第六章節(jié)MATLAB在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用

1、第六章節(jié)MATLAB在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用n3 , 2 , 1j , 0 xbxaxaxabxaxaxabxaxaxaxcxcxczminjmnmn22m11m2nn22221211nn1212111nn22110XbAXCXzmin線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式要求目標(biāo)函數(shù)最小化，約束條件取等式，變量非負(fù)，不符合這幾個條件的線性規(guī)劃要首先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。線性規(guī)劃的求解方法主要是單純形法（simple Method),此法由Dantzig于1947年提出，以后經(jīng)過多次改進(jìn)，2、線性規(guī)劃的MATLAB求解：linprog函數(shù)數(shù)學(xué)模型：ubulbbeqXAeqbAXXfminT其中：f，x，b，beq，lb，ub為

2、向量，A，Aeq為矩陣。使用形式：x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)x,fval=linprog()x,fval,exitflag=linprog()x,fval,exitflag,output=linprog()x,fval,exitflag,output,lambda=linprog()注：以上幾種形式在使用時根據(jù)具體的模型適當(dāng)選用。每一種形式都有特定的涵義?？刹橛嘘P(guān)書籍3、實(shí)例例1.

3、投資問題：某單位有一批資金用于4個工程項(xiàng)目的投資，用于各個工程項(xiàng)目得到的凈收益（投入資金的百分比）如表所示：工程項(xiàng)目ABCD收益（%）1510812由于某種原因用項(xiàng)目A的總投資不大于其他各各項(xiàng)目的和，用用項(xiàng)目B和C的投資要大于項(xiàng)目D的投資。試確定使該單位收益最大的投資分配方案。分析問題建立模型：用x1,x2,x3,x4分別代表用于項(xiàng)目A、B、C、D的投資百分?jǐn)?shù)，由于各項(xiàng)目的投資百分?jǐn)?shù)之和為100%，所以x1+x2+x3+x4=1根據(jù)題意可建立下面的數(shù)學(xué)模型：4 , 3 , 2 , 1j , 0 x1xxxx0 xxx0 xxxxx12. 0 x08. 0 x1 . 0 x15. 0zmaxj4

4、32143243214321把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為4 , 3 , 2 , 1j , 0 x1xxxx0 xxx0 xxxxx12. 0 x08. 0 x1 . 0 x15. 0zminj432143243214321首先輸入下列系數(shù)：f=-0.15;-0.1;-0.08;-0.12；A=1 -1 -1 -1;0 -1 -1 1；b=0;0；Aeq=1 1 1 1；beq=1；lb=zeros(4,1)；調(diào)用linprog函數(shù)x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)結(jié)論：4個項(xiàng)目的投資百分?jǐn)?shù)分別為0.50、0.25、0.00和0

5、.25時可獲得最大的收益，最大收益為13%二、其它應(yīng)用動物的繁殖的規(guī)律問題：某農(nóng)場飼養(yǎng)的某種動物能達(dá)到的最大年齡為15歲，將其分為三個年齡組：第一組05歲，第二組610歲，第三組1115歲。動物從第二個年齡組開始繁殖后代第二個年齡組的動物在其中年齡段平均繁殖4個后代，第三年齡組的動物在其年齡段平均繁殖3個后代。第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進(jìn)入下一年齡組的成活率分別為0.5和0.25.假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有的三個年齡組的動物各1000頭，根據(jù)有關(guān)生物學(xué)研究結(jié)果，對于足夠大的時間值k,有)k(1)1k(XX其中是萊斯利矩陣L的唯一的正特值請檢驗(yàn)這一結(jié)果是否正確，如果正確給出適當(dāng)?shù)膋值計(jì)算5年后、10年

6、后、15年后各年齡段的動物數(shù)量。20年后農(nóng)場三個年齡段的動物情況會怎樣？以五年為一個年齡段，則某一時刻三個年齡段的動物數(shù)量可以用一個向量X(k)=x1(k) x2(K) x3(k)T為第k個時間段動物數(shù)分布向量。問題分析：由題設(shè)，在初始時刻05歲、610歲、1115歲的三個年齡段動物數(shù)量分別為x1(0)=1000，x2(0)=1000，x3(0)=1000如果每五年平均向市場供應(yīng)動物數(shù)c=s s sT，在20年后農(nóng)場動物不至于滅絕的前提下，c為多少為好？當(dāng)k=0,1,2,3時， X(k)表示現(xiàn)在、五年后、十年后、十五年后的動物數(shù)分布向量。根據(jù)第二年齡段和第三年齡段的繁殖能力，在第k個時間段，第

7、二年齡組動物在其年齡段平均繁殖4個后代，第三年齡組動物在其年齡段平均繁殖3個后代。由此得第一個年齡組在第k+1個時間段的數(shù)量如下：x1(k+1)=4x2(k)+3x3(k)同理，根據(jù)第一年齡組和第二年齡組的存活率，可得等式X2(k+1)=0.5x1(k)X3(k+1)=0.25x2(k)k(2)1k(3)k(1)1k(2)k(3)k(2)1k(1x25.0 xx5.0 xx3x4xK=0,1,2,3可得數(shù)學(xué)模型如下：或?qū)懗删仃囆问剑篨（k+1)=LX(k)其中025.00005.0340L是萊斯利矩陣由此得 X（k+1)=Lk+1X()程序和計(jì)算X0=1000;1000;1000A=0 4 3

8、;0.5 0 0;0 0.25 0X1=A*X0X2=A*X1X3=A*X2X4=A*X3為了計(jì)算L的特征值，輸入下面的命令eig(A)得到特征值為ans = 1.5000 -1.3090 -0.1910這說明只有一個正特征值1.5為了驗(yàn)證)k(1)1k(XX運(yùn)行下面程序；x=1000;1000;1000;d1=1.5;A=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0;y=A*x;y1=d1*x;k=1;while max(abs(y-y1)0.1 x=y; y=A*x; y1=d1*x; k=k+1; endx,k 可知當(dāng)k=285時，有結(jié)論)k(1)1k(XXx0=1000;1000;10

9、00;d1=1.5;A=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0;x1=A*x0,x2=A*x1,x3=A*x2,x4=A*x3x1 =7000 500 250 x2 =2750 3500 125x3 =14375 1375 875x4 =1.0e+003 * 8.1250 7.1875 0.3438進(jìn)一步思考當(dāng)k=285時x=1.0e+053 *2.9078 0.9693 0.1615這說明多年以后，動物數(shù)量是大得非常驚人。從計(jì)算結(jié)果可以看出，如果沒有其他原因，可估計(jì)農(nóng)場的動物總量會逐步增加。如果每年向市場供應(yīng)動物c=s s sT,分析動物數(shù)分布向量變化的規(guī)律可知X(1)=AX(0)-cX(2)=AX(1)-cX(3)=AX(2)-cX(4)=AX(3)-cX()=AX()-(A3+A2+A+I)c考慮20年后動物不滅絕，應(yīng)有