保守力與非保守力_勢能

1、 力對質(zhì)點所作的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與力對質(zhì)點所作的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積位移大小的乘積 . . （功是標量、過程量）功是標量、過程量）sFrFWdcosdcosdrFWdd一一 功功 力的力的空間累積空間累積效應效應 W、E、動能定理等動能定理等. .FrdiF1drirdB*i1A1F0d,900W0d,18090W0dd90WrF4.1 功和功率功和功率iiiiWrFrFWddzFyFxFWzyxdddzyxWWWWkzjyixrddddkFjFiFFzyxBABAsFrFWdcosd 合力的功合力的功 = = 分力的功的代數(shù)和分力的功的代數(shù)和cosFAsBss

2、dsO 變力的功變力的功rFWdd 功的大小與參照系有關功的大小與參照系有關1J1N m 功的量綱和單位功的量綱和單位tWP 平均功率平均功率 瞬時功率瞬時功率vFtWtWPtddlim0cosvFP 功率的單位功率的單位 （瓦特）瓦特）W10kW131sJ1W1將將 代入，可得合力對小球做的功代入，可得合力對小球做的功6,5,4xyz解解例例1求求ddddxyzAF xF yF z一質(zhì)點在合力一質(zhì)點在合力 作用下自坐標原點運動到作用下自坐標原點運動到 處，處， 32(SI)Fxiyjk6m,5m,4mxyz合力合力 對小球做的功。對小球做的功。 F合力對小球做的元功合力對小球做的元功000d

3、dddzxyzxyzAAF xF yF0003 d2 ddxyzx xy yz z質(zhì)點質(zhì)點自坐標原點運動到自坐標原點運動到 處的過程中，合力對小球做的功處的過程中，合力對小球做的功 ,x y z2223122xyz2223165481J22A 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為 2 kg 的物體由靜止出發(fā)沿直線運動的物體由靜止出發(fā)沿直線運動, ,作作用在物體上的力為用在物體上的力為 F = 6 t (N) . .試求在開始試求在開始 2 秒內(nèi)秒內(nèi), ,此力此力對物體作的功對物體作的功. .tmFaxx3taddvtt0d3dtvxv025 . 1 txvtt.d51dd2tvxx(J) 0 .36d9d20

4、3ttxFW解解: :解解2d4 dxttd80dxxFmttvd0dyyFmtvddxyAF xF y231320 d1200 Jtt在質(zhì)點從在質(zhì)點從 y1 = 16m 到到 y2= 32m 的過程中，外力做的功。的過程中，外力做的功。求求例例3 質(zhì)量為質(zhì)量為10kg 的質(zhì)點，在外力作用下做平面曲線運動，速度為的質(zhì)點，在外力作用下做平面曲線運動，速度為2416t ijvvvv, ,開始時質(zhì)點位于坐標原點。開始時質(zhì)點位于坐標原點。2d4dxxttv由由有有d16dyytv由由有有d16dyt16yt116my 積分可得積分可得積分上下限？積分上下限？d16dyt11st 232my 22st

5、（1 1） 萬有引力作功萬有引力作功以以 為參考系，為參考系， 的的位置矢量為位置矢量為 . . rmm二二 萬有引力、重力、彈性力作功的特點萬有引力、重力、彈性力作功的特點 對對 的萬有引力為的萬有引力為mmr2ermmGFrFWddrermmGdr2m移動移動 時，時， 作元功為作元功為 Frd)(tr)d(ttr rdmOmABr 方向的方向的單位矢量單位矢量)()(ABrmmGrmmGWBArrrrmmGWd2rreredcosddrrBArermmGrFWddr2)(tr)d(ttr rdmOmAB)(tr)d(ttrrddr0dymgWj yi xrddd)(ABmgymgyjmg

6、PymgrPWBAyyBAdd （2） 重力作功重力作功ABAyByPOxyrdDC0d xkxWikxFBABAxxxxxkxxFWdd)2121(22ABkxkxW（3） 彈性力作功彈性力作功AxBxFxOFxxdWdOAxBxF 保守力：保守力： 力所作的功與路徑無關力所作的功與路徑無關，僅決定于相，僅決定于相互作用質(zhì)點的互作用質(zhì)點的始末始末相對相對位置位置 . .三三 保守力和非保守力保守力和非保守力)2121(22ABkxkxW)()(ABrmmGrmmGW)(ABmgymgyW重力功重力功彈力功彈力功引力功引力功ADBACBrFrFd d ABCDABCD 非保守力：力所作的功與路

7、徑有關（例如非保守力：力所作的功與路徑有關（例如摩擦摩擦力）力）. . 物體沿物體沿閉合閉合路徑運動一周時路徑運動一周時, , 保守力對它所作的功等于零保守力對它所作的功等于零 . .0d lrFBDAACBlrFrFrFd d dABCDADBACBrFrFd d 四四 勢能勢能 勢能曲線勢能曲線 勢能勢能 與物體間相互作用及相對位置有關的能量與物體間相互作用及相對位置有關的能量 . . P1p2p)(EEEW 保守力的功保守力的功彈性彈性勢能勢能2p21kxE引力引力勢能勢能rmmGEp重力重力勢能勢能mgzE p)2121(22ABkxkxW彈力彈力功功)()(ABrmmGrmmGW引力

8、引力功功)(ABmgymgyW重力重力功功 勢能具有勢能具有相對相對性，勢能性，勢能大小大小與勢能與勢能零點零點的選取的選取有關有關 . .),(ppzyxEE 勢能是勢能是狀態(tài)狀態(tài)函數(shù)函數(shù) 勢能是屬于勢能是屬于系統(tǒng)系統(tǒng)的的 . .討論討論 勢能計算勢能計算pp0p)(EEEW),(),(cp000d),(zyxzyxrFzyxE0),(0000pzyxE若令若令pEyOmgyEp彈性彈性勢能曲線勢能曲線0, 0pEx重力重力勢能曲線勢能曲線0, 0pEy引力引力勢能曲線勢能曲線0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp 勢能曲線勢能曲線: : 由勢能函數(shù)確定的勢能隨坐標變化的曲線由

9、勢能函數(shù)確定的勢能隨坐標變化的曲線. .一一 質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理21222121dddd2121vvvvvvvvvmmmstmW 動能（動能（狀態(tài)狀態(tài)函數(shù)函數(shù)）mpmE22122kvtmFddtvsFrFrFWdddtt 動能定理動能定理k1k2EEW 合合外力對外力對質(zhì)點質(zhì)點所作的功所作的功, ,等于質(zhì)點動能的等于質(zhì)點動能的增量增量 . . 功和動能都與功和動能都與 參考系參考系有關；動能定理有關；動能定理僅適用于僅適用于慣性系慣性系 . .注意注意4.2 動能動能 動能定理動能定理二二 質(zhì)點系的動能定理質(zhì)點系的動能定理 質(zhì)點系質(zhì)點系動能定理動能定理 0kkinexEEWW1m2m

10、imexiFiniF內(nèi)力可以改變質(zhì)點系的動能內(nèi)力可以改變質(zhì)點系的動能注意注意0kk0kkinexEEEEWWiiiiiiii 對質(zhì)點系，有對質(zhì)點系，有0kkinexiiiiEEWW 對第對第 個質(zhì)點，有個質(zhì)點，有i外外力功力功內(nèi)內(nèi)力功力功一輕彈簧的勁度系數(shù)一輕彈簧的勁度系數(shù) k = 100N/m，用手推一質(zhì)量，用手推一質(zhì)量 m = 0.1 kg的物的物體把彈簧壓縮到距平衡位置為體把彈簧壓縮到距平衡位置為 x1 = 0.02 m 處，如圖所示。處，如圖所示。 放手放手后，物體沿水平面移動到后，物體沿水平面移動到 x2= 0.1m 而停止。而停止。放手后，物體運動到放手后，物體運動到 x1 處和彈

11、簧分離。在整個過程中處和彈簧分離。在整個過程中解解例例物體與水平面間的滑動摩擦系數(shù)。物體與水平面間的滑動摩擦系數(shù)。求求2112kx2mgx摩擦力作功摩擦力作功彈簧彈性力作功彈簧彈性力作功2122kxmgx2121002kxmgx根據(jù)動能定理有根據(jù)動能定理有x1x22100 0.020.202 0.1 9.8 0.1)()(0p0kpkinncexEEEEWW機械能機械能pkEEE質(zhì)點系動能定理質(zhì)點系動能定理 0kkinexEEWW非非保守保守力的功力的功inncincininWWWWii)()(0pp0ppincEEEEWiiii0inncexEEWW三三 質(zhì)點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理 質(zhì)

12、點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理：質(zhì)點系機械能的增量等于質(zhì)點系機械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和外力和非保守內(nèi)力作功之和 . .pkEE)(0pp0kkEEEE當當0inncexWW0EE 時，時，有有)()(0p0kpkinncexEEEEWW 功能原理功能原理四四 機械能守恒定律機械能守恒定律 機械能守恒定律機械能守恒定律: :只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系的機械能保持不變點系的機械能保持不變 . . 守恒定律的守恒定律的意義意義 不究過程細節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各不究過程細節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各個守恒定律的特點和優(yōu)點個守恒定律的特點和優(yōu)

13、點 . . 如圖所示的系統(tǒng)如圖所示的系統(tǒng), , 物體物體 A、B 置于光滑的桌面置于光滑的桌面上上, , 物體物體 A 和和 C, , B和和 D 之間摩擦因數(shù)均不為零之間摩擦因數(shù)均不為零, , 首先用外力沿水平方向相向推壓首先用外力沿水平方向相向推壓 A 和和 B, ,使彈簧壓使彈簧壓縮縮, ,后拆除外力后拆除外力, ,則則 A 和和 B 彈開過程中彈開過程中, ,對對 A、B、C、D 組成的系統(tǒng)組成的系統(tǒng) 討論討論（A）動量守恒，機械能守恒動量守恒，機械能守恒 （B）動量不守恒，機械能守恒動量不守恒，機械能守恒 （C）動量不守恒，機械能不守恒動量不守恒，機械能不守恒 （D）動量守恒，機械能

14、不一定守恒動量守恒，機械能不一定守恒 DBCADBCA質(zhì)量為質(zhì)量為m的小車，無摩擦地沿著圖示軌道滑動。的小車，無摩擦地沿著圖示軌道滑動。小車在最高點不脫離軌道的臨界小車在最高點不脫離軌道的臨界條件是：條件是：N = 0 ，則，則由牛頓第二定律寫出小車在軌道最高由牛頓第二定律寫出小車在軌道最高點的動力學方程點的動力學方程解解根據(jù)機械能守恒定律：根據(jù)機械能守恒定律：例例欲使小車在軌道內(nèi)全程不出軌，問小車至少應從多高的地方欲使小車在軌道內(nèi)全程不出軌，問小車至少應從多高的地方滑下？滑下？求求HRmg2BmgNmRv2BBmgmgRRvv211522222BgRBmgHmg RmHRRR vvB* 四四

15、 宇宙速度宇宙速度 牛頓的牛頓的自然哲學的數(shù)學原理自然哲學的數(shù)學原理插圖，拋體插圖，拋體的運軌的運軌跡取決于拋體的初速度跡取決于拋體的初速度設設: :地球質(zhì)量地球質(zhì)量 mE , , 拋體質(zhì)量拋體質(zhì)量 m , ,地球半徑地球半徑 REvh 解解: : 取拋體和地球為一系取拋體和地球為一系統(tǒng)統(tǒng) ，系統(tǒng)的機械能，系統(tǒng)的機械能 E 守恒守恒 . .( (1) ) 人造地球衛(wèi)星人造地球衛(wèi)星 第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度v1，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度需的最小速度 . .)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv解得解得hRG

16、mRGmEEEE12vvh)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2EEE2)(hRmmGhRmv由牛頓第二定律和萬有引力定律得由牛頓第二定律和萬有引力定律得2EERGmg )2(EEE1hRRgRv地球表面附近地球表面附近hRE故故E1gRvm/s109 . 731v計算得計算得第一宇宙速度第一宇宙速度 我國我國1977年發(fā)年發(fā)射升空的東方紅三射升空的東方紅三號通信衛(wèi)星號通信衛(wèi)星神舟六號飛船神舟六號飛船0)(21EE22RmmGmEvvh（2） 人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度 第二宇宙速度第二宇宙速度v2 ，是，是拋體脫離地球引力所需的最小拋體脫離地球引力所需的

17、最小發(fā)射速度發(fā)射速度 . .0;0, vFr當當若此時若此時則則EEE222gRRGmvkm/s2 .112v第二宇宙速度第二宇宙速度 設設: : 地球質(zhì)量地球質(zhì)量 mE , , 拋體質(zhì)量拋體質(zhì)量 m , , 地球半徑地球半徑 RE . . 取拋體和地球為一系統(tǒng)取拋體和地球為一系統(tǒng) , , 系統(tǒng)的機械能系統(tǒng)的機械能 E 守恒守恒 . .( (3) ) 飛出太陽系飛出太陽系 第三宇宙速度第三宇宙速度 第三宇宙速度第三宇宙速度v3 ，是，是拋體脫離太陽引力所需的最小拋體脫離太陽引力所需的最小發(fā)射速度發(fā)射速度 . .取地球為參考系取地球為參考系, ,由機械能由機械能守恒得守恒得2EE2321)(21

18、vvmRmmGm 取拋體和地球為一系統(tǒng)取拋體和地球為一系統(tǒng)，拋體拋體首先要首先要脫離地球引脫離地球引力的束縛力的束縛, ,其相對于地球的速率為其相對于地球的速率為 . .v 設設: : 地球質(zhì)量地球質(zhì)量 mE , , 拋體質(zhì)量拋體質(zhì)量 m , , 地球半徑地球半徑 RE , , 太陽質(zhì)量太陽質(zhì)量mS ，拋體和太陽相距，拋體和太陽相距 RS . .地球地球為參考系為參考系2EE2321)(21vvmRmmGm取取太陽太陽為參考系為參考系, ,拋體拋體相對于太陽的速度為相對于太陽的速度為 . .3 vE3vvv則則若若 與與 同向同向, ,有有E vvE3vvv地球相對于太陽的速度地球相對于太陽的速度要要脫離太陽引力，機械能至少為零脫離太陽引力，機械能至少為零0)(21pkSS23EERmmGmEv21SS3)2(RGmv則則 設設: :地球繞太陽軌道近似為一圓，由于地球繞太陽軌道近似為一圓，由于 與與 同向同向,