第三章 因素模型及套利定價(jià)模型

1、第三章 1、資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）在實(shí)際應(yīng)用的兩大問(wèn)題： （1）要計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合，計(jì)算量非常巨大。 （2）證券市場(chǎng)線(xiàn)實(shí)際上只考慮了風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)組合的預(yù)期回報(bào)率對(duì)證券或證券組合的期望收益率的影響，即把市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)（系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)）全部集中地表現(xiàn)在一個(gè)因素中，并沒(méi)有將影響證券收益的宏觀經(jīng)濟(jì)變量（如國(guó)民收入、利率、通貨膨脹率、能源價(jià)格等）考慮在內(nèi)。因素模型因素模型 （Factor modelFactor model）定義：因素模型是一種假設(shè)證券的回報(bào)率只與不同的因素波動(dòng)（相對(duì)數(shù)）或者指標(biāo)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。因素模型是APT的基礎(chǔ)，其目的是找出這些因素并確認(rèn)證券收益率對(duì)這些因素變動(dòng)的敏感度。依據(jù)因素的數(shù)量

2、，可以分為單因素模型和多因素模型。2、因素模型的提出 1961年，夏普(William Sharpe)寫(xiě)出博士論文，提出單因素模型。 單因素模型的兩個(gè)基本假設(shè)： （1）證券的風(fēng)險(xiǎn)分為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，因素對(duì)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)不產(chǎn)生影響。 （2）一個(gè)證券的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)其它證券的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)不產(chǎn)生影響，兩種證券的回報(bào)率僅僅通過(guò)因素的共同反應(yīng)而相關(guān)聯(lián)。1、什么是單因素模型？ 單因素模型單因素模型把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個(gè)總的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，假設(shè)它對(duì)整個(gè)證券市場(chǎng)產(chǎn)生影響，并進(jìn)一步假設(shè)其余的不確定性是公司所特有的。 單因素模型一般形式： 單因素模型中證券收益的三大基本構(gòu)成因素； 例1：設(shè)證券回報(bào)僅僅與市

3、場(chǎng)因子回報(bào)有關(guān)其中 =在給定的時(shí)間t，證券i 的回報(bào)率 =在同一時(shí)間區(qū)間，市場(chǎng)因子m的相對(duì)數(shù) =截距項(xiàng) =證券i對(duì)因素m的敏感度 =隨機(jī)誤差項(xiàng)，itiim mtitrab reitrmtriaimbite0,cov(,)0,cov(,)0ititmtitjtE er因子模型回歸年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.04%trtGDPI613.0%r 63.2%e 62.9%GDPI圖中，橫軸表示GDP的增長(zhǎng)率，縱軸表示股票A的回報(bào)率。圖上的每一點(diǎn)表示：在給定的年份，股票A的回報(bào)率與GDP增

4、長(zhǎng)率。通過(guò)線(xiàn)性回歸，我們得到一條符合這些點(diǎn)的直線(xiàn)為（極大似然估計(jì)）4%2tGDP ttrIe從這個(gè)例子可以看出，A在任何一期的回報(bào)率包含了三種成份：1.在任何一期都相同的部分a2.依賴(lài)于GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率，每一期都不相同的部分bIGDPt3.屬于特定一期的特殊部分et。通過(guò)分析上面這個(gè)例子，可歸納出單因子模型的一般形式：對(duì)時(shí)間t 的任何證券i 有時(shí)間序列其中：ft是t時(shí)期公共因子的預(yù)測(cè)值；rit在時(shí)期t證券i的回報(bào)；eit在時(shí)期t證券i的特有回報(bào)ai零因子bi證券i對(duì)公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子載荷（factor loading）itiititrab fe（8.1）為簡(jiǎn)

5、單計(jì)，只考慮在某個(gè)特定的時(shí)間的因子模型，從而省掉角標(biāo)t，變?yōu)椴⑶壹僭O(shè)并且假設(shè)(1)cov( ,)0ie f (2)cov( ,)0ije e0iE eiiiirab fe（8.2）假設(shè)(1)：因子f具體取什么值對(duì)隨機(jī)項(xiàng)沒(méi)有影響，即因子f與隨機(jī)項(xiàng)是獨(dú)立的，這樣保證了因子f是回報(bào)率的唯一因素。若不獨(dú)立，結(jié)果是什么？假設(shè)(2)：一種證券的隨機(jī)項(xiàng)對(duì)其余任何證券的隨機(jī)項(xiàng)沒(méi)有影響，換言之，兩種證券之所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子f所致。如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。對(duì)于證券i，其回報(bào)率的均值（期望值）為 其回報(bào)率的方差2222iifeib因子風(fēng)險(xiǎn)因子風(fēng)險(xiǎn)非因子風(fēng)險(xiǎn)

6、非因子風(fēng)險(xiǎn)iiirab f（8.3）單因子模型的優(yōu)點(diǎn)單因子模型能夠大大簡(jiǎn)化我們?cè)诰?方差分析中的估計(jì)量和計(jì)算量。假定分析人員需要分析n種股票，則均值方差模型：n個(gè)期望收益，n個(gè)方差， (n2-n)/2個(gè)協(xié)方差單因子模型：n個(gè)期望收益，n個(gè)bi，n個(gè)殘差 ，一個(gè)因子f方差 ，共3n1個(gè)估計(jì)值。若n50，前者為1325，后者為151。2ei2f單因子模型具有兩個(gè)重要的性質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的分散化分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)21222limlim ()limnpiiiinnipfepnDw ab feb22211nnpiiepieiiibwbw其中，因素模型的非均衡特征 非均衡特征的體現(xiàn)：

7、和 的區(qū)別；Fbariii)(fMiMfirrrrfr單因素模型的簡(jiǎn)化是有成本的，它僅僅將資產(chǎn)的不確定性簡(jiǎn)單地認(rèn)為與僅僅與一個(gè)因子相關(guān)，這些因子如利率變化，GDP增長(zhǎng)率等。例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對(duì)GDP不敏感，后者對(duì)利率不敏感。單因素模型難以把握公司對(duì)不同的宏觀經(jīng)濟(jì)因素的反應(yīng)。多因子模型假設(shè)殘差有界，即22eis 且組合p高度分散化，即wi充分小，則對(duì)于資產(chǎn)i成立/iwn則有222222111nepissnn從而222222limlimppfeppfnnbb將影響證券收益的系統(tǒng)性因素?cái)U(kuò)展到多個(gè)。1、雙因素模型的一般形式： 實(shí)例：（具體化的）雙因素模型定價(jià)ittitiiitFbFba

8、R2211ttttCPIbGDPbaR21 同樣，考慮到多種因素對(duì)證券回報(bào)率的影響，可以進(jìn)一步將因素模型進(jìn)行拓展，從而形成含有種因素的多因素模型： itktiktitiiiteFbFbFbaR22111976年，斯蒂芬羅斯（Stephen Ross）提出了套利定價(jià)理論（the arbitrage pricing model,APT）。支持APT的理由： 首先，它對(duì)投資者關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)和收益的偏好假設(shè)的限制性沒(méi)有那么強(qiáng)； 其次，APT的支持者認(rèn)為該模型可以進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。（一）什么是套利？ 套利是利用同一實(shí)物資產(chǎn)或證券的不同價(jià)格來(lái)賺取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的行為。 套利的作用：套利行為是現(xiàn)代有效市場(chǎng)的一個(gè)決定性因素

9、。根據(jù)套利定價(jià)原則，當(dāng)市場(chǎng)存在錯(cuò)誤定價(jià)（mispricing）時(shí)，市場(chǎng)上的少數(shù)理性的投資者立即通過(guò)套利操作，構(gòu)筑大額套利頭寸產(chǎn)生巨大的市場(chǎng)力量將偏離的市場(chǎng)價(jià)格推至重建市場(chǎng)均衡狀態(tài)。（二）套利定價(jià)理論的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系 套利機(jī)會(huì)； 套利定價(jià)理論的基本假設(shè)： （1）收益率是由某些共同因素一些公司的特定事件決定的，這被稱(chēng)為收益產(chǎn)生過(guò)程（a return-generating process）。 （2）市場(chǎng)上存在大量不同的資產(chǎn)； （3）允許賣(mài)空，所得款項(xiàng)歸賣(mài)空者所有； （4）投資者偏向于高收益的投資策略。 （一）什么是套利組合？ 套利組合（arbitrage portfolios）是指同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件

10、的證券組合：（1）不追加任何額外的投資；（2）不增加組合風(fēng)險(xiǎn)；（3）套利組合的預(yù)期收益大于零。01niiW01niiiWb01niiiRW 基于三個(gè)條件約束，可以構(gòu)造無(wú)數(shù)個(gè)滿(mǎn)足套利條件的潛在套利組合，這些潛在組合必須符合上述三個(gè)方程。 實(shí)例：假定一個(gè)投資者持有3種證券，其預(yù)期報(bào)酬率分別為15%、21%和12%，敏感度依次為0.9、3.0和1.8。假定每一種證券的市值為100萬(wàn)元，總市值為300萬(wàn)元。 對(duì)于一套利組合而言，不新增投資資金，組合中各證券對(duì)該因素的敏感性的加權(quán)平均為零 0321WWW08 . 139 . 0321WWW從上式可以求出無(wú)限多組解，在此假定 等于0.1，則上述兩方程變?yōu)椋?/p>

11、 1W08 . 1309. 032WW01 . 032WW012. 021. 015. 0321WWW根據(jù)上述方程解出 =0.075， =-0.175。根據(jù)套利組合的條件（3），套利組合的預(yù)期報(bào)酬率必須為正，即： 2W3W000975. 0)175. 0(12. 0075. 021. 01 . 015. 0無(wú)套利原則無(wú)套利原則（Non-arbitrage Non-arbitrage principleprinciple) )：一價(jià)定律：兩種具有相同風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)（組合）不能以不同的期望收益率出售。（無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利）等值等價(jià)法則：如果一項(xiàng)資產(chǎn)比另一項(xiàng)資產(chǎn)更有如果一項(xiàng)資產(chǎn)比另一項(xiàng)資產(chǎn)更有價(jià)值，則其價(jià)格應(yīng)高

12、于另一項(xiàng)資產(chǎn)。價(jià)值，則其價(jià)格應(yīng)高于另一項(xiàng)資產(chǎn)。套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），對(duì)于整個(gè)資本市場(chǎng)，還應(yīng)該包括那些“相似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機(jī)會(huì)。套利行為將導(dǎo)致一個(gè)價(jià)格調(diào)整過(guò)程，最終使同一種資產(chǎn)的價(jià)格趨于相等，套利機(jī)會(huì)消失！ 當(dāng)市場(chǎng)存在套利機(jī)會(huì)，理性投資者必然通過(guò)套利投資組合構(gòu)建進(jìn)行套利操作。套利行為將導(dǎo)致有關(guān)證券的價(jià)格與預(yù)期收益的變化，這種變化可以通過(guò)考察計(jì)算證券預(yù)期回報(bào)率的方程得到： 其中， 為證券的當(dāng)前價(jià)格， 為證券的預(yù)期期末價(jià)格。 預(yù)期回報(bào)率與敏感性之間存在的線(xiàn)性關(guān)系，可用下式表達(dá)： 這個(gè)方程就是套利定價(jià)理論的資產(chǎn)定價(jià)方程。其中， 是這個(gè)方程的截距， 是資產(chǎn)定價(jià)線(xiàn)的斜率，表示單

13、位敏感性的組合的預(yù)期超額回報(bào)率。 101PPr0P1Piibr10011,1,.,ifirrb in在單因子條件下，有12112,.,ffnfnrrrrrrbbbAPT1對(duì)于所有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)則有由此可見(jiàn)，方程的斜率 實(shí)際上是因子1的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格相等時(shí)，結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格相等時(shí)，則證券之間不存在套利。則證券之間不存在套利。APT的意義01iribhrlrhlhlbb若給定等投資額的證券若給定等投資額的證券h多頭和證券多頭和證券l空頭，則形成套空頭，則形成套利組合。投資者為獲利必定盡可能地購(gòu)入證券利組合。投資者為獲利必定盡可能地購(gòu)入證券h，從從而使其價(jià)格

14、上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)而使其價(jià)格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)APT定定價(jià)線(xiàn)價(jià)線(xiàn)。在均衡時(shí)，所有的證券都落在套利定價(jià)線(xiàn)上，。在均衡時(shí)，所有的證券都落在套利定價(jià)線(xiàn)上，只要證券偏離只要證券偏離APT定價(jià)線(xiàn)就會(huì)有套利機(jī)會(huì)。定價(jià)線(xiàn)就會(huì)有套利機(jī)會(huì)。APT定價(jià)線(xiàn)定價(jià)線(xiàn)APT假設(shè)證券回報(bào)可以用預(yù)期到的回報(bào)和未預(yù)期到的回報(bào)兩個(gè)部分來(lái)解釋?zhuān)瑯?gòu)成了一個(gè)特殊的因子模型iiiirrb fe未預(yù)期到的變化未預(yù)期到的變化預(yù)期的回報(bào)預(yù)期的回報(bào)f是證券是證券i的某個(gè)因子的變化，的某個(gè)因子的變化，基于有效市場(chǎng)理基于有效市場(chǎng)理論論，它是不可預(yù)測(cè)的。，它是不可預(yù)測(cè)的。要依靠要依靠“舊舊”的的f來(lái)獲利是不可能的！來(lái)獲利是不可能的?。ㄒ唬┞?lián)系： APT和CAPM在本質(zhì)上是一樣的，都是一個(gè)證券價(jià)格的均衡模型。在一定條件約束下，套利定價(jià)理論導(dǎo)出的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系與資本資產(chǎn)定價(jià)模型的結(jié)論完全一樣。 itimiiitittiiitrareFbar市場(chǎng)模型：?jiǎn)沃笖?shù)模型：（1）APT強(qiáng)調(diào)的無(wú)套利均衡原則，其出發(fā)點(diǎn)是排除無(wú)套利均衡機(jī)會(huì)，若市場(chǎng)上出現(xiàn)非均衡機(jī)會(huì)，市場(chǎng)套利