Chapter隨機變量及其分布

1、2022-3-271第二章 隨機變量及其分布 隨機變量及其分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量函數(shù)的分布2022-3-2722.1 隨機變量及其分布函數(shù)定義定義1：設(shè)E為隨機試驗， =為其樣本空間，若對任意，有唯一實數(shù)X（ ）與之對應(yīng)，則稱X（ ）定義定義2：設(shè)有隨機變量X，對任意x-，+ ，稱)()(xXPxF為隨機變量隨機變量為隨機變量X的分布函數(shù)分布函數(shù).實質(zhì)上是定義在上的單值函數(shù)函數(shù)注意：1.不是等于2.一定要區(qū)分X與x2022-3-273分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F（x），則（1）（2）F（x）是x的非降函數(shù)（3）F（x）右連續(xù)（4）, 1)(

2、0 xxF0)(lim)(, 1)(lim)(xXPFxXPFxx分布函數(shù)的每一個取值都是一個概概率率2022-3-2742.2 離散型隨機變量定義：定義：若隨機變量X只取有限個可能值或至多可列個可能值x1,x2 ,xi ,，則稱X為離散型隨機變量離散型隨機變量，稱 , 2 , 1,)(ipxXPii為隨機變量X的概率分布列概率分布列表示為：XPx1,x2, , xi , p1,p2, , pi , 離散型隨機變量X的分布列的兩條基本性質(zhì)：基本性質(zhì)：（1）非負性 , 2 , 1, 0 ipi（2）規(guī)范性 11iiPn個人中至少兩人生日相同的概率的表格是不是分布列？2022-3-275離散型隨機

3、變量的分布函數(shù)xPxXPxFxxii)()(例：例：給定離散型隨機變量X的分布列如下：XP0 1 2101106103（1）求X的分布函數(shù)F（x）（2）作出F（x）的圖形（3）求).231 (),231 (),230(XPXPXP通常說的隨機變量的概率分布（常簡稱分布分布）是指隨機變量的分布列或者分布函數(shù).2022-3-276兩點分布兩點分布定義：定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為XP 0 11-p p其中 ，則稱X服從兩點分布，亦稱X服從（01）分布，記為X（01）分布10 p兩點分布的分布函數(shù), 1,1, 0)(pxF0 x10 x1x區(qū)分以下概念：區(qū)分以下概念：分布函數(shù)，概率分布列（分布

4、列），概率分布圖，概率分布（分布）注意并熟悉這種提法2022-3-277二項分布二項分布n重獨立試驗將試驗E重復(fù)進行n次，且各次試驗的結(jié)果在概率上互不影響伯努利試驗一次試驗只有兩種可能的結(jié)果n重伯努利試驗中，X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則A發(fā)生k次的概率：（p是A在各次試驗中出現(xiàn)的概率，q1-p）顯然0)( kxP10nknknkknqpqpC定義：定義：若離散型隨機變量X的分布列為, 2 , 1 , 0,)(nkqpCkXPknkkn 其中0p1，q=1-p.則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，簡稱X服從二項分布，記為XB（n，p）, 2 , 1 , 0,)(nkqpCkXPknkkn 兩點分布是

5、其n1時的特例2022-3-278定理：定理：設(shè)離散型隨機變量XB（n，p），若記(n+1)p為(n+1)p的整數(shù)部分，則 ;若(n+1)p)(max) 1(0kXPpnXPnk為正整數(shù)，則P(X= (n+1)p)=P(X =(n+1)p-1)均為pk, k=0,1, 2, ,n中的最大值.稱(n+1)p是二項分布B(n,p)中最可能出最可能出現(xiàn)次數(shù)現(xiàn)次數(shù)，稱 P(X= (n+1)p)為二項分布的中心項中心項例：例： 有9位工人，間歇的使用電力，假設(shè)在每一時刻每位工人都以同樣的概率0.2需要一個單位的電力，并且各位工人工作（需要電力）相互獨立，求最大可能有多少位工人同時需要供應(yīng)一個單位的電力？

6、解：X任一時刻同時需要供應(yīng)電力的工人數(shù)XB(n,p)， n=9,p=0.2(n+1)p=(9+1) 0.2=2與第一章解題的關(guān)鍵在于提煉出事件A相對應(yīng)，本章關(guān)鍵在于提煉出隨機變量提煉出隨機變量X2022-3-279例：某種疾病據(jù)歷史資料顯示，這種疾病的患者自然痊愈率為0.25，為了試驗一種新藥，在有關(guān)部門批準后，某醫(yī)生把此藥給10個病人服用.該部門實現(xiàn)規(guī)定一個決策原則：若這10個病人中至少有4個治好了，則認為這種藥有效，提高了痊愈率；反之則認為無效，問：雖然新藥有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通過實驗卻被否定的概率是多少？30103105136. 0)65. 0()35. 0()3(kkk

7、CXP例：設(shè)有一決策系統(tǒng)，其中每個成員作出的決策互不影響，且每個成員作出正確決策的概率均為p（0p0）是不依賴于t的參數(shù)，求電子設(shè)備在T小時內(nèi)損壞的概率.)( tt本題目其實是導(dǎo)出指數(shù)分布的過程，比較復(fù)雜2022-3-2720正態(tài)分布正態(tài)分布定義：定義：若連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為 xexfx,212220；分布函數(shù)分布函數(shù) xdtexFxt，22221標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布(XN(0,1)： 即0，1時概率密度函數(shù)分布函數(shù) xexx,2122 xdtexxt，2221其圖形關(guān)于x= 對稱,故被稱為位置參數(shù);且x= 取到最大值其中 為常數(shù).則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布或高斯分布，記為X

8、N(,2).2022-3-2721例：例：設(shè)隨機變量XN(,2)，試求 3 , 2 , 1,kkXP例：例： 由歷史記錄，某地區(qū)年總降雨量XN(600,1502),(單位：mm),求（1）明年年降雨量在400mm700m之間的概率為多少？（2）明年年降雨量至少為300mm的概率為多少？（3）明年年降雨量小于何值時概率為0.1？);(1xx）（重要性質(zhì)：)(xxF）（若XN(,2)說明只需通過一個線性變換，即可將正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布2022-3-27222.4 隨機變量函數(shù)的分布定義：定義： 設(shè)y=g(x)為 一個通常的連續(xù)函數(shù)，令Y=g(X)，其中X為隨機變量，那么Y也是隨機變量，并稱它為

9、隨機變量X的函數(shù).2022-3-2723離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)隨機變量X的分布列為：XPx1,x2, , xk , p1,p2, , pk , Y=g(X)為X的函數(shù)，求Y的分布列例：例：設(shè)X的分布列為XP(X=xi)-2 -1 0 1 20.1 0.2 0.4 0.1 0.1試求：(1)Y=2X+1，(2)Y=X2兩種場合下Y的分布列2022-3-2724連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)有連續(xù)型隨機變量X，其概率密度函數(shù)為fX(x)，又函數(shù)y=g(x)嚴格單調(diào)，反函數(shù)g-1(y) 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=g(X)也是一個連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為 , 0,11yygygfyfXY其他其中，)(),(max)(),(mingggg，例：例：設(shè)隨機變量XN(,2)，求Y=aX+b（a，b為常數(shù)，a 0）的概率密度函數(shù)2022-3-2725本章的核心內(nèi)容核心內(nèi)容是四個概念：1.隨機變量X2.概率P（Xx）3.分布函數(shù)F（x）4.概率密度f（x）作業(yè)：設(shè)隨機變量X具有概率密度0, 00,)(3xxKexfx試確定常數(shù)K，并求P（X0.1）2022-3-2726問題問題：1.什么是隨機變量？其實質(zhì)是什么？2.分布列是離散型隨機變量的概念還是連續(xù)型隨