結(jié)果?！绢}文】14. 平面向量滿足，則向量與的夾角為 【知識點(diǎn)】平面向量的數(shù)

7、量積的運(yùn)算；向量的夾角；向量的模.F2 F3【答案】【解析】 解析：，又，所以，所以向量與的夾角為，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】先根據(jù)已知條件結(jié)合向量的夾角公式計算出，再求夾角即可。【題文】15. 設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，則的范圍是 .【知識點(diǎn)】函數(shù)的圖象B8【答案】【解析】 解析：當(dāng)時.圖象如下圖一, 當(dāng)時.圖象如下圖二,據(jù)圖知的圖象有三個不同交點(diǎn),則滿足【思路點(diǎn)撥】討論a的取值范圍，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【題文】三、解答題：本大題共6個小題，共75分，解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.【題文】16. （本小題滿分12分）在正項(xiàng)等比數(shù)列中， 公比，且滿

8、足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)取最大值時，求的值.【知識點(diǎn)】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式D3 D4【答案】【解析】（1）;（2） 解析：，是正項(xiàng)等比數(shù)列，.（2），且為遞減數(shù)列當(dāng)當(dāng)取最大值時，【思路點(diǎn)撥】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出【題文】17（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別是. 已知，.（1）求的值；（2）求的面積.【知識點(diǎn)】解三角形；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用C7 C8【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）因，故. 2分因，故. 4分由正弦定理，得. 6分（2）. 8分

9、. 10分則的面積為. 12分【思路點(diǎn)撥】（1）ABC中，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA，再由正弦定理求出b（2）利用公式求得cosB,sinC的值，再利用三角形面積公式即可。【題文】18（本小題滿分12分）設(shè)約束條件所確定的平面區(qū)域?yàn)?（1）記平面區(qū)域的面積為Sf(t)，試求f(t)的表達(dá)式（2）設(shè)向量，在平面區(qū)域（含邊界）上，當(dāng)面積取到最大值時，用表示，并求的最大值.【知識點(diǎn)】簡單的線性規(guī)劃.E5【答案】【解析】（1）f(t)t2t;（2） 解析：（1）由約束條件所確定的平面區(qū)域是五邊形ABCEP，如圖所示，其面積Sf(t)SOPDSAOBSECD，而SOPD×1

10、5;21.SOABt2，SECD(1t)2，所以Sf(t)1t2(1t)2t2t.（2）由得所以Sf(t)t2t，則當(dāng)時面積取到最大值. 點(diǎn)坐標(biāo)為由線性規(guī)劃知識，直線經(jīng)過可行域中點(diǎn)時取到最大值，所以的最大值也為【思路點(diǎn)撥】(1)先由線性約束條件畫出平面區(qū)域，進(jìn)而求出面積即可；（2）由已知條件可用x,y表示出，由線性規(guī)劃知識，直線經(jīng)過可行域中點(diǎn)時取到最大值，所以的最大值也為?！绢}文】19. （本小題滿分13分）已知（1）求的最小值和的最大值；（2）若，問是否存在滿足下列條件的正數(shù)t，使得對于任意的正數(shù)都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【知識點(diǎn)】函數(shù)恒成

11、立問題；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域B1 B3【答案】【解析】（1）,（2）存在滿足題設(shè)條件. 解析：（1）（2分）由于，當(dāng)x=1時等號成立. （4分）故即x=1時，f(x)的最小值.（6分）又.故時，g(x)的最大值.（8分）（2）， 若能構(gòu)成三角形，只需對恒成立.（10分）由（1）知（11分）（12分）綜上，存在滿足題設(shè)條件. （13分）【思路點(diǎn)撥】（1）先考慮，再說明函數(shù)與在（-，1上均為減函數(shù)，在1，+）上均為增函數(shù)，從而求出函數(shù)的最小值（2）利用構(gòu)成三角形的條件，轉(zhuǎn)化為恒成立問題利用（1）的結(jié)論可確定【題文】20. （本小題滿分13分）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)都有. （1）

12、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和【知識點(diǎn)】數(shù)列的求和；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；數(shù)列與不等式的綜合B7 D4 D5【答案】【解析】（1）；（2） 解析：(1)由，得，解得 2分由 ， 當(dāng)時，有 ， 3分得：，4分?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列5分，6分（2）由（1）知7分所以9分當(dāng)為偶數(shù)時，11分當(dāng)為奇數(shù)時，所以13分【思路點(diǎn)撥】（1）由，得，解得，當(dāng)時，有，兩式相減可得數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)條件得到的通項(xiàng)，然后對n分類討論即可得到.【題文】21. （本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點(diǎn),求證：無論實(shí)數(shù)取什么值都有,【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。B12【答案】【解析】(1) 當(dāng)時在區(qū)間上單調(diào)遞增當(dāng)時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， (2)見解析。解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?記，判別式當(dāng)即時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增當(dāng)時，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根記顯然（i）若 ， 圖象的對稱軸，兩根在區(qū)間可知當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間