隨機(jī)過程 第三章

1、第3章 隨機(jī)信號與線性系統(tǒng)一般電子系統(tǒng)中，通常含有若干個基本單元電路。一般電子系統(tǒng)中，通常含有若干個基本單元電路。線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器非線性系統(tǒng)：平方律檢波器，調(diào)制器，混頻器，限幅器非線性系統(tǒng)：平方律檢波器，調(diào)制器，混頻器，限幅器在確定信號輸入的情況下，線性系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出在確定信號輸入的情況下，線性系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出有明確的表達(dá)式。有明確的表達(dá)式。對于隨機(jī)信號的問題，要想得到輸出的明確表達(dá)式對于隨機(jī)信號的問題，要想得到輸出的明確表達(dá)式是不可能的。是不可能的。但但一個隨機(jī)過程可以通過自相關(guān)函數(shù)、一個隨機(jī)過程可以通過自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度、均方值等統(tǒng)計特

2、性來描述。功率譜密度、均方值等統(tǒng)計特性來描述。如何根據(jù)線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性以及線如何根據(jù)線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的統(tǒng)計特性以及線性系統(tǒng)的特性，確定輸出系統(tǒng)的統(tǒng)計特性。性系統(tǒng)的特性，確定輸出系統(tǒng)的統(tǒng)計特性。2022-3-272 線性系統(tǒng)：具有疊加性和比例性的系統(tǒng) 舉例：( )x t L ( ) ( )y tL x t1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t2 tdLdtLLdu 2022-3-274（1）線性性：線性性：（2）時不變：）時不變： 線性時不變系統(tǒng)：系統(tǒng)響應(yīng)不依賴于時間起點(diǎn)的選擇，即如果輸入信號線性時不變系統(tǒng)：系統(tǒng)響應(yīng)不依賴于時間起點(diǎn)的選擇

3、，即如果輸入信號提前或延時一段時間，則輸出信號也同樣提前或延時一段相同的時間，提前或延時一段時間，則輸出信號也同樣提前或延時一段相同的時間，而輸出信號的波形保持不變。而輸出信號的波形保持不變。1212( )( ) ( )( )L ax tbx taL x tbL x t稱作算子L00() ()y ttL x tt連續(xù)時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號；連續(xù)時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號；離散時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號。離散時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號。連續(xù)與離散系統(tǒng)：連續(xù)與離散系統(tǒng)：2022-3-275連續(xù)連續(xù)時不變線性系統(tǒng)的分析方法時不變線性

4、系統(tǒng)的分析方法1. 時域分析2頻域分析3. 物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng))()()()()()()(thtxdthxdhtxtyY( )( )X( )HX( )( )j tx t edtdtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs0t0)(th如果當(dāng)時，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)條件:( )h t dt 2022-3-276 在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號的某個在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號的某個統(tǒng)統(tǒng)計特性計特性只取決于輸入信號的只取決于輸入信號的相應(yīng)的相應(yīng)的統(tǒng)計特統(tǒng)計特性性。 根據(jù)輸入隨機(jī)信號的根據(jù)輸入隨機(jī)信號的、相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)和和功功率譜密度率譜密度，再加上已知線性系統(tǒng)，再

5、加上已知線性系統(tǒng)單位沖激單位沖激響應(yīng)響應(yīng)或或傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)，就可以求出輸出隨機(jī)信，就可以求出輸出隨機(jī)信號相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度號相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 分析方法分析方法：時域分析法：時域分析法 ；頻域分析法；頻域分析法。3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-277 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的

6、高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-278 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 輸入為隨機(jī)信號X(t)的某個的，則為：0)()()(dtxhty系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)一個確定性函數(shù)一個確定性函數(shù)2022-3-

7、279 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析X( ) t0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t對于隨機(jī)信號對于隨機(jī)信號任意一個樣本函數(shù)均成立。任意一個樣本函數(shù)均成立。： 那么對于所有的試驗(yàn)結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過程2022-3-2

8、710 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t X( ) tYX0( )mmhd若若為平穩(wěn)為平穩(wěn)SP，則，則2022-3-2711 3.2.1 時域分

9、析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t由于由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸

10、入輸出相關(guān)函數(shù)為輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為2022-3-2712 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 XY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru duX( )()Rh若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過程若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)

11、過程2022-3-2713 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析已知已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出端的自端的自相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEttX1212( , )( )( )

12、Rt th th tY121XY12( , )( )( , )Rt th tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXXYYX( )( )( )()( )()( )( )RRhhRhRh2022-3-2714 3.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析系統(tǒng)輸出的系統(tǒng)輸出的

13、n階矩的一般表達(dá)式為階矩的一般表達(dá)式為 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX th th th t2022-3-2715 3.2.1 時域分析法時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論結(jié)論1：若輸入：若輸入X(t)是是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。結(jié)論結(jié)論2：若輸入：若輸入X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出Y(t)也也是嚴(yán)平穩(wěn)的。是嚴(yán)平穩(wěn)的。 結(jié)論結(jié)論3：若輸入：若輸入 X(t)是寬遍歷性

14、的，則輸出是寬遍歷性的，則輸出Y(t)也是寬遍歷性的，且也是寬遍歷性的，且X(t)、Y(t)聯(lián)合遍歷聯(lián)合遍歷 。3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-27163.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論1：若輸入是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。X( ) tY( ) tX( ) tXX( )mtm常數(shù)X12X( , )( )Rt tR12tt 2X(0)( )RE Xt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )

15、Rt tX0( )()h u Ru du X( )()RhYX( )R若輸入若輸入為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 2022-3-27173.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論1：若輸入是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。X( ) tY( ) t 22X00Y ( )( )( ) ( )()EtE Yth u h v Ruv dudv X00( )( )()h uh vRuv dudv X00(0)( )

16、( )Rh uh v dudv X00(0)( )( )Rh v dvh u du0)(dtth2( )E Yt 2022-3-27183.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論2：若輸入 是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出 也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 X( ) tY( ) t因?yàn)?Y( )( )()thX td 對于時不變系統(tǒng)，若時移常數(shù)T，有0Y()( )()tThX tTd輸出 和 分別是輸入 和 與 的卷積，即可以表示成級數(shù)和的形式。由于隨機(jī)信號 是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以 與 具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣 與 也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。Y()tTY( ) tX()t

17、TX( ) t)(thX( ) tX()tTX( ) tY()tTY( ) t2022-3-27193.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析由 的寬遍歷的定義得 結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t則輸出 的時間平均XX( ) tmXX( )()( )t X tRX( ) tY( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm2022-

18、3-27203.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y()2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTT

19、limX tut dt h u duTX0() ( )Ru h u duXY( )R 2022-3-27213.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例3.1 如圖所示的低通電路，已知輸入信號是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號，其均值為，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：求輸出均值；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出平均功率；輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：2022-3-2722 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜

20、密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 2022-3-2723 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H2022-3-2724 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分

21、析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHjsYX( )( )( )()SsSs H s Hs 由，兩邊取付氏變換得： 表示，有： 2022-3-2725 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、

22、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 XYX( )( )( )SSHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s2022-3-2726 3.2.2 頻域分析法頻域分析法 3.2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 dteetfdtetfsFtjtst)(

23、)()(js)(tftetf)(當(dāng)不可積時，因此對于隨機(jī)信號，通常情況下其拉氏變換存在。 可積。2022-3-2727 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析2022-3-2728 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、

24、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.2 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析0)()()(dtxhty0Y( )( )X()knh knk系統(tǒng)的輸出等于輸入信號與單位沖激響應(yīng)的卷積和 可以證明，在假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的、輸入有界的條件下，上式在均方收斂的意義下是存在的。 2022-3-2729 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 若若為平穩(wěn)為平穩(wěn) SP

25、，則，則Y0( ) ( )( ) ()kmnE Y nh k E X nkYX0( )kmmh kX( )n2022-3-2730 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 XY( ,)( ) ()Rn nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmk

26、X0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )( )()()*( )kRmh k RmkhmRm2022-3-2731 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()kjEh k X nkh j

27、X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nmj 2022-3-2732 3.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m 2X

28、00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 2022-3-2733 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 2022-3-2734 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 若系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的，那么有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXY

29、X( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H zSz1XYYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eS2YXX( )()()( )()( )jjjSH eH eSH eS2022-3-2735 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)為 11( )( )2mYYlRmSz zdzj

30、2YX1( )()( )2jjmRmH eSed2022-3-2736 3.3.2 頻域分析法頻域分析法 3.3 隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 2111( )( )()( )2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1( )()( )2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的單位圓 例例: 若若 ， ，求，求輸出功率譜密度輸出功率譜密度)()(2mmRX 1, 0,)( rkrkhk2022-3-27383.4.1 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析白噪聲通過線性系統(tǒng)分析

31、)(H)(sHX( )S20N設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為或或，其輸入白噪聲功率譜密度為，其輸入白噪聲功率譜密度為，那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為，那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為 20Y( )( )2NSH或物理譜密度為或物理譜密度為2Y0( )( )GHN0注意注意：上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機(jī)信號上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機(jī)信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因?yàn)闊o線的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因?yàn)闊o線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通電系統(tǒng)都具

32、有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。過的原因。 2022-3-27393.4.1 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析白噪聲通過線性系統(tǒng)分析20Y( )( )4jNRHedduuhuhN00)()(2輸出自相關(guān)函數(shù)為輸出自相關(guān)函數(shù)為 輸出平均功率為輸出平均功率為2200( )( )2NE YtHd 2022-3-27403.4.2 3dB帶寬帶寬2022-3-27413.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特性是困難的。在實(shí)際中為了計算方便，常常用一性是困難的。在實(shí)際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應(yīng)

33、為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)，個幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)，在等效時要用到一個非常重要的概念在等效時要用到一個非常重要的概念等效噪等效噪聲帶寬聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。2022-3-2742 等效的原則等效的原則 理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下,兩兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等個系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 2022-3-2743計算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬計算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬e H(0)|H(w)

34、|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為功率譜密度為20N白噪聲激勵白噪聲激勵 消耗在消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為 dwwHNtYE02022理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 22200202ewwKNdwKNtYEe3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 2022-3-2744 實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1對于一般的低通濾波器對于一般的低通濾波器)( H的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在 0處，即處，即)0()(maxHH 對于中心頻

35、率為對于中心頻率為0 帶通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路如單調(diào)諧回路) )( H的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在處，即處，即0 )()(0maxHH3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 2022-3-2745 實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1 2max02wHwNPe dwwHNtYE02022系統(tǒng)輸出平均功率系統(tǒng)輸出平均功率 3.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 小結(jié)：小結(jié)：由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬e 可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時，僅使用參數(shù)可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時，僅使用參數(shù)e 和和max)( H就

36、可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。 例1 :計算單位沖激響應(yīng)為 的有限時間積分器的等效噪聲帶寬. 例2:描述離散時間系統(tǒng)的差分方程為 試求該系統(tǒng)的等效噪聲帶寬.1( )( )()h tU tU tTT( )(1)( ),01y nay nbx na例3. 用雷達(dá)測量地球與月球之間距離為D,測量結(jié)果為 ,其中 是零均值, 方差的白噪聲,表示測量誤差,為了得到比較精確的距離,現(xiàn)采用以下兩種濾波器分別對 進(jìn)行信號處理,試比較這兩種濾波器輸出方差 的大小.( )( )X nDV n( )V n2V( )X n2Y1: ( )(1)(1) ( ),0 12

37、: ( )( )(1) ( -1)y nay na x nay nax na x n濾波器濾波器2022-3-27483.5.1 希爾伯特變換希爾伯特變換 )(tx( )x t)(txH1( )( )( )xH x tx tdt設(shè)有一個實(shí)值函數(shù)設(shè)有一個實(shí)值函數(shù)，它的希爾伯特變換記作，它的希爾伯特變換記作（或記作（或記作） t1()1()( )x tx tx tdd 希爾伯特變換的單位沖激響應(yīng)及其傳遞函數(shù) 01( )()sgn( )0HHjhtHjjtj 2022-3-27493.5.1 希爾伯特變換希爾伯特變換 希爾伯特逆變換1( )( )x tHx t1()1()x tx tdd 1* (

38、) x tt 11( ) Hhtt 為希爾伯特逆變換的單位沖激響應(yīng) 2022-3-27503.5.1 希爾伯特變換希爾伯特變換 希爾伯特變換相當(dāng)于一個正交濾波器 1( )( )*x tx tt( )1/h tt0( )0jHj1)(H0202)(2022-3-27513.5.2 解析過程及其性質(zhì)解析過程及其性質(zhì) 定義：給定任一實(shí)隨機(jī)過程 ( )X t定義一復(fù)隨機(jī)過程 ( )X t( )( )( )X tX tjX t1( )( )( )XX tH X tdt的希爾伯特變換 ( )X t是是( )X t( )X t為實(shí)隨機(jī)過程為實(shí)隨機(jī)過程的復(fù)解析過程，簡稱解析過程。的復(fù)解析過程，簡稱解析過程。2

39、022-3-27523.5.2 解析過程及其性質(zhì)解析過程及其性質(zhì) ( )X t( )X t（1）若）若為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，則也是實(shí)平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。也是實(shí)平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。因?yàn)橄柌刈儞Q是線性變換，線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過程，輸出也為平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。 （2）實(shí)函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同2022-3-2753( )( )XXXRR （3）( )( )XXXRR( )( )XXXXRR （4）（5）()( )XXXXRR （6）(0)0XXR（7）( )2( )( )2( )( )XXXXXXRRjRRjR（8）( )0( )( )0XXXXjSSjS

40、（9）4( )0( )00XXSS 例例1 : 已知已知 ,求求 例例2 :設(shè)低頻信號設(shè)低頻信號a(t)的頻譜為：的頻譜為：( )( / )s tArect t T( )s t2022-3-27553.6.1 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 00( )( )0XccXSS其他0c定義：定義：若實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程若實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程 的功率譜密度滿足的功率譜密度滿足 且且，稱稱 為窄帶隨機(jī)過程為窄帶隨機(jī)過程x( ) t( )X t2022-3-27563.6.2 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式的表達(dá)式 0( )( )cos( )X tA ttt包絡(luò) 相位 中心頻率 000( )( )cos( )( )cos

41、cos ( )( )sinsin ( )X tA tttA tttA ttt)(cos)()(ttAta)(sin)()(ttAtb00( )( )cos( )sinX ta ttb tt)()()(22tbtatA)()()(tatbarctgt 2022-3-27573.6.2 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程的萊斯表達(dá)式的萊斯表達(dá)式 0( )( )cos( )X tA ttt包絡(luò) 相位 中心頻率 00( )( )cos( )sinX ta ttb tt00( )( )sin( )cosX ta ttb tt00( )( )cos( )sina tX ttX tt00( )( )sin( )cos

42、b tX ttX tt 萊斯表達(dá)式 3.6.2 窄帶隨機(jī)過程的萊斯表達(dá)式窄帶隨機(jī)過程的萊斯表達(dá)式 任何一個實(shí)平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過程任何一個實(shí)平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過程X(t)都可以表示為都可以表示為: 其中其中a(t),b(t)是另外兩個隨機(jī)過程是另外兩個隨機(jī)過程,且且00( )( )cos( )sinX ta ttb tt00( )( )cos( )sina tX ttX tt00( )( )sin( )cosb tX ttX tt 2022-3-27593.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222(

43、 )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 為平穩(wěn)過程，且假設(shè)其均值為0。 ( )X t00( )( )( )cos( )sinabXXXRRRR 2022-3-27603.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb證明：因?yàn)?( )X t和 ( )X t都是實(shí)過程。 00( )( )cos( )sina tX ttX tt00( )( )si

44、n( )cosb tX ttX tt 由 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb所以 2022-3-27613.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-3-27623.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 0)()(

45、tbEtaE證明：因?yàn)橛杉僭O(shè)， ( )0E X t所以， ( )0E X t因此， 00 ( )( )cos( )sin0E a tE X ttE X tt2022-3-27633.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2

46、022-3-27643.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb證明： )()()(tataERa00( )cos( )sinEX ttX tt00()cos()()sin()X ttX tt00( )coscos()XRtt00( )cossin()XXRtt00( )sincos()XXRtt00( )sinsin()XRtt+ + + 因?yàn)椋?( )( )XXXXRR ( )( )XXRR，所以 00( )( )cos( )sinaXXXRRR 它與t無關(guān) 2( )(0)(0)aXE a tRR 2022-3-27653.6.3 萊斯表達(dá)式

47、的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-3-27663.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 222( )( )( )E a tE b tE Xt證明：由性質(zhì)3，當(dāng) 0222( )( )( )E a tE b tE Xt2022

48、-3-27673.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-3-27683.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 00( )( )sin( )cosabXXRRR )()()(abbaabRRR證明： )()()

49、(tbtaERab00( )cos( )sinEX ttX tt00()sin()()cos()X ttX tt00( )cossin()XRtt 00( )sincos()XRtt00( )sinsin()XXRtt00( )coscos()XXRtt+ + ( )( )XXXXRR ( )( )XXRR( )( )XXXRR2022-3-27693.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR

50、0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-3-27703.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 0)0(abR證明：由性質(zhì)5， )()(ababRR2022-3-27713.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos(

51、 )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-3-27723.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 證明：00( )( )cos( )sinXabaRRR ( )( )()XRE X t X tsin)(cos)(00ttbttaE)(sin)()(cos)(00ttbtta)(coscos)(00ttRa)(cossin)(00ttRba)(sincos)(00ttRab)(sinsin)(00ttRb+ )()(baRR)()(baabRR2022-3-27733.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

52、萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 都是實(shí)隨機(jī)過程 )(ta)(tb0)()(tbEtaE都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn) )(ta)(tb222( )( )( )E a tE b tE Xt00( )( )sin( )cosabXXRRR 0)0(abR00( )( )cos( )sinXabaRRR 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS00( )()()abXXSjLOWPASS SS 2022-3-27743.6.3 萊斯表達(dá)式的性質(zhì)萊斯表達(dá)式的性質(zhì) 00( )( )()()abXXSSLOWPASS SS證明：由性質(zhì)3，有 00( )( )( )cos( )sinabXXXRRRR 000011( )( )22iiiiXXXReeReej 兩邊取付氏變換，注意 ( )sgn( )( )XXXSjS )(200tje= 2022