1.2曲率趙樹嫄ppt課件

1、五、小結(jié)與思考判斷題五、小結(jié)與思考判斷題一、問題的提出一、問題的提出三、曲率及其計算公式三、曲率及其計算公式二、弧微分二、弧微分四、曲率圓與曲率半徑四、曲率圓與曲率半徑 第三章 怎樣描述曲線局部彎曲程度？怎樣描述曲線局部彎曲程度？1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大1 )一、問題的提出一、問題的提出 我們直覺認識到：直線不彎曲，曲線不同部分有不同的彎曲程度；二、弧微分二、弧微分A0 xMx.),()(內(nèi)內(nèi)具具有有連連續(xù)續(xù)導導數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)baxfxyo.),(:00作作為為度度量量弧弧長長的的基基點點在在曲曲

2、線線上上取取點點yxA),(yxM對對于于曲曲線線上上任任意意一一點點規(guī)定：規(guī)定：;)1(增增大大的的方方向向曲曲線線的的正正向向為為 x,)(sAM .,為為取取負負相相反反時時為為正正一一致致時時的的方方向向與與曲曲線線正正向向當當ssAM)(xss 易看出：弧長易看出：弧長 是是x的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù).)(xss 下面求下面求 的導數(shù)與微分的導數(shù)與微分,),(上上的的另另一一點點為為曲曲線線設設yyxxN MNs NMTA0 xxxx xyo22xMNxs22xMNMNMN2222)()(xyxMNMN222)(1xyMNMN222)(1xyMNMNxsMNx ,0時時當當dxyds

3、 故故,)(為為單單調(diào)調(diào)增增函函數(shù)數(shù)xss dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTA0 xxxx xyo1lim2 MNMNMNyxyx 0lim )()(dydxds或或ds 所代表的幾何意義如下圖所示：所代表的幾何意義如下圖所示： 三、曲率及其計算公式三、曲率及其計算公式描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量。描述曲線局部性質(zhì)彎曲程度的量。1、曲率的定義、曲率的定義1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )1弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大，弧段彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大，2轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大。轉(zhuǎn)角相同弧段越短彎曲程度越大。1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均

4、均曲曲率率為為弧弧段段（設曲線設曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M, sMM （. 切線轉(zhuǎn)角為切線轉(zhuǎn)角為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 例例1 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零. 例例2 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大且半徑越小曲率越大. sKs lim,Rs RsR,設設圓圓的的半半徑徑為為RsKs lim ),(),(tytx 設設.)()()()()()(2322ttttttk 2、曲率的計算公式、曲率的計算公式,)(二二階階可可導

5、導設設xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds 例例2 2?2上上哪哪一一點點的的曲曲率率最最大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak ,2時時當當abx .最大最大k,)44,2(2為為拋拋物物線線的的頂頂點點又又aacbab .最最大大拋拋物物線線在在頂頂點點處處的的曲曲率率232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t 時時 最大。最大。k 例例3 橢圓橢圓 上哪些點

6、處曲率上哪些點處曲率最大？最大？,cos2tx tysin3 解解.),(,.1,).0(),()(處處的的曲曲率率圓圓稱稱此此圓圓為為曲曲線線在在點點如如圖圖作作圓圓為為半半徑徑為為圓圓心心以以使使在在凹凹的的一一側(cè)側(cè)取取一一點點處處的的曲曲線線的的法法線線上上在在點點處處的的曲曲率率為為在在點點設設曲曲線線MDkDMDMkkyxMxfy 四、曲率圓與曲率半徑四、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 ,曲曲率率中中心心 D.曲曲率率半半徑徑 xyo例例 4 4 設工件內(nèi)表面的截線為拋物線設工件內(nèi)表面的截線為拋物線24 . 0 xy ， 現(xiàn)在要用， 現(xiàn)在要用砂輪打磨其內(nèi)表面。問砂輪的半

7、徑砂輪打磨其內(nèi)表面。問砂輪的半徑為多少才合適？為多少才合適？ 解解 砂砂輪輪半半徑徑不不應應超超過過截截線線上上 各各點點處處曲曲率率半半徑徑的的最最小小值值。 拋拋物物線線在在其其頂頂點點處處曲曲率率最最大大，即即曲曲率率半半徑徑最最小小。 xy8 . 0，8 . 0 y，所所以以0)0( y，8 . 0)0( y， 故故截截線線在在（0 0，0 0）處處的的曲曲率率為為8 . 0K， 曲曲率率半半徑徑25. 11K, , 所所以以砂砂輪輪的的半半徑徑不不得得超超過過25. 1。 曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處 的曲率互為倒數(shù).1,1kk即注意注意: :2. 曲線與它的曲率圓在同一點處有相同的切線，曲曲線與它的曲率圓在同一點處有相同的切線，曲率，凹向。因而，可用曲率圓在該點處的一段圓弧率，凹向。因而，可用曲率圓在該點處的一段圓弧來近似地替代曲線弧。來近似地替代曲線弧。 五、小結(jié)與思考判斷題五、小結(jié)與思考判斷題基本概念基