弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)與扇形面積、弓形面積案例教學(xué)設(shè)計(jì)

1、數(shù)學(xué)案例教學(xué)題目：弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)與扇形面積、弓形面積案例教學(xué)設(shè)計(jì)作者：左春香 王瑞霞單位：唐山市豐南區(qū)職教中心教學(xué)內(nèi)容分析：下料問題是機(jī)械專業(yè)每天都要遇到的實(shí)際生產(chǎn)問題。經(jīng)常要遇到的是長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、扇形、弓形面積和各種體積重量的計(jì)算等數(shù)學(xué)知識(shí)。本節(jié)數(shù)學(xué)課緊密地和生產(chǎn)實(shí)習(xí)的實(shí)例相聯(lián)系，學(xué)生經(jīng)過自己充分地思考和討論后，能夠更深刻地理解和記憶公式，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)在專業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用。教學(xué)目的：（1）通過學(xué)習(xí)掌握?qǐng)A周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、扇形面積和弓形的面積的計(jì)算。（2）能熟練運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決機(jī)械專業(yè)中氣割、鉗工、鈑金等工種的計(jì)算和下料等實(shí)際問題。教學(xué)重點(diǎn)：弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、扇形面積、弓形面積的計(jì)算。 實(shí)

2、際生產(chǎn)問題和數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系。課 時(shí)：2課時(shí)教學(xué)方法：講練結(jié)合、理論聯(lián)系實(shí)際教學(xué)用具：投影儀、黑板、硬紙板做成的兩個(gè)防護(hù)罩和一個(gè)圓錐形的煙囪帽、膠片7張，如下所示：教學(xué)目標(biāo)：理解并熟練掌握本節(jié)課所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。會(huì)靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。膠片1 膠片1三角帶傳動(dòng)，要安裝防護(hù)罩，一種形狀如左圖所示，另一種如右圖所示，尺寸要求已在圖中標(biāo)出，請(qǐng)計(jì)算下料時(shí)(1)所用材料的面積,（2）的側(cè)面積 （1） 膠片2 （2） 2CAB練習(xí)一：用鋼板氣割一個(gè)罐蓋，形狀如圖所示，求氣割長(zhǎng)度。 膠片3 3例1 一帶輪如圖所示，在輪轂和輪緣之間焊接12根輻條，輻條用25mm的圓鋼制成。求在輪緣d1=1600mm和輪轂

3、d2=350mm上的輻條中心距l(xiāng)B1、lB2。 膠片4 4 膠片5 膠片5 5例2 扇形鋼板如圖所示，求其面積。 膠片6 6 膠片7 7教學(xué)過程：投影本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)出示膠片1教學(xué)目標(biāo)：理解并熟練掌握本節(jié)課所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。會(huì)靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題。膠片1 膠片1 案例引入：出示膠片2三角帶傳動(dòng)，要安裝防護(hù)罩，一種形狀如左圖所示，另一種如右圖所示，尺寸要求已在圖中標(biāo)出，請(qǐng)計(jì)算下料時(shí)(1)所用材料的面積,（2）的側(cè)面積 （1） 膠片2 （2） 2CAB （并用硬紙板按尺寸或比例做兩個(gè)模型向?qū)W生展示，讓學(xué)生邊觀察邊回答問題）。提出問題：?jiǎn)为?dú)提問師： 左圖中有幾個(gè)側(cè)面？是什么形狀？生甲： 3個(gè)，

4、A和B是扇形的一部分，展開后C可能是矩形。師： 回答得很正確，如何計(jì)算各側(cè)面的面積和全面積？生乙： 要計(jì)算它的側(cè)面積需要掌握扇形的面積公式，全面積當(dāng)然就是矩形面積和另兩個(gè)側(cè)面積之和。師： 有道理，可是，你知道那個(gè)矩形的長(zhǎng)是多少嗎？如何計(jì)算？生丙： 要計(jì)算它的長(zhǎng)度還需要掌握弧長(zhǎng)公式。師： 右圖中的前后側(cè)面是什么形狀？它的面積如何計(jì)算？生丙： 前后側(cè)面是弓形師： 用氣割方法下料時(shí)氣割長(zhǎng)度各是多少應(yīng)如何計(jì)算？生丁： 是各面邊線長(zhǎng)度的總和。引入數(shù)學(xué)知識(shí)：師： 要解決這些問題，要用到數(shù)學(xué)中，弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、扇形的面積的計(jì)算等。這次課我們就介紹這些知識(shí)，同時(shí)，共同探討一下機(jī)械專業(yè)中有關(guān)的下料問題復(fù)習(xí)導(dǎo)入：出示

5、膠片3練習(xí)一：用鋼板氣割一個(gè)罐蓋，形狀如圖所示，求氣割長(zhǎng)度。 膠片3 3（讓學(xué)生獨(dú)立完成，找個(gè)別同學(xué)回答）生：氣割長(zhǎng)度為大圓和小圓的周長(zhǎng)之和。L=×250×1500=1750=5497.8mm師： 剛才這個(gè)問題中，復(fù)習(xí)了圓周長(zhǎng)計(jì)算公式：板書：圓的周長(zhǎng)：L=d=2r（d為直徑）出示膠片4例1 一帶輪如圖所示，在輪轂和輪緣之間焊接12根輻條，輻條用25mm的圓鋼制成。求在輪緣d1=1600mm和輪轂d2=350mm上的幅條中心距l(xiāng)B1、lB2。 膠片4 4師： 這個(gè)長(zhǎng)度還是一個(gè)完整的周長(zhǎng)嗎？生： 答：不是。師： 請(qǐng)同學(xué)們看圖，在輪緣上和輪轂上兩個(gè)輻條中心的部分是什么圖形？生：

6、是圓弧。師： 弧的長(zhǎng)度應(yīng)如何計(jì)算？本節(jié)課我們先研究這個(gè)問題。板書： 一、弧長(zhǎng)師：360o的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)L=d=2r，那么1o的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？生： = 師：于是可得半徑為r（直徑為d）的圓中，o的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)Ln的計(jì)算公式：是什么？生： Ln=板書： 360o的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)即圓周長(zhǎng) L=d=2r，1o的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 = 。半徑為r（直徑為d）的圓中，o的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng) Ln= = 師： 有了弧長(zhǎng)公式，例1中的問題可迎刃而解了。經(jīng)學(xué)生討論后得出結(jié)論并找學(xué)生板演例1 解：兩根輻條間所夾的圓心角=30o,輪緣上兩根輻條中心距弧長(zhǎng)L1=418.88mm 輪轂上相鄰

7、輻條中心距弧長(zhǎng) L2=91.63mm師： 事實(shí)上弧與角很難測(cè)量，故實(shí)際工作中常以弦長(zhǎng)為檢驗(yàn)尺寸，在一圓周上n等分，求弦長(zhǎng)就是圓的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)。那么弦長(zhǎng)如何計(jì)算呢？出示膠片5 膠片5 膠片5 膠片5 5師生共同分析：在RtBOC中，BOC=，BC=， = = sinL=2r sin=d sin板書：二、弦長(zhǎng)公式由 = = sin得o的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng) L=2r sin=d sin其中圓心角=，則L=dsin.師 那么例1中若求輪緣和輪轂上的中心距弦長(zhǎng)如何計(jì)算？找學(xué)生板演生 解：設(shè)它們分別為l1和l2，則l1=d1sin=1600×sin15o=414.11mml2= d2sin=

8、350×sin15o=90.59mm評(píng)注： 如果再求兩輻條間間隙距離，只要把上面的值分別減去25mm即可。出示膠片6例2 有一塊鋼板如圖所示，求其面積。 膠片6 6 師 通過觀察，我們看出這塊鋼板面是什么圖形？生 大扇形中去掉了一個(gè)小扇形。師 那么我們要求鋼板的面積，就得知道扇形的面積如何計(jì)算，下面我們探討扇形的面積公式。同學(xué)們知道扇形是什么圖形的一部分嗎？生甲 圓的一部分。師 整個(gè)圓的圓心角是多少度？生 360o師 再接著想一想，在半徑為r的圓中，圓心角為1o的扇形的面積是多少？生 師 那么圓心角為o的扇形的面積是多少？生 板書 三、扇形面積公式 由圓心角為1o的扇形面積 得圓心角

9、為o的扇形面積公式為 師 弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式有什么關(guān)系？生 兩公式中都含有= Ln。師 那么我們又得出了扇形的另一個(gè)面積公式為：生 S = Lnr (教師板書添上此公式) S扇 = = Lnr師 有了這個(gè)公式，上面的問題就很簡(jiǎn)單了（請(qǐng)一位同學(xué)板演）。 解：鋼板的面積S=238952mm2=0.239m2出示膠片7 膠片7 7師 上面三個(gè)圖中陰影部分是什么圖形呢？這三個(gè)圖形都是弓形，它和我們看到的哪件物品有關(guān)系？生 它和第二個(gè)防護(hù)罩的側(cè)面是一種圖形。師 可見要解決開始提出的問題，我們還得學(xué)習(xí)弓形的面積公式。 同學(xué)們接著觀察上面的三個(gè)圖形中，弓形的面積和扇形的面積有何關(guān)系？生 把扇形OAmB的

10、面積以及OAB的面積計(jì)算出來，就可以得到弓形的面積，圖（1）中，弓形AmB的面積小于半圓的面積，這時(shí)S弓形=S扇SABC,圖（2）中，弓形AmB的面積大于半圓的面積，這時(shí)S弓形=S扇SABC,圖（3）中，弓形AmB的面積等于半圓的面積，這時(shí)S弓形=S圓。板書 四、弓形面積公式（1）弓形AmB的面積小于半圓的面積，這時(shí)S弓形=S扇SABC,（2）弓形AmB的面積大于半圓的面積，這時(shí)S弓形=S扇SABC,（3）弓形AmB的面積等于半圓的面積，這時(shí)S弓形=S圓。師 同學(xué)們，通過我們共同探討和總結(jié)得出了哪些結(jié)論呢？生 弧長(zhǎng)公式、弦長(zhǎng)公式、扇形面積公式、弓形面積公式。師 我們掌握了這些知識(shí)是非常重要的，

11、而且有些公式不可死記，要理解它的推導(dǎo)過程，同時(shí)可以促進(jìn)我們邏輯推理能力的提高。當(dāng)然，也可以很容易地解決本次課開始提出的問題了。 出示膠片2三角帶傳動(dòng)，要安裝防護(hù)罩，一種形狀如左圖所示，另一種如右圖所示，尺寸要求已在圖中標(biāo)出，請(qǐng)計(jì)算下料時(shí)(1)所用材料的面積和（2）的側(cè)面積 （1） 膠片2 （2） 2ABC 并展開硬紙片做成的模型（1），把各個(gè)面展示給學(xué)生，讓學(xué)生求其全面積，(學(xué)生板演)。 解：S側(cè)= 262788.56 mm2 S全=2×S側(cè)120×=593401.12 mm2 展開模型（2），讓學(xué)生求其側(cè)面積，學(xué)生板演。解：S側(cè)=× 2×400sin=

12、 131840mm2課下思考題師 拿出做好的煙囪帽模型，這是一個(gè)做好煙囪帽模型，誰能看出它是什么形狀？生 是圓錐形。師 如果沿一條母線展開這個(gè)模型，展開后是什么形狀呢？沿一條母線展開這個(gè)模型生 是扇形。師 如果已知這個(gè)圓錐形的底邊周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)，要用鐵片做一個(gè)煙囪帽，應(yīng)如何下料？留作課下思考。本節(jié)小結(jié)：通過本次課的學(xué)習(xí)，大家應(yīng)理解對(duì)弧長(zhǎng)公式，弦長(zhǎng)公式，扇形面積公式，弓形面積公式的推導(dǎo)，識(shí)記這些公式，并會(huì)靈活的應(yīng)用到實(shí)際生活、生產(chǎn)中。板書設(shè)計(jì)：弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)與扇形面積、弓形面積復(fù)習(xí)：圓的周長(zhǎng) L=d=2r一、弧長(zhǎng)公式：Ln= （及推導(dǎo)過程）二、弦長(zhǎng)公式：L=2r sin=d sin（及推導(dǎo)過程）（其中圓心角=，則L=dsin）.三、扇形面積公式：S扇= = Ln r （及推導(dǎo)過程）四、弓形面積公式： （1）弓