復變函數(shù)：7-高階導數(shù)及調(diào)和函數(shù)

1、Cauchy-Goursat基本定理Cauchy積分公式高階求導公式,Cauchy-Riemannxyxyfuivu uv v解析連續(xù)條件解析函數(shù)的導函數(shù)仍解析: Liouville定理有界整函數(shù)必為常數(shù): nn代數(shù)學基本定理次多項式有 個零點Morera.fDfDf定理:,則 在單連通區(qū)域中解析在 中積續(xù)分與路徑無關(guān)連6. 解析函數(shù)的高階導數(shù)解析函數(shù)的高階導數(shù) ( ),Thm,f zDfD設(shè)在區(qū)域 中解析 則 的各階導函數(shù)在 中仍解析 且Proof 1n 先證的情形,即( )001!( )(), ()2()nnCnf zfzdznizz 0,.CDzCD其中為 中任意一條繞 的正向簡單閉曲線

2、 且 的內(nèi)部全含于0021( )().2()Cf zfzdzizz0zCDCauchy由積分公式有001( )2()()Cf zdzizzzzz220001( )1( )2()2() ()CCf zzf zdzdzizzizzzzz2000( )lim0.() ()Czzf zIdzIzzzzz 記,往證0000 ()()1( )1( )22CCf zzf zzf zf zdzdzi zzzzi zzz200( )Cz f zIdszzzzz0zCDd,( ),.fCMf zMzC 連續(xù)函數(shù) 在有界閉集 上有界即0dzC 設(shè) 為 到 的最短距離./2,zdzC 當時有0,zzd00/2.zzz

3、zzzd CLds記,32/2,.z MLzdId則當時0lim0.zI 于是0021( )().2()Cf zfzdzizz這就證明了( )001!( )(), ().2()nnCnf zfzdznizz ()001:nfzf zn 由數(shù)學歸納法,利用( )的表達式,以及一階求導公式 ( )的證明方法,可以得到 階求導公式1( ) Cauchy ( )2,RemarkCff zdizzn積分公式兩邊對 求 階導數(shù) 由高階求導公式可知,求導與積分可以交換次序.Remark 高階求導公式的作用,不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.1221cos .zzezIdzz計算例12 ( )co

4、s3 2,zf zezz函數(shù)在區(qū)域中解析解則21( )2(0)zf zIdzifz2102coszzi ez2221102 2cossin()zzzeizezz12.2ie ( )( , )( , )Cauchy-RCorollariemann,.yxyxyf zu x yiv x yDfDu uv vD在區(qū)域 中解析在 中滿足條件,且在中連續(xù) 利用高階求導公式,可以得到函數(shù)在區(qū)域中解析的如下充要條件:1Liouvillen 由高階求導公式(高階求導公式的情形),還可以證明定理,從而輕松證明代數(shù)學基本定理.Def 在整個復平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù). (LiouvillThme)有界整函數(shù)必為

5、常數(shù). ,0,( ),Proof .fMf zMz 設(shè) 為有界整函數(shù),( )0. ffz欲證 為常數(shù)函數(shù) 只要證,由高階求導公式21( )( ) (0).2()zrffzdriz 2( )1, ( )2zrffzdsz 于是21 (0).2zrMMdsrrr ,( )0.rfz由 的任意性)hm (T nn代數(shù)學基本定理次多項式有且僅有 個復根.01 ( ),1,2,P0.roofnnknP zaa za zakn a設(shè),( )1P z只要證至少有 個復根.( ),( )0,.P zP zz (反證法)若沒有復根 則1( )Liouville( )( ).P zP zP zn 只要證明為有界整

6、函數(shù),則由定理就可知為常數(shù)函數(shù),與為 次多項式矛盾1( )P z下證為有界整函數(shù).,z 事實上有以下不等式0111( )nnnnnP zaaaazzzz0111nnnnaaaazzz( )lim0.znnP zaz由夾擠原理0,0, . .rst于是0111 nnnnaaaazzz0( )0 (),2nnP zazrz00122 ().( )nnnnzrP za raz0( ),1( ) |,P zP zz zr又無零點在有界閉集上有界1( )P z故為有界整函012,.( )nnMzP za r 數(shù) 且存010, . .,.( )MstMzrP z在 (Morera)hm.TDfDfDfD設(shè)

7、 為單連通區(qū)域,在 中連則: 在 中解析在 中積分與路徑無關(guān)續(xù) () Cauchy-GourPrsat.oof必要性 由定理可得00,( )( ),( )( ),zzfDzzDF zf z dzF zf z (充分性)因 在單連通區(qū)域中積分與路徑無關(guān) 用原函數(shù)一節(jié)中構(gòu)造和證明完全相同的方法可知:在 中取定一點定義則有( )F z故為解析函數(shù).( )f zD 于是其導函數(shù)也在中解析.7. 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)( )( , )( , ),f zu x yiv x yD設(shè)在區(qū)域 中解析,. u v根據(jù)解析函數(shù)高階導數(shù)定理,具有任意階連續(xù)偏導數(shù) 于是0,xxyyxyyxuuvv 則,x

8、yyxuvuv ( ).xxyyfzuivviu0.xxyyxyxyvvuu ( , )LaplDeface0,( , ).xxyyx yDx yD若二元實函數(shù)在區(qū)域 中具有二階連續(xù)偏導數(shù),且滿足方程則稱為區(qū)域 中的調(diào)和函數(shù) ( )( , )( , ),.Thm f zu x yiv x yDu vD在區(qū)域 中解析 則都是 中的調(diào)和函數(shù) ( , )D,( )e, )f(,u x y v x yDf zuivDvu若為區(qū)域 中的調(diào)和函數(shù),且是 中的解析函數(shù) 則稱 為 的共軛調(diào)和函數(shù).Thm .解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù)Question ?解析函數(shù)的實部是否為虛部的共軛調(diào)和函數(shù)(不一定),

9、Cauchy-Riemann(),. uvfuiv 已知一個調(diào)和函數(shù)則可以由條件確定它的共軛調(diào)和函數(shù) 相差一個常數(shù) 從而得到一個解析函數(shù),. 求法有兩種 偏積分法和不定積分法下面舉例說明.32 ( , )3,u x yyx yfuiv求解析函數(shù)例. 解法一(偏積分法)6xyvuxy 由得2( ,6).(3yv x yv dyxygyxdyx Cauchy-Riemannx兩邊對 求導,并利用條件得23( )xyg xvyu 2233,xy2( )3,g xx23( )3, .g xx dxxcc于是32233( 3)fuivyx yixyxc23( , )3,v x yxyxc 3()i zc

10、(.)c 解法二(不定積分法)32( , )3u x yyx y由得( )xyfzuiu226(33)xyiyx 223 (2)i xixyy23 ()i xiy23.iz( )f z 為解析函數(shù).于是23( )( )3.f zfz dziz dzizc0z 令得(0)cf(0,0)(0,0)uiv(0,0),ivc為純虛數(shù).22 ( )()( , ),( )f zu xyiv x yf z解析 求例.22,txy解 記2( ),2( ), xyuxu t uyu t 則222 ( )4( ), 2 ( )4( ).xxyyuu tx u tuu ty u t ,f解析 所以( )0,u t132,vc xyc于是 221213()(2)fc xycic xyc2212311, ,.c zcicc zccc221212().u