小學(xué)奧數(shù)幾何五大模型鳥(niǎo)頭模型

1、三角形等高模型與鳥(niǎo)頭模型模型二鳥(niǎo)頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角 (相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比.如圖在 4ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖 (或D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上， E在AC上如圖2), 則 Saabc：Saade (AB AC)： (AD AE)圖例1如圖在ABC中,D,E分別是AB, AC上的點(diǎn)，且 AD : AB 2:5,AE: AC 4:7 , SAADE 16平方厘米，求 ABC的面積.【解析】連接 BE , Saade ：Sa abe AD : AB 2 ：5(2 4):(54),Sa abe : Sa

2、ABC AE： AC 4:7 (4 5):(75),所以S ade ： Sa abc(2 4) ：(7 5),設(shè) S ade8 份，則Szx abc 35份，Sa ade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，4ABC的面積是70平方厘米.由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比【鞏固】如圖，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面積等于1,那么三角形ABC的面積是多少?【解析】EC 3AE SVABC3SVABE又AB 5AD【鞏固】【解析】 SVADESVABE 5SvaB

3、C15 , SvaBC15Svade 15 .如圖，三角形 ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分, 積是甲部分面積的幾倍？BDDC 4, BE 3, AE 6,乙部分面連接AD .BE 3, AE 6. AB 3BE, Svabd3SvBDE又BD DC 4,一Svabc2 S/abd , - Svabc6S/bde , &【例2】如圖在 ABC中，D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,AE:EC 3:2, SA ade12平方厘米，求E在AC上，且 ABC的面積.AB: AD【解析】【例3】連接BE ，Saade : Sa abeAD : AB 2:5 (2 3):(5 3)Sa abe : Sa

4、abcAE : AC3: (3 2) (3 5): (3 2) 5 ,所以 Sa ade : Sa abc (3 2) : 5 (3 2)6 : 25 ,設(shè) SaadeSa ABC 25份 , Sa ade12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面積是50平方厘米.由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF 2CF ,三角形AFE（圖中陰影部分）的面 積為8平方厘米.平行四邊形的面積是多少平方厘米？A KEB【解析】 連接FB.三角形AFB面積是三角形

5、 CFB面積的2倍，而三角形 AFB面積是三角形 AEF面積的2 倍，所以三角形 ABC面積是三角形 AEF面積的3倍；又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是三角形ABC面積的2倍，所以平行四邊形白面積是三角形AFE面積的(3 2) 6倍.因此，平行四邊形的面積為8 6 48(平方厘米).例4 已知4DEF的面積為7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ,求4ABC的面積.【解析】SABDE: SAABC(BDBE) ：(BABC) (1 1):(23)1:6,Sacef： Saabc(CECF)：(CBCA) (1 3):(24)3:8Saadf : Saabc (AD AF):(AB AC)

6、 (2 1):(3 4) 1:6設(shè) Sa abc24 份，則Sa bde4 份，Sa adf4 份，Sa cef9 份，Sa def24 4 4 97 份，恰好是 7平方厘米，所以SA ABC 24平方厘米例5 如圖，三角形 ABC的面積為3平方厘米，其中 AB:BE 2:5 , BC:CD 3:2 ,三角形BDE的面積 是多少？平方厘米.【解析】32 一-AC .根據(jù)“共角定理”可得,3【解析】由于 ABC DBE 180 ,所以可以用共角定理，設(shè)AB 2份，BC 3份，則BE 5份，BD 3 2 5 份，由共角定理 SA abc : SA bde (AB BC):(BE BD) (2 3)

7、:(5 5) 6:25,設(shè)SA abc 6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方厘米，三角 形BDE的面積是12.5平方厘米例6 ( 2007年“走美"五年級(jí)初賽試題)如圖所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為6厘米，AE1 一，1-BC ,可得CE 3Sa cef : Sa ABC (CF CE): (CB AC) 1 2 : (3 3) 2:9;而 Saabc 6 6 2 18;所以 S cef 4;同理得，故 S>A DEFSa CDE ： Sk ACD2:3;, Sacde 18 3 2 12,SA CDF6SA CEF【例71如圖，已

8、知三角形CA至F ,使AFABC面積為1,延長(zhǎng) AB至D ,使BD AB;延長(zhǎng)BC至E ,使CE 2BC ;延長(zhǎng)3AC ,求三角形DEF的面積.（法1）本題是性質(zhì)的反復(fù)使用.連接AE、CD .SVABC1 - > SVABC1 )SVDBC1 SVDBC 1 -同理可得其它，最后三角形 DEF的面積（法2）用共角定理二.在VABC和VCFE中,18.ACB與FCE互補(bǔ),.SVABC SvFCEAC BC 111FC CE 4 2 8又 SV ABC1 ,所以 SVFCE8 -同理可得SVADF6 , SVBDE3 .所以SvDEFSVABCSVFCESVADFSVBDE18.例8如圖，平

9、行四邊形 ABCD, BE AB, CF2CBGD 3DC ,HA 4AD ,平行四邊形 ABCD的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH連接AC、BD .根據(jù)共角定理的面積比.在4ABC 和 ABFE 中,SZ ABCSA FBEAB BC 1 1BE BF 1 3ABC與 FBE互補(bǔ), 1 . 3又 S*A ABC1 ,所以 S*A FBESa dec Sadfc 4 12 6 10(平方厘米).同理可得SA GCF8 , SADHG15 , SA AEH8 -所以 SEFGHSA AEHSACFGSA DHGSA BEFSABCD 8 8 15+3+236 .所以寰36 /例9

10、如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA AB , CB 的面積.BF , DC CG , HDDA,求四邊形 ABCD【解析】【例10】CF) 1:2,即 Scgf連接BD .由共角定理得 S BCD28A CDB同理SA ABD所以SA ahe連接AC ,S四邊形EFGH：SA AHE1：2,即 SA AHE2S ABDSACGF2(SACBDSA ADB )2 sg邊形 ABCD同理可以得到SADHGSABEF2S| 邊形 ABCD所以S|邊形ABCD 66如圖，將四邊形S*A CGFSA HDG5 13.2平方米ABCD的四條邊四邊形ABCD的面積為5,則四邊形SA BEFSI邊形

11、 ABCDAB、CB、CD、EFGH的面積是5SH 邊形 ABCDAD分別延長(zhǎng)兩倍至點(diǎn)E、 F、G、連接AC、BD .由于 BE 2AB, BF 2BC,于S BEF 4S ABC ) 同理 S HDG 4S ADC -S HDG4 s ABC 4 s ADC4 SABCD .再由于AE3AB,AH 3AD,于是 S AEH 9S ABD , 同理 S CFG 9sCBD S AEHS CFG9S ABD 9S cbd9SABCD -那么SEFGHS BEFS HDG S AEH S CFG SABCD 4SABCD 9SABCD SABCD 12SABCD 60 -【例11 如圖，在 ABC

12、中，延長(zhǎng) AB至D ,使BD AB ,延長(zhǎng)BC至E ,使CE - BC , F是AC的 2中點(diǎn)，若 4ABC的面積是2,則4DEF的面積是多少？【解析】二.在 ABC和4CFE中， ACB與SAABC AC BC 2 24.SAFCEFC CE 11 1又 SVABC 2 ,所以 S/FCE 0.5 .FCE互補(bǔ),同理可得 SA ADF2 , SA BDE3 .【例12 所以S»A DEFS»A ABCS»A CEFSa DEBSaadf2 0.5 3 2 3.5如圖，SAabc 1, BC 5BD, AC 4EC , DG GS SE, AF FG .求 Svf

13、gs 3種情況.1 -1.2 10【例13如圖所示，正方形 ABCD邊長(zhǎng)為8厘米,三角形ABG的面積是多少平方厘米？E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)， G是BF的中點(diǎn),【解析】本題題目本身很簡(jiǎn)單，但它把本講的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)融合到一起，既可以看作是“當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”的反復(fù)運(yùn)用，也 可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的4 3 2 1最后求得 SAFGS 的面積為SAFGS 【解析】連接AF、EG .1-2 一因?yàn)?Sa bcf Sa cde 816,4根據(jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩

14、邊長(zhǎng)度的乘積比”Svaef8 ,Svefg8 ,再根據(jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比” SVABF 24 ,所以SVABG 12平方厘米.,得到SVBFC16 , SABFE 32 ,【例14】四個(gè)面積為1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積.FH AE【解析】如圖，將原圖擴(kuò)展成一個(gè)大正三角形DEF ,則 AGF與 CEH都是正三角形.假設(shè)正六邊形白勺邊長(zhǎng)為為 a ,則 AGF與 CEH的邊長(zhǎng)都是4a ,所以大正三角形 DEF的邊長(zhǎng)為4 2 17,那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍.而一個(gè)正六邊形是由 6個(gè)單位小正三角形組成的，所以一個(gè)單位小正三角形的面積為1 ,三角形DEF的面積為空.664 3 12由于FA 4a , FB 3a ,所以 AFB與三角形 DEF的面積之比為 一.7 7 49同理可知 BDC、 AEC與三角形DEF的面積之比都為12 ,所以 ABC的面積占三角形 DEF面積495 4 3 21213 一,49 1313的1 12 3 13 ,所以ABC的面積的面積為竺13 1349496 496【鞏固】已知圖中每個(gè)正六邊