固體物理第一章 晶體結(jié)構(gòu)

1、 第一章第一章 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)1.1 晶體特征晶體特征1.2 配位數(shù)和密堆積配位數(shù)和密堆積1.3 一些晶體的實(shí)例一些晶體的實(shí)例1.4 空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣1.5 晶格周期性的描述晶格周期性的描述1.6 典型晶體結(jié)構(gòu)的原胞和晶胞典型晶體結(jié)構(gòu)的原胞和晶胞1.7 晶向晶面及標(biāo)記晶向晶面及標(biāo)記1.8 晶體宏觀對稱性及其對稱操作晶體宏觀對稱性及其對稱操作1.9 七大晶系七大晶系14種原胞種原胞晶體的結(jié)構(gòu)特征及其描述晶體的結(jié)構(gòu)特征及其描述單晶單晶：整塊固體中粒子均是規(guī)則、周期排列。：整塊固體中粒子均是規(guī)則、周期排列。多晶多晶：由大量微小單晶粒組成。每個晶粒內(nèi)粒子規(guī)：由大量微小單晶粒組成。每個晶粒內(nèi)粒子規(guī)則排

2、列，而各個晶粒間粒子排列取向不同。則排列，而各個晶粒間粒子排列取向不同。晶體晶體：至少在微米級范圍粒子按一定規(guī)則周：至少在微米級范圍粒子按一定規(guī)則周期有序排列（長程有序）形成的固體期有序排列（長程有序）形成的固體1.1 晶體特征晶體特征晶體晶體非晶體非晶體準(zhǔn)晶體準(zhǔn)晶體按內(nèi)部結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可分為三大類按內(nèi)部結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可分為三大類組成組成Be2O3晶體晶體的的粒子在空間的排列粒子在空間的排列具有周期性，是長具有周期性，是長程有序的。程有序的。一、一、 內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征具有具有“平移對稱旋轉(zhuǎn)對稱性平移對稱旋轉(zhuǎn)對稱性”的特的特點(diǎn)點(diǎn)準(zhǔn)晶體準(zhǔn)晶體：無周期平移不變性但有某些取向旋轉(zhuǎn)對稱性：無周期平移不變性但

3、有某些取向旋轉(zhuǎn)對稱性非晶體非晶體：在微米級范圍內(nèi)粒子無：在微米級范圍內(nèi)粒子無序排列（序排列（長程無序長程無序）形成的固體）形成的固體非晶態(tài)固體又叫做過冷液體，它們非晶態(tài)固體又叫做過冷液體，它們在凝結(jié)過程中不經(jīng)過結(jié)晶（即有序在凝結(jié)過程中不經(jīng)過結(jié)晶（即有序化）的階段，非晶體中粒子與粒子化）的階段，非晶體中粒子與粒子的結(jié)合是無規(guī)則的的結(jié)合是無規(guī)則的Be2O3玻璃玻璃中的粒子只有近鄰的范圍中的粒子只有近鄰的范圍內(nèi)粒子間保持著一定的短程有序，內(nèi)粒子間保持著一定的短程有序，但隔開三、四個粒子后就不再保持但隔開三、四個粒子后就不再保持這種關(guān)系，由于鍵角鍵長的畸變破這種關(guān)系，由于鍵角鍵長的畸變破壞了長程序，形

4、成無規(guī)則網(wǎng)絡(luò)。壞了長程序，形成無規(guī)則網(wǎng)絡(luò)。19841984年年ShechtmanShechtman等用快速冷卻方法制備等用快速冷卻方法制備AlMnAlMn合金，經(jīng)對電子衍射譜分析，發(fā)現(xiàn)有五合金，經(jīng)對電子衍射譜分析，發(fā)現(xiàn)有五重對稱（旋轉(zhuǎn)重對稱（旋轉(zhuǎn)2 2 /5/5）的衍射斑點(diǎn)分布的存在，）的衍射斑點(diǎn)分布的存在，導(dǎo)致一種新的有序相導(dǎo)致一種新的有序相準(zhǔn)晶準(zhǔn)晶(quasicrystal(quasicrystal) )的發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)。以后不作特別說明，所說以后不作特別說明，所說“晶體晶體”指指“完整的單晶體或理想晶體。完整的單晶體或理想晶體。二、二、 晶體的外形特征晶體的外形特征晶體最顯著的特征是晶面有規(guī)

5、則、對稱地配置。晶體最顯著的特征是晶面有規(guī)則、對稱地配置。一個理想完整的晶體，相應(yīng)的晶面的面積相等。一個理想完整的晶體，相應(yīng)的晶面的面積相等。外形的對稱性是晶體內(nèi)部粒子間有序排列的反映外形的對稱性是晶體內(nèi)部粒子間有序排列的反映指的是晶體具有沿某些確指的是晶體具有沿某些確定方位的晶面劈裂的性質(zhì)定方位的晶面劈裂的性質(zhì)三、三、 晶體的解理性晶體的解理性相應(yīng)的晶面稱為晶體的解理面，顯露在相應(yīng)的晶面稱為晶體的解理面，顯露在晶體外面的晶面往往是一些解理面。晶體外面的晶面往往是一些解理面。晶面往往組合成晶帶，如圖中的晶面往往組合成晶帶，如圖中的a-1-c-2晶帶由若干個晶面組成，相鄰晶面的交線稱為晶棱，晶帶

6、由若干個晶面組成，相鄰晶面的交線稱為晶棱，晶帶的特點(diǎn)是所有的晶棱相互平行，其共同的方向稱晶帶的特點(diǎn)是所有的晶棱相互平行，其共同的方向稱為晶帶的帶軸，通常所說的晶軸是重要的帶軸。為晶帶的帶軸，通常所說的晶軸是重要的帶軸。晶體容易沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之晶體容易沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，意味著平行解理面的原子層的間距大。間的結(jié)合力弱，意味著平行解理面的原子層的間距大。四、四、 晶體品種的特征因素晶體品種的特征因素a) 晶體的大小和形狀不是晶體品種的特征因素晶體的大小和形狀不是晶體品種的特征因素晶體外形中，只受內(nèi)在結(jié)構(gòu)決晶體外形中，只受內(nèi)在結(jié)構(gòu)決定而不受外

7、界條件影響的因素定而不受外界條件影響的因素稱為晶體品種的特征因素。稱為晶體品種的特征因素。由于外界條件和偶然情況不同，同一類型的晶體，其外形不由于外界條件和偶然情況不同，同一類型的晶體，其外形不盡相同。圖是理想石英晶體和一種人造的石英晶體的外形盡相同。圖是理想石英晶體和一種人造的石英晶體的外形。b) 晶面間的夾角是晶體品種的特征因素晶面間的夾角是晶體品種的特征因素屬于同一品種的晶體，無論其外形如何，兩屬于同一品種的晶體，無論其外形如何，兩個對應(yīng)的晶面間夾角恒定不變，稱為個對應(yīng)的晶面間夾角恒定不變，稱為面角守面角守恒定律恒定律可以看到，由于外界條件的差異，晶體中某組晶面可以相可以看到，由于外界條

8、件的差異，晶體中某組晶面可以相對地變小、甚至消失。所以，晶體中晶面的大小和形狀并對地變小、甚至消失。所以，晶體中晶面的大小和形狀并不是表征晶體類型的固有特征不是表征晶體類型的固有特征。理理想想的的石石英英晶晶體體人造的石英晶體人造的石英晶體例如：石英晶體的例如：石英晶體的m與與m兩面夾角為兩面夾角為60o0 m與與R面之間的夾面之間的夾角為角為38o13，m與與r面的夾角為面的夾角為38o13 等。等。五、五、 晶體其它特征晶體其它特征1) 晶體有確定的熔點(diǎn)晶體有確定的熔點(diǎn)例如：冰例如：冰 0 NaCl 800熔點(diǎn)是指晶態(tài)固體的長稱有序解體時所對應(yīng)的溫度熔點(diǎn)是指晶態(tài)固體的長稱有序解體時所對應(yīng)的

9、溫度2) 物理性質(zhì)的各向異性物理性質(zhì)的各向異性例如：例如：La2-xBaxCuO4/22ccHH 1.2 配位數(shù)和密堆積配位數(shù)和密堆積原子在晶體中的平衡位置，排列應(yīng)該采取盡可能的原子在晶體中的平衡位置，排列應(yīng)該采取盡可能的緊密方式，相應(yīng)于結(jié)合能最低的位置，見下章緊密方式，相應(yīng)于結(jié)合能最低的位置，見下章把原子看成一個個小球，看這些小球如何堆積，把原子看成一個個小球，看這些小球如何堆積，不同的堆積方式，可以得到不同的晶體結(jié)構(gòu)。不同的堆積方式，可以得到不同的晶體結(jié)構(gòu)。六角密積結(jié)構(gòu)六角密積結(jié)構(gòu)CeCl型結(jié)構(gòu)型結(jié)構(gòu)NaCl型結(jié)構(gòu)型結(jié)構(gòu)四面體結(jié)構(gòu)四面體結(jié)構(gòu)層狀結(jié)構(gòu)層狀結(jié)構(gòu)鏈狀結(jié)構(gòu)鏈狀結(jié)構(gòu)一個原子周圍最近鄰

10、的原子數(shù)，稱為一個原子周圍最近鄰的原子數(shù)，稱為配位數(shù)配位數(shù)可以被用來描述晶體中粒子排列的緊密程度可以被用來描述晶體中粒子排列的緊密程度晶體結(jié)構(gòu)中最大配位數(shù)是晶體結(jié)構(gòu)中最大配位數(shù)是 12 ，以下依次是，以下依次是8 、6、4、3、2密堆積密堆積晶體內(nèi)全同原子小圓球最緊密的堆積。晶體內(nèi)全同原子小圓球最緊密的堆積。密堆積配位數(shù)為密堆積配位數(shù)為12，堆積方式有兩種方式：立方和六角密積，堆積方式有兩種方式：立方和六角密積在實(shí)際的由同種元素構(gòu)成的晶體中，如果無特殊要求，晶在實(shí)際的由同種元素構(gòu)成的晶體中，如果無特殊要求，晶體的配位數(shù)都很高，其中六角密積占體的配位數(shù)都很高，其中六角密積占31，立方密積占，立方

11、密積占26，說明晶體一般是按最緊密的方式堆積的。，說明晶體一般是按最緊密的方式堆積的。如果晶體由兩種或兩種如果晶體由兩種或兩種以上的元素組成，即組以上的元素組成，即組成晶體的原子小球大小成晶體的原子小球大小不等，則不可能有密堆不等，則不可能有密堆積結(jié)構(gòu)，這時的配位數(shù)積結(jié)構(gòu)，這時的配位數(shù)小于小于12。配位數(shù)為配位數(shù)為8CeCl型結(jié)構(gòu)型結(jié)構(gòu)1、 簡單立方簡單立方1）將原子球在一個平面內(nèi)）將原子球在一個平面內(nèi)按正方排列形成原子層按正方排列形成原子層2）將原子層按圖所示沿垂）將原子層按圖所示沿垂直層面方向疊加起來就得到直層面方向疊加起來就得到簡單立方結(jié)構(gòu)，其最小的重簡單立方結(jié)構(gòu)，其最小的重復(fù)結(jié)構(gòu)單元（

12、原胞）如圖復(fù)結(jié)構(gòu)單元（原胞）如圖3）用原點(diǎn)表示原子的位置，）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到簡單立方格子即得到簡單立方格子配位數(shù)為配位數(shù)為61.3 一些晶體的實(shí)例一些晶體的實(shí)例原子層原子層原子層原子層原子層原子層2、 體心立方體心立方1）原子球按正方形式鋪開形成一原）原子球按正方形式鋪開形成一原子層，計為原子層，類似排列形成子層，計為原子層，類似排列形成另一原子層，計為原子層另一原子層，計為原子層2）將）將B層原子放在層四個原子的層原子放在層四個原子的間隙里，第二層的每個球和第一層的間隙里，第二層的每個球和第一層的四個球緊密相切，如圖，按四個球緊密相切，如圖，按AB AB AB .次序沿垂直于層面

13、方向疊加起次序沿垂直于層面方向疊加起來就得到體心立方。體心立方原胞如來就得到體心立方。體心立方原胞如圖所示圖所示3）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到體心立方格子到體心立方格子配位數(shù)為配位數(shù)為8Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等金屬為等金屬為典型的具有體心立方晶格的金屬典型的具有體心立方晶格的金屬Fe體心立方晶格結(jié)構(gòu)體心立方晶格結(jié)構(gòu)體心立方晶格中，體心立方晶格中，A A層中原子球的距離等于層中原子球的距離等于A-AA-A層間的距離，由此可計算出層原子球的間隙層間的距離，由此可計算出層原子球的間隙 222200002224rrrr 00.31r r0為原子球半徑為原子球半徑

14、r0+ +r0層層層層層層3、 面心立方面心立方面心立方晶體的原胞和簡單立方相似，面心立方晶體的原胞和簡單立方相似，所不同的是，除立方體頂角上有原子外，所不同的是，除立方體頂角上有原子外，在立方體的六個面的中心還有六個原子。在立方體的六個面的中心還有六個原子。用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到面用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到面心立方格子心立方格子貴金屬（如貴金屬（如Cu、Al、Ni等）具有面等）具有面心立方結(jié)構(gòu)。心立方結(jié)構(gòu)。配位數(shù)為配位數(shù)為124、 六角密積結(jié)構(gòu)六角密積結(jié)構(gòu)1）原子球平鋪在平面上，任意一個球）原子球平鋪在平面上，任意一個球都與六個球相切，每三個相切的球的中都與六個球相切，每三個相切的球

15、的中心構(gòu)成一等邊三角形，且每個球的周圍心構(gòu)成一等邊三角形，且每個球的周圍有六個空隙，這樣構(gòu)成一原子層，計為有六個空隙，這樣構(gòu)成一原子層，計為原子層。原子層。3）將）將B層的球放在層相間的層的球放在層相間的3個空個空隙里，隙里，B層每個球和層每個球和A層三個球緊密層三個球緊密相切，如圖。相切，如圖。2）類似排列形成另一原子層，計為）類似排列形成另一原子層，計為原子層。原子層。5）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得）用原點(diǎn)表示原子的位置，即得到六角密積格子到六角密積格子4）按）按AB AB AB .次序沿垂直于層次序沿垂直于層面方向疊加起來就得到六角密排結(jié)構(gòu)面方向疊加起來就得到六角密排結(jié)構(gòu)配位數(shù)為配位數(shù)為

16、125、 金剛石結(jié)構(gòu)金剛石結(jié)構(gòu)金剛石由碳原子構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)可以看金剛石由碳原子構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)可以看成是由面心立方結(jié)構(gòu)演變而來的，即：成是由面心立方結(jié)構(gòu)演變而來的，即：在一個面心立方原胞的基礎(chǔ)上在體內(nèi)在一個面心立方原胞的基礎(chǔ)上在體內(nèi)再額外加四個原子，體內(nèi)四個原子分再額外加四個原子，體內(nèi)四個原子分別位于四個空間對角的別位于四個空間對角的1/4處。處。面心立方面心立方金剛石金剛石整個金剛石晶格可以看成是由沿體對整個金剛石晶格可以看成是由沿體對角線相互位移四分之一對角線長度的角線相互位移四分之一對角線長度的兩個面心立方晶格套構(gòu)而成。兩個面心立方晶格套構(gòu)而成。重要的半導(dǎo)體材料，如重要的半導(dǎo)體材料，如Ge、S

17、i等，等，都有四個價電子，其晶體結(jié)構(gòu)和都有四個價電子，其晶體結(jié)構(gòu)和金剛石相同金剛石相同由碳原子共價鍵的取向分析可知，在面由碳原子共價鍵的取向分析可知，在面心和頂角處的碳原子與體內(nèi)的心和頂角處的碳原子與體內(nèi)的4個碳原子個碳原子是不等價的。是不等價的。A類碳原子的共價鍵方向類碳原子的共價鍵方向B類碳原子的共價鍵方向類碳原子的共價鍵方向6、閃鋅礦結(jié)構(gòu)閃鋅礦結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)相似，所不同的是，在立方體頂角和和金剛石結(jié)構(gòu)相似，所不同的是，在立方體頂角和面心處的原子與體內(nèi)原子分別屬于不同的元素。面心處的原子與體內(nèi)原子分別屬于不同的元素。許多重要的化合物半導(dǎo)體，如許多重要的化合物半導(dǎo)體，如InSb、ZnS、G

18、aAs、InP等均是等均是閃鋅礦結(jié)構(gòu)閃鋅礦結(jié)構(gòu)。7、鈣鈦礦結(jié)構(gòu)鈣鈦礦結(jié)構(gòu)鈣鈦礦鈣鈦礦結(jié)構(gòu)是指鈦酸鈣結(jié)構(gòu)是指鈦酸鈣(CaTiO3)的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)Ca在立方體頂角上是在立方體頂角上是Ca，Ti位于立方體的位于立方體的體心處，體心處，O位于立方體六個面心處。位于立方體六個面心處。如果把如果把OI、OII、OIII連接起來，則它們連接起來，則它們構(gòu)成等邊三角形，整個原胞中共有構(gòu)成等邊三角形，整個原胞中共有8個個這樣的三角形面，圍成一個八面體，通這樣的三角形面，圍成一個八面體，通常稱為氧八面體。整個結(jié)構(gòu)可看成氧八常稱為氧八面體。整個結(jié)構(gòu)可看成氧八面體的排列，其中面體的排列，其中Ti位于氧八面體中心，位于氧

19、八面體中心，而而Ca則在則在8個氧八面體的間隙里。個氧八面體的間隙里。Ca鐵電體：鐵電體：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3鐵磁體鐵磁體：(La,Ca)MnO3ABO3作業(yè)作業(yè)1、3、以堆積模型計算由同種原子構(gòu)成的同體積的體、以堆積模型計算由同種原子構(gòu)成的同體積的體 心和面心晶體中的原子數(shù)之比心和面心晶體中的原子數(shù)之比2、1.4 空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣晶體可以由一種或多種原子（或離子）組成，晶體可以由一種或多種原子（或離子）組成，它們構(gòu)成晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，稱為基元。它們構(gòu)成晶體的基本結(jié)構(gòu)單元，稱為基元。1、基元、基元例例1：碳：碳60晶體晶體 晶體基元是晶體基元是一個包含一個包

20、含60個碳原子組個碳原子組成的巴基球成的巴基球 例例2：兩種原子構(gòu)成的某種晶體：兩種原子構(gòu)成的某種晶體 將基元在空間中按一定方式作周期性重復(fù)將基元在空間中按一定方式作周期性重復(fù)就形成了具有一定結(jié)構(gòu)的晶體。就形成了具有一定結(jié)構(gòu)的晶體。反映了晶體內(nèi)在結(jié)構(gòu)長程有序的特征反映了晶體內(nèi)在結(jié)構(gòu)長程有序的特征其正確性為其正確性為X X射線工作所證明射線工作所證明兩者結(jié)合形成了關(guān)于晶體幾何結(jié)構(gòu)的完備理論兩者結(jié)合形成了關(guān)于晶體幾何結(jié)構(gòu)的完備理論空間點(diǎn)陣學(xué)說空間點(diǎn)陣學(xué)說( (1919世紀(jì)布喇菲世紀(jì)布喇菲) )空間群理論空間群理論空間點(diǎn)陣學(xué)說中所稱的點(diǎn)子，代表著空間點(diǎn)陣學(xué)說中所稱的點(diǎn)子，代表著結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱為

21、結(jié)點(diǎn)。結(jié)構(gòu)中相同的位置，稱為結(jié)點(diǎn)。如果晶體由完全相同的一種原子組成，如果晶體由完全相同的一種原子組成，結(jié)點(diǎn)一般認(rèn)為是原子本身的位置，結(jié)點(diǎn)一般認(rèn)為是原子本身的位置，也可也可以將原子周圍相應(yīng)點(diǎn)的位置看作為結(jié)點(diǎn)以將原子周圍相應(yīng)點(diǎn)的位置看作為結(jié)點(diǎn)3、結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn) 如果晶體中含有數(shù)種原子，則如果晶體中含有數(shù)種原子，則將基元的重心選擇為結(jié)點(diǎn)將基元的重心選擇為結(jié)點(diǎn)是一種數(shù)學(xué)上的抽象是一種數(shù)學(xué)上的抽象2、格點(diǎn)、格點(diǎn)(Lattice site) 用位于原子平衡位置的幾何點(diǎn)替代每一個原子，結(jié)果得到一個用位于原子平衡位置的幾何點(diǎn)替代每一個原子，結(jié)果得到一個與晶體幾何特征相同、但無任何物理實(shí)質(zhì)的幾何圖形。處于原與晶體幾

22、何特征相同、但無任何物理實(shí)質(zhì)的幾何圖形。處于原子平衡位置的幾何點(diǎn)稱為格點(diǎn)。子平衡位置的幾何點(diǎn)稱為格點(diǎn)。意味著結(jié)意味著結(jié)點(diǎn)可以是點(diǎn)可以是格點(diǎn)也可格點(diǎn)也可以不是格以不是格點(diǎn)點(diǎn)4、點(diǎn)陣、點(diǎn)陣結(jié)點(diǎn)在空間周期性排列的總體，稱為點(diǎn)陣結(jié)點(diǎn)在空間周期性排列的總體，稱為點(diǎn)陣5、晶格、晶格通過點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)，可以作許多平行的直線族和平行的晶面族通過點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)，可以作許多平行的直線族和平行的晶面族這樣，點(diǎn)陣就成為一些網(wǎng)格，稱為晶格這樣，點(diǎn)陣就成為一些網(wǎng)格，稱為晶格6、布喇菲格子和復(fù)式格子、布喇菲格子和復(fù)式格子如果晶體由完全相同的一種原子組成，則由格點(diǎn)（原子）組成如果晶體由完全相同的一種原子組成，則由格點(diǎn)（原子）組成

23、的網(wǎng)格和由結(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)格相同，這樣的網(wǎng)格稱為布喇菲格子的網(wǎng)格和由結(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)格相同，這樣的網(wǎng)格稱為布喇菲格子如果晶體包含兩種或兩種以上的原子，則不同的原子各自構(gòu)成如果晶體包含兩種或兩種以上的原子，則不同的原子各自構(gòu)成自身的布喇菲格子（子晶格），若干個相同的布喇菲格子相互自身的布喇菲格子（子晶格），若干個相同的布喇菲格子相互位移套構(gòu)而形成所謂的復(fù)式格子。位移套構(gòu)而形成所謂的復(fù)式格子。整個金剛石晶格可以看成是由沿體對整個金剛石晶格可以看成是由沿體對角線相互位移四分之一對角線長度的角線相互位移四分之一對角線長度的兩個面心立方晶格套構(gòu)而成。兩個面心立方晶格套構(gòu)而成。1.5 晶格周期性的描述晶格周期性的

24、描述1、晶格周期性的描述、晶格周期性的描述原胞和基矢原胞和基矢原胞原胞 一個晶格中最小的重復(fù)單元一個晶格中最小的重復(fù)單元例例1：一維布喇菲格子：一維布喇菲格子原胞，即原胞，即最小重復(fù)單元，為一個最小重復(fù)單元，為一個原子加上原子周圍長度為原子加上原子周圍長度為a的區(qū)域的區(qū)域a習(xí)慣上的選擇習(xí)慣上的選擇兩種選擇兩種選擇一維長度最短、二維面積最小、一維長度最短、二維面積最小、三維體積最小的重復(fù)單元三維體積最小的重復(fù)單元晶格的共同特點(diǎn)是具有周期性，可晶格的共同特點(diǎn)是具有周期性，可以用原胞和基矢來描述這一周期性以用原胞和基矢來描述這一周期性例例2：二維布喇菲格子：二維布喇菲格子原胞，由相鄰的四個原子構(gòu)成的

25、原胞，由相鄰的四個原子構(gòu)成的面積最小的平行四邊形面積最小的平行四邊形基矢基矢原胞的邊矢量原胞的邊矢量例例1：一維布喇菲格子：一維布喇菲格子基矢基矢aai 例例2：二維布喇菲格子：二維布喇菲格子1aai 23322aaiaj 基矢基矢12aa(1)1aai 21322aaiaj (2)例例3：三維布喇菲格子：三維布喇菲格子三維格子的重復(fù)單元是平行六面體三維格子的重復(fù)單元是平行六面體基矢基矢123aaa是原胞的三個邊矢量是原胞的三個邊矢量（1）1aai 2aaj 3aak 例如：簡單立方例如：簡單立方原胞對應(yīng)體積最小的重復(fù)單元原胞對應(yīng)體積最小的重復(fù)單元除了周期性外，每種晶體還有自己特殊的對稱性。為

26、除了周期性外，每種晶體還有自己特殊的對稱性。為了同時反映晶格的對稱性，往往會取最小重復(fù)單元的了同時反映晶格的對稱性，往往會取最小重復(fù)單元的一倍或幾倍的晶格單位作為原胞。結(jié)晶學(xué)中常用這種一倍或幾倍的晶格單位作為原胞。結(jié)晶學(xué)中常用這種方法選取原胞，故稱為結(jié)晶學(xué)原胞，簡稱晶胞。方法選取原胞，故稱為結(jié)晶學(xué)原胞，簡稱晶胞。晶胞晶胞a b c 晶胞的邊在晶軸方向，邊長等于該方向上的一個周期，晶胞的邊在晶軸方向，邊長等于該方向上的一個周期，代表晶胞三個邊的矢量稱為晶胞基矢，用、代表晶胞三個邊的矢量稱為晶胞基矢，用、表示，這三個矢量的長度、表示，這三個矢量的長度a、b和和c實(shí)際實(shí)際上就是所謂的晶格常數(shù)。上就是

27、所謂的晶格常數(shù)。在一些情況下，晶胞就是原胞在一些情況下，晶胞就是原胞而在另一些情況下，晶胞不是原胞而在另一些情況下，晶胞不是原胞原胞1aai 2aaj 3aak 晶胞aai baj cak 原胞晶胞1()2aajk 2()2aaik 3()2aaij aai baj cak 例如簡單立方晶格例如簡單立方晶格例如面心立方晶格例如面心立方晶格2、晶格周期性的描述、晶格周期性的描述格矢格矢對于簡單格子，一旦基矢被確定，則任一原子對于簡單格子，一旦基矢被確定，則任一原子A的的位置可由下列格矢表示位置可由下列格矢表示112233lRl al al a 任意兩個格點(diǎn)間的位移矢量，任意兩個格點(diǎn)間的位移矢量，

28、即即格矢量，簡稱格矢格矢量，簡稱格矢例如例如1223lRaa l1、l2、l3為一組整數(shù)為一組整數(shù)對于復(fù)式格子，任一原子對于復(fù)式格子，任一原子A的位置可由下列格矢表示的位置可由下列格矢表示112233lRrl al al a l1、l2、l3為一組整數(shù)為一組整數(shù) 1，2，3.例如：金剛石晶格例如：金剛石晶格112233lRl al al a 對角線上的原子（紅色）位置對角線上的原子（紅色）位置112233lRl al al a 面心立方位置上（綠色）的原子位置面心立方位置上（綠色）的原子位置因此，可以用表示一個空間格子因此，可以用表示一個空間格子112233l al al a一組的取值可以囊括

29、所有的格點(diǎn)一組的取值可以囊括所有的格點(diǎn)112233l al al a因此，布喇菲格子又可以認(rèn)為是因此，布喇菲格子又可以認(rèn)為是由確定的空間格子由確定的空間格子112233l al al a晶體可以看成是布喇菲格子的晶體可以看成是布喇菲格子的每一個格點(diǎn)上放上基元構(gòu)成的每一個格點(diǎn)上放上基元構(gòu)成的 晶體結(jié)構(gòu)晶格基元晶體結(jié)構(gòu)晶格基元 例例1 1：布喇菲格子為二維斜方格子、基元為：布喇菲格子為二維斜方格子、基元為2 2個原子個原子 例例2 2：布喇菲格子為三維斜方格子、基元為：布喇菲格子為三維斜方格子、基元為1 1個原子個原子 例例3 3：布喇菲格子為二維斜方格子、基元為多個原子：布喇菲格子為二維斜方格子

30、、基元為多個原子 若若代表晶體的任一物理性質(zhì)（如電場強(qiáng)度、電子云代表晶體的任一物理性質(zhì)（如電場強(qiáng)度、電子云密度等），由于晶格的周期性，則有密度等），由于晶格的周期性，則有)()(rRr3、晶格周期性、晶格周期性物理性質(zhì)物理性質(zhì)112233Rl al al a 其其中中上式表明：一個重復(fù)單元中任一上式表明：一個重復(fù)單元中任一r處的物理性質(zhì)，處的物理性質(zhì)，同另一個重復(fù)單元相應(yīng)處的物理性質(zhì)相同同另一個重復(fù)單元相應(yīng)處的物理性質(zhì)相同1.6 典型晶體結(jié)構(gòu)的原胞和晶胞典型晶體結(jié)構(gòu)的原胞和晶胞（1）簡單立方）簡單立方體積體積3aV 原子數(shù)原子數(shù)10 0 0原胞原胞1aai 2aaj 3aak 晶胞晶胞aai

31、baj cak 晶胞原胞晶胞原胞體積體積3123()Vaaaa 原胞只含一個原子原胞只含一個原子基矢基矢（2）體心立方）體心立方體積體積3aV 原子數(shù)原子數(shù)2晶胞晶胞aai baj cak 111000222原胞原胞1()2aaijk 2()2aaijk 3()2aaijk 由立方體的中心到三個頂點(diǎn)引三個基矢由立方體的中心到三個頂點(diǎn)引三個基矢基矢基矢原胞只含一個原子原胞只含一個原子體積體積31231()2Vaaaa （3）面心立方）面心立方原胞原胞1()2aajk 2()2aaik 3()2aaij 晶胞晶胞aai baj cak 3Va 原子數(shù)原子數(shù)4體積體積 111111000000222

32、222 原胞只含一個原子原胞只含一個原子體積體積基矢基矢由立方體的頂點(diǎn)到三個近鄰的面心引三個基矢由立方體的頂點(diǎn)到三個近鄰的面心引三個基矢31231()4Vaaaa 基矢基矢（4）六角密積結(jié)構(gòu)）六角密積結(jié)構(gòu)原胞基矢原胞基矢 、 在密排面內(nèi)，互成在密排面內(nèi)，互成1200角角 沿垂直密排面的方向。沿垂直密排面的方向。1a 2a 3a 1322aaaij 2322aaaij 3ack 基矢基矢作業(yè)作業(yè)1、何謂布喇菲格子？畫出、何謂布喇菲格子？畫出NaCl晶體的結(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的布喇菲格晶體的結(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的布喇菲格子。為什么金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？子。為什么金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？2、1aai 2aaj 3()2a

33、aijk 基矢為基矢為的晶體為何種結(jié)構(gòu)？的晶體為何種結(jié)構(gòu)？若若33()22aaaijk 又為何種結(jié)構(gòu)？又為何種結(jié)構(gòu)？提示：先計算出原胞體積提示：先計算出原胞體積31231()2Vaaaa 由原胞體積可推斷為體心結(jié)構(gòu)由原胞體積可推斷為體心結(jié)構(gòu)也可以由已知的三個基也可以由已知的三個基矢構(gòu)造三個新的基矢矢構(gòu)造三個新的基矢1312323123()2()2()2aaaaijkaaaaijkaaaaaijk 由此可推斷為體心結(jié)構(gòu)由此可推斷為體心結(jié)構(gòu)1.7 晶向晶面和它們的標(biāo)記晶向晶面和它們的標(biāo)記通過任何兩個格點(diǎn)連一直線，則這通過任何兩個格點(diǎn)連一直線，則這直線上包含無限個相同的格點(diǎn)，這直線上包含無限個相同的

34、格點(diǎn)，這樣的直線稱為晶體的晶列。樣的直線稱為晶體的晶列。晶列上格點(diǎn)的分布具有周期性，周晶列上格點(diǎn)的分布具有周期性，周期為晶列上任何兩相鄰格點(diǎn)的間距期為晶列上任何兩相鄰格點(diǎn)的間距晶列晶列由于所有格點(diǎn)周圍情況相同，因此通由于所有格點(diǎn)周圍情況相同，因此通過任何其它的格點(diǎn)都有一晶列和原來過任何其它的格點(diǎn)都有一晶列和原來晶列平行且具有相同的周期，這些平晶列平行且具有相同的周期，這些平行的直線可以將所有格點(diǎn)包括無遺。行的直線可以將所有格點(diǎn)包括無遺。在一個平面中相鄰晶列間距離相等在一個平面中相鄰晶列間距離相等通過一格點(diǎn)可以有無限多個晶列，通過一格點(diǎn)可以有無限多個晶列，其中每一個晶列都有一族平行的晶其中每一個

35、晶列都有一族平行的晶列與之對應(yīng)，所以共有無限多族的列與之對應(yīng)，所以共有無限多族的平行晶列。每一族晶列定義了一個平行晶列。每一族晶列定義了一個方向，稱為晶向。方向，稱為晶向。晶向晶向晶向指數(shù)晶向指數(shù)同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特點(diǎn)是晶列的取向。列的特點(diǎn)是晶列的取向。如何描述晶列的取向？如何描述晶列的取向？晶向指數(shù)晶向指數(shù)112233lRl al al a l1、l2、l3為一組整數(shù)為一組整數(shù)原胞為最小的重復(fù)單元，格點(diǎn)只在原胞原胞為最小的重復(fù)單元，格點(diǎn)只在原胞的頂角上，若取某一格點(diǎn)的頂角上，若取某一格點(diǎn)O為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，1

36、23aaa、 、為原胞的三個基矢為原胞的三個基矢則任何一個格點(diǎn)則任何一個格點(diǎn)A的位矢可以表示為：的位矢可以表示為：很明顯，晶列很明顯，晶列OA的取向被的取向被l1、l2、l3三個整數(shù)所確定。三個整數(shù)所確定。若若l1、l2、l3為互質(zhì)整數(shù)，則為互質(zhì)整數(shù)，則可直接用這三個互質(zhì)整數(shù)來可直接用這三個互質(zhì)整數(shù)來表示該晶列的方向表示該晶列的方向類似于直角坐標(biāo)系中，知道一個矢量在類似于直角坐標(biāo)系中，知道一個矢量在x、y、z三個方向三個方向上的投影，這個矢量則被唯一確定。上的投影，這個矢量則被唯一確定。用晶向指數(shù)表示晶列方向用晶向指數(shù)表示晶列方向123lll， ，稱為晶向指數(shù)稱為晶向指數(shù)若若l1、l2、l3不

37、為互質(zhì)整數(shù)，則先要將這三個數(shù)簡約為互質(zhì)整數(shù)不為互質(zhì)整數(shù)，則先要將這三個數(shù)簡約為互質(zhì)整數(shù) 在結(jié)晶學(xué)中，以在結(jié)晶學(xué)中，以 、 、 為原胞基矢，為原胞基矢，把把 、 、 稱為晶軸，結(jié)點(diǎn)的位矢可寫成稱為晶軸，結(jié)點(diǎn)的位矢可寫成a b c m 、n 、p 不一定是整數(shù)，但乘上公倍數(shù)后，可得到一不一定是整數(shù)，但乘上公倍數(shù)后，可得到一組整數(shù)組整數(shù)m、n、p ，并有，并有Rm an bp c :mnpm np 稱為晶列指數(shù)稱為晶列指數(shù)。m n p，a b c 例例1112233lRl al al a 取某一格點(diǎn)取某一格點(diǎn)O為原點(diǎn)，為原胞基矢為原點(diǎn)，為原胞基矢123aaa、 、沿晶向到最近一個格點(diǎn)沿晶向到最近一個

38、格點(diǎn)A的位矢為：的位矢為：求晶向指數(shù)求晶向指數(shù)的簡便方法的簡便方法123lll， ，則晶向指數(shù)：則晶向指數(shù)：對二維布喇菲格子，對二維布喇菲格子，求求(1)(1)和和(2)(2)兩晶列的兩晶列的晶向指數(shù)晶向指數(shù)(1)(2)01a 2a (1)(1)上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為所以晶向指數(shù)為所以晶向指數(shù)為122lRaa 2，2，1，1，0 0(2)(2)上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為所以晶向指數(shù)為所以晶向指數(shù)為122lRaa 1，2，0例例2對三維布喇菲格子，對三維布喇菲格子，求求OAOA晶列的晶向指數(shù)晶列的晶向指數(shù)OAOA晶列上離原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為晶列上離

39、原點(diǎn)最近的格點(diǎn)位矢為所以晶向指數(shù)為所以晶向指數(shù)為1233lRaaa 3，1，1，1 1例例3求簡立方格子立方邊求簡立方格子立方邊OAOA、面對角、面對角線線OBOB和體對角線和體對角線OCOC的晶向指數(shù)的晶向指數(shù)立方邊立方邊OAOA的晶向指數(shù)為的晶向指數(shù)為100立方邊共有立方邊共有6個不同的晶向，個不同的晶向，晶向指數(shù)分別為晶向指數(shù)分別為 1，1，0，0，0 01，1，0，0，0 0 0，0，1，1，0 00，0，1，1，0 0 0，0，0，0，1 10，0，0，0，1 1面對角線面對角線OBOB的晶向指數(shù)為的晶向指數(shù)為110面對角線共有面對角線共有12個不同的晶向個不同的晶向體對角線體對角線

40、OCOC的晶向指數(shù)為的晶向指數(shù)為111體對角線共有體對角線共有8個不同的晶向個不同的晶向由于立方晶格的對稱性，每一由于立方晶格的對稱性，每一組晶向中所有晶向是等效的，組晶向中所有晶向是等效的，因此，常常用因此，常常用、和和分別表示邊、面對角和體分別表示邊、面對角和體對角線的對角線的晶向。晶向。晶面晶面晶面晶面 晶體內(nèi)三個非共線格點(diǎn)組成的平面晶體內(nèi)三個非共線格點(diǎn)組成的平面在一晶面外過其它格點(diǎn)作一系列與原晶面平行的晶面，可在一晶面外過其它格點(diǎn)作一系列與原晶面平行的晶面，可得到一組等距的晶面，各晶面上格點(diǎn)的分布情況是相同的，得到一組等距的晶面，各晶面上格點(diǎn)的分布情況是相同的，這組等距的晶面稱為一族晶

41、面。所有的格點(diǎn)都在一族平行這組等距的晶面稱為一族晶面。所有的格點(diǎn)都在一族平行的晶面上而無遺漏。的晶面上而無遺漏。同一個格子兩組不同的晶面族同一個格子兩組不同的晶面族與晶列相似，同族晶面中的晶面完全等與晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同，所以晶面的特點(diǎn)也由其取向決定。同，所以晶面的特點(diǎn)也由其取向決定。密勒指數(shù)密勒指數(shù)由于一族晶面必包含了所有格點(diǎn)而無遺漏，因此，在由于一族晶面必包含了所有格點(diǎn)而無遺漏，因此，在三個基矢末端的格點(diǎn)必分別落在該族的不同晶面上。三個基矢末端的格點(diǎn)必分別落在該族的不同晶面上。1a 末端上格點(diǎn)所在的晶面和原點(diǎn)末端上格點(diǎn)所在的晶面和原點(diǎn)所在晶面的間距應(yīng)當(dāng)為所在晶面的間距應(yīng)當(dāng)為h

42、1d，d為相為相鄰晶面間的面間距，鄰晶面間的面間距，h1為整數(shù)為整數(shù)例如圖示的例如圖示的為為3d1a 末端晶面離原點(diǎn)末端晶面離原點(diǎn)同理同理點(diǎn)所在晶面的間距應(yīng)當(dāng)分別為點(diǎn)所在晶面的間距應(yīng)當(dāng)分別為h2d和和 h3d，h2和和h3均為整數(shù)均為整數(shù)2a 、末端上格點(diǎn)所在的晶面和原、末端上格點(diǎn)所在的晶面和原3a 可以證明，可以證明，h1、h2和和h3三個數(shù)是互質(zhì)的整數(shù)，且可用來表示三個數(shù)是互質(zhì)的整數(shù)，且可用來表示晶面的法線方向，因此，這三個互質(zhì)整數(shù)稱為該晶面族的面晶面的法線方向，因此，這三個互質(zhì)整數(shù)稱為該晶面族的面指數(shù)，記為指數(shù)，記為 。最靠近原點(diǎn)的晶面在三最靠近原點(diǎn)的晶面在三個基矢上的截距分別為個基矢上

43、的截距分別為312123aaahhh、同族其它晶面在三個基矢方向上同族其它晶面在三個基矢方向上的截距為這組最小截距的整數(shù)倍的截距為這組最小截距的整數(shù)倍若用天然長度單位表示，則若用天然長度單位表示，則h1、h2、h3三個數(shù)的倒數(shù)為這組晶面中最靠近三個數(shù)的倒數(shù)為這組晶面中最靠近原點(diǎn)的晶面在三個基矢方向上的截距原點(diǎn)的晶面在三個基矢方向上的截距 123h h h同樣，可以以晶胞基矢為坐標(biāo)軸表示晶面指數(shù)，表征晶面取向同樣，可以以晶胞基矢為坐標(biāo)軸表示晶面指數(shù)，表征晶面取向的互質(zhì)整數(shù)稱為晶面族的的互質(zhì)整數(shù)稱為晶面族的密勒指數(shù)密勒指數(shù)，記為，記為 。 hkl1a 2a 3a OABCDEFG例例1對如圖所示的

44、基矢，求：對如圖所示的基矢，求：(1)ABC晶面的密勒指數(shù)；晶面的密勒指數(shù)；(2)DEFG晶面的密勒指數(shù)晶面的密勒指數(shù)(1)ABC晶面在三個基矢方向上的截距分晶面在三個基矢方向上的截距分別為別為4a、b、c，因此截距的倒數(shù)為，因此截距的倒數(shù)為1,1,14因此，該晶面的密勒指數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為(144)(2)DEFG晶面在三個基矢方向上的截距分別晶面在三個基矢方向上的截距分別為為2a、3b、 ，因此截距的倒數(shù)為，因此截距的倒數(shù)為1 1,02 3因此，該晶面的密勒指數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為(320)將晶面在基矢上的截將晶面在基矢上的截距的倒數(shù)的比簡約為距的倒數(shù)的比簡約為互質(zhì)的整數(shù)的比

45、，所互質(zhì)的整數(shù)的比，所得的互質(zhì)整數(shù)即為密得的互質(zhì)整數(shù)即為密勒指數(shù)為勒指數(shù)為例例2求簡立方格子典型晶面的密勒指數(shù)求簡立方格子典型晶面的密勒指數(shù)1、(100)晶面晶面在三個基矢方向上的截距分別為在三個基矢方向上的截距分別為a、 、 ，因此截距的倒數(shù)為，因此截距的倒數(shù)為1,0,0由于立方晶格的對稱性，這三由于立方晶格的對稱性，這三組晶面是等效的，因此，常常組晶面是等效的，因此，常常用用100100來表示來表示(100)(100)、(010)(010)和和(001)(001) 三個等效的晶面。三個等效的晶面。因此，該晶面的密勒指數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為(100)a b c (100)類似的晶面有類

46、似的晶面有(010)、(001)(100)(010)(001)在三個基矢方向上的截距分別為在三個基矢方向上的截距分別為a、b、 ，因此截距的倒數(shù)為，因此截距的倒數(shù)為1,1,0因此，該晶面的密勒指數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為(110)類似的晶面有類似的晶面有6個，密勒指數(shù)分別為個，密勒指數(shù)分別為記為記為1102、(110)晶面晶面a b c (110)(110) (011) (101) (110) (011) (101)、3、(111)晶面晶面a b c (111)在三個基矢方向上的截距分別為在三個基矢方向上的截距分別為a、b、c，因此截距的倒數(shù)為，因此截距的倒數(shù)為1,1,1因此，該晶面的密勒指

47、數(shù)為因此，該晶面的密勒指數(shù)為(111)類似的晶面有類似的晶面有4個，密勒指數(shù)分別為個，密勒指數(shù)分別為(111) (111) (111) (111)、記為記為111符號相反的晶面指數(shù)只符號相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表面是在區(qū)別晶體的外表面時才有意義，在晶體內(nèi)時才有意義，在晶體內(nèi)部這些面都是等效的部這些面都是等效的作業(yè)作業(yè)2、如圖所示，、如圖所示，B、C兩點(diǎn)是面心立方晶胞上的兩面心，求：兩點(diǎn)是面心立方晶胞上的兩面心，求： （1）ABC面的密勒指數(shù)；面的密勒指數(shù)； （2）AC晶列的指數(shù)。晶列的指數(shù)。BCAabc1、 指出立方晶格指出立方晶格(111)面與面與(100)面的交線的晶向以及面的交線

48、的晶向以及 (111)面與面與(110)面的交線的晶向。面的交線的晶向。1.8 晶體宏觀對稱性及其對稱操作晶體宏觀對稱性及其對稱操作1.8.1正交變換正交變換 以宏觀的角度討論如何描寫以宏觀的角度討論如何描寫一個幾何圖形的對稱性一個幾何圖形的對稱性要描述一個幾何圖形的對稱性，一般采用幾何變換的方法要描述一個幾何圖形的對稱性，一般采用幾何變換的方法例：比較以下圖形的對稱性例：比較以下圖形的對稱性（a）（b）（c）（d）為比較圖形的對稱性，規(guī)定在作幾何變換時，圖形中有一點(diǎn)固定不動為比較圖形的對稱性，規(guī)定在作幾何變換時，圖形中有一點(diǎn)固定不動（a）ABCD一個對稱軸，旋轉(zhuǎn)一個對稱軸，旋轉(zhuǎn)角度。一種幾何

49、變換。角度。一種幾何變換。（b）(1)(2)(3)(1)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角度角度 （2）旋轉(zhuǎn)）旋轉(zhuǎn)角度角度 (3) 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)/2、3/2角度角度 五種幾何變換。五種幾何變換。（c）無窮多種變換。無窮多種變換。（d）無幾何變換無幾何變換所以，幾何變換越多，對稱性越高所以，幾何變換越多，對稱性越高.對稱操作對稱操作對晶格點(diǎn)陣而言對晶格點(diǎn)陣而言，對稱操作即為操作前后點(diǎn)陣不變對稱操作即為操作前后點(diǎn)陣不變正交變換正交變換在幾何變換中，若任意兩點(diǎn)間的距離不變，在幾何變換中，若任意兩點(diǎn)間的距離不變， 這種變換稱這種變換稱之為正交變換，如用數(shù)學(xué)表示，正是熟知的線性變換之為正交變換，如用數(shù)學(xué)表示，正是熟知的線性變換一個

50、物體在某一個正交變換下保持不變，稱之為物體的一個物體在某一個正交變換下保持不變，稱之為物體的一個對稱操作，物體的對稱操作越多，則其對稱性越高一個對稱操作，物體的對稱操作越多，則其對稱性越高一種幾何變換一種幾何變換ABCD無窮多變換無窮多變換1、轉(zhuǎn)動、轉(zhuǎn)動幾種簡單操作的變換關(guān)系幾種簡單操作的變換關(guān)系xyo( , , )R x y z ( , )Rxyz 一矢量一矢量 在在 oxy平面旋轉(zhuǎn)平面旋轉(zhuǎn)角度角度得到矢量得到矢量 ，則變換關(guān)系是則變換關(guān)系是R R cossinsincosxxyyxyzz cossin0sincos0001xxyyzz 1000cossin0sincosA寫成矩陣寫成矩陣若

51、令矩若令矩陣為陣為則有則有RAR 很容易驗(yàn)證矩陣很容易驗(yàn)證矩陣為正交矩陣為正交矩陣1AAIAA 或或1A 2、中心反映、中心反映xyzR R xxyyzz 經(jīng)中心反演后得到新經(jīng)中心反演后得到新的矢量，變換關(guān)系是的矢量，變換關(guān)系是100010001xxyyzz 寫成矩陣寫成矩陣100010001A變換矩變換矩陣為陣為1A 3、鏡象、鏡象以以z=0作為鏡面，鏡象對作為鏡面，鏡象對稱操作是將圖形中任何一稱操作是將圖形中任何一點(diǎn)點(diǎn)(x,y,z)變成變成(x,y,-z)，變，變換關(guān)系是換關(guān)系是xyzR R ( , , )x y z( , ,)x yz xxyyzz 寫成矩陣寫成矩陣100010001xx

52、yyzz 變換矩變換矩陣為陣為100010001A1A 1.8.2基本的對稱操作基本的對稱操作晶格周期性對對稱操作有所限制，以轉(zhuǎn)動操作為例，由于晶格周期性對對稱操作有所限制，以轉(zhuǎn)動操作為例，由于晶格周期性，并非所有的轉(zhuǎn)動操作對晶體都是允許的。晶格周期性，并非所有的轉(zhuǎn)動操作對晶體都是允許的。設(shè)想有一個對稱軸垂直于平面，繞轉(zhuǎn)軸設(shè)想有一個對稱軸垂直于平面，繞轉(zhuǎn)軸的任意對稱操作，即轉(zhuǎn)過一角度的任意對稱操作，即轉(zhuǎn)過一角度 同族晶列格點(diǎn)的周期性相等，因此有同族晶列格點(diǎn)的周期性相等，因此有A BmAB （m為整數(shù)）由圖知 (1 2cos )A BAB A點(diǎn)和點(diǎn)是等價的，以通過點(diǎn)的軸順點(diǎn)和點(diǎn)是等價的，以通過點(diǎn)

53、的軸順時針轉(zhuǎn)角度時針轉(zhuǎn)角度 后點(diǎn)轉(zhuǎn)到后點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)，操作前點(diǎn)，操作前后點(diǎn)陣不變，因此，后點(diǎn)陣不變，因此，點(diǎn)必有一格點(diǎn)點(diǎn)必有一格點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)角度逆時針轉(zhuǎn)角度 后后B點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到B點(diǎn)，操作前點(diǎn)，操作前后點(diǎn)陣不變，因此后點(diǎn)陣不變，因此B點(diǎn)必有一格點(diǎn)點(diǎn)必有一格點(diǎn)12cosm 1 1、晶格周期性對對稱操作的限制、晶格周期性對對稱操作的限制12cosm cosm012312 120123 24 26 22 2n n=2, 3, 4, 6綜上所述，旋轉(zhuǎn)角綜上所述，旋轉(zhuǎn)角 可寫成且可寫成且因此，晶體中由于晶格周期性的限制，只可有因此，晶體中由于晶格周期性的限制，只可有1，2，3，4，6度轉(zhuǎn)軸，不存在度轉(zhuǎn)軸，不存在5

54、度或度或6度以上的轉(zhuǎn)軸度以上的轉(zhuǎn)軸n稱為轉(zhuǎn)稱為轉(zhuǎn)軸的次數(shù)軸的次數(shù)或度數(shù)或度數(shù)2 2、幾種基本的對稱操作、幾種基本的對稱操作n度旋轉(zhuǎn)對稱軸度旋轉(zhuǎn)對稱軸晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)角度后能自晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)角度后能自身重合，則稱該軸為身重合，則稱該軸為 n 度旋轉(zhuǎn)對稱軸。度旋轉(zhuǎn)對稱軸。2n 對稱軸的度數(shù)對稱軸的度數(shù)n符號符號2346由于晶格滿足平由于晶格滿足平移對稱性，故不移對稱性，故不存在存在5度軸度軸準(zhǔn)晶（準(zhǔn)晶（19841984）：）：有五重對稱但不有五重對稱但不具有平移對稱性具有平移對稱性n度旋轉(zhuǎn)反演軸度旋轉(zhuǎn)反演軸晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)角度后在經(jīng)過中心反演晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)角度后在經(jīng)過中心反演能自身重合，則稱該軸為能自

55、身重合，則稱該軸為 n 度旋轉(zhuǎn)反演軸。度旋轉(zhuǎn)反演軸。2n xxyyzz 由于晶格滿足平移對稱性，故只有由于晶格滿足平移對稱性，故只有1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演軸，分別記為度旋轉(zhuǎn)反演軸，分別記為不存在不存在5度或度或6以上的對稱軸以上的對稱軸n用表示用表示n度旋轉(zhuǎn)反演軸度旋轉(zhuǎn)反演軸1,2,3,4,61 :中心反演，稱為對稱心，用中心反演，稱為對稱心，用i表示，即表示，即1i 2:先繞軸旋轉(zhuǎn)先繞軸旋轉(zhuǎn)1800再作中心反演，如圖，再作中心反演，如圖，AAA”其效果相當(dāng)于其效果相當(dāng)于A通過垂直于轉(zhuǎn)軸的平面通過垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的鏡象操作（的鏡象操作（m），因此，），因此，2m 3:其效果相當(dāng)于其效果相

56、當(dāng)于3度轉(zhuǎn)軸加上對稱心度轉(zhuǎn)軸加上對稱心i6:其效果相當(dāng)于其效果相當(dāng)于3度轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對稱面度轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對稱面4:4度旋轉(zhuǎn)反演的效果并不能通過其它操作來替代度旋轉(zhuǎn)反演的效果并不能通過其它操作來替代綜上所述，晶體的微觀對稱性中有綜上所述，晶體的微觀對稱性中有8種基本的對稱操作種基本的對稱操作1,2,3,4,6, ,4i m和和1.8.3對稱操作群對稱操作群1、群的基本知識、群的基本知識群：一組具有特殊運(yùn)算規(guī)則的數(shù)學(xué)群：一組具有特殊運(yùn)算規(guī)則的數(shù)學(xué)“元素元素”的集的集合合 ,.GA B C D E 1）集合）集合G中任意兩個元素的中任意兩個元素的“乘積乘積”仍為集合內(nèi)的元仍為集合內(nèi)的

57、元素素群的封閉性群的封閉性,若A BG ABCG 則則2）存在單位元素）存在單位元素E使得所有元素滿足：使得所有元素滿足：AEA 3）對任意元素）對任意元素A，存在逆元素，存在逆元素A-1，且，且1AAE 4）元素間的）元素間的“乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算”滿足結(jié)合律：滿足結(jié)合律：()()A BCAB C 群的性質(zhì)群的性質(zhì)2、幾個簡單的群、幾個簡單的群1）所有除）所有除0以外的正實(shí)數(shù)的集合，以普通乘法為運(yùn)算以外的正實(shí)數(shù)的集合，以普通乘法為運(yùn)算法則，組成正實(shí)數(shù)群。法則，組成正實(shí)數(shù)群。2）所有整數(shù)的集合，以加法為運(yùn)算法則，組成整數(shù)群）所有整數(shù)的集合，以加法為運(yùn)算法則，組成整數(shù)群群的封閉性：群的封閉性：操作：繞操作：繞OA軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2，S點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到T點(diǎn)點(diǎn)操作：繞操作：繞OC軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) /2，T點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到S點(diǎn)點(diǎn)兩個操作中兩個操作中S和和O沒動，而沒動，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到T點(diǎn)點(diǎn)相當(dāng)于操作：繞相當(dāng)于操作：繞OS軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)2 /3因此，因此，C=BA群的封閉性群的封閉性同樣可以論證同樣可以論證3）一個物體全部對稱操作的集合，以連續(xù)操作為運(yùn)算）一個物體全部對稱操作的集合，以連續(xù)操作為運(yùn)算法則，組成對稱