第三章(第4節(jié)) 單自由度系統的強迫振動

1、生活和工程中的共振問題生活和工程中的共振問題 1807年冬和年冬和1808年春，拿年春，拿破侖率領法國軍隊入侵西班牙。破侖率領法國軍隊入侵西班牙。據說，在戰(zhàn)爭中部隊行軍經過據說，在戰(zhàn)爭中部隊行軍經過一座鐵鏈懸索橋，隨著軍官雄一座鐵鏈懸索橋，隨著軍官雄壯的口令，隊伍邁著整齊的步壯的口令，隊伍邁著整齊的步伐逐漸接近對岸時，轟隆一聲伐逐漸接近對岸時，轟隆一聲巨響，大橋塌毀了，士兵、軍巨響，大橋塌毀了，士兵、軍官紛紛墜水。幾十年后，俄國官紛紛墜水。幾十年后，俄國圣彼得堡卡坦卡河上，一支部圣彼得堡卡坦卡河上，一支部隊過橋時，也發(fā)生了同樣的慘隊過橋時，也發(fā)生了同樣的慘劇。從此，世界各國的軍隊過劇。從此，世

2、界各國的軍隊過橋時，都不允許齊步走，必須橋時，都不允許齊步走，必須用凌亂無序的碎步通過。用凌亂無序的碎步通過。生活和工程中的共振問題生活和工程中的共振問題 我國古代很早就對共振現象有記述，公元前我國古代很早就對共振現象有記述，公元前4世世紀至公元前紀至公元前3世紀，我國世紀，我國莊子莊子雜篇雜篇徐無鬼徐無鬼中，就講中，就講到了調瑟到了調瑟(有有25根弦的古代弦樂器根弦的古代弦樂器)時發(fā)生共振的現象：時發(fā)生共振的現象：“鼓宮鼓宮(音調名音調名)宮動，鼓角宮動，鼓角(音調名音調名)角動，音律同矣。角動，音律同矣。夫改調一弦，于五音無當也，鼓之，二十五弦皆動。夫改調一弦，于五音無當也，鼓之，二十五弦

3、皆動?！彼让枋隽嘶舻墓舱瘳F象，又描述了基音和泛音的共它既描述了基音的共振現象，又描述了基音和泛音的共振現象。振現象。 墨子墨子備穴篇備穴篇還記述了共振現象的具體應用；還記述了共振現象的具體應用；在城墻根下每隔幾米，挖一個坑，坑內埋置容器為在城墻根下每隔幾米，挖一個坑，坑內埋置容器為 7080升的陶甕，甕口蒙上皮革。若有敵人挖地道攻城，升的陶甕，甕口蒙上皮革。若有敵人挖地道攻城，可以根據各陶甕聲響情況，確定敵人挖掘的位置和方向?？梢愿鶕魈债Y聲響情況，確定敵人挖掘的位置和方向。生活和工程中的共振問題生活和工程中的共振問題 世界上最早進行共振實驗，是在世界上最早進行共振實驗，是在11世紀我國宋

4、代世紀我國宋代科學家沈括科學家沈括(10311095)。沈括在。沈括在夢溪筆談夢溪筆談中精心中精心設計了一個聲學共振實驗，他剪了一個紙人，把它固定設計了一個聲學共振實驗，他剪了一個紙人，把它固定在一根弦上，彈動和該弦頻率成簡單整數比的弦時，它在一根弦上，彈動和該弦頻率成簡單整數比的弦時，它就振動使紙人跳躍，而彈其它弦時，紙人則不動。沈括就振動使紙人跳躍，而彈其它弦時，紙人則不動。沈括把這種現象叫做把這種現象叫做“應聲應聲”。 在西方，直到在西方，直到15世紀，意大利人世紀，意大利人達達芬奇才開始做共振實驗。直到芬奇才開始做共振實驗。直到17世紀，世紀，牛津的諾布耳和皮戈特才以所謂的牛津的諾布耳

5、和皮戈特才以所謂的“紙紙游碼游碼”(相當于紙人一類的東西相當于紙人一類的東西)實驗，實驗，來證明弦線的基音和泛音的共振關系。來證明弦線的基音和泛音的共振關系。生活和工程中的共振問題生活和工程中的共振問題 在我國的史籍中也有不少共振的記載。唐朝開元年間，在我國的史籍中也有不少共振的記載。唐朝開元年間，洛陽有一個姓劉的和尚，他的房間內掛著一幅磬洛陽有一個姓劉的和尚，他的房間內掛著一幅磬(古代古代(佛教佛教)打擊樂器打擊樂器)，常敲磬解煩。有一天，劉和尚沒有敲磬，磬卻，常敲磬解煩。有一天，劉和尚沒有敲磬，磬卻自動響起來了，不料那磬常常無故自鳴，尤其是半夜里會突自動響起來了，不料那磬常常無故自鳴，尤其

6、是半夜里會突然響動，猶如鬼使神差一般，這使他大為驚奇，終于驚擾成然響動，猶如鬼使神差一般，這使他大為驚奇，終于驚擾成疾。他的一位好朋友曹紹夔是宮廷的樂令疾。他的一位好朋友曹紹夔是宮廷的樂令(管理皇家音樂事管理皇家音樂事項項)，不但能彈一手好琵琶，而且精通音律，聞訊前來探望，不但能彈一手好琵琶，而且精通音律，聞訊前來探望劉和尚。經過一番觀察，他發(fā)現每當寺院里的鐘響起來時，劉和尚。經過一番觀察，他發(fā)現每當寺院里的鐘響起來時，和尚房里的磬也跟著響了。于是曹紹夔拿出刀來把磬磨去幾和尚房里的磬也跟著響了。于是曹紹夔拿出刀來把磬磨去幾處，從此以后磬就不再自鳴了。他告訴劉和尚，這幅磬的音處，從此以后磬就不再

7、自鳴了。他告訴劉和尚，這幅磬的音律律(即所謂的固有頻率即所謂的固有頻率)和寺院的鐘的音律一致，敲鐘時由于和寺院的鐘的音律一致，敲鐘時由于共振，磬也就響了。將磬磨去幾處就是改變它的音律，這樣共振，磬也就響了。將磬磨去幾處就是改變它的音律，這樣就不會引起共鳴。劉和尚恍然大悟，病也隨之痊愈了。就不會引起共鳴。劉和尚恍然大悟，病也隨之痊愈了。生活和工程中的共振問題生活和工程中的共振問題 物理學中的實驗同樣可以得出物理學中的實驗同樣可以得出“雖然驅動力很小，但共振雖然驅動力很小，但共振的結果卻可以是驚人地大。的結果卻可以是驚人地大?！钡慕Y論。如圖所示一個音叉，它固的結論。如圖所示一個音叉，它固定在一個音

8、箱上，音箱用來放大音叉的聲音。當把一個同樣的音定在一個音箱上，音箱用來放大音叉的聲音。當把一個同樣的音叉放在附近的音箱上，并敲擊它，那第一個音叉就會產生所謂的叉放在附近的音箱上，并敲擊它，那第一個音叉就會產生所謂的共鳴振動而響起來。下面說明為什么：當來自第二個音叉的一系共鳴振動而響起來。下面說明為什么：當來自第二個音叉的一系列聲波撞擊到第一個音叉上時，空氣的每一次壓縮給這個音叉一列聲波撞擊到第一個音叉上時，空氣的每一次壓縮給這個音叉一個小的推動。由于這些推動的發(fā)生頻率就是音叉的固有頻率個小的推動。由于這些推動的發(fā)生頻率就是音叉的固有頻率(兩兩個音叉是一樣的個音叉是一樣的)，所以它們逐次地增加振

9、動的振幅?？紤]到這，所以它們逐次地增加振動的振幅。考慮到這個干擾聲是如此微弱，發(fā)現這樣結果是令人吃驚的：一個音叉發(fā)個干擾聲是如此微弱，發(fā)現這樣結果是令人吃驚的：一個音叉發(fā)出的這種微弱的聲音所造成的空氣壓強的變化約為出的這種微弱的聲音所造成的空氣壓強的變化約為1/108，卻足以，卻足以使第二個音叉振動起來。使第二個音叉振動起來。1建筑物的共振破壞建筑物的共振破壞 近代工程上許多因共振造成的災難性事故給近代工程上許多因共振造成的災難性事故給我們留下的教訓就顯得非常深刻。我們留下的教訓就顯得非常深刻。 1940年年7月月1日美國西海岸華盛頓州建成了一日美國西海岸華盛頓州建成了一座當時位居世界第三的座

10、當時位居世界第三的Tacoma大橋。大橋中央大橋。大橋中央跨距為跨距為853.4 m，全長，全長1810.56 m，橋寬，橋寬11.9 m，梁高為梁高為1.3 m，為懸索橋結構，設計可以抗，為懸索橋結構，設計可以抗60 m/s 的大風。但不幸的是大橋剛建成的大風。但不幸的是大橋剛建成4個月后個月后(1940年年11月月7日日)就在就在19 m/s的小風吹拂下整體塌的小風吹拂下整體塌毀。毀。美國華盛頓州Tacoma懸索橋1 建筑物的共振破壞建筑物的共振破壞 1 建筑物的共振破壞建筑物的共振破壞 Tacoma橋破壞時，當地橋破壞時，當地Tacoma報社的編輯報社的編輯Leonard Costswo

11、rth恰好路過，并用攝影機記錄下一段恰好路過，并用攝影機記錄下一段珍貴的膠片。珍貴的膠片。 據說，在出事當天，一位記者把車停在橋上，并把據說，在出事當天，一位記者把車停在橋上，并把一條狗留在車內。橋倒塌時，只有他本人跑到了橋臺處。一條狗留在車內。橋倒塌時，只有他本人跑到了橋臺處。當地的報紙以簡潔的標題對這場事故作了報道，當地的報紙以簡潔的標題對這場事故作了報道，“損失：損失：一座橋、一輛汽車、一條狗一座橋、一輛汽車、一條狗”。1 建筑物的共振破壞建筑物的共振破壞 Tacoma大橋的橫截面與氣流的旋渦脫落大橋的橫截面與氣流的旋渦脫落 Tacoma大橋遭風塌毀的原因就是氣流與大橋的共大橋遭風塌毀的

12、原因就是氣流與大橋的共振所引起的。當風吹過大橋時，氣流會在大橋的背風面振所引起的。當風吹過大橋時，氣流會在大橋的背風面產生旋渦，而在產生旋渦，而在19 m/s風速時旋渦脫落的頻率與懸索上風速時旋渦脫落的頻率與懸索上橋板的固有頻率剛好一致，再加上懸索橋的小阻尼，從橋板的固有頻率剛好一致，再加上懸索橋的小阻尼，從而產生了強烈的共振。因此盡管橋塌毀的這天風并不是而產生了強烈的共振。因此盡管橋塌毀的這天風并不是很大，但卻吹垮了整座大橋。很大，但卻吹垮了整座大橋。 1 建筑物的共振破壞建筑物的共振破壞 調查這次倒塌的委員會包括了加州理工學院的空氣動調查這次倒塌的委員會包括了加州理工學院的空氣動力學家馮卡

13、門。他解釋說在橋的頂部和底部正在涌出渦旋，力學家馮卡門。他解釋說在橋的頂部和底部正在涌出渦旋，它們以橋的共振頻率推動著橋，最后導致橋的倒塌。在華盛它們以橋的共振頻率推動著橋，最后導致橋的倒塌。在華盛頓大學和加州理工學院的風洞實驗室用結構模型做的實驗都頓大學和加州理工學院的風洞實驗室用結構模型做的實驗都證實了他的解釋。盡管已經證實了，但是橋的建筑方還是十證實了他的解釋。盡管已經證實了，但是橋的建筑方還是十分不愿意接受這個解釋。橋梁建筑師關心的是靜態(tài)的力，他分不愿意接受這個解釋。橋梁建筑師關心的是靜態(tài)的力，他們構筑了極強的強度來面對最大的負載、水流、大風等。他們構筑了極強的強度來面對最大的負載、水

14、流、大風等。他們不考慮動態(tài)的力。馮卡門說，呈現在大風面前的路面形狀們不考慮動態(tài)的力。馮卡門說，呈現在大風面前的路面形狀其作用就像飛機的機翼，空氣形成了渦旋，而正是渦旋的作其作用就像飛機的機翼，空氣形成了渦旋，而正是渦旋的作用導致了橋面的振動。用導致了橋面的振動。 從那場災難事件以后，所有重要的橋梁模型都在風洞從那場災難事件以后，所有重要的橋梁模型都在風洞里做過測試，也迫使橋梁工程師們考慮他們設計中的空氣動里做過測試，也迫使橋梁工程師們考慮他們設計中的空氣動力學問題。力學問題。1 建筑物的共振破壞建筑物的共振破壞 計算機模擬圖計算機模擬圖1 建筑物的共振破壞建筑物的共振破壞 10年以后，在同一地

15、方重新修建年以后，在同一地方重新修建Tacoma橋。仍采用懸橋。仍采用懸索橋型式，新橋總長較舊橋長索橋型式，新橋總長較舊橋長12 m，但加勁梁改為桁架式。，但加勁梁改為桁架式。于于1950年年10月月14日建成通車。日建成通車。 新橋是根據馮卡門的建議修改后建造的。主要的改變是新橋是根據馮卡門的建議修改后建造的。主要的改變是把橋修成四車道寬，使用側面開放的桁架，并且在車道之間把橋修成四車道寬，使用側面開放的桁架，并且在車道之間放通風的鐵柵格以平衡橋面上下的風壓。在大風天，人們還放通風的鐵柵格以平衡橋面上下的風壓。在大風天，人們還是緊張地望著它，但它一直紋絲不動。是緊張地望著它，但它一直紋絲不動

16、。2 電線在風中唱歌電線在風中唱歌 共振的另一個例子是電線在風中歌唱。想像一根共振的另一個例子是電線在風中歌唱。想像一根懸掛在風中的繃緊的電線。繞著線的橫截面流動的空氣懸掛在風中的繃緊的電線。繞著線的橫截面流動的空氣如圖如圖(a)所示。所示。 如果風速足夠大，那么電線周圍平滑的空氣流就變如果風速足夠大，那么電線周圍平滑的空氣流就變得不穩(wěn)定了。風試圖繞著電線運動以防止形成真空。如得不穩(wěn)定了。風試圖繞著電線運動以防止形成真空。如果速度太高，風就不能以平滑的流動來做到這一點，而果速度太高，風就不能以平滑的流動來做到這一點，而會在兩側形成渦流，如圖會在兩側形成渦流，如圖(b)所示。所示。2 電線在風中

17、唱歌電線在風中唱歌 渦流開始發(fā)生在線的后面，很快這些渦旋就離隊而渦流開始發(fā)生在線的后面，很快這些渦旋就離隊而交替地向兩側沖去，并在線的尾流中向下游奔去，如圖交替地向兩側沖去，并在線的尾流中向下游奔去，如圖(c)所示。所示。 這種復雜的、然而還是十分穩(wěn)定的流動類型，首這種復雜的、然而還是十分穩(wěn)定的流動類型，首先是由空氣動力學家馮卡門解釋的。在相反方向上有渦先是由空氣動力學家馮卡門解釋的。在相反方向上有渦旋線的完整圖型叫做馮卡門渦旋街。旋線的完整圖型叫做馮卡門渦旋街。圖圖 導致電線唱歌的渦旋的形成導致電線唱歌的渦旋的形成2 電線在風中唱歌電線在風中唱歌 圖圖 流體中馮卡門渦旋街的真實照片流體中馮卡

18、門渦旋街的真實照片2 電線在風中唱歌電線在風中唱歌 每當渦旋離開電線時，它會傳遞給電線一個微弱每當渦旋離開電線時，它會傳遞給電線一個微弱的沖力。的沖力。 原因是渦旋有動量，而渦旋和電線總動量是守恒原因是渦旋有動量，而渦旋和電線總動量是守恒的；所以每個渦旋離開時都會給電線一個推動。的；所以每個渦旋離開時都會給電線一個推動。 在某個風速下，渦旋會以電線的共振頻率開始脫在某個風速下，渦旋會以電線的共振頻率開始脫離，從而引起電線運動。這種共振效應就是為什么在恰離，從而引起電線運動。這種共振效應就是為什么在恰當的風速下風中的電線會開始唱歌的原因。當的風速下風中的電線會開始唱歌的原因。 古希臘人注意到豎琴

19、發(fā)出的可怕的聲音就是這個古希臘人注意到豎琴發(fā)出的可怕的聲音就是這個效應的結果；我們稱這個效應為風鳴琴。效應的結果；我們稱這個效應為風鳴琴。3 共振與人類的健康共振與人類的健康 共振對人類健康有好的一面，同時還會產生直接的共振對人類健康有好的一面，同時還會產生直接的危害。危害。 人體，甚至人體的某個器官也是彈性人體，甚至人體的某個器官也是彈性- -質量系統，質量系統，因此它們也有自己的固有頻率。因此它們也有自己的固有頻率。 人體的平均固有頻率一般在人體的平均固有頻率一般在45 Hz(赫茲赫茲)，各主，各主要器官的固有頻率為要器官的固有頻率為36 Hz。 可以想象，如果外界有這些頻率的振動源，我們

20、可以想象，如果外界有這些頻率的振動源，我們人體一定會感到不舒服，事實上我們的周圍就存在這些人體一定會感到不舒服，事實上我們的周圍就存在這些振動源，那就是次聲。振動源，那就是次聲。 次聲是頻率為次聲是頻率為0.0120 Hz的低頻聲波，這個頻率的低頻聲波，這個頻率范圍與人體一些主要器官的固有頻率處于同一頻段，因范圍與人體一些主要器官的固有頻率處于同一頻段，因此，它很容易引起人體重要器官的共振。此，它很容易引起人體重要器官的共振。3 共振與人類的健康共振與人類的健康 人體器官的固有頻率人體器官的固有頻率 3 共振與人類的健康共振與人類的健康 人們的暈車暈船主要和身體體質有關外還和次聲人們的暈車暈船

21、主要和身體體質有關外還和次聲有關：有的人乘坐越高級的轎車反而暈得越厲害，其主有關：有的人乘坐越高級的轎車反而暈得越厲害，其主要是高級轎車采取了很多措施控制振動，但次聲段的低要是高級轎車采取了很多措施控制振動，但次聲段的低頻振動卻很難控制，這樣，高級轎車次聲頻段振動的相頻振動卻很難控制，這樣，高級轎車次聲頻段振動的相對比例反而大，易暈車的人乘坐后反應就特別大。對比例反而大，易暈車的人乘坐后反應就特別大。 職業(yè)駕駛員往往容易患胃病，除了和他們的工作職業(yè)駕駛員往往容易患胃病，除了和他們的工作緊張有關外，車輛緊張有關外，車輛( (特別是土路上行進的拖拉機特別是土路上行進的拖拉機) )的次聲的次聲振動也

22、是一個主要因素。振動也是一個主要因素。 由于人體的自身振動和來自外界的振動有著十分由于人體的自身振動和來自外界的振動有著十分緊密的關系，所以，利用振動的特性也可以造福人類。緊密的關系，所以，利用振動的特性也可以造福人類。振動工作者和醫(yī)務人員共同研制成功了各種消除疲勞和振動工作者和醫(yī)務人員共同研制成功了各種消除疲勞和治療疾病的振動機械。治療疾病的振動機械。3 共振與人類的健康共振與人類的健康 形成聲音的聲波能夠成為極具殘忍性和欺騙性的隱形成聲音的聲波能夠成為極具殘忍性和欺騙性的隱形殺手。形殺手。_聲波武器聲波武器 1974年法國馬賽的國家科學試驗中心的科學家曾作年法國馬賽的國家科學試驗中心的科學

23、家曾作過這樣一個實驗，發(fā)明了世界上第一個具有破壞力的次過這樣一個實驗，發(fā)明了世界上第一個具有破壞力的次聲發(fā)生器，這種用一臺小型飛機發(fā)動機驅動的類似于大聲發(fā)生器，這種用一臺小型飛機發(fā)動機驅動的類似于大哨子的東西，吹出的次聲波能傷及哨子的東西，吹出的次聲波能傷及8 km( (千米千米) )以外被照以外被照射到的人。首次進行該實驗的時候，周圍被照射的人感射到的人。首次進行該實驗的時候，周圍被照射的人感到胃、心、肺等強烈不適，幸而及時關閉了發(fā)生器才沒到胃、心、肺等強烈不適，幸而及時關閉了發(fā)生器才沒有發(fā)生意外事故，但這些人在幾小時內仍沒有恢復正常。有發(fā)生意外事故，但這些人在幾小時內仍沒有恢復正常。 聲波武器的研制還有許多技術問題尚待克服，比如聲波武器的研制還有許多技術問題尚待克服，比如如何讓聲波分清敵我友就是個很難的問題。如何讓聲波分清敵我友就是個很難的問題。 3 共振與人類的健康共振與人類的健康 音樂除了能夠豐富人們的心理活動、愉悅身心的音樂除了能夠豐富人們的心理活動、愉悅身心的功能外，還是目前心理治療的方法之一。專家研究認為，功能外，還是目前心理治療的方法之一。專家研究認為，音樂的頻率、節(jié)奏和有規(guī)律的聲波振動，是一種物理能音樂的頻率、節(jié)奏和有規(guī)律的聲波振動，是一種物理能量，而適度的物理能量會引起人體組織細胞發(fā)生和諧共量，而