大學(xué)物理05剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)ppt課件

1、5-1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5-2 力矩力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 力矩的功力矩的功5-4 角動(dòng)量角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理量的定義和性質(zhì)；理解描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本物理量的定義和性質(zhì)； 理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義；理解力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義； 掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量定理；掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量定理； 掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律。掌握定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律和角動(dòng)量守恒定律。教學(xué)要求教學(xué)要求5-1 5-1 剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定

2、軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 一、剛體理想模型）一、剛體理想模型） 剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。如車刀、活塞等。因?yàn)樵谄絼?dòng)時(shí)剛體上所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都相同，各時(shí)刻各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度都相同，所以可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理。 二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的二種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)）二、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的二種基本運(yùn)動(dòng)形態(tài)） 1 1、平動(dòng)、平動(dòng) 在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為剛體?；蛘哒f運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。闡明：闡明：1. 理想模型；理想模型； 2. 在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移；在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移； 3. 內(nèi)力無窮大的

3、特殊質(zhì)點(diǎn)系。內(nèi)力無窮大的特殊質(zhì)點(diǎn)系。下面再看一個(gè)平動(dòng)演示。下面再看一個(gè)平動(dòng)演示。 如果剛體上的任意一條直線的方位在運(yùn)動(dòng)中變了，則稱剛體作轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線可變也可不變，若軸線固定不動(dòng)，則稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上的各點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)中都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。而且，剛體上各點(diǎn)在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的一般運(yùn)動(dòng)可視為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。 如描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量1. 角位置，角位移角位置，角位移yx0P(t)P(t+dt)d運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：角位置角位置 ：位矢與：位矢與 ox 軸夾角。軸夾角。角位移角位移 d ：dt 時(shí)間內(nèi)角位置增

4、量。時(shí)間內(nèi)角位置增量。)(t 1 1、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速度和角加速度均相同；度和角加速度均相同； 2 2、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。圓心在轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。圓心在轉(zhuǎn)軸上。軸上。三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：3. 線量與角量的關(guān)系線量與角量的關(guān)系2rararvrsnt yx0vrrv 方向垂直 和 組成的平面v r2. 角速度和角加速度角速度和角加速度t dd 22ddddtt定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。規(guī)定：規(guī)定：位矢從位矢從o x 軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)

5、動(dòng)時(shí)角位置軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置 為正，為正，反之，為負(fù)。反之，為負(fù)。假設(shè)假設(shè) 是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱為：是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱為：假設(shè)假設(shè) 是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：是定值，剛體的運(yùn)動(dòng)稱作：勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)或勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)或勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)) )剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相似：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的公式與一維直線運(yùn)動(dòng)的公式相似： axxv,00 為恒矢 為恒值 221202200 ttaxvvatvxatvv221202200 a例例1 1、一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系為、一飛輪作減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與角速度關(guān)系為 ，k k為比例系數(shù)，設(shè)初始角速度為為比例系數(shù)，

6、設(shè)初始角速度為 。求：。求：飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；飛輪角速度與時(shí)間的關(guān)系；當(dāng)角速度由當(dāng)角速度由 時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。時(shí)，在此時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。k0200解：解：kdtdtdtkd00kt 0lnkte0 tdtkd02kkt2ln21ln1dtedtddtdkt0,kktekk2002ln0|k420在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)在此時(shí)間內(nèi)車輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)= =kktdted2ln000成的平面內(nèi)。組與且在向的右手螺旋方至FrFr,一、力矩 1、定義： 轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉積。力矩的表示式：力矩的表示式： 大?。?FrM2 2、留意：合力矩、留意：合力矩 合力的力矩合力的

7、力矩 合力矩合力矩= =力矩的和力矩的和 ( (矢量和）矢量和） （對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和）（對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和） 合力為零，合力矩不一定為合力為零，合力矩不一定為零零方向：方向：sinrFMFrd力矩是矢量力矩是矢量F1F2 轉(zhuǎn)軸（F1=F2）5-2 5-2 力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)定律、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 合力矩為零，合力不一定為零F0M力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)， 只需只需 對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻(xiàn)。對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻(xiàn)。/FrFF/F問：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于多少？問：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于多少？零零由此推知：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。由此推知

8、：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。F1F21r2r力矩力矩:合力合力:2211rFrF 21FF 中心力過轉(zhuǎn)軸的力的中心力過轉(zhuǎn)軸的力的 力矩力矩00，如推門。，如推門。定點(diǎn)力矩：定點(diǎn)力矩：FrM 垂直 和 構(gòu)成的平面。MFr定軸力矩：定軸力矩：dFM2 合力矩：合力矩： 21MMM 2211dFdFMzM 只有兩個(gè)方向，可用正、負(fù)表示。只有兩個(gè)方向，可用正、負(fù)表示。而且有：而且有：與轉(zhuǎn)動(dòng)垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)動(dòng)垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力

9、矩。odPF2F1F歸結(jié)起來：歸結(jié)起來：F0M二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律 力矩是改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。 轉(zhuǎn)動(dòng)物體也有保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變的慣性，在一定力矩作轉(zhuǎn)動(dòng)物體也有保持原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)不變的慣性，在一定力矩作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大的物體獲得的角加速度小，反之則大。所以，用下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大的物體獲得的角加速度小，反之則大。所以，物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性成反比。若用物體的角加速度與力矩成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣性成反比。若用J J 表表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性示轉(zhuǎn)動(dòng)慣性J J 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則有：稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則有：kJMJM 寫成等式1在國(guó)際單位制中，

10、在國(guó)際單位制中，k = 1 則上式為則上式為轉(zhuǎn)動(dòng)定律JM 它說明了力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。什么時(shí)刻有力矩作用于物體，物體什么時(shí)刻就有角加速度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律相當(dāng)重要，其在轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位就相當(dāng)于平動(dòng)中的牛頓第二定律。 把剛體看作質(zhì)元 的集合，對(duì) 用牛頓第二定律的切向式與法向式。 設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，某質(zhì)元受內(nèi)力和外力作用 imim 轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律推求：轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律推求： 推導(dǎo)的基本思想：推導(dǎo)的基本思想：矢量式：矢量式：法向式：法向式：切向式：切向式：iiiiamfF內(nèi)外iniininamfFitiititamfFirim對(duì)整個(gè)剛體：對(duì)整個(gè)剛體：)(iiititrmfF以以 遍乘切向式：

11、遍乘切向式：ir)(2iiiitiitrmrfrFiritFM外剛體所受的合外力矩剛體所受的合外力矩 : :0iritF內(nèi)力矩和（內(nèi)力不改變動(dòng)量）（內(nèi)力不改變動(dòng)量）)(2iirmM外定義：定義： 為剛體所受的合外力矩其中 MJM 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律闡明：（闡明：（1M, J, 均對(duì)同一軸而言，且具有瞬時(shí)性；均對(duì)同一軸而言，且具有瞬時(shí)性； （2改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩；改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩； （3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。)(2iiirmJ-轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,.,大小成正比的方向一致與大小成正比的方向一致與MdtdFadtvda 牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)

12、關(guān)系物理量：質(zhì)點(diǎn)物理量：質(zhì)點(diǎn) m m 剛體剛體 J JFavM規(guī)規(guī) 律：質(zhì)點(diǎn)律：質(zhì)點(diǎn) 牛頓第二定律牛頓第二定律 剛體剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 aMFJM不一定不一定例：?jiǎn)枺豪簡(jiǎn)枺篗 M大，能否大，能否 大？大？ 式中各量是對(duì)于同一軸而言，且式中各量是對(duì)于同一軸而言，且與與M M的符號(hào)轉(zhuǎn)向）的符號(hào)轉(zhuǎn)向） 一樣。一樣。 該定律不但對(duì)固定軸轉(zhuǎn)軸成立，對(duì)質(zhì)心軸也成該定律不但對(duì)固定軸轉(zhuǎn)軸成立，對(duì)質(zhì)心軸也成立。立。 該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。該定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律。不一定不一定 大，是否大，是否M M大？大？對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M = J 應(yīng)注意：應(yīng)注意：（M M大，大， 大，大， 的變化大。的變

13、化大。 可為可為0 0）（ 大，并不代表它的變化大，有可能它的大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0M=0，勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。），勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。）對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)分離的質(zhì)點(diǎn)組：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：J J是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。是描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。( (對(duì)比平動(dòng)對(duì)比平動(dòng)m m是物體平動(dòng)慣性大小的量度）是物體平動(dòng)慣性大小的量度）2iirmJdmririmJ22dmrJ2233222211rmrmrmJ對(duì)應(yīng)與mFJMa 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量m1r1m2r2m3r3轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸1、轉(zhuǎn)動(dòng)

14、慣量的定義：、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義： 對(duì)質(zhì)點(diǎn)：對(duì)質(zhì)點(diǎn)：J = m r 2 其中其中 r 為到轉(zhuǎn)軸的距離。為到轉(zhuǎn)軸的距離。 與剛體的總質(zhì)量有關(guān) 與質(zhì)量的分布有關(guān) 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)4 4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J的計(jì)算方法：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、的計(jì)算方法：（可將質(zhì)量元變?yōu)榫€元、面元、體元積分求得）體元積分求得） 3 3、J J與下列因素有關(guān)：與下列因素有關(guān)：例例1、有一均勻細(xì)桿，桿長(zhǎng)為、有一均勻細(xì)桿，桿長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，c為桿的中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)為桿的中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸軸oo通過通過c點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc=？解：取解：取x軸方向如圖，桿的線密

15、度為軸方向如圖，桿的線密度為 = m /l ，取小質(zhì)元，取小質(zhì)元 d m = d x，那么，那么22/2/32/2/221213mlxdxxdmxJllllc 0 x00 xdxC若將轉(zhuǎn)軸移到若將轉(zhuǎn)軸移到A點(diǎn)，求點(diǎn)，求 JA=？仍有小質(zhì)元仍有小質(zhì)元dm= dx，（，（ =m/l）202231mldxxdmxJlA 平行軸定理：剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，等于剛體對(duì)通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jc ，加上剛體質(zhì)量 m 乘以兩平行軸之間的距離d的平方。即：2mdJJcB dCB可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。那么將轉(zhuǎn)軸從那么將轉(zhuǎn)軸從C點(diǎn)平行移到點(diǎn)平行移到A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變

16、了多少？點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變了多少？0 x0 xdxA0C22222)2(4112131mdlmmlmlmlJJCA 移項(xiàng)得：移項(xiàng)得： JA= JC + m d 2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理解：取解：取OXOX軸如圖所示，則棍上任一軸如圖所示，則棍上任一段元段元dxdx的質(zhì)量，的質(zhì)量，至轉(zhuǎn)軸的距離至轉(zhuǎn)軸的距離: : dxLmdm sinxr X Xdxdxd dO Or rX XO例例2 2、質(zhì)量為、質(zhì)量為m m、長(zhǎng)度為、長(zhǎng)度為L(zhǎng) L的均質(zhì)細(xì)直棍，對(duì)通過其中心的均質(zhì)細(xì)直棍，對(duì)通過其中心O O且與棍且與棍斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。斜交成角的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。過棒一端過棒一端 O O、仍與棍斜

17、交成角、仍與棍斜交成角 的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J J。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2222sin121)sin(22mLdxLmxdmrJLL討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 即為棍對(duì)于過它的中心且即為棍對(duì)于過它的中心且與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。與棍垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2 2121mLJ 2mdJJoo222)sin2(sin121LmmL22sin31mL 為棍對(duì)過棍一端、且與棍 垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 231,2mLJ 時(shí)當(dāng)由平行軸定理：由平行軸定理：例例3、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的細(xì)圓環(huán)對(duì)過環(huán)心垂直于環(huán)面的的細(xì)圓環(huán)對(duì)過環(huán)心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：圓環(huán)的

18、線密度為解：圓環(huán)的線密度為: =m /2 R 環(huán)上取小質(zhì)元環(huán)上取小質(zhì)元: d m= dl = R d 那么那么 :23203222mRRmRdRdmRJ dld 例例4、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的薄圓盤對(duì)過圓心垂直于盤面的轉(zhuǎn)的薄圓盤對(duì)過圓心垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 rdr解：圓盤的面密度為解：圓盤的面密度為: =m/R2取一半徑為取一半徑為 r，寬為，寬為dr 的圓環(huán)為質(zhì)元的圓環(huán)為質(zhì)元: dm = 2r dr2403221212mRRdrrdmrJR 即圓盤對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J =mR2/2 。所以定滑輪繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J =mR2/2 ，滑輪繞其過邊

19、緣一點(diǎn)的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J = mR2/2 + mR2 。（平行軸定理） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算只是對(duì)規(guī)則物體而言，對(duì)不規(guī)則的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只能用實(shí)驗(yàn)的方法得出。例例5、如下圖，求大圓盤的實(shí)心部分對(duì)、如下圖，求大圓盤的實(shí)心部分對(duì)O軸垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸垂直于盤面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。動(dòng)慣量。 （知（知 R = 2 r ，大盤質(zhì)量為，大盤質(zhì)量為M，小盤質(zhì)量為，小盤質(zhì)量為m）解：由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性，所以先分別求解：由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有可加性，所以先分別求出大盤和小盤對(duì)出大盤和小盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再把小盤軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再把小盤的除去即得大盤實(shí)心部分對(duì)的除去即得大盤實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。大盤對(duì)大盤對(duì)O軸

20、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J1 = M R 2 /2 小盤對(duì)小盤對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：J2 = m r 2/2 + m r 2 = 3m r 2/2所以實(shí)心部分對(duì)所以實(shí)心部分對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：0RrMm22222221)34(81)34(2123)2(212321RmMrmMmrrMmrMRJJJ 例例6 6、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為M M、半徑為、半徑為R R的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固的定滑輪上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪上略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長(zhǎng)不計(jì)質(zhì)量），另一定在滑輪上略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長(zhǎng)不計(jì)質(zhì)量），另一端掛有一質(zhì)量為端掛有一質(zhì)量為m m 的物體

21、而下垂。求物體的物體而下垂。求物體m m由靜止下落由靜止下落h h高度時(shí)的高度時(shí)的速度和此時(shí)輪的角速度。速度和此時(shí)輪的角速度。解：對(duì)象：解：對(duì)象：M M剛體剛體 m m 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 受力分析：如下圖受力分析：如下圖依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程依牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程h hT1T1mgmmM對(duì)物體有：對(duì)物體有： mg - T = m a 對(duì)滑輪有：對(duì)滑輪有： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： v2 = v02 + 2ah = 2ah 解方程得：Mmmghv24MmmghRRv241 在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，

22、使物體以v0的速度勻速上升，撤去力矩后，問過多少時(shí)間后滑輪開始反向運(yùn)動(dòng)？ 解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力和前面完全一樣 。因此對(duì)物體應(yīng)用牛頓第二定律和對(duì)滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的形式完全一樣。h hT1T1mgmmMv0 對(duì)物體有：對(duì)物體有： mg - T = m a 對(duì)滑輪有：對(duì)滑輪有： TR = J = M R2 /2 角量和線量的關(guān)系：角量和線量的關(guān)系： a = R 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： v = v0 + at = 0 由第由第1、2、3個(gè)方程可解得：個(gè)方程可解得：由第由第4個(gè)方程可解得：個(gè)方程可解得：)2(2mMmga mgvmMavt2)2(00 h hT1T1mgmmMv0 看書

23、看書123頁例題頁例題 5 - 4講解）講解） 右圖中，滑輪兩邊張力不相同 ，兩物體的加速度相同。（繩不可伸長(zhǎng)）Mm1m1m2m2T2T2T1T1T2T2T1T1aam1gm1gm2gm2gamTgm111amgmT222JrTT)(21ra 221MrJMm1m1m2m2T2T2T1T1T2T2T1T1 aam1gm1gm2gm2gMT TT T amTgm111amgmT222JrTT )(1JrTT)(2ra 解：（1選細(xì)桿、剛體為研究對(duì)象受力與受力矩分析如圖受力與受力矩分析如圖由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有方程：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有方程：)31(22mLCosLmgcos23Lg（2 2由于力矩由于力矩M= m

24、gM= mgL/2L/2coscos 屬變力矩，故由屬變力矩，故由 求角速度求角速度 時(shí)用積分法。時(shí)用積分法。 得得L Lrmg2O O例例7 7、質(zhì)量、質(zhì)量m m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為L(zhǎng) L 的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過固定端的均質(zhì)細(xì)桿，可繞過固定端O O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)到任一角將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：轉(zhuǎn)到任一角 時(shí)，時(shí)，桿的角加速度桿的角加速度 等于多少？此時(shí)的角速度等于多少？此時(shí)的角速度 等于多少？等于多少？JM 當(dāng)當(dāng) = =/2 /2 （桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，（桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，Lgsin3討論：討論： 越小，越小， 值越小；值越??； 越大，越

25、大， 值越大。值越大。0,3LgmdLgdd000cos23dddtddddtd所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能221 JEk 一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都具有動(dòng)能。剛剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都具有動(dòng)能。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為: : 則剛體總動(dòng)能為則剛體總動(dòng)能為: : 2222121 iiiikrmvmE與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量綱也相同，單位也相同。與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量綱也相同，單位也相同。Ek=mr2 2=ML2T-25-3 5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩

26、的功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、力矩的功22221)(21iiiikrmvmE剛體轉(zhuǎn)過剛體轉(zhuǎn)過d角，合外力角，合外力F作的元功為作的元功為 ：cosFdssdFdwsincos,rddsdFrdwsinMddwFrM,sin:力矩的大小又當(dāng)剛體在當(dāng)剛體在F力作用下，從力作用下，從1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到2時(shí)所作的功為：時(shí)所作的功為：21222121212121JJdJddtdJMddww二、力矩的功二、力矩的功:M M：X Xd Frds 0-剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理21222121JJW力矩轉(zhuǎn)力矩kEW轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)剛體所作的功，等轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)于剛體轉(zhuǎn)

27、動(dòng) 動(dòng)能的增量。動(dòng)能的增量。使用中應(yīng)注意：使用中應(yīng)注意： Ek Ek轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 是相對(duì)量；是相對(duì)量； 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。 應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理凡是涉及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)問題，要應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理下面用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解例下面用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理求解例6 6解：對(duì)象：桿解：對(duì)象：桿由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：由轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理有：021)2sin(220JdLmg22)31(21sin2mLmgLLgsin3cos23Lgdtd可見：求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律可見：求解桿的角速度時(shí)，用轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

28、定理比用轉(zhuǎn)動(dòng)定律 簡(jiǎn)單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動(dòng)定律為簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單。求角加速度又是用轉(zhuǎn)動(dòng)定律為簡(jiǎn)單。L Lr r mg2O O機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即只有保守力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即 21EE,恒量轉(zhuǎn)pkEE為質(zhì)心處的勢(shì)能cpmghE用機(jī)械能守恒定律求解例用機(jī)械能守恒定律求解例6 6中的中的解：在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，由于只有重力作功，故機(jī)械能守解：在桿轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，由于只有重力作功，故機(jī)械能守 恒。取桿的水平位置為勢(shì)能零點(diǎn)，有恒。取桿的水平位置為勢(shì)能零點(diǎn)，有)sin2(02LmgEksin2)31(2122LmgmLLgsin3一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量動(dòng)量矩和角動(dòng)量守恒定律

29、一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量動(dòng)量矩和角動(dòng)量守恒定律1.1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：PrLLrsin,rmvL大小為為矢量方向：從方向：從 至至 的右旋前進(jìn)方向右手螺旋法則）。的右旋前進(jìn)方向右手螺旋法則）。rP當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞當(dāng)質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)1sin,90則有則有: L = P r = m v r 5-4 5-4 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律2.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量原理：質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量原理：dtLdM dtPdFMFrdtpdrdtLddtPdrdtPdrPdtrddtPrddtLd)(0mPdtrddtPdrdtLdPrL-角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率力矩力矩: :質(zhì)點(diǎn)所

30、受沖量矩質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩 = 質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩 M=0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒 L = 恒量恒量 12LLLddtMdtLdM 質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩質(zhì)點(diǎn)所受沖量矩: :dtM3.3.質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律: :例例1、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過中心的線拉住、一小球在光滑平面上作圓運(yùn)動(dòng)，小球被穿過中心的線拉住 。開始時(shí)繩半徑為開始時(shí)繩半徑為r1 ，小球速率為，小球速率為 v1 ；后來，往下拉繩子，使半；后來，往下拉繩子，使半徑變?yōu)閺阶優(yōu)?r2 ，小球速率變?yōu)?，小球速率變?yōu)?v2 ，求，求v2 =？解：受力分析如

31、圖所示。解：受力分析如圖所示。Mg = N T為小球?yàn)樾∏驁A運(yùn)動(dòng)的向心力，合外力圓運(yùn)動(dòng)的向心力，合外力= T ，但過轉(zhuǎn)軸而，但過轉(zhuǎn)軸而無力矩。合外力矩為無力矩。合外力矩為0，小球角動(dòng)量守恒，小球角動(dòng)量守恒 。 有：有： L = mvr = 恒量恒量 即即 m v1 r1 =m v2 r2mgNT1212)(vrrv 二、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律二、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律 剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量之和： )(vdmRLdmvRLdz0dmiivLiRri1.剛體對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：剛體對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量：JL 由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：dtdLdt

32、dJdtdJJM 的方向與的 的方向相同。LJmRdmRdmRRmRvL22d)(iiiivmRLdtdLM1212JJLLdLdtM2.2.剛體的角動(dòng)量定理：合外力矩的沖量矩剛體的角動(dòng)量定理：合外力矩的沖量矩= =角動(dòng)量的增量。角動(dòng)量的增量。3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律常量2211JJL當(dāng)0M時(shí)， 剛體受外力矩為零時(shí)，角動(dòng)量保持不變。即大小，正負(fù)方向均不變。質(zhì)點(diǎn)與剛體的角動(dòng)量量綱相同質(zhì)點(diǎn)與剛體的角動(dòng)量量綱相同mrmrJL2剛體JmrmrL2質(zhì)點(diǎn)vmimirv.推廣至人推廣至人 人非剛體，只要滿足人所受的人非剛體，只要滿足人所受的 則人的角動(dòng)量也守恒。則人的角動(dòng)

33、量也守恒。使用中的幾種情況：使用中的幾種情況：.一個(gè)剛體質(zhì)點(diǎn)）一個(gè)剛體質(zhì)點(diǎn)） J J不變，不變， 不變，不變，L=L=恒量恒量 。注意守恒定律的使用注意守恒定律的使用條件分析：條件分析： ，即力矩的和為零。，即力矩的和為零。 0iM.幾個(gè)剛體幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)）幾個(gè)剛體幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)） J J變，變， 變，變， 不變。不變。合力合力=0=0，合力矩不一定等于零。，合力矩不一定等于零。合力矩合力矩=0=0，合力不一定等于零。，合力不一定等于零。J0iM 花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員，伸開手：J0 、0 。收攏手：J=J0/3 ， 那么 = J0 0/J=3 0 例例2 2、一根長(zhǎng)為、一根長(zhǎng)為 L L、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m1 m

34、1 的均勻細(xì)棒，其一端掛在一個(gè)水的均勻細(xì)棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一子彈質(zhì)量為m2 , m2 , 以水平速度以水平速度 v0 v0 射入棒下端距軸高度為射入棒下端距軸高度為 a a 處如圖。子彈射入后處如圖。子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置 30 30。，求子彈的水平速。，求子彈的水平速度度 v0 v0 的大??？的大??？解：對(duì)象：解：對(duì)象： 棒棒 剛體剛體 子彈子彈 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 過程分析： 第一階段： 與 碰撞2m1m第二階段：第二階段： + + 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)1m2m角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守

35、恒 )0(0iM只有重力作功，故機(jī)械能守恒。只有重力作功，故機(jī)械能守恒。恒矢iL30a0pE0m2m2m1m1列方程列方程)31(222102amLmam)30cos1 ()30cos1)(2(0)2()(21)31(21212122221gamLgmgamLgmamLm)3)(2)(32(6122212120amLmamLmgam解得：解得：上面例子說明：上面例子說明： 1. 動(dòng)量矩角動(dòng)量保持不變是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的積不變；動(dòng)量矩角動(dòng)量保持不變是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的積不變； 2. 多物體組成的系統(tǒng)角動(dòng)量的可疊加性；多物體組成的系統(tǒng)角動(dòng)量的可疊加性； 3. 角動(dòng)量守恒定律是一條普適定律角動(dòng)量守恒

36、定律是一條普適定律 2211 JJJ例例3 3、質(zhì)量為、質(zhì)量為M M、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為L(zhǎng) L的均勻直棒，可繞垂直于棒的一端的水的均勻直棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸平軸O O無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。它原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在有一質(zhì)無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。它原來靜止在平衡位置上，現(xiàn)在有一質(zhì)量為量為m m的彈性小球飛來，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，碰撞的彈性小球飛來，正好在棒下端與棒垂直相碰撞，碰撞后，棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度后，棒從平衡位置處擺動(dòng)到最大角度=30=30。，如下圖。，如下圖。求：（求：（1 1小球碰撞前的速度小球碰撞前的速度v0=v0=？ （2 2碰撞時(shí)，小球受到多大的沖量？碰撞時(shí)，小球受到多大的沖量？30L0pE0m mO O解：（解：（1 1選小球和棒為研究對(duì)象，選小球和棒為研究對(duì)象， 碰撞時(shí)系統(tǒng)所受合外力矩為碰撞時(shí)系統(tǒng)所受合外力矩為0 0，系統(tǒng)角，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，有：動(dòng)量守恒，有： 2031MLmvLLmv)1(30 mMLvv30L L0pE0m mO O由于是彈性碰撞，動(dòng)能守恒有：由于是彈性碰撞，動(dòng)能守恒有： 22220)31(212121MLmvmv)2(3)(2200mMLvvvv即（ 碰撞后棒從平衡位置擺到角的 過程中，系統(tǒng)只