第二講模型簡介

1、主講人：孫杰 王翔l1. 熱愛數(shù)學(xué)建模這項比賽，對數(shù)學(xué)建模感興趣、能吃苦。l2. 性格很重要，同時要有合作、團結(jié)的精神。l3. 成員的多元化、不同特長或者各有自己的擅長點，這樣遇到問題時能夠三個人很好的分工合作完成，提高效率。l希望大家在這學(xué)期寒假前就能組好隊伍，及早進入團隊狀態(tài)中去。l1.協(xié)會資料上傳網(wǎng)盤：l 網(wǎng)址：l 登陸的郵箱號：l 密碼：123456l2.歡迎大家加南理數(shù)模人人主頁，在那里給我們留言討論發(fā)帖。l什么是數(shù)學(xué)模型？l 數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運用數(shù)學(xué)的語言及方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學(xué)手段。l什么是數(shù)學(xué)建模？l 數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)

2、學(xué)語言描述實際現(xiàn)象的過程?？梢灾庇^的理解為數(shù)學(xué)建模是讓一個純粹數(shù)學(xué)家變成物理學(xué)家、生物學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家甚至是心理學(xué)家等等的過程。l問題：小明站在一個小山丘上，想要測量這個山丘的高度。他站在山邊，采取了最原始的方法：從小山丘向下丟一小石子，5s 后他聽到了從小山丘下傳來的回音。請各位嘗試建立數(shù)學(xué)模型估計小山丘的高度模型一：模型一：l運用自由落體公式來計算：l分析：上述模型是最簡單最理想的自由落體模型并沒有考慮其他可能影響測量的因素。l模型二：模型二：l在模型一的基礎(chǔ)上我們增加了考慮的因素，增加了人的肉眼反應(yīng)時間，通過查閱資料得知人的反應(yīng)時間約為1秒。l分析：此結(jié)果較模型一而言更接近實際情況，屬于修

3、正的自由落體模型。l模型三：模型三：l考慮到空氣阻力的影響因素，通過查閱資料可知石頭所受的空氣阻力和速度成正比，阻力系數(shù)與質(zhì)量之比約為0.2，由此我們可建立如下微分方程：l求解此微分方程得：l積分得：l 通過以上計算可以發(fā)現(xiàn)，計算結(jié)果得到了很大的改善，一開始的理想自由模型計算方法得到的122.5m的確存在著較大的誤差。如果用心，大家可以把這個看似簡單的物理問題可以做的更好。 模型四：模型四：l 在實際生活中，回音的傳播時間是另一個不可忽略的因素，因此我們在上述基礎(chǔ)之上引入了回音傳播時間t2，對上述模型又進行了如下修改： 解得：l 在這個案例中，可以說四種答案都是正確的，但其本身是有優(yōu)劣之分的，

4、問題在于思考的角度。l 四種不同的解題方法也可以說是四種不同的數(shù)學(xué)模型，希望大家能過通過這個例子體會到數(shù)學(xué)建模的真諦：能過解決問題的方法就是數(shù)學(xué)模型，其本身沒有對錯之分。l 數(shù)學(xué)模型往往從以下兩個方面來權(quán)衡：l（1）數(shù)學(xué)模型用以解決實際問題，所以建立的模型不能太理想、太簡單，過于理想化的模型往往脫離實際情況，違背建模目的。l（2）數(shù)學(xué)建模必須是以能過求解實際問題為前提，建立的模型一定要能夠求出解，過于實際的模型往往難以求解，因此適當(dāng)?shù)募僭O(shè)是十分重要的。l 建模其實沒有固定的模式，具體問題需要具體分析，當(dāng)然建模的過程也有其共性，一般來說可以分為以下幾個步驟：l1. 形成問題l2. 簡化和假設(shè)l3

5、. 模型構(gòu)建l4. 模型的求解l5. 檢驗和評價l6. 模型的改進l 大大小小的模型總計可達三十多種以上，如果再加上算法的話可能有成百上千種，因此我們需要在自己的腦子里對數(shù)學(xué)模型有一定的分類，以便自己在以后的問題中遇到了能夠很好地找到并利用。 預(yù)測類：數(shù)據(jù)的擬合與插值、多項式數(shù)據(jù)擬合、 灰色預(yù)測、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價類：層次分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析體系、模糊評價、 DEA評價體系優(yōu)化類：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、 動態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃多元分析：聚類分析、判別分析、相關(guān)分析、回歸分析 主成分分析、因子分析方程類：微分方程、差分方程、馬爾科夫鏈圖與網(wǎng)絡(luò)：圖論、最短路徑、網(wǎng)絡(luò)流模型概率類：排隊論

6、、時間序列、隨機問題轉(zhuǎn)化為確定性 問題l1. 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型l2. 商人過河l3. 層次分析法 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 企業(yè)生產(chǎn)計劃企業(yè)生產(chǎn)計劃空間層次空間層次工廠級：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等工廠級：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃；條件，以最大利潤為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計劃；車間級：根據(jù)生產(chǎn)計劃、工藝流程、資源約束及費車間級：根據(jù)生產(chǎn)計劃、工藝流程、資源約束及費用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計劃。用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計劃。時間層次時間層次若短時間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時間變化，可若短時間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨

7、時間變化，可制訂單階段生產(chǎn)計劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計劃。制訂單階段生產(chǎn)計劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計劃。1 加工奶制品的生產(chǎn)計劃加工奶制品的生產(chǎn)計劃1桶牛奶 3公斤A1 12小時 8小時 4公斤A2 或獲利24元/公斤 獲利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 時間時間480小時小時 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元? A1的獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤

8、，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？ 每天：每天：4.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售奶制品的生產(chǎn)與銷售 x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動時間勞動時間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型(LP)模型分析與假設(shè)模型分析與假設(shè) A1,A2每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工

9、出A1,A2的數(shù)量和時間是與各自產(chǎn)量無的數(shù)量和時間是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)關(guān)的常數(shù)A1,A2每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和時間是與相互產(chǎn)量無關(guān)的數(shù)量和時間是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)的常數(shù)加工加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實數(shù)的牛奶桶數(shù)是實數(shù) 模型求解模型求解 圖解法圖解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx約約束束條條件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) Z

10、=0Z=2400Z=3360z=c (常數(shù)常數(shù)) 等值線等值線c在在B(20,30)點得到最優(yōu)解點得到最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù) 可行域為直線段圍成的凸多邊形可行域為直線段圍成的凸多邊形 目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線 最優(yōu)解一定在凸多邊最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個頂點取得。形的某個頂點取得。 模型求解模型求解 max 72x1+64x2stx1+x25012x1+8x24803x1100 x10, x2020桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤，利潤3360元。元。 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 原料無剩余原料無剩余時間無剩余時間無剩余加

11、工能力剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2stx1+x25012x1+8x24803x1100 x10, x20三三種種資資源源“資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 最優(yōu)解下最優(yōu)解下“資源資源”增加增加1單位時單位時“效益效益”的增量的增量 原料增加原料增加1單位單位, 利潤增長利潤增長48 (x1=18, x2=33)時間增加時間增加1單位單位, 利潤增長利潤增長2 (x1=20.25, x2=29.75)加工能力增長不影響利潤加工能力增長不影響利潤 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？35 48,

12、應(yīng)該買！應(yīng)該買！ 聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？ 2元！元！最優(yōu)解不變時目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍最優(yōu)解不變時目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍 x1系數(shù)范圍系數(shù)范圍(64,96) x2系數(shù)范圍系數(shù)范圍(48,72) A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃 x1系數(shù)由系數(shù)由24 3=72增加增加為為30 3=90，在，在允許范圍內(nèi)允許范圍內(nèi) 不變！不變！(約束條件不變約束條件不變)ABCDl1l2l3l4l5Z=0Z=2400c2 奶制品的生產(chǎn)銷售計劃奶制品的生產(chǎn)銷售計劃 在在1基礎(chǔ)上深加工基礎(chǔ)上深加工1桶桶牛奶牛奶

13、3千克千克A1 12小時小時 8小時小時 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小時小時,3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小時小時,3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 制訂生產(chǎn)計劃，使每天凈利潤最大制訂生產(chǎn)計劃，使每天凈利潤最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時時間，應(yīng)否投資？小時時間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小時小時 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的獲利經(jīng)常有的獲利經(jīng)常有10%的波動，對計劃有無

14、影響？的波動，對計劃有無影響？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小時小時 8小時小時 4千克千克 A2 或或獲利獲利24元元/千克千克 獲利獲利16元元/kg 0.8千克千克 B12小時小時,3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小時小時,3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， x3千克千克 B1, x4千克千克 B2原料原料供應(yīng)供應(yīng) 勞動勞動時間時間 加工能力加工能力 決策決策變量變量 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) 利潤利潤約束約束條件條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千

15、克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加約束附加約束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 軟件實現(xiàn)軟件實現(xiàn) 50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx60034346521xxxx48046246521xxxx結(jié)果解釋結(jié)果解釋每天銷售每天銷售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1， 利潤利潤3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成桶牛奶加工成A2，將得到的將得到的24千克千克A1全部加工成全部加工成B1 除加工能力外均為緊約束除加工能力外均為緊約束30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時時間，應(yīng)小時時間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資否投資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？結(jié)果解釋結(jié)果解釋增加增加1桶牛奶使利潤增長桶牛奶使利潤增長3.1612=37.9250436251xxxx60034346521xxxx增加增加1小時時間使利潤增長小時時間使利潤增長3.26 投資投資150元增加元增加5