第二講模型簡(jiǎn)介

1、主講人：孫杰 王翔l1. 熱愛(ài)數(shù)學(xué)建模這項(xiàng)比賽，對(duì)數(shù)學(xué)建模感興趣、能吃苦。l2. 性格很重要，同時(shí)要有合作、團(tuán)結(jié)的精神。l3. 成員的多元化、不同特長(zhǎng)或者各有自己的擅長(zhǎng)點(diǎn)，這樣遇到問(wèn)題時(shí)能夠三個(gè)人很好的分工合作完成，提高效率。l希望大家在這學(xué)期寒假前就能組好隊(duì)伍，及早進(jìn)入團(tuán)隊(duì)狀態(tài)中去。l1.協(xié)會(huì)資料上傳網(wǎng)盤：l 網(wǎng)址：l 登陸的郵箱號(hào)：l 密碼：123456l2.歡迎大家加南理數(shù)模人人主頁(yè)，在那里給我們留言討論發(fā)帖。l什么是數(shù)學(xué)模型？l 數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言及方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。l什么是數(shù)學(xué)建模？l 數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)

2、學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程?？梢灾庇^的理解為數(shù)學(xué)建模是讓一個(gè)純粹數(shù)學(xué)家變成物理學(xué)家、生物學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至是心理學(xué)家等等的過(guò)程。l問(wèn)題：小明站在一個(gè)小山丘上，想要測(cè)量這個(gè)山丘的高度。他站在山邊，采取了最原始的方法：從小山丘向下丟一小石子，5s 后他聽(tīng)到了從小山丘下傳來(lái)的回音。請(qǐng)各位嘗試建立數(shù)學(xué)模型估計(jì)小山丘的高度模型一：模型一：l運(yùn)用自由落體公式來(lái)計(jì)算：l分析：上述模型是最簡(jiǎn)單最理想的自由落體模型并沒(méi)有考慮其他可能影響測(cè)量的因素。l模型二：模型二：l在模型一的基礎(chǔ)上我們?cè)黾恿丝紤]的因素，增加了人的肉眼反應(yīng)時(shí)間，通過(guò)查閱資料得知人的反應(yīng)時(shí)間約為1秒。l分析：此結(jié)果較模型一而言更接近實(shí)際情況，屬于修

3、正的自由落體模型。l模型三：模型三：l考慮到空氣阻力的影響因素，通過(guò)查閱資料可知石頭所受的空氣阻力和速度成正比，阻力系數(shù)與質(zhì)量之比約為0.2，由此我們可建立如下微分方程：l求解此微分方程得：l積分得：l 通過(guò)以上計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果得到了很大的改善，一開(kāi)始的理想自由模型計(jì)算方法得到的122.5m的確存在著較大的誤差。如果用心，大家可以把這個(gè)看似簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題可以做的更好。 模型四：模型四：l 在實(shí)際生活中，回音的傳播時(shí)間是另一個(gè)不可忽略的因素，因此我們?cè)谏鲜龌A(chǔ)之上引入了回音傳播時(shí)間t2，對(duì)上述模型又進(jìn)行了如下修改： 解得：l 在這個(gè)案例中，可以說(shuō)四種答案都是正確的，但其本身是有優(yōu)劣之分的，

4、問(wèn)題在于思考的角度。l 四種不同的解題方法也可以說(shuō)是四種不同的數(shù)學(xué)模型，希望大家能過(guò)通過(guò)這個(gè)例子體會(huì)到數(shù)學(xué)建模的真諦：能過(guò)解決問(wèn)題的方法就是數(shù)學(xué)模型，其本身沒(méi)有對(duì)錯(cuò)之分。l 數(shù)學(xué)模型往往從以下兩個(gè)方面來(lái)權(quán)衡：l（1）數(shù)學(xué)模型用以解決實(shí)際問(wèn)題，所以建立的模型不能太理想、太簡(jiǎn)單，過(guò)于理想化的模型往往脫離實(shí)際情況，違背建模目的。l（2）數(shù)學(xué)建模必須是以能過(guò)求解實(shí)際問(wèn)題為前提，建立的模型一定要能夠求出解，過(guò)于實(shí)際的模型往往難以求解，因此適當(dāng)?shù)募僭O(shè)是十分重要的。l 建模其實(shí)沒(méi)有固定的模式，具體問(wèn)題需要具體分析，當(dāng)然建模的過(guò)程也有其共性，一般來(lái)說(shuō)可以分為以下幾個(gè)步驟：l1. 形成問(wèn)題l2. 簡(jiǎn)化和假設(shè)l3

5、. 模型構(gòu)建l4. 模型的求解l5. 檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)l6. 模型的改進(jìn)l 大大小小的模型總計(jì)可達(dá)三十多種以上，如果再加上算法的話可能有成百上千種，因此我們需要在自己的腦子里對(duì)數(shù)學(xué)模型有一定的分類，以便自己在以后的問(wèn)題中遇到了能夠很好地找到并利用。 預(yù)測(cè)類：數(shù)據(jù)的擬合與插值、多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合、 灰色預(yù)測(cè)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評(píng)價(jià)類：層次分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析體系、模糊評(píng)價(jià)、 DEA評(píng)價(jià)體系優(yōu)化類：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、 動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃多元分析：聚類分析、判別分析、相關(guān)分析、回歸分析 主成分分析、因子分析方程類：微分方程、差分方程、馬爾科夫鏈圖與網(wǎng)絡(luò)：圖論、最短路徑、網(wǎng)絡(luò)流模型概率類：排隊(duì)論

6、、時(shí)間序列、隨機(jī)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定性 問(wèn)題l1. 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型l2. 商人過(guò)河l3. 層次分析法 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃空間層次空間層次工廠級(jí)：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等工廠級(jí)：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；車間級(jí)：根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)車間級(jí)：根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計(jì)劃。用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計(jì)劃。時(shí)間層次時(shí)間層次若短時(shí)間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時(shí)間變化，可若短時(shí)間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨

7、時(shí)間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計(jì)劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。制訂單階段生產(chǎn)計(jì)劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。1 加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時(shí) 8小時(shí) 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元? A1的獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤

8、，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 每天：每天：4.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售奶制品的生產(chǎn)與銷售 x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動(dòng)時(shí)間勞動(dòng)時(shí)間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型(LP)模型分析與假設(shè)模型分析與假設(shè) A1,A2每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工

9、出A1,A2的數(shù)量和時(shí)間是與各自產(chǎn)量無(wú)的數(shù)量和時(shí)間是與各自產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)關(guān)的常數(shù)A1,A2每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時(shí)間是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的數(shù)量和時(shí)間是與相互產(chǎn)量無(wú)關(guān)的常數(shù)的常數(shù)加工加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實(shí)數(shù)的牛奶桶數(shù)是實(shí)數(shù) 模型求解模型求解 圖解法圖解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx約約束束條條件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) Z

10、=0Z=2400Z=3360z=c (常數(shù)常數(shù)) 等值線等值線c在在B(20,30)點(diǎn)得到最優(yōu)解點(diǎn)得到最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù) 可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形 目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線 最優(yōu)解一定在凸多邊最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。 模型求解模型求解 max 72x1+64x2stx1+x25012x1+8x24803x1100 x10, x2020桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤(rùn)，利潤(rùn)3360元。元。 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 原料無(wú)剩余原料無(wú)剩余時(shí)間無(wú)剩余時(shí)間無(wú)剩余加

11、工能力剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2stx1+x25012x1+8x24803x1100 x10, x20三三種種資資源源“資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 最優(yōu)解下最優(yōu)解下“資源資源”增加增加1單位時(shí)單位時(shí)“效益效益”的增量的增量 原料增加原料增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)48 (x1=18, x2=33)時(shí)間增加時(shí)間增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)2 (x1=20.25, x2=29.75)加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn) 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？35 48,

12、應(yīng)該買！應(yīng)該買！ 聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？ 2元！元！最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍 x1系數(shù)范圍系數(shù)范圍(64,96) x2系數(shù)范圍系數(shù)范圍(48,72) A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃 x1系數(shù)由系數(shù)由24 3=72增加增加為為30 3=90，在，在允許范圍內(nèi)允許范圍內(nèi) 不變！不變！(約束條件不變約束條件不變)ABCDl1l2l3l4l5Z=0Z=2400c2 奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃 在在1基礎(chǔ)上深加工基礎(chǔ)上深加工1桶桶牛奶牛奶

13、3千克千克A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天凈利潤(rùn)最大制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天凈利潤(rùn)最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小時(shí)小時(shí) 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的獲利經(jīng)常有的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)

14、影響？的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無(wú)影響？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4千克千克 A2 或或獲利獲利24元元/千克千克 獲利獲利16元元/kg 0.8千克千克 B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， x3千克千克 B1, x4千克千克 B2原料原料供應(yīng)供應(yīng) 勞動(dòng)勞動(dòng)時(shí)間時(shí)間 加工能力加工能力 決策決策變量變量 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) 利潤(rùn)利潤(rùn)約束約束條件條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千

15、克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加約束附加約束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 軟件實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn) 50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx60034346521xxxx48046246521xxxx結(jié)果解釋結(jié)果解釋每天銷售每天銷售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1， 利潤(rùn)利潤(rùn)3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成桶牛奶加工成A2，將得到的將得到的24千克千克A1全部加工成全部加工成B1 除加工能力外均為緊約束除加工能力外均為緊約束30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時(shí)時(shí)間，應(yīng)小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？結(jié)果解釋結(jié)果解釋增加增加1桶牛奶使利潤(rùn)增長(zhǎng)桶牛奶使利潤(rùn)增長(zhǎng)3.1612=37.9250436251xxxx60034346521xxxx增加增加1小時(shí)時(shí)間使利潤(rùn)增長(zhǎng)小時(shí)時(shí)間使利潤(rùn)增長(zhǎng)3.26 投資投資150元增加元增加5