第2章 點(diǎn)、直線、平面的投影--機(jī)械

1、第第2章章 點(diǎn)、直線、平面的投影點(diǎn)、直線、平面的投影 2.1 投影法基本概念投影法基本概念 2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影 2.3 直線的投影直線的投影 2.4 平面的投影平面的投影 2.5 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置2.1 投影法基本概念投影法基本概念一、投影法一、投影法1、投影法的概念、投影法的概念 物體在光線的照射下，就會(huì)在墻面或地面產(chǎn)生影子，物體在光線的照射下，就會(huì)在墻面或地面產(chǎn)生影子，這就是這就是投影現(xiàn)象投影現(xiàn)象。投影法是將這一現(xiàn)象加以投影法是將這一現(xiàn)象加以科學(xué)的抽象而產(chǎn)生的?？茖W(xué)的抽象而產(chǎn)生的。光線稱為投影線，墻面稱光線稱為投影線，墻面稱為投影面，影

2、子稱為物體為投影面，影子稱為物體的投影。的投影。PSAa投影中心投影中心空間幾何元素空間幾何元素投影投影投影面投影面投影線投影線投影線、投影線、空間幾何元素、空間幾何元素、 投影面投影面投影形成的投影形成的三要素：三要素：通過(guò)空間任一點(diǎn)通過(guò)空間任一點(diǎn)A的投影線與投影面的交點(diǎn)的投影線與投影面的交點(diǎn)a為為A點(diǎn)的投影。點(diǎn)的投影。這種使物體在投影面上產(chǎn)生圖像的方法稱為這種使物體在投影面上產(chǎn)生圖像的方法稱為投影法投影法。2、投影法的分類、投影法的分類（1）投射線交于一點(diǎn)）投射線交于一點(diǎn)的投影法稱為中心投的投影法稱為中心投影法；影法；（2）當(dāng)投影中心）當(dāng)投影中心S移移至無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)投射線至無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)投射線互

3、相平行，這種投射互相平行，這種投射線互相平行的投影法線互相平行的投影法稱為平行投影法。稱為平行投影法。 按照投影線與投影面是否垂直，平行投影法又可按照投影線與投影面是否垂直，平行投影法又可以分為：以分為：正投影法、斜投影法正投影法、斜投影法。正投影法正投影法 投影線垂直于投影面；投影線垂直于投影面；斜投影法斜投影法 投影線傾斜于投影面。投影線傾斜于投影面。二、正投影的性質(zhì)二、正投影的性質(zhì) 1. 1. 實(shí)形性實(shí)形性 當(dāng)線段或平面平行于投影面時(shí)，其投當(dāng)線段或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映實(shí)長(zhǎng)或?qū)嵭?。影反映?shí)長(zhǎng)或?qū)嵭?。CDEBAHabedc2. 2. 積聚性積聚性 當(dāng)線段或平面平行于投影線時(shí)，其投影

4、當(dāng)線段或平面平行于投影線時(shí)，其投影積聚為點(diǎn)或線段。積聚為點(diǎn)或線段。 二、正投影的性質(zhì)二、正投影的性質(zhì)edca（b）CDEBAH3. 3. 類似性類似性 當(dāng)線段或平面傾斜于投影面時(shí)，直線的當(dāng)線段或平面傾斜于投影面時(shí)，直線的投影仍然為直線，比實(shí)長(zhǎng)要短；平面的投影比實(shí)形投影仍然為直線，比實(shí)長(zhǎng)要短；平面的投影比實(shí)形小，是它的類似形。小，是它的類似形。二、正投影的性質(zhì)二、正投影的性質(zhì)CDEedcBAabH4. 4. 平行平行性性 兩條平行直線其投影仍然互相平行。兩條平行直線其投影仍然互相平行。二、正投影的性質(zhì)二、正投影的性質(zhì)End5. 5. 定比定比性性 直線上兩線段長(zhǎng)度之比等于其投影長(zhǎng)度直線上兩線段長(zhǎng)

5、度之比等于其投影長(zhǎng)度之比；兩平行線段之比；兩平行線段長(zhǎng)度之比等于其投影長(zhǎng)度之比長(zhǎng)度之比等于其投影長(zhǎng)度之比。二、正投影的性質(zhì)二、正投影的性質(zhì)2.2 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影仍為一點(diǎn)。點(diǎn)的投影仍為一點(diǎn)。對(duì)確定的投影面點(diǎn)有唯對(duì)確定的投影面點(diǎn)有唯一的投影。一的投影。已知點(diǎn)的一個(gè)投影，不能確已知點(diǎn)的一個(gè)投影，不能確定點(diǎn)在空間的位置。定點(diǎn)在空間的位置。HXVo一、點(diǎn)在兩投影面體系中的投影一、點(diǎn)在兩投影面體系中的投影水平投影面：水平投影面：H；正立投影面：正立投影面：V；HVAaa將點(diǎn)將點(diǎn)A自上向下投影，得到它的自上向下投影，得到它的H面投影，面投影，也稱水平投影，標(biāo)以也稱水平投影，標(biāo)以a。將點(diǎn)將點(diǎn)A自前向

6、后投影，得到它的自前向后投影，得到它的V面投影，面投影，也稱正面投影，標(biāo)以也稱正面投影，標(biāo)以a。OX投影軸投影軸:OX兩投影面體系的展開(kāi)及點(diǎn)的兩面投影兩投影面體系的展開(kāi)及點(diǎn)的兩面投影HVaaaxOXAVHaaaxOXXOaa展開(kāi)：展開(kāi)： V面不動(dòng)；面不動(dòng)； H面繞面繞X軸向下旋轉(zhuǎn)軸向下旋轉(zhuǎn)90 。點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：點(diǎn)的兩面投影規(guī)律：(1)點(diǎn)的水平投影及正面投影的連線垂直于點(diǎn)的水平投影及正面投影的連線垂直于ox軸軸, 即即aa ox;(2)點(diǎn)的水平投影到點(diǎn)的水平投影到ox軸的距離等于空間點(diǎn)到軸的距離等于空間點(diǎn)到V面的距離面的距離, 點(diǎn)的正面點(diǎn)的正面投影到投影到ox軸的距離等于空間點(diǎn)到軸的距離等于

7、空間點(diǎn)到H面的距離面的距離, 即即aax=Aa,aax=Aa 。二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影二、點(diǎn)在三投影面體系中的投影HVaaaxOXAWayazYZ側(cè)立投影面：側(cè)立投影面：W；將點(diǎn)將點(diǎn)A自左向右投影，自左向右投影，得到它的得到它的W面投影，也面投影，也稱側(cè)面投影，標(biāo)以稱側(cè)面投影，標(biāo)以a”。投影軸投影軸:OY、OZVHaaaxOXWa”azayHayWYHYWZ展開(kāi)：展開(kāi)： V面不動(dòng)；面不動(dòng)；H面繞面繞X軸向下旋轉(zhuǎn)軸向下旋轉(zhuǎn)90 。W面繞面繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)軸向右旋轉(zhuǎn)90 。a”點(diǎn)的三面投影規(guī)律：點(diǎn)的三面投影規(guī)律：aaOXa”YHYWZVHaaaxOXWa”azayHayWYHYWZ(1)點(diǎn)的水

8、平投影和正面投影的連線垂直于點(diǎn)的水平投影和正面投影的連線垂直于ox軸軸,即即aa ox;(2)點(diǎn)的投影到投影軸的距離等于空間點(diǎn)到相應(yīng)的投影面的距點(diǎn)的投影到投影軸的距離等于空間點(diǎn)到相應(yīng)的投影面的距離離, 即即aax= a”az =Aa,aax= a”ay =Aa, aaz= aay =Aa” 。點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于oz軸軸,即即aa” oz;特殊位置的點(diǎn)：特殊位置的點(diǎn)：投影面及投影軸上的點(diǎn)投影面及投影軸上的點(diǎn) 圖212 特殊位置的點(diǎn)（a） （b） 例例 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A的兩面投影，求第三面投影。的兩面投影，求第三面投影。aaOXa”YHYWZ方法

9、一：利用坐標(biāo)相等方法一：利用坐標(biāo)相等方法二：利用方法二：利用45輔助線輔助線方法三：利用圓弧輔助線方法三：利用圓弧輔助線a”YWaOXYHZaa”aOXYHYWZa三、點(diǎn)的直角坐標(biāo)三、點(diǎn)的直角坐標(biāo)HVaaaxOXAWa”ayazYZaaOXa”YHYWZxzxxxzzzyyyy 如果把投影面體系看作直角坐標(biāo)系，把投影面如果把投影面體系看作直角坐標(biāo)系，把投影面H、V、W作為坐標(biāo)面，投影軸即為坐標(biāo)軸。點(diǎn)作為坐標(biāo)面，投影軸即為坐標(biāo)軸。點(diǎn)A的直角坐標(biāo)的直角坐標(biāo)( x, y, z)就分就分別是別是A點(diǎn)到點(diǎn)到W、V、H的距離。的距離。y四、兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)四、兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)1、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

10、、兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指空間兩點(diǎn)間的左右、前后、上下位置關(guān)系。兩點(diǎn)的相對(duì)位置是指空間兩點(diǎn)間的左右、前后、上下位置關(guān)系。左左 右右 左左 右右上上 下下上上 下下后后 前前后后 前前XOZYa a ab b bBAXZYWYHOa a ab bb 2、重影點(diǎn)、重影點(diǎn) A、B兩點(diǎn)在同一條對(duì)兩點(diǎn)在同一條對(duì)V面的投影線上，其正面投影面的投影線上，其正面投影a和和b重合，成為對(duì)重合，成為對(duì)V面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)正前方，點(diǎn)正前方， A點(diǎn)遮住了點(diǎn)遮住了B點(diǎn)，點(diǎn)，b不可見(jiàn)，用不可見(jiàn)，用(b)表示。表示。 A、B兩點(diǎn)在同一條對(duì)兩點(diǎn)在同一條對(duì)H面的投影線上，其水平投影面的投影線上，其水

11、平投影a和和b重合，成為對(duì)重合，成為對(duì)H面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)正上方，點(diǎn)正上方， A點(diǎn)遮住了點(diǎn)遮住了B點(diǎn)，點(diǎn)，b不可見(jiàn)，用不可見(jiàn)，用(b)表示。表示。2、重影點(diǎn)、重影點(diǎn) A、B兩點(diǎn)在同一條對(duì)兩點(diǎn)在同一條對(duì)W面的投影線上，其側(cè)面投影面的投影線上，其側(cè)面投影a”和和b”重合，成為對(duì)重合，成為對(duì)W面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。A點(diǎn)在點(diǎn)在B點(diǎn)正左方，點(diǎn)正左方， A點(diǎn)遮住了點(diǎn)遮住了B點(diǎn)，點(diǎn)，b”不可見(jiàn)，用不可見(jiàn)，用(b”)表示。表示。2、重影點(diǎn)、重影點(diǎn) 直線不垂直于投影面時(shí)投影仍為直線，如直線直線不垂直于投影面時(shí)投影仍為直線，如直線AB；垂直；垂直于投影面的直線的投影積聚為一點(diǎn)，如直線于投影面

12、的直線的投影積聚為一點(diǎn)，如直線CD。2.3 直線的投影直線的投影 不重合的兩點(diǎn)決定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影連接起來(lái)不重合的兩點(diǎn)決定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影連接起來(lái)即得到直線在該投影面上的投影。即得到直線在該投影面上的投影。OXZYHYWaabbba正面投影正面投影側(cè)面投影側(cè)面投影水平投影水平投影直線的傾角：直線的傾角： 在三投影面體系中，任意直線對(duì)在三投影面體系中，任意直線對(duì)H、V、W三個(gè)投影面的傾角分別稱為三個(gè)投影面的傾角分別稱為 、 、 ，則，則ab =ABcos ；ab = ABcos ；a”b” = ABcos 。 當(dāng)當(dāng) =0時(shí)，時(shí)，AB/P，apbp=AB，反映實(shí)長(zhǎng)；，反映實(shí)長(zhǎng)；

13、 當(dāng)當(dāng) =90時(shí)，時(shí)，AB P，apbp積聚為一點(diǎn)。積聚為一點(diǎn)。直線的分類：直線的分類：直線按對(duì)投影面的相對(duì)位置可分為以下三類：直線按對(duì)投影面的相對(duì)位置可分為以下三類：投影面平行線投影面平行線： (只平行于一個(gè)只平行于一個(gè) 投影面，投影面，傾斜傾斜于另外兩投影面）于另外兩投影面）投影面垂直線投影面垂直線： (垂直于一個(gè)投影面，垂直于一個(gè)投影面，平行平行于另外兩投影面）于另外兩投影面）一般位置直線一般位置直線：對(duì)：對(duì)H、V、W三個(gè)投影面都傾斜三個(gè)投影面都傾斜 0 、 、 90 正平線正平線：/V； H、W水平線水平線：/H； V、W側(cè)平線側(cè)平線：/W； H、V正垂線正垂線： V；/H、W側(cè)垂線側(cè)

14、垂線： W；/H、V鉛垂線鉛垂線： H；/V、W特殊位置直線特殊位置直線正垂線正垂線鉛垂線鉛垂線側(cè)垂線側(cè)垂線1、投影面垂直線、投影面垂直線（1）正垂線）正垂線XYWYHZO投影特性：投影特性：1) 正面投影積聚成一點(diǎn)正面投影積聚成一點(diǎn)a(b) ；2) 水平投影水平投影ab /oyH軸，側(cè)面投影軸，側(cè)面投影a”b” /oyw軸，都反映實(shí)長(zhǎng)軸，都反映實(shí)長(zhǎng)。aba”b”a(b)XYWYHZO投影特性：投影特性：1) 水平投影積聚成一點(diǎn)水平投影積聚成一點(diǎn)a(b) ；2) 正面投影正面投影ab /oz軸，側(cè)面投影軸，側(cè)面投影a”b” /oz軸，都反映實(shí)長(zhǎng)軸，都反映實(shí)長(zhǎng)。ab（2）鉛垂線）鉛垂線a”b”a

15、(b)XYWYHZO投影特性：投影特性：1) 側(cè)面投影積聚成一點(diǎn)側(cè)面投影積聚成一點(diǎn)a”(b”) ；2) 正面投影正面投影ab /ox軸，水平投影軸，水平投影ab /ox軸，都反映實(shí)長(zhǎng)軸，都反映實(shí)長(zhǎng)。（3）側(cè)垂線）側(cè)垂線ababa”(b”)投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；）在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)；（2）其余兩個(gè)投影面上的投影均反映實(shí)長(zhǎng)，且平行于相應(yīng)的投影軸。）其余兩個(gè)投影面上的投影均反映實(shí)長(zhǎng)，且平行于相應(yīng)的投影軸。2、投影面平行線、投影面平行線正平線正平線水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線XYWYHZO（1）正平線）正平線ababa”b”a

16、ba”b”ab 投影特性：投影特性：1）正面投影）正面投影ab反映實(shí)長(zhǎng)和傾角反映實(shí)長(zhǎng)和傾角 、 ；2) 水平投影水平投影ab /ox軸，側(cè)面投影軸，側(cè)面投影a”b” /oz軸。軸。 XYWYHZOaba”b”aba”b”ab 投影特性：投影特性：1）水平投影）水平投影ab反映實(shí)長(zhǎng)和傾角反映實(shí)長(zhǎng)和傾角 、 ；2) 正面投影正面投影ab /ox軸，側(cè)面投影軸，側(cè)面投影a”b” /oyw軸。軸。（2）水平線）水平線ab XYWYHZOaba”b”aba”b”ab 投影特性：投影特性：1）側(cè)面投影）側(cè)面投影a”b”反映實(shí)長(zhǎng)和傾角反映實(shí)長(zhǎng)和傾角 、 ；2) 水平投影水平投影ab /oyH軸，正面投影軸，

17、正面投影ab /oz軸。軸。ab （3）側(cè)平線）側(cè)平線投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性（1）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)及其與另外兩個(gè)投影面的傾角；）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)及其與另外兩個(gè)投影面的傾角；（2）其余兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于線段的實(shí)長(zhǎng)。）其余兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于線段的實(shí)長(zhǎng)。3、一般位置直線、一般位置直線XYWYHZOa”b”abab投影特性：投影特性：由于一般位置直線對(duì)三個(gè)投影面都傾斜，因此三面投影都不能由于一般位置直線對(duì)三個(gè)投影面都傾斜，因此三面投影都不能反映直線的實(shí)長(zhǎng)和直線對(duì)投影面的傾角。反映直線的實(shí)長(zhǎng)和直線對(duì)

18、投影面的傾角。4、直角三角形法求實(shí)長(zhǎng)和傾角、直角三角形法求實(shí)長(zhǎng)和傾角ababb aBAB1A1A2VHW 由此可知：可以通過(guò)求作圖中所示的由此可知：可以通過(guò)求作圖中所示的Rt ABB1、 Rt ABA1、 Rt ABA2來(lái)求解一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)與傾角。來(lái)求解一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)與傾角。直角三角形法直角三角形法LabZABLabYABLabXABXZYO例例1：已知直線：已知直線AB的水平投影的水平投影ab及及a，AB的實(shí)的實(shí)長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)，求，求AB的正面投影的正面投影。L ZABab1b2abL ZABab1b2ab例例2：已知直線：已知直線AB的水平投影的水平投影ab及及a, =30,求求b。3

19、05、直線上的點(diǎn)、直線上的點(diǎn) 點(diǎn)與直線的相對(duì)位置有點(diǎn)與直線的相對(duì)位置有兩種情況：點(diǎn)在直線上或點(diǎn)兩種情況：點(diǎn)在直線上或點(diǎn)不在直線上。直線上點(diǎn)的投不在直線上。直線上點(diǎn)的投影滿足從屬性和定比性，即影滿足從屬性和定比性，即點(diǎn)的投影在直線的同面投影點(diǎn)的投影在直線的同面投影上，且點(diǎn)分線段之比等于點(diǎn)上，且點(diǎn)分線段之比等于點(diǎn)的投影分線段的投影之比。的投影分線段的投影之比。從屬性和定比性是點(diǎn)在直線從屬性和定比性是點(diǎn)在直線上的充分必要條件。上的充分必要條件。（1）從屬性）從屬性 若若C點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線AB上，則上，則C點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影c, c, c”分別在直線分別在直線AB的同面投影的同面投影ab, ab, a”

20、b”上。上。若若C點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線AB上，則上，則（2）定比性）定比性AC:CB = ac:cb = ac:cb = a”c”:c”b” 一般情況下，根據(jù)兩面投影圖利用從屬性就可一般情況下，根據(jù)兩面投影圖利用從屬性就可以確定點(diǎn)是否在直線上。如下圖所示：以確定點(diǎn)是否在直線上。如下圖所示：a abbcc dd ccab, c, cab CCABddab DDABOf ee f hh e”f”h”h”e”f” Hh”e”f” HEF對(duì)于投影面平行面應(yīng)另作分析對(duì)于投影面平行面應(yīng)另作分析H兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置 兩直線相對(duì)位置有平行、相交和交叉（異面）三兩直線相對(duì)位置有平行、相交和交叉（異面）

21、三種情況。種情況。一、兩直線平行一、兩直線平行（）投影特性：投影特性：平行兩直線在同一投影面上的投影互相平行平行兩直線在同一投影面上的投影互相平行即：若即：若ABCDCD，則，則 ab bcd，ab cd，a”b” c”d”ABCDabdc平行兩線段長(zhǎng)度之比等于其平行兩線段長(zhǎng)度之比等于其投影之比，即投影之比，即ABCDabcdabcda”b”c”d”=利用投影特性判斷兩直線是否平行，例利用投影特性判斷兩直線是否平行，例1：abcdabdc作出直線作出直線AB、CD的第三面投影的第三面投影由三面投影可知兩由三面投影可知兩直線在空間互相平直線在空間互相平行行結(jié)論：結(jié)論： 對(duì)于一般位置直線，對(duì)于一般

22、位置直線，只要有兩個(gè)同面投只要有兩個(gè)同面投影互相平行，直線影互相平行，直線在空間就互相平行。在空間就互相平行。acdb利用投影特性判斷兩直線是否平行，例利用投影特性判斷兩直線是否平行，例2：abcdabdc結(jié)論：結(jié)論： 如果兩直線都是同如果兩直線都是同一投影面的平行線一投影面的平行線時(shí)，要看其反映實(shí)時(shí)，要看其反映實(shí)長(zhǎng)的同面投影是否長(zhǎng)的同面投影是否平行，若平行，兩平行，若平行，兩直線在空間互相平直線在空間互相平行，否則就是交叉行，否則就是交叉直線。直線。acdb方法一：方法一： 作圖法作圖法方法二：方法二： 觀察兩直觀察兩直線在空間的位置線在空間的位置二、兩直線相交（二、兩直線相交（） 投影特性

23、：投影特性：相交兩直線在同一投影面上的投影相交兩直線在同一投影面上的投影必定相交，且投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。必定相交，且投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。HABCD K交點(diǎn)是兩直線的共有交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)點(diǎn) 共有性共有性交點(diǎn)是唯一的交點(diǎn)是唯一的 唯一性唯一性 ABCDabdcKkKABKCD利用投影特性判斷兩直線是否相交，例利用投影特性判斷兩直線是否相交，例1：aaabbb ccdcddkkk方法一：方法一： 作圖法作圖法方法二：方法二： 討論點(diǎn)和兩直討論點(diǎn)和兩直線間的相對(duì)位置線間的相對(duì)位置 結(jié)論結(jié)論: 對(duì)于兩條對(duì)于兩條一般位置直線一般位置直線,若有若有兩面投影相交兩面投影相交,且投且投影的交

24、點(diǎn)滿足一點(diǎn)的影的交點(diǎn)滿足一點(diǎn)的投影規(guī)律投影規(guī)律 - 則兩則兩直線在空間相交。直線在空間相交。例例2：已知：已知AB、CD的的H、V面投影，兩直線是否面投影，兩直線是否相交？相交？aaabbb cccdddkkk三、兩直線交叉（三、兩直線交叉（ ）既不平性，也不相交的兩直線為交叉直線。既不平性，也不相交的兩直線為交叉直線。 ccddaabb1212（ ）eeff gghh78656578（ ）（ ）投影相交的點(diǎn)為重影點(diǎn)投影相交的點(diǎn)為重影點(diǎn)四、直角投影定理四、直角投影定理HAaBb Cc已知：已知： ABAC ，ABH求證：求證：abac證明：證明： ABAa ，ABACAB 面面ACca AB

25、ac ABH AB ab abac 定理定理：互相垂直的兩直線（相交或交叉），若其：互相垂直的兩直線（相交或交叉），若其中有一條平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的中有一條平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影反映直角。（逆定理也成立）投影反映直角。（逆定理也成立）直角投影定理的三種情況直角投影定理的三種情況:abccabddef efgghihi abbc； BC為水平線；為水平線；AB BC deef； EF為正平線；為正平線；DE EF ghhi； GH為側(cè)平線；為側(cè)平線；GH HI例例1：求點(diǎn)：求點(diǎn)C到直線到直線AB的距離的距離LaabbcckkL分析：即過(guò)點(diǎn)分析：即過(guò)點(diǎn)C作直線

26、作直線AB的垂線求垂線的長(zhǎng)的垂線求垂線的長(zhǎng)度，設(shè)垂足為度，設(shè)垂足為K CK AB， 且且AB為水平線為水平線 ck ab；K點(diǎn)在點(diǎn)在AB上應(yīng)滿足從屬性上應(yīng)滿足從屬性直角三角形法求直角三角形法求CK的的實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)例例2:已知直線已知直線AB、CD的兩面投影，求作它的兩面投影，求作它們的公垂線。們的公垂線。aba(b)cdcdeffe分析：設(shè)公垂線為分析：設(shè)公垂線為EF， E AB，F(xiàn) CD； AB為鉛垂線，為鉛垂線，EF ABEF平行于平行于H面；面；CD EF ef cd。 E ABe ab，則，則e與與ab重合；重合；例例2：已知正方形：已知正方形ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)的一個(gè)頂點(diǎn)D的兩面的兩面投影

27、及邊投影及邊AB在直線在直線MN上，求上，求ABCD的投影。的投影。m n ddaabbccLADmn 2.4 平面的投影平面的投影1、平面的表示方法、平面的表示方法2）直線及）直線及直線外一點(diǎn)直線外一點(diǎn) 由幾何學(xué)可知，在投影圖上，平面可由下列任意一組幾何元由幾何學(xué)可知，在投影圖上，平面可由下列任意一組幾何元素的投影來(lái)表示。素的投影來(lái)表示。1）不在同）不在同一直線上一直線上的三個(gè)點(diǎn)的三個(gè)點(diǎn)3）相交）相交兩直線兩直線4）平行）平行兩直線兩直線5）平面）平面圖形圖形6）平面的跡線表示）平面的跡線表示VHWPVPHPWPVPHPW跡線：平面與投影面的交線。跡線：平面與投影面的交線。P正面跡線：正面跡

28、線： PV水平跡線：水平跡線： PH側(cè)面跡線：側(cè)面跡線： PW平面按對(duì)投影面的相對(duì)位置可分為以下三類：平面按對(duì)投影面的相對(duì)位置可分為以下三類：投影面平行面投影面平行面： (平行于一個(gè)平行于一個(gè) 投影面，和投影面，和另外兩投影面都垂直）另外兩投影面都垂直）投影面垂直面投影面垂直面： (垂直于一個(gè)投影面，垂直于一個(gè)投影面，傾斜傾斜于另外兩投影面）于另外兩投影面）一般位置平一般位置平面面：對(duì)：對(duì)H、V、W三個(gè)投影面都傾斜三個(gè)投影面都傾斜正平面正平面：/V； H、W水平面水平面：/H； V、W側(cè)平面?zhèn)绕矫妫?W； H、V正垂面正垂面： V； H、W側(cè)垂面?zhèn)却姑妫?W； H、V鉛垂面鉛垂面： H； V、

29、W特殊位置平面特殊位置平面2、平面的分類：、平面的分類： 平面與三個(gè)投影面平面與三個(gè)投影面H、V、W所成的二面角稱為平面的傾所成的二面角稱為平面的傾角，分別記為角，分別記為 、 、 。3、投影面平行面、投影面平行面平行于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面都垂直的平面。平行于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面都垂直的平面。水平面水平面正平面正平面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫妫?）水平面）水平面投影特性：投影特性：1）水平投影反映平面的實(shí)形）水平投影反映平面的實(shí)形；2）正面投影和側(cè)面投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投）正面投影和側(cè)面投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。影軸。XYHYWZOacbb”c”a”abca

30、bca” b”c”投影特性：投影特性：1）正面投影反映平面的實(shí)形）正面投影反映平面的實(shí)形；2）水平投影和側(cè)面投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投）水平投影和側(cè)面投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。影軸。XYHYWZO（2）正平面）正平面b”c”a”abcabcabca”b”c”投影特性：投影特性：1）側(cè)面投影反映平面的實(shí)形）側(cè)面投影反映平面的實(shí)形；2）水平投影和正面投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投）水平投影和正面投影均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。影軸。XYHYWZO（3）側(cè)平面）側(cè)平面abcb”c”a”b”a”c”abcabc投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特

31、性1）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；2）其余兩個(gè)投影面上的投影積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。）其余兩個(gè)投影面上的投影積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。4、投影面垂直面、投影面垂直面鉛垂面鉛垂面正垂面正垂面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑嬷淮怪庇谝粋€(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面都傾斜的平面。只垂直于一個(gè)投影面，與另外兩個(gè)投影面都傾斜的平面。（1）鉛垂面）鉛垂面XYHYWZO abca”c”b”abca”b”c”投影特性：投影特性：1）水平投影積聚為一條直線，并反映平面的傾角）水平投影積聚為一條直線，并反映平面的傾角 和和 ；2）正面投影和側(cè)面投影均為縮小了的類似形。）正面投影

32、和側(cè)面投影均為縮小了的類似形。abcXYHYWZO投影特性：投影特性：1）正面投影積聚為一條直線，并反映平面的傾角）正面投影積聚為一條直線，并反映平面的傾角 和和 ；2）水平投影和側(cè)面投影均為縮小了的類似形。）水平投影和側(cè)面投影均為縮小了的類似形。（2）正垂面）正垂面abca”c”b”abc abca”b”c”XYHYWZOa”b”c”投影特性：投影特性：1）側(cè)面投影積聚為一條直線，并反映平面的傾角）側(cè)面投影積聚為一條直線，并反映平面的傾角 和和 ；2）正面投影和水平投影均為縮小了的類似形。）正面投影和水平投影均為縮小了的類似形。（3）側(cè)垂面）側(cè)垂面abcbca abcabc投影面垂直面投影特

33、性投影面垂直面投影特性1）在所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線，并且反映與其）在所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線，并且反映與其它兩個(gè)投影面的傾角；它兩個(gè)投影面的傾角；2）其余兩個(gè)投影面上的投影均為縮小了的類似形。）其余兩個(gè)投影面上的投影均為縮小了的類似形。5、一般位置平面、一般位置平面 一般位置平面與各投影面都傾斜，因此，它的各面投影既不一般位置平面與各投影面都傾斜，因此，它的各面投影既不能反映實(shí)形，又沒(méi)有積聚性，也不能反映平面對(duì)投影面的傾角。能反映實(shí)形，又沒(méi)有積聚性，也不能反映平面對(duì)投影面的傾角。三面投影都是縮小了的類似形。三面投影都是縮小了的類似形。6、平面上的點(diǎn)和直線、平面上的點(diǎn)和

34、直線（1）點(diǎn)在平面上所要滿足的幾何條件：）點(diǎn)在平面上所要滿足的幾何條件：點(diǎn)在平面上，則該點(diǎn)必定在平面內(nèi)的一條直線上。點(diǎn)在平面上，則該點(diǎn)必定在平面內(nèi)的一條直線上。 已知已知d，且，且D在平面在平面ABC內(nèi)，求內(nèi)，求d，d”。XYHYWZOaacbcbb”a”c”ddd”11”12ee2 已知已知e e，ee，E是否在平面是否在平面ABC內(nèi)？?jī)?nèi)？E點(diǎn)不在平面點(diǎn)不在平面ABC內(nèi)內(nèi)（2）直線在平面上所要滿足的幾何條件：）直線在平面上所要滿足的幾何條件：a）直線過(guò)平面內(nèi)的兩點(diǎn)；）直線過(guò)平面內(nèi)的兩點(diǎn)；b）直線過(guò)平面內(nèi)的一點(diǎn)且平行于平面內(nèi)的另一條直線。）直線過(guò)平面內(nèi)的一點(diǎn)且平行于平面內(nèi)的另一條直線。例例1：

35、補(bǔ)全平面圖形：補(bǔ)全平面圖形ABCDEFGH的水平投影的水平投影abcdefghabcdefgh（3）平面上的特殊位置直線）平面上的特殊位置直線1）對(duì)于一般位置平面對(duì)于一般位置平面：總可以在它上面找到：總可以在它上面找到投影面平行線投影面平行線a）屬于平面，即過(guò)平面上兩點(diǎn)；）屬于平面，即過(guò)平面上兩點(diǎn)；b）某投影平行于投影軸。）某投影平行于投影軸。2）對(duì)于投影面垂直面對(duì)于投影面垂直面：含有：含有投影面平行線投影面平行線與與投影面垂直線投影面垂直線3）最大斜度線最大斜度線：屬于定平面并垂直于該平面內(nèi)的投影面平行線的屬于定平面并垂直于該平面內(nèi)的投影面平行線的 直線直線垂直于平面內(nèi)的水平線的直線垂直于平

36、面內(nèi)的水平線的直線對(duì)水平投影面的最大斜度線；對(duì)水平投影面的最大斜度線；垂直于平面內(nèi)的正平線的直線垂直于平面內(nèi)的正平線的直線對(duì)正立投影面的最大斜度線；對(duì)正立投影面的最大斜度線；垂直于平面內(nèi)的側(cè)平線的直線垂直于平面內(nèi)的側(cè)平線的直線對(duì)側(cè)立投影面的最大斜度線。對(duì)側(cè)立投影面的最大斜度線。例例2：在三角形：在三角形ABC平面內(nèi)作水平線和正平線。平面內(nèi)作水平線和正平線。abcdeabcde平面的最大斜度線平面的最大斜度線：屬于定平面并垂直于該平面屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線。的投影面平行線的直線。 HPABCDSa最大斜度線對(duì)投影面最大斜度線對(duì)投影面的角度最大；的角度最大；最大斜度線對(duì)投影面

37、最大斜度線對(duì)投影面的傾角即為平面對(duì)投的傾角即為平面對(duì)投影面的傾角。影面的傾角。例例3：作平面：作平面ABC對(duì)水平面的最大斜度線對(duì)水平面的最大斜度線abcdeabcde再根據(jù)直角投影定理再根據(jù)直角投影定理在平面上作在平面上作CD的垂的垂線線AE，AE便是對(duì)水便是對(duì)水平投影面的最大斜度平投影面的最大斜度線。線。先任意引一水平線先任意引一水平線CD；7、圓的投影、圓的投影圓圓平行于投影面平行于投影面傾斜于投影面傾斜于投影面圓圓橢圓橢圓橢圓是圓的類似形橢圓是圓的類似形圓的每一對(duì)相互垂直的直徑圓的每一對(duì)相互垂直的直徑投影投影投影橢圓的一對(duì)共軛直徑投影橢圓的一對(duì)共軛直徑平行于某投影面的圓：平行于某投影面的

38、圓： 水平面內(nèi)的圓在水平面水平面內(nèi)的圓在水平面上的投影為實(shí)形圓，在它所上的投影為實(shí)形圓，在它所垂直的投影面上的投影為一垂直的投影面上的投影為一條直線，其長(zhǎng)度等于圓的直條直線，其長(zhǎng)度等于圓的直徑。徑。ac(d) babcdoo圖2-39 正垂圓的投影2、垂直于某投影面的圓、垂直于某投影面的圓 正垂面上的圓正面投影積聚為一條直線，其長(zhǎng)度等于圓的正垂面上的圓正面投影積聚為一條直線，其長(zhǎng)度等于圓的直徑；水平投影為橢圓。直徑；水平投影為橢圓。用四心圓法作近似橢圓用四心圓法作近似橢圓2.5 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置點(diǎn)點(diǎn)直線直線平面平面直線直線直線直線一般一般直線直線

39、平面平面平面平面平面平面一般一般一般一般2 2）投影特點(diǎn)：直線的投影）投影特點(diǎn)：直線的投影面內(nèi)一直線的同名投影（判定方法）面內(nèi)一直線的同名投影（判定方法）一、平行關(guān)系一、平行關(guān)系1. 直線直線平面平面1 1）幾何條件：直線）幾何條件：直線平面內(nèi)一直線。平面內(nèi)一直線。A AB BC CD DE Eabced判定直線與平面是判定直線與平面是否平行否平行不平行不平行不平行不平行平平行行amncbbcamn判定直線與平面是否判定直線與平面是否平行平行不平行不平行3 3）作圖問(wèn)題：）作圖問(wèn)題：）過(guò)點(diǎn)作直線）過(guò)點(diǎn)作直線已知平面已知平面 ）過(guò)直線作平面）過(guò)直線作平面已知直線已知直線abccbadd過(guò)過(guò)D D

40、點(diǎn)作水平線，點(diǎn)作水平線，使之平行于平面使之平行于平面eeabcdeabcde過(guò)直線過(guò)直線CDCD作一平面，作一平面，使之平行于已知直使之平行于已知直線線ABABdc1 1）幾何條件：一平面內(nèi)兩條相交直線對(duì)應(yīng)）幾何條件：一平面內(nèi)兩條相交直線對(duì)應(yīng)另一平面內(nèi)兩條另一平面內(nèi)兩條相交直線。相交直線。2 2）投影特點(diǎn)：兩對(duì)相交直線的同名投影對(duì)應(yīng)）投影特點(diǎn)：兩對(duì)相交直線的同名投影對(duì)應(yīng) （判定方法）。（判定方法）。mabefabcedfm2. 兩平面兩平面判定兩平面是否平行判定兩平面是否平行兩平面平行兩平面平行dabccbadmabcdefnabcd femn3 3）作圖問(wèn)題：）作圖問(wèn)題： 過(guò)點(diǎn)作平面過(guò)點(diǎn)作平

41、面已知已知平面平面兩平面不平行兩平面不平行eeff作圖關(guān)鍵：抓住特殊元素的積聚性投影找出交點(diǎn)的投影，再作圖關(guān)鍵：抓住特殊元素的積聚性投影找出交點(diǎn)的投影，再利用重影點(diǎn)判斷重疊部分線段投影的可見(jiàn)性。利用重影點(diǎn)判斷重疊部分線段投影的可見(jiàn)性。二、相交關(guān)系二、相交關(guān)系 （直線（直線平面、平面平面、平面平面）平面）H HH HN NM M直線直線平面平面交點(diǎn)交點(diǎn)共有點(diǎn)共有點(diǎn)分界點(diǎn)分界點(diǎn)平面平面平面平面交線交線共有線共有線分界線分界線B BA AK K相交關(guān)系分類相交關(guān)系分類 當(dāng)兩個(gè)相交元素中含有特殊位置元素時(shí)，由于特殊位置當(dāng)兩個(gè)相交元素中含有特殊位置元素時(shí)，由于特殊位置元素的某些投影具有積聚性，交點(diǎn)或交線

42、的某些投影可以直元素的某些投影具有積聚性，交點(diǎn)或交線的某些投影可以直接找到。接找到。(1) 特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交(2) 一般位置直線與特殊位置平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交(3) 特殊位置平面與一般位置平面相交特殊位置平面與一般位置平面相交2. 一般位置元素的相交一般位置元素的相交教學(xué)目的：教學(xué)目的：求交點(diǎn)或交線；求交點(diǎn)或交線；判斷可見(jiàn)性。判斷可見(jiàn)性。1. 含特殊位置元素的相交含特殊位置元素的相交1. 含特殊位置元素的相交含特殊位置元素的相交（1）特殊位置直線）特殊位置直線一般位置一般位置平面平面ab bc cab bc c111 13 3m(n

43、)m(n)nnmm2 2k2233KABC MN MN直線直線平面平面交點(diǎn)交點(diǎn)共有點(diǎn)共有點(diǎn)分界點(diǎn)分界點(diǎn)分析：分析：k mn利用重影點(diǎn)判斷可見(jiàn)性利用重影點(diǎn)判斷可見(jiàn)性( )k作圖關(guān)鍵：利用直線有積聚作圖關(guān)鍵：利用直線有積聚性投影找出交點(diǎn)的一面投影，性投影找出交點(diǎn)的一面投影，再通過(guò)點(diǎn)在平面上所要滿足再通過(guò)點(diǎn)在平面上所要滿足的幾何條件求點(diǎn)的另一面投的幾何條件求點(diǎn)的另一面投影。影。eded（2）一般位置一般位置直線直線特殊位置平面特殊位置平面bbaaccHEbacDBACMde分析：分析：MABC DEmdemabcmdemmmHDfde（3）特殊位置平面）特殊位置平面一般位置一般位置平面平面abbcc

44、ffeeb bddac ce ed df fbacBACFEMNnmDEABC MDFABC N分析：分析：mnmn2. 一般位置元素的相交一般位置元素的相交特點(diǎn)：由于一般位置直線與平面的投影都沒(méi)有特點(diǎn)：由于一般位置直線與平面的投影都沒(méi)有積聚性積聚性，所以，所以不能直接確定交點(diǎn)的投影。不能直接確定交點(diǎn)的投影。 D DE EF F（1）直線）直線平面平面交點(diǎn)交點(diǎn)K是平面是平面DEF上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，它一定在此平面內(nèi)的一條它一定在此平面內(nèi)的一條直線上。直線上。通過(guò)作輔助平面來(lái)求交點(diǎn)。通過(guò)作輔助平面來(lái)求交點(diǎn)。MN DEFPM MN NB BA AK KDFE輔助平面法求直線與平面的交點(diǎn)：輔助平面法求直

45、線與平面的交點(diǎn)：輔助平面法輔助平面法）包含已知直線作輔助平面）包含已知直線作輔助平面P P（特殊面）；（特殊面）；）求作）求作P P面與已知平面的交線面與已知平面的交線MNMN；）求作交線）求作交線MNMN與已知直線與已知直線ABAB的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K；）判別線段的可見(jiàn)性（利用重影點(diǎn)判定）。）判別線段的可見(jiàn)性（利用重影點(diǎn)判定）。作圖步驟：作圖步驟：dbaefafbdenmmn2112( )33( )kPH鉛垂面鉛垂面B BA AM MN NK Kk2）平面）平面平面平面一般位置平面一般位置平面的投影無(wú)積聚的投影無(wú)積聚性性, ,所以其交線所以其交線也必須通過(guò)作也必須通過(guò)作輔助面的方法輔助面的方法

46、求出：求出：即利用即利用“一般一般位置直線與一位置直線與一般位置平面相般位置平面相交求交點(diǎn)交求交點(diǎn)”的的方法來(lái)求交線方法來(lái)求交線. .PHQHbaed2c43fefdcba565(6)n7132(7)41mmn三、垂直關(guān)系三、垂直關(guān)系1 1、含有特殊位置元素的垂直問(wèn)題、含有特殊位置元素的垂直問(wèn)題1 1）直線直線 平面平面HABCDEFabc (f)d(e)面面CDEFCDEF為鉛垂面，為鉛垂面，ABAB垂直于面垂直于面CDEFCDEF，則，則ABAB為水平線，為水平線，abab垂直于該平面垂直于該平面有積聚性的投影有積聚性的投影cdefcdef。abcdefabc (f)d(e)練習(xí)練習(xí): :

47、判斷下列幾何元素是否垂直判斷下列幾何元素是否垂直關(guān)鍵：抓住特殊元素的積聚性投影進(jìn)行分析。關(guān)鍵：抓住特殊元素的積聚性投影進(jìn)行分析。2)平面平面 平面平面(a) (a) 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面HABCDEFabcd(e)g(f)G GK Kk如：一般位置平面如：一般位置平面ABCABC 鉛垂面鉛垂面DEFGDEFG過(guò)過(guò)A A作面作面DEFGDEFG的垂線的垂線AKAK，則，則AKAK必在面必在面ABCABC內(nèi)，且內(nèi)，且AKAK BCBC；面面DEFGDEFG為鉛垂面，為鉛垂面，則則AKAK為水平線，由為水平線，由直角投影定理可知直角投影定理可知ak defg。（b）投影

48、面平行面）投影面平行面 投影面垂直面投影面垂直面則則投影面平行面投影面平行面平行于平行于投影面垂直面所垂直的投影面投影面垂直面所垂直的投影面（c c）投影面垂直面投影面垂直面 投影面垂直面投影面垂直面則它們?cè)谒怪钡耐队懊嫔系耐队胺从炒怪眲t它們?cè)谒怪钡耐队懊嫔系耐队胺从炒怪比缱髨D如左圖, ,已知面已知面ABCDABCD與與面面EFGHEFGH為鉛垂面，且互為鉛垂面，且互相垂直，求相垂直，求ABCDABCD水平投水平投影。影。abcdefgha(b)e (f)h (g)c(d)c(d)abcabcL L如何圖解點(diǎn)到平面的距離？如何圖解點(diǎn)到平面的距離？nnn nm m2、 一般位置元素垂直問(wèn)題一

49、般位置元素垂直問(wèn)題作圖步驟：作圖步驟：a a）求作直線與平面的）求作直線與平面的交點(diǎn)交點(diǎn)N N；b b）求作直線）求作直線MNMN的真實(shí)的真實(shí)長(zhǎng)度長(zhǎng)度L L。 1 1）如何過(guò)）如何過(guò)M M點(diǎn)作平面點(diǎn)作平面ABCABC的垂線？的垂線？幾何關(guān)系：直線垂直于平面內(nèi)任意兩條相交直線。作圖要點(diǎn)：抓住直線與平面內(nèi)兩條相交的直線垂直。作圖要點(diǎn)：抓住直線與平面內(nèi)兩條相交的直線垂直。mm11222 21 1PV2 2）如何過(guò)點(diǎn)）如何過(guò)點(diǎn)A A作直線作直線BCBC的垂線的垂線HA AB BC CK Kabc1122kacb1 12 2ddeekPV(1)(1)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A作一正平線作一正平線ADAD和水平線和水

50、平線AEAE垂直于垂直于BC,BC,由由AEAE和和ADAD兩相交直線所兩相交直線所決定的平面必垂直于直線決定的平面必垂直于直線BC;BC;(2)(2)過(guò)過(guò)BCBC作一輔助正垂面作一輔助正垂面P,P,求出它求出它與與ADEADE平面的交線平面的交線,此交線與直此交線與直線線BCBC交于點(diǎn)交于點(diǎn)K(k,k),K(k,k),連接連接AK,AK,即為即為所求的垂線所求的垂線. .作圖：作圖：例例:光線光線R自點(diǎn)自點(diǎn)K沿箭頭方向射向鏡面沿箭頭方向射向鏡面ABCD,求反射求反射光線光線R1的方向。的方向。abdcmmeennr1r1(b)(d)ce eafff fm mn nr1r1r rrrk kkk

51、1 1、求入射點(diǎn)、求入射點(diǎn)E E；2 2、求法線、求法線EFEF；4 4、求、求M M點(diǎn)關(guān)于法線的對(duì)點(diǎn)關(guān)于法線的對(duì)稱點(diǎn)稱點(diǎn)N N，N N點(diǎn)即為出射光點(diǎn)即為出射光線上的點(diǎn)；線上的點(diǎn)；3 3、在入射光線上取一點(diǎn)、在入射光線上取一點(diǎn)M M；5 5、連接、連接ENEN即為出射光線。即為出射光線。2.6 投影變換方法投影變換方法 當(dāng)直線或平面相對(duì)于投影面處于平行位置時(shí)，它們的當(dāng)直線或平面相對(duì)于投影面處于平行位置時(shí)，它們的投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)、平面的實(shí)形及其與投影面的傾角，投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)、平面的實(shí)形及其與投影面的傾角，當(dāng)它們處于垂直位置時(shí)，其中有一投影具有積聚性。當(dāng)它們處于垂直位置時(shí)，其中有一投影具有積

52、聚性。 當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時(shí)，則它們的投當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時(shí)，則它們的投影就不具備上述的特性。影就不具備上述的特性。 投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影投影變換就是將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以簡(jiǎn)便地解決它們的定位和度量問(wèn)面平行或垂直的位置，以簡(jiǎn)便地解決它們的定位和度量問(wèn)題。題。a abb a abb c cdd ba ab c cdd a abb c ca abb 兩點(diǎn)之間距離兩點(diǎn)之間距離a abb c c三角形實(shí)形三角形實(shí)形a abb c cdd 直線與平面的交點(diǎn)直線與平面的交點(diǎn)a b c d abcd 兩平面夾角兩平面夾角VAHCB c b X a a bc換面法的基本概念換面法的基本概念a1 c1 b1 V1X1X1換面法換面法空間幾何元素的位置保持不動(dòng)，用新的投影面來(lái)代替空間幾何元素的位置保持不動(dòng)，用新的投影面來(lái)代替舊的投影面，使對(duì)新投影面的相對(duì)位置變成有利解題的位置，舊的投影面，使對(duì)新投影面的相對(duì)位置變成有利解題的位置，然后找出其在新投影面上的投影。