人教A第二章學(xué)案4平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、開始開始 學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)二1.平面向量基本定量：如果平面向量基本定量：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的是同一平面內(nèi)的 兩個(gè)兩個(gè)向量向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使使 .其中其中,不共線的向量不共線的向量e1,e2叫做叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.不共線不共線a=1e1+2e2返回返回 2.平面向量的正交分解平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為把一個(gè)向量分解為 ，叫做把向量正，叫做把向量正交分解交分解.兩個(gè)互相垂直的向量兩個(gè)互相垂直的向量返回返回 3.(1)兩個(gè)向量和差的坐標(biāo)運(yùn)算

2、兩個(gè)向量和差的坐標(biāo)運(yùn)算已知已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則則a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=,即即a+b= .同理可得同理可得a-b= .這就是說，兩個(gè)向量和這就是說，兩個(gè)向量和(差差)的坐標(biāo)分的坐標(biāo)分別等于別等于 .(2)數(shù)乘向量和坐標(biāo)運(yùn)算數(shù)乘向量和坐標(biāo)運(yùn)算a=(x1i+y1j)=，即，即a= .這就是這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于 .(3)向量向量AB的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示若已知若已知A(x1,y1),B(x2,y2),則則AB= .即一個(gè)向量的即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的 .終點(diǎn)的坐標(biāo)

3、減去始點(diǎn)的坐標(biāo)終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)(x1+x2)i+(y1+y2)j(x1-x2,y1-y2)=(x1+x2,y1+y2)這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差） x1i+y1j=(x1,y1)用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)(x2-x1,y2-y1)返回返回 學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)一 用基底表示平面內(nèi)的向量用基底表示平面內(nèi)的向量返回返回 返回返回 返回返回 【評(píng)析【評(píng)析】AB=CB-CA=e1-e2,AM= AB= (e1-e2)=MN=NP,CM=CA+AM=e2+ (e1-e2)= e1+ e2,CN=CM+MN= e1+ e2+ (e1-e2)= e

4、1+ e2,CP=CN+NP= e1+ e2+ (e1-e2)= e1+ e2.414141414341434121212121414143如圖所示，已知如圖所示，已知中，順次是中，順次是BA的四的四等分點(diǎn)，等分點(diǎn)，e1,CA=e2,試以試以(e1,e)為基底表示為基底表示CM,CN,CP.返回返回 已知已知a=(2,1),b=(-3,4).求：求：（1）3a+4b;（2）a-3b;（3） a - b.【分析【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算.【解析【解析】（1）3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).（2）a-3b=(2,

5、1)-3(-3,4)=(2,1)-(-9,12)=(11,-11).（3） a- b= (2,1)- (-3,4)=（1, ）-（- ,1）=（ ,- ）.21412141214121434721學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【評(píng)析】（【評(píng)析】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是用加、減、數(shù)乘運(yùn)算）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行法則進(jìn)行.（2）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出）若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則用運(yùn)算法則.返回返回 已知已知b=(-3

6、,4),c=(-1,1)，且，且a=3b-2c.若若a=AB,且且B(1,0). 求點(diǎn)求點(diǎn)A的坐標(biāo)的坐標(biāo).b=(-3,4),c=(-1,1)，a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2,2)=(-9+2,12-2)=(-7,10).設(shè)設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，又，又B(1,0),AB=(1-x,0-y)=(-7,10). 1-x=-7 x=8 0-y=10 y=-10.即即A點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,-10).返回返回 1.學(xué)習(xí)平面向量基本定理應(yīng)注意些什么學(xué)習(xí)平面向量基本定理應(yīng)注意些什么?(1)e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量

7、. (2)該平面內(nèi)的任意向量該平面內(nèi)的任意向量a都可用都可用e1,e2線性表示線性表示,且這種表示是且這種表示是唯一的唯一的. (3)基底的選取不唯一基底的選取不唯一,只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為一組基底都可以作為一組基底. (4)定理的證明定理的證明,教材是用作圖法證明存在性教材是用作圖法證明存在性,用反證法證明唯用反證法證明唯一性一性.返回返回 2.向量的正交分解與向量的坐標(biāo)的關(guān)系是怎樣的？應(yīng)注意什么向量的正交分解與向量的坐標(biāo)的關(guān)系是怎樣的？應(yīng)注意什么問題？問題？ 設(shè)向量設(shè)向量a沿單位正交基底沿單位正交基底i,j分解的線性表示為分解的線性表示為

8、a=xi+yj,于是實(shí)數(shù)于是實(shí)數(shù)對(duì)對(duì)x,y唯一確定，把唯一確定，把(x,y)叫做向量叫做向量a的坐標(biāo)的坐標(biāo).可見，向量可見，向量a的坐標(biāo)的坐標(biāo)實(shí)質(zhì)上是實(shí)質(zhì)上是a的正交分解的系數(shù)的正交分解的系數(shù).學(xué)習(xí)向量的正交分解與向量的坐學(xué)習(xí)向量的正交分解與向量的坐標(biāo)應(yīng)注意以下問題：標(biāo)應(yīng)注意以下問題：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開來，把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開來，相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同.（2）兩個(gè)向量兩個(gè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2,y1=y2.（3）在書在書寫向量的坐標(biāo)時(shí)，注意與點(diǎn)的坐標(biāo)的

9、區(qū)別與聯(lián)系寫向量的坐標(biāo)時(shí)，注意與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系.向量向量a=(x,y)中間用等號(hào)連接，而一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)中間用等號(hào)連接，而一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)A(x,y)中間沒有等號(hào)，如中間沒有等號(hào)，如A(4,8),B(6,5),a=(3,5)等等.（4）向量有兩種表示方法：一種是幾向量有兩種表示方法：一種是幾何法，即用向量的長度和方向表示，另一種是坐標(biāo)法，即用何法，即用向量的長度和方向表示，另一種是坐標(biāo)法，即用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示.有了向量坐標(biāo)法表示，就可以將幾何問題有了向量坐標(biāo)法表示，就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.返回返回 3.如何掌握向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算？應(yīng)注意什么問題？

10、如何掌握向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算？應(yīng)注意什么問題？設(shè)設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2)，則，則a+b=(a1+b1,a2+b2),a-b=(a1-b1,a2-b2),a=(a1,a2).兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差，兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差，數(shù)乘向量積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積數(shù)乘向量積的坐標(biāo)等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積.應(yīng)注意以下幾點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn):（1）兩向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，兩向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，但是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同，如但是它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同，如A(3,5),B(6,8),C(-5

11、,3),D(-2,6)，則，則AB=(3,3),CD=(3,3),顯然顯然AB=CD，但，但A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)卻不相同各點(diǎn)的坐標(biāo)卻不相同.（2）在平面在平面直角坐標(biāo)系中，給出了向量的坐標(biāo)，將向量的運(yùn)算代數(shù)化，直角坐標(biāo)系中，給出了向量的坐標(biāo)，將向量的運(yùn)算代數(shù)化，同時(shí)也給出一種用向量運(yùn)算解決問題的方法同時(shí)也給出一種用向量運(yùn)算解決問題的方法向量坐標(biāo)法向量坐標(biāo)法.（3）一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)，不能記錯(cuò)不能記錯(cuò).返回返回 1.平面向量基本定理告訴我們平面向量基本定理告訴我們,平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩

12、個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和,并且這種并且這種分解是唯一的分解是唯一的.2.平面向量基本定理中平面向量基本定理中“同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量e1,e2”叫做基底叫做基底,基底的條件是在同一平面內(nèi)不共線基底的條件是在同一平面內(nèi)不共線,即同即同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量一平面內(nèi)的兩個(gè)向量e1,e2只要不共線即可作為基底只要不共線即可作為基底,換句換句話說話說,平面內(nèi)向量的基底不唯一平面內(nèi)向量的基底不唯一,那么同一平面內(nèi)任何一那么同一平面內(nèi)任何一組不共線的向量都可作為表示這一平面內(nèi)的所有向量的組不共線的向量都可作為表示這一平面內(nèi)的所有向量

13、的基底基底.3.由于零向量可看成與任何向量共線由于零向量可看成與任何向量共線,所以零向量不可以所以零向量不可以作為基底作為基底.返回返回 4.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量OA=a，點(diǎn)，點(diǎn)A的的位置被向量位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一的坐標(biāo)統(tǒng)一為為(x,y) 5.兩個(gè)向量相等等價(jià)于它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等兩個(gè)向量相等等價(jià)于它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)相等.返回返回 6.建立平面向量的坐標(biāo)，基礎(chǔ)是平面向量的基本定理及建立平面向量的坐標(biāo)，基礎(chǔ)是平面向量的基本定理及正交分解，對(duì)所給向量應(yīng)會(huì)根據(jù)條件在正交分解，對(duì)所給向量應(yīng)會(huì)根據(jù)條件在x軸和軸和y軸進(jìn)行分軸進(jìn)行分解求出其坐標(biāo)解求出其坐標(biāo).7向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示，在引入向向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的